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4.6: El método de coeficientes indeterminados I - Matemáticas


En esta sección consideramos la ecuación de coeficiente constante

[ label {eq: 5.4.1} ay '' + by '+ cy = e ^ { alpha x} G (x), ]

donde ( alpha ) es una constante y (G ) es un polinomio.

Del teorema 5.3.2, la solución general de la ecuación ref {eq: 5.4.1} es (y = y_p + c_1y_1 + c_2y_2 ), donde (y_p ) es una solución particular de la ecuación ref {eq: 5.4.1} y ( {y_1, y_2 } ) es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria

[ay '' + por '+ cy = 0. sin número ]

En la Sección 5.2 mostramos cómo encontrar ( {y_1, y_2 } ). En esta sección, mostraremos cómo encontrar (y_p ). El procedimiento que usaremos se llama el método de coeficientes indeterminados. Nuestro primer ejemplo es similar a Ejercicios 5.3.16-5.3.21.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.2} y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x}. ]

Luego encuentra la solución general.

Solución

Sustituir (y_p = Ae ^ {2x} ) por (y ) en la Ecuación ref {eq: 5.4.2} producirá un múltiplo constante de (Ae ^ {2x} ) en el lado izquierdo de la Ecuación ref {eq: 5.4.2}, por lo que es posible elegir (A ) de modo que (y_p ) sea una solución de la Ecuación ref {eq: 5.4.2}. Vamos a intentarlo; si (y_p = Ae ^ {2x} ) entonces

[y_p '' - 7y_p '+ 12y_p = 4Ae ^ {2x} -14Ae ^ {2x} + 12Ae ^ {2x} = 2Ae ^ {2x} = 4e ^ {2x} nonumber ]

si (A = 2 ). Por lo tanto, (y_p = 2e ^ {2x} ) es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.2}. Para encontrar la solución general, observamos que el polinomio característico de la ecuación complementaria

[ label {eq: 5.4.3} y '' - 7y '+ 12y = 0 ]

es (p (r) = r ^ 2-7r + 12 = (r-3) (r-4) ), entonces ( {e ^ {3x}, e ^ {4x} } ) es un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.4.3}. Por tanto, la solución general de la Ecuación ref {eq: 5.4.2} es

[y = 2e ^ {2x} + c_1e ^ {3x} + c_2e ^ {4x}. sin número]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.4} y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}. ]

Luego encuentra la solución general.

Solución

Recién llegado de nuestro éxito al encontrar una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.2} - donde elegimos (y_p = Ae ^ {2x} ) porque el lado derecho de la Ecuación ref {eq: 5.4.2} es un múltiplo constante de (e ^ {2x} ); puede parecer razonable probar (y_p = Ae ^ {4x} ) como una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.4}. Sin embargo, esto no funcionará, ya que vimos en el Ejemplo ( PageIndex {1} ) que (e ^ {4x} ) es una solución de la ecuación complementaria Ecuación ref {eq: 5.4.3}, entonces sustituyendo (y_p = Ae ^ {4x} ) en el lado izquierdo de la Ecuación ref {eq: 5.4.4}) produce cero a la izquierda, sin importar cómo elijamos (A ). Para descubrir una forma adecuada para (y_p ), usamos el mismo enfoque que usamos en la sección 5.2 para encontrar una segunda solución de

[ay '' + por '+ cy = 0 nonumber ]

en el caso donde la ecuación característica tiene una raíz real repetida: buscamos soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.4.4} en la forma (y = ue ^ {4x} ), donde (u ) es una función por determinar. Sustituyendo

[ label {eq: 5.4.5} y = ue ^ {4x}, quad y '= u'e ^ {4x} + 4ue ^ {4x}, quad text {y} quad y' ' = u''e ^ {4x} + 8u'e ^ {4x} + 16ue ^ {4x} ]

en la Ecuación ref {eq: 5.4.4} y cancelar el factor común (e ^ {4x} ) produce

[(u '' + 8u '+ 16u) -7 (u' + 4u) + 12u = 5, nonumber ]

o

[u '' + u '= 5. sin número]

Por inspección, vemos que (u_p = 5x ) es una solución particular de esta ecuación, entonces (y_p = 5xe ^ {4x} ) es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.4}. Por lo tanto

[y = 5xe ^ {4x} + c_1e ^ {3x} + c_2e ^ {4x} nonumber ]

es la solución general.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.6} y '' - 8y '+ 16y = 2e ^ {4x}. ]

Solución

Dado que el polinomio característico de la ecuación complementaria

[ label {eq: 5.4.7} y '' - 8y '+ 16y = 0 ]

es (p (r) = r ^ 2-8r + 16 = (r-4) ^ 2 ), tanto (y_1 = e ^ {4x} ) como (y_2 = xe ^ {4x} ) son soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.4.7}. Por lo tanto, la ecuación ref {eq: 5.4.6}) no tiene una solución de la forma (y_p = Ae ^ {4x} ) o (y_p = Ax ^ {4x} ). Como en el Ejemplo ( PageIndex {2} ), buscamos soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.4.6} en la forma (y = ue ^ {4x} ), donde (u ) es una función por determinar. Sustituyendo de la Ecuación ref {eq: 5.4.5} en la Ecuación ref {eq: 5.4.6} y cancelando el factor común (e ^ {4x} ) da como resultado

[(u '' + 8u '+ 16u) -8 (u' + 4u) + 16u = 2, nonumber ]

o

[u '' = 2. sin número]

Integrar dos veces y tomar las constantes de integración como cero muestra que (u_p = x ^ 2 ) es una solución particular de esta ecuación, por lo que (y_p = x ^ 2e ^ {4x} ) es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.4}. Por lo tanto

[y = e ^ {4x} (x ^ 2 + c_1 + c_2x) nonumber ]

es la solución general.

Los ejemplos anteriores ilustran los siguientes hechos relacionados con la forma de una solución particular (y_p ) de una ecuación de coeficiente constante

[ay '' + por '+ cy = ke ^ { alpha x}, nonumber ]

donde (k ) es una constante distinta de cero:

  1. Si (e ^ { alpha x} ) no es una solución de la ecuación complementaria [ label {eq: 5.4.8} ay '' + by '+ cy = 0, ] entonces (y_p = Ae ^ { alpha x} ), donde (A ) es una constante. (Ver Ejemplo ( PageIndex {1} )).
  2. Si (e ^ { alpha x} ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.4.8} pero (xe ^ { alpha x} ) no lo es, entonces (y_p = Ax ^ { alpha x} ), donde (A ) es una constante. (Ver Ejemplo ( PageIndex {2} ).)
  3. Si tanto (e ^ { alpha x} ) como (xe ^ { alpha x} ) son soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.4.8}, entonces (y_p = Ax ^ 2e ^ { alpha x} ), donde (A ) es una constante. (Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ).)

Ver Ejercicio 5.4.30 por las pruebas de estos hechos.

En los tres casos, puede simplemente sustituir la forma apropiada para (y_p ) y sus derivadas directamente en

[ay_p '' + by_p '+ cy_p = ke ^ { alpha x}, nonumber ]

y resuelva para la constante (A ), como hicimos en el Ejemplo ( PageIndex {1} ). (Ver Ejercicios 5.4.31-5.4.33.) Sin embargo, si la ecuación es

[ay '' + por '+ cy = k e ^ { alpha x} G (x), nonumber ]

donde (G ) es un polinomio de grado mayor que cero, le recomendamos que utilice la sustitución (y = ue ^ { alpha x} ) como hicimos en los Ejemplos ( PageIndex {2} ) y ( PageIndex {3} ). La ecuación para (u ) resultará ser

[ label {eq: 5.4.9} au '' + p '( alpha) u' + p ( alpha) u = G (x), ]

donde (p (r) = ar ^ 2 + br + c ) es el polinomio característico de la ecuación complementaria y (p '(r) = 2ar + b ) (Ejercicio 5.4.30); sin embargo, no debes memorizar esto ya que es fácil derivar la ecuación para (u ) en cualquier caso particular. Sin embargo, tenga en cuenta que si (e ^ { alpha x} ) es una solución de la ecuación complementaria, entonces (p ( alpha) = 0 ), por lo que la ecuación ref {eq: 5.4.9} se reduce a

[au '' + p '( alpha) u' = G (x), nonumber ]

mientras que si tanto (e ^ { alpha x} ) como (xe ^ { alpha x} ) son soluciones de la ecuación complementaria, entonces (p (r) = a (r- alpha) ^ 2 ) y (p '(r) = 2a (r- alpha) ), entonces (p ( alpha) = p' ( alpha) = 0 ) y Ecuación ref {eq: 5.4.9} ) reduce a

[au '' = G (x). sin número]

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.10} y '' - 3y '+ 2y = e ^ {3x} (- 1 + 2x + x ^ 2). ]

Solución

Sustituyendo

[y = ue ^ {3x}, quad y '= u'e ^ {3x} + 3ue ^ {3x}, quad text {y} y' '= u''e ^ {3x} + 6u 'e ^ {3x} + 9ue ^ {3x} nonumber ]

en la Ecuación ref {eq: 5.4.10}) y cancelando (e ^ {3x} ) produce

[(u '' + 6u '+ 9u) -3 (u' + 3u) + 2u = -1 + 2x + x ^ 2, nonumber ]

o

[ label {eq: 5.4.11} u '' + 3u '+ 2u = -1 + 2x + x ^ 2. ]

Como en el ejemplo 5.3.2, para adivinar una forma para una solución particular de la ecuación ref {eq: 5.4.11}), notamos que al sustituir un polinomio de segundo grado (u_p = A + Bx + Cx ^ 2 ) para (u ) en el lado izquierdo de la ecuación ref {eq: 5.4.11}) produce otro polinomio de segundo grado con coeficientes que dependen de (A ), (B ) y (C ); por lo tanto,

[ text {si} quad u_p = A + Bx + Cx ^ 2 quad text {entonces} quad u_p '= B + 2Cx quad text {y} quad u_p' '= 2C. sin número]

Si (u_p ) debe satisfacer la Ecuación ref {eq: 5.4.11}), debemos tener

[ begin {alineado} u_p '' + 3u_p '+ 2u_p & = 2C + 3 (B + 2Cx) +2 (A + Bx + Cx ^ 2) & = (2C + 3B + 2A) + (6C + 2B) x + 2Cx ^ 2 = -1 + 2x + x ^ 2. End {alineado} nonumber ]

Al igualar coeficientes de potencias similares de (x ) en los dos lados de la última igualdad se obtiene

[ begin {array} {rcr} 2C & = 1 phantom {.} 2B + 6C & = 2 phantom {.} 2A + 3B + 2C & = -1. end {matriz} nonumber ]

Resolviendo estas ecuaciones para (C ), (B ) y (A ) (en ese orden) se obtiene (C = 1/2, B = -1 / 2, A = -1 / 4 ). Por lo tanto

[u_p = - {1 over4} (1 + 2x-2x ^ 2) nonumber ]

es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.11}, y

[y_p = u_pe ^ {3x} = - {e ^ {3x} over4} (1 + 2x-2x ^ 2) nonumber ]

es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.10}.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.12} y '' - 4y '+ 3y = e ^ {3x} (6 + 8x + 12x ^ 2). ]

Solución

Sustituyendo

[y = ue ^ {3x}, quad y '= u'e ^ {3x} + 3ue ^ {3x}, quad text {y} y' '= u''e ^ {3x} + 6u 'e ^ {3x} + 9ue ^ {3x} nonumber ]

en la Ecuación ref {eq: 5.4.12}) y cancelando (e ^ {3x} ) produce

[(u '' + 6u '+ 9u) -4 (u' + 3u) + 3u = 6 + 8x + 12x ^ 2, nonumber ]

o

[ label {eq: 5.4.13} u '' + 2u '= 6 + 8x + 12x ^ 2. ]

No hay término (u ) en esta ecuación, ya que (e ^ {3x} ) es una solución de la ecuación complementaria para la Ecuación ref {eq: 5.4.12}). (Ver Ejercicio 5.4.30.) Por tanto, la Ecuación ref {eq: 5.4.13}) no tiene una solución particular de la forma (u_p = A + Bx + Cx ^ 2 ) que usamos con éxito en el Ejemplo ( PageIndex {4} ), ya que con esta elección de (u_p ),

[u_p '' + 2u_p '= 2C + (B + 2Cx) nonumber ]

no puede contener el último término ( (12x ^ 2 )) en el lado derecho de la Ecuación ref {eq: 5.4.13}). En su lugar, intentemos (u_p = Ax + Bx ^ 2 + Cx ^ 3 ) con el argumento de que

[u_p '= A + 2Bx + 3Cx ^ 2 quad text {y} quad u_p' '= 2B + 6Cx nonumber ]

juntos contienen todas las potencias de (x ) que aparecen en el lado derecho de la Ecuación ref {eq: 5.4.13}).

Sustituyendo estas expresiones en lugar de (u ') y (u' ') en la Ecuación ref {eq: 5.4.13}) se obtiene

[(2B + 6Cx) +2 (A + 2Bx + 3Cx ^ 2) = (2B + 2A) + (6C + 4B) x + 6Cx ^ 2 = 6 + 8x + 12x ^ 2. sin número]

La comparación de coeficientes de potencias semejantes de (x ) en los dos lados de la última igualdad muestra que (u_p ) satisface la Ecuación ref {eq: 5.4.13}) si

[ begin {array} {rcr} 6C & = 12 phantom {.} 4B + 6C & = 8 phantom {.} 2A + 2B phantom {+ 6u_2} & = 6. end {matriz} nonumber ]

Resolver estas ecuaciones sucesivamente produce (C = 2 ), (B = -1 ) y (A = 4 ). Por lo tanto

[u_p = x (4-x + 2x ^ 2) nonumber ]

es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.13}), y

[y_p = u_pe ^ {3x} = xe ^ {3x} (4-x + 2x ^ 2) nonumber ]

es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.12}).

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.14} 4y '' + 4y '+ y = e ^ {- x / 2} (- 8 + 48x + 144x ^ 2). ]

Solución

Sustituyendo

[y = ue ^ {- x / 2}, quad y '= u'e ^ {- x / 2} - {1 over2} ue ^ {- x / 2}, quad text {y} quad y '' = u''e ^ {- x / 2} -u'e ^ {- x / 2} + {1 over4} ue ^ {- x / 2} nonumber ]

en la Ecuación ref {eq: 5.4.14}) y cancelando (e ^ {- x / 2} ) produce

[4 left (u '' - u '+ {u over4} right) +4 left (u' - {u over2} right) + u = 4u '' = - 8 + 48x + 144x ^ 2, nonumber ]

o

[ label {eq: 5.4.15} u '' = - 2 + 12x + 36x ^ 2, ]

que no contiene (u ) o (u ') porque (e ^ {- x / 2} ) y (xe ^ {- x / 2} ) son ambas soluciones de la ecuación complementaria. (Ver Ejercicio 5.4.30.) Para obtener una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.15}) integramos dos veces, tomando las constantes de integración como cero; por lo tanto,

[u_p '= - 2x + 6x ^ 2 + 12x ^ 3 quad text {y} quad u_p = -x ^ 2 + 2x ^ 3 + 3x ^ 4 = x ^ 2 (-1 + 2x + 3x ^ 2). Nonumber ]

Por lo tanto

[y_p = u_pe ^ {- x / 2} = x ^ 2e ^ {- x / 2} (- 1 + 2x + 3x ^ 2) nonumber ]

es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.14}).

Resumen

Los ejemplos anteriores ilustran los siguientes hechos relacionados con soluciones particulares de una ecuación de coeficiente constante de la forma

[ay '' + por '+ cy = e ^ { alpha x} G (x), nonumber ]

donde (G ) es un polinomio (ver Ejercicio 5.4.30):

  1. Si (e ^ { alpha x} ) no es una solución de la ecuación complementaria [ label {eq: 5.4.16} ay '' + by '+ cy = 0, ] entonces (y_p = e ^ { alpha x} Q (x) ), donde (Q ) es un polinomio del mismo grado que (G ). (Ver Ejemplo ( PageIndex {4} )).
  2. Si (e ^ { alpha x} ) es una solución de la Ecuación ref {eq: 5.4.16} pero (xe ^ { alpha x} ) no lo es, entonces (y_p = xe ^ { alpha x} Q (x) ), donde (Q ) es un polinomio del mismo grado que (G ). (Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).)
  3. Si tanto (e ^ { alpha x} ) como (xe ^ { alpha x} ) son soluciones de la Ecuación ref {eq: 5.4.16}, entonces (y_p = x ^ 2e ^ { alpha x} Q (x) ), donde (Q ) es un polinomio del mismo grado que (G ). (Ver Ejemplo ( PageIndex {6} ).)

En los tres casos, puede simplemente sustituir la forma apropiada para (y_p ) y sus derivadas directamente en

[ay_p '' + by_p '+ cy_p = e ^ { alpha x} G (x), nonumber ]

y resuelve los coeficientes del polinomio (Q ). Sin embargo, si intenta esto, verá que los cálculos son más tediosos que los que encuentra al hacer la sustitución (y = ue ^ { alpha x} ) y encontrar una solución particular de la ecuación resultante para (u ). (Ver Ejercicios 5.4.34-5.4.36.) En el caso (a) la ecuación para (u ) será de la forma

[au '' + p '( alpha) u' + p ( alpha) u = G (x), nonumber ]

con una solución particular de la forma (u_p = Q (x) ), un polinomio del mismo grado que (G ), cuyos coeficientes se pueden encontrar mediante el método utilizado en el Ejemplo ( PageIndex {4} ). En el caso (b) la ecuación para (u ) será de la forma

[au '' + p '( alpha) u' = G (x) nonumber ]

(ningún término (u ) a la izquierda), con una solución particular de la forma (u_p = xQ (x) ), donde (Q ) es un polinomio del mismo grado que (G ) cuyos coeficientes se pueden encontrar mediante el método utilizado en el Ejemplo ( PageIndex {5} ). En el caso (c), la ecuación para (u ) será de la forma

[au '' = G (x) nonumber ]

con una solución particular de la forma (u_p = x ^ 2Q (x) ) que se puede obtener integrando (G (x) / a ) dos veces y tomando las constantes de integración como cero, como en el Ejemplo ( PageIndex {6} ).

Usando el principio de superposición

El siguiente ejemplo muestra cómo combinar el método de coeficientes indeterminados y el Teorema 5.3.3, el principio de superposición.

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Encuentra una solución particular de

[ label {eq: 5.4.17} y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x} + 5e ^ {4x}. ]

Solución

En el ejemplo ( PageIndex {1} ) encontramos que (y_ {p_1} = 2e ^ {2x} ) es una solución particular de

[y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x}, nonumber ]

y en el Ejemplo ( PageIndex {2} ) encontramos que (y_ {p_2} = 5xe ^ {4x} ) es una solución particular de

[y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}. sin número]

Por lo tanto, el principio de superposición implica que (y_p = 2e ^ {2x} + 5xe ^ {4x} ) es una solución particular de la Ecuación ref {eq: 5.4.17}).


4.6: El método de coeficientes indeterminados I - Matemáticas

Otoño 2019 @ ISU

  • Descripción del curso: Este curso tiene como objetivo presentar a los estudiantes los métodos básicos de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones de primer orden, ecuaciones lineales, ecuaciones de coeficiente constante. Métodos de valores propios para sistemas de ecuaciones lineales de primer orden. Introducción al análisis de estabilidad y plano de fase. Transformadas de Laplace y soluciones en serie de ecuaciones diferenciales ordinarias.

(3-0) Cr. 3. F.S.SS. Prerrequisito: Mínimo de C- en MATH 166 o MATH 166H

Métodos de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones de primer orden, ecuaciones lineales, ecuaciones de coeficiente constante. Métodos de valores propios para sistemas de ecuaciones lineales de primer orden. Introducción al análisis de estabilidad y plano de fase.

  • Libro de texto:Ecuaciones diferenciales y problemas de valores en la frontera Cengage, novena edición, de Zill con acceso a la plataforma de tareas en línea WebAssign
  • Instructor:Hailiang Liu
    • Oficina: Carver 434, teléfono: 294-0392, correo electrónico: [email protected]
    • Horario de atención: MWF 10: 00 A - 11: 30 A y también con cita previa
    • Hora de la reunión de la conferencia: MWF: 1: 10P- 2: 00P Carver 0202
    • Tarea:

    Usamos WebAssign para la tarea junto con el libro de texto. La librería ISU y el editor de libros de texto tienen un programa de `` acceso inmediato '' que le permite ir a WebAssign usando el enlace en Canvas en https://canvas.iastate.edu y así es como funciona. No necesita un código separado para ingresar a WebAssign. Haga clic en el enlace que dice WebAssign en Canvas. Lo llevará al sitio web de WebAssign donde se encuentran sus asignaciones de tareas. Tendrá que crear una cuenta en WebAssign (si aún no tiene una). Una vez que lo haga, estará listo para trabajar en la tarea disponible. Cada vez que desee trabajar en los HW, siga el enlace en Canvas. Sus puntuaciones de HW se sincronizarán de esa manera.


    Examen 1
    el viernes 27 de septiembre.
    Examen 2 el viernes 25 de octubre

    Examen 3 el viernes 22 de noviembre

    La final es completa y está en la semana de finales.

    No se permitirán calculadoras. También debe mostrar su trabajo en los papeles paso a paso para obtener el crédito completo. No hay exámenes de recuperación, excepto en circunstancias especiales. Si una emergencia hace que pierda un examen, comuníquese con el instructor lo antes posible.

      Calificación: Cada examen de mitad de período cuenta el 15% de su calificación, las tareas y el cuestionario cuentan el 30% y el examen final el 25%. Se puede aplicar una escala apropiada al final del semestre para determinar la calificación final.

      Objetivos de la asignatura de Matemáticas 266

    o Ser capaz de utilizar el método de integración de factores para resolver ecuaciones lineales de primer orden.

    o Ser capaz de separar variables y calcular integrales al resolver ecuaciones separables de primer orden.

    o Saber encontrar una solución general de una ecuación diferencial homogénea de coeficiente constante lineal de segundo orden mediante la búsqueda de soluciones exponenciales.

    o Ser capaz de utilizar el método de coeficientes indeterminados para encontrar una solución particular de una ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficiente constante de segundo orden.

    o Ser capaz de encontrar una solución general de una ecuación lineal no homogénea de coeficiente constante de segundo orden.

    o Ser capaz de resolver un problema de valor inicial asociado a una ecuación lineal de coeficiente constante de segundo orden homogénea o no homogénea.

    o Ser capaz de extender los métodos utilizados para ecuaciones lineales de coeficiente constante de segundo orden a ecuaciones de coeficiente constante lineal de orden superior, tanto homogéneas como no homogéneas.

    o Ser capaz de utilizar el método autovalor-autovector para encontrar soluciones generales de sistemas lineales de coeficientes constantes de primer orden de ecuaciones diferenciales de tamaño 2 o 3.

    o Ser capaz de encontrar una matriz fundamental para un sistema lineal de coeficientes constantes de primer orden de ecuaciones diferenciales de tamaño 2 o 3.

    o Ser capaz de utilizar el método de variación de parámetros para encontrar una solución particular de un sistema de coeficientes constantes de primer orden lineal no homogéneo de tamaño 2.

    Aprenda cómo se utilizan las ecuaciones diferenciales para modelar sistemas físicos y otros problemas aplicados. Estos podrían incluir los siguientes tipos de problemas.

    o Ser capaz de formular y utilizar modelos elementales de dinámica poblacional, como la ecuación logística, para describir el comportamiento transitorio y en estado estable.

    o Ser capaz de trabajar con modelos para el movimiento lineal de objetos utilizando supuestos sobre la velocidad y aceleración del objeto.

    o Ser capaz de configurar y resolver un problema relacionado con la dinámica del reactor de tanque agitado.

    o Ser capaz de usar la segunda ley de Newton para establecer un modelo para un sistema simple de resorte-masa y usar métodos apropiados para obtener la solución del problema del modelo.

    o Ser capaz de utilizar modelos de capitalización continua de intereses para describir problemas elementales de ahorro y préstamo.

    Obtenga una comprensión elemental de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias.

    o Comprender declaraciones sobre la existencia y unicidad de las soluciones.

    o Comprender el papel de la independencia lineal de las soluciones en la búsqueda de soluciones generales de ecuaciones diferenciales.

    o Comprender qué constituye una solución general de una ecuación diferencial.

    o Comprender el concepto de estabilidad en relación con las soluciones de equilibrio.

    • Información y recursos adicionales

    Políticas oficiales del Departamento de Matemáticas & # 8232 La página de Políticas de clase del Departamento de Matemáticas describe las políticas oficiales que todos los instructores deben seguir. Cubre las reglas sobre los exámenes de recuperación, las trampas, el comportamiento de los estudiantes, etc. & # 8232

    Declaración de accesibilidad & # 8232 Iowa State University se compromete a garantizar que todas las actividades educativas estén libres de discriminación y acoso por motivos de discapacidad. Los estudiantes que soliciten adaptaciones por una discapacidad documentada deben trabajar directamente con el personal de Student Accessibility Services (SAS) para establecer la elegibilidad y aprender sobre los procesos relacionados antes de que se identifiquen las adaptaciones. & # 8232 Una vez establecida la elegibilidad, el personal de SAS creará y emitirá una Carta de notificación para cada curso que enumere las adaptaciones razonables aprobadas. Este documento estará disponible para el estudiante y el instructor, ya sea electrónicamente o en papel cada semestre. Se anima a los estudiantes e instructores a revisar el contenido de las Cartas de Notificación lo antes posible en el semestre para & # 8232 identificar un plan específico y oportuno para entregar / recibir las adaptaciones indicadas. Las adaptaciones razonables no son de naturaleza retroactiva y no pretenden ser una ventaja injusta.


    Esquema del curso

    Instructor
    Dr. Gantumur Tsogtgerel
    Oficina: Burnside Hall 1123
    Horas de oficina: W 14: 35 & # 821115: 55, o con cita previa
    Correo electrónico: gantumur -at- math.mcgill.ca

    Nota: Los primeros tres libros son básicamente iguales. El primer libro (Zill) es un subconjunto del segundo (Zill-Wright) y el tercero (Zill-Cullen), y no cubriremos los capítulos adicionales que están presentes en Zill-Wright y Zill-Cullen. El cuarto libro (Trench) es un libro en línea gratuito y tiene un material similar al de Zill.

    Calificación
    Trabajo web 15% + Trabajo escrito 15% + máx.

    Descripción del catálogo
    Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que incluyen métodos numéricos elementales. Ecuaciones diferenciales lineales. Laplace se transforma. Soluciones en serie.

    Requisito previo
    MATEMÁTICAS 222 (Cálculo 3)

    Correquisito
    MATH 133 (Álgebra lineal y geometría)

    Restricción
    No está abierto a estudiantes que hayan tomado o estén tomando MATH 325.


    4.6: El método de coeficientes indeterminados I - Matemáticas

      Nombre del curso: Math 266, sección 4, otoño de 2014.

    Material del curso

    • Libro de texto Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, ISU Custom ed. por D.G. Zill y W. S. Wright
    • Programa de estudios:
      • Introducción y orientación (Capítulo 1)
      • Ecuaciones de primer orden (Capítulos 2, 3)
      • Ecuaciones lineales de segundo orden y superior (Capítulo 4,5)
      • Sistemas de ecuaciones de primer orden (Capítulos 8,10)

      Política del curso

      • Tarea:
        • El sistema de tareas en línea WebAssign se utilizará para la presentación y calificación de tareas. La fecha de vencimiento se indicará claramente con cada conjunto de problemas. El sistema de tareas en línea no acepta tareas atrasadas. Es posible que de vez en cuando le dé más problemas con el texto que no están disponibles en WebAssign. La mayoría de estos problemas serán problemas de práctica, no deben entregarse.
        • Todas las tareas (problemas asignados y problemas de práctica) se publicarán en el registro del curso en la parte inferior de esta página. También podrá ver las tareas asignadas una vez que inicie sesión en WebAssign.
        • Cuestionarios y tareas para casa: 20% de la nota.
        • Primera mitad del período: 25% (viernes de la semana 6)
        • Segunda mitad de período: 25% (viernes de la semana 12)
        • Final: 30%.
        • Los teléfonos celulares y otros dispositivos de comunicación deben apagarse durante el horario de clases. En caso de que un estudiante necesite mantener su teléfono celular encendido para una emergencia, notifique al instructor antes de la clase. Durante el tiempo de clase, las computadoras portátiles solo deben usarse para fines apropiados para la clase.
        • El examen final debe ocurrir a la hora y lugar designados en el Programa de exámenes finales de la Universidad.
        • No habrá exámenes de recuperación (parciales o finales) excepto en circunstancias raras y extremas (según el criterio del instructor). En estos casos, será obligatoria una prueba escrita de la razón válida de la ausencia.

        Enlaces

        • Para obtener más información sobre este curso, como un programa de estudios más detallado, los objetivos del curso, consulte Esta página

        Objetivos del curso

        • Esto es para hacer un seguimiento de lo que se debe cubrir, lo que se ha cubierto hasta ahora, para remediar las cosas que podría manchar en clase. Aquí es también donde pondré los deberes.

        Sección 1.2: # 1, 3, 7, 9, 11 (debido en WebAssign el viernes 5 de septiembre a las 11:59 pm).

        MIT open courseware lecture 1 (campos de dirección, etc.). Aquí está el enlace a la página principal del curso MIT opencourseware ODE donde se puede encontrar gran cantidad de material.

        Sección 2.2, # 2, 6, 9, 16, 22, 25
        Sección 2.3, # 7, 10, 16, 27, 34
        Sección 2.4, # 2, 5, 8, 9, 14, 23
        Sección 2.5, # 3, 5, 12, 13, 16, 24, 25

        Sección 4.1, # 7, 13, 19, 32.
        Sección 4.3, # 2, 4, 12, 16, 21, 23, 30, 34
        Sección 4.4, # 4, 5, 8, 12, 15, 20, 21, 30
        Sección 4.6, # 5, 10, 15, 20
        Sección 4.7, # 3, 9, 12, 21

        Sección 8.1, # 2, 9, 25.
        Sección 8.2 # 2, 10, 19, 27, 41.
        Sección 8.3 # 2, 6, 17, 26.


        15.3. Método 2: use monomios de grado hasta (p + k-1 ) ¶

        A partir del resultado del grado de precisión anterior, se pueden determinar los coeficientes requiriendo el grado de precisión (p + k-1 ), y para esto es suficiente requerir exactitud para cada una de las funciones monomiales simples (1 ), (x ), (x ^ 2 ), y así sucesivamente hasta (x ^) .

        Además, esto solo necesita ser probado en (x = 0 ), ya que "traducir" las variables no afecta el resultado.

        Este es probablemente el método más simple en la práctica.

        Ejemplo 4 (Ejemplo 2 revisado)

        El objetivo es obtener exactitud en

        para los monomios (f (x) = 1 ), (f (x) = x ), y así sucesivamente, a la mayor potencia posible, y esto solo debe verificarse en (x = 0 ) .

        Necesitamos al menos tres ecuaciones para los tres coeficientes desconocidos, así que continúe con (f (x) = x ^ 2 ), (Df (0) = 0 ):

        Podemos resolver estos por eliminación, por ejemplo:

        La última ecuación da (C_1 = -4C_2 )

        El anterior entonces da (- 4C_2 + 2C_2 = 1 ), entonces (C_2 = -1/2 ) y así (C_1 = -4C_2 = 2 ).

        La primera ecuación entonces da (C_0 = -C_1 - C_2 = -3/2 ) todo como se afirmó anteriormente.

        Hasta ahora, se ha demostrado que el grado de precisión es de al menos 2. En algunos casos es mejor, así que comprobémoslo mirando (f (x) = x ^ 3 ):

        Entonces, no hubo suerte esta vez (que generalmente requiere algo de simetría), pero este cálculo indica de una manera relativamente simple que el error es (O (h ^ 2) ).

        Si desea verificar más rigurosamente el orden de precisión de una fórmula ideada por este método, puede usar el procedimiento de “verificación” con polinomios de Taylor y sus términos de error como se hizo en el Ejemplo 2 anterior.

        15.3.1. Ejercicio 2: como el ejercicio 1, pero usando el método 2¶

        15.3.1.1. A)¶

        Verifique el resultado en el Ejemplo 2, esta vez con el Método 2.

        Es decir, imponer la condición de dar el valor exacto de la derivada en (x = 0 ) para el monomio (f (x) = 1 ), luego lo mismo para (f (x) = x ) , y así sucesivamente hasta que haya suficientes ecuaciones para determinar una solución única para los coeficientes.


        MA 101: Matemáticas I (4-1-0-4)
        Revisión de límites, continuidad, diferenciabilidad Teorema del valor medio, Teorema de Taylor, Integrales máximas y mínimas de Riemann, Teorema fundamental del cálculo, Integrales impropias, aplicaciones al área, volumen Convergencia de sucesiones y series, método de Newton, método de Picard Funciones multivariables, parcial Derivadas, derivadas gradientes y direccionales, regla de la cadena, máximos y mínimos, multiplicadores de Lagrange Integración doble y triple, fórmula jacobiana y cambio de variables Parametrización de curvas y superficies, campos vectoriales, integrales de línea y superficie Divergencia y rizo, Teoremas de Green, Gauss, y Stokes.
        MA 102: Matemáticas II (3-1-0-4)
        Álgebra lineal: Vectores en Rn Subespacios vectoriales de Rn Base del subespacio vectorial Sistemas de ecuaciones lineales Matrices y eliminación de Gauss Determinantes y rango de una matriz Espacios vectoriales abstractos, Transformaciones lineales, Matriz de una transformación lineal, Cambio de base y similitud, Rango-nulidad Teorema Espacios de producto interno, Proceso de Gram-Schmidt, Bases ortonormales Proyecciones y aproximación por mínimos cuadrados Valores propios y vectores propios, Polinomios característicos, Valores propios de matrices especiales Multiplicidad, Diagonalización, Teorema espectral, Formas cuadráticas. Ecuaciones diferenciales: ecuaciones exactas, factores integradores y ecuación de Bernoulli & # 8217s Trayectorias ortogonales Condición de Lipschitz, teorema de Picard Wronskianos Dimensionalidad del espacio de soluciones, fórmula de Abel-Liouville EDO lineales con coeficientes constantes Ecuaciones de Cauchy-Euler Método de coeficientes indeterminados Método de variación de parámetros Laplace transforma, teoremas de desplazamiento, teorema de convolución.
        MA 201: Matemáticas III (3-1-0-4)
        Análisis complejo: Definición y propiedades de funciones analíticas Ecuaciones de Cauchy-Riemann, Funciones armónicas Series de potencia y sus propiedades Funciones elementales Teorema de Cauchy y sus aplicaciones Serie de Taylor y expansiones de Laurent Residuos y fórmula del residuo de Cauchy Evaluación de integrales impropias Asignaciones conformales. Ecuaciones diferenciales: Revisión de series de potencias y soluciones en serie de la ecuación de Legendre de ODE y polinomios de Legendre Puntos singulares regulares e irregulares, método de la ecuación de Frobenius Bessel y funciones de Bessel Problemas de Sturm-Liouville Serie de Fourier Solución de D'Alembert a la ecuación de onda Clasificación de segundo orden lineal PDE en dos variables Vibración de una membrana circular Integrales de Fourier, Ecuación de calor en el medio espacio.
        MA 202: Matemáticas IV (3-2-0-4)
        Probabilidades y estadísticas

        Experimentos aleatorios Eventos Probabilidad Variables aleatorias Distribuciones de probabilidad: distribuciones discretas y continuas, media y varianza de distribuciones, distribuciones de varias variables aleatorias Muestreo aleatorio Estimación de parámetros Intervalos de confianza Prueba de hipótesis Bondad de ajuste & prueba # 8211 Control de calidad y muestreo de aceptación Intervalos de confianza para parámetros de regresión.

        Axiomas de separación: espacios de Hausdorff, regularidad, regularidad completa, normalidad, lema de Urysohn, incrustación de Tychonoff y teorema de metrización de Urysohn,

        Teorema de extensión de Tietze, Teorema de Tychnoff, Compactificación de un punto.

        Espacios métricos completos y espacios funcionales, Caracterización de espacios métricos compactos, equicontinuidad, Teorema de Ascoli-Arzela, Teorema de categorías de Baire.

        Aplicaciones: curva de llenado de espacio, función continua diferenciable en ninguna parte,

        Fórmulas de interpolación de Lagrange y Newton, Error en la interpolación polinomial, Interpolación de Hermite, Interpolación por funciones Spline, Cubic Spline y B-Splines.

        Módulo 2, Sistema de ecuaciones lineales:

        Eliminación gaussiana, algoritmo de Gauss-Jordan, descomposición de Cholesky, descomposición Q-R, aproximaciones de mínimos cuadrados, métodos iterativos y teoremas de convergencia.

        Módulo 3, Ecuaciones no lineales en R ^ n:

        Derivadas y Otros Conceptos Básicos, Funcionales Convexas, Contracciones, Teoremas de Función Inversa e Implícita, Métodos de Newton y sus Variaciones y Métodos de Minimización.

        Módulo 4, Ecuaciones diferenciales y problemas de valores en la frontera:

        Métodos de un paso con convergencia, métodos de varios pasos con convergencia, métodos de disparo simples y múltiples, método de diferencia y método de variación.


        Más información

        • Codigo de honor: El Código de Honor se aplica a todo el trabajo de este curso. Revise el Código de honor en [este enlace]. Los estudiantes que violen el Código de Honor estarán sujetos a medidas disciplinarias.
        • Parte del material se almacenará en Dropbox. En ese caso, necesitará una cuenta para recuperarlo. Si aún no tiene uno, inicie sesión a través de [este enlace] con su dirección de correo electrónico académico para recibir un almacenamiento base de 4 GB, más 500 MB adicionales, sin cargo.
        • Recuerde cambiar su dirección de correo electrónico en Blackboard si es necesario [blackboard.sc.edu]
        • ADA: Si tiene necesidades especiales como las aborda el Ley de Estadounidenses con Discapacidades y necesita ayuda, notifique al instructor inmediatamente.
        • Tutoría entre iguales: Hay tutorías disponibles para este curso para ayudarlo a comprender mejor el material del curso. El Programa de tutoría entre pares en el Student Success Center ofrece sesiones de estudio gratuitas facilitadas por pares dirigidas por tutores universitarios calificados y capacitados que han tomado este curso y se han destacado en este curso. Las sesiones están abiertas a todos los estudiantes que quieran mejorar su comprensión del material, así como sus calificaciones. La tutoría se ofrece los domingos de 6 a 10 p. M. Y de lunes a jueves de 2 a 9 p. M. Todas las sesiones de tutoría se llevarán a cabo en el entrepiso de la biblioteca Thomas Copper a menos que se indique lo contrario. Visite www.sc.edu/tutoring para encontrar el horario completo de tutoría y hacer una cita. También puede comunicarse con el Student Success Center al 803-777-1000 y [email protected] si tiene preguntas adicionales. La tutora de tu curso es Alexandra Ruppe

        4.6: El método de coeficientes indeterminados I - Matemáticas

        Instructora: Dra. Jessica M. Conway.
        Conferencias: MWF 1-2pm, Henn 200.
        Horas de oficina: Anexo de Matemáticas, Sala 1110 - Miércoles de 4 a 6 p. M. + Con cita previa.
        OFFICE HOURS DURING FINAL EXAMS (DEC 6-20): Tuesdays/Thursdays from 3-5pm Saturday Dec 18/Sunday Dec 19 from 4-7pm.
        Email: conway (at) math (dot) ubc (dot) ca OR math255s104.fall2010 (at) gmail (dot) com
        Phone: (604)822-6754
        The Mathematics Department offers Drop in tutoring, ODEs included!
        Schedule and locations available at http://www.math.ubc.ca/Ugrad/ugradTutorials.shtml. Printable course outline available HERE.

        Texto: Boyce and Diprima, Elementary differential equations and boundary value problems, 9th edition.
        We will cover chapters 1-3, 6, 7, and 9.
        Nota: If you have instead an 8th edition of the text, that's fine. Problems and readings for the 8th edition are also provided below.

        ANNOUNCEMENTS:

        Exam Dates:

        Calificación

        Tarea

        Tarea 2 , due Sept 24th 2010:
        9th edition: p.47: 34 p.59: 32 p.75: 3 p.88: 15,22 p.99: 13.
        O 8th edition: p.47: 34 p.59: 32 p.75: 3 p.88: 15,22 p.99: 13.
        SOLUTIONS aquí

        Tarea 3 , due Oct 1st 2010:
        9th edition: p.144: 1, 9, 13, 23 p.155: 1.
        O 8th edition: p.142: 1, 9, 13, 23 p.151: 1.
        SOLUTIONS aquí

        Tarea 4 , due Oct 8th 2010:
        9th edition: p.163: 2, 17, 29, 32 p.171: 23 p.183: 17, 28.
        O 8th edition:p.164: 2, 17, 29, 32 p.173: 23 p.184: 17, 28.
        SOLUTIONS aquí

        Tarea 5 , due WEDNESDAY Oct 20th 2010:
        9th edition: p.189: 1, 19, 21, 28 p.202: 5, 15, 16 p.216: 17.
        O 8th edition:p.190: 1, 19, 21, 28 p.203: 5, 15, 16 p.214: 17.
        SOLUTIONS aquí

        Tarea 6 , due Friday October 29th 2010:
        9th edition: p.311: 14, 18, 26 p.320: 27a p.328: 13, 25, 29, 30.
        O 8th edition:p.312: 14, 18, 26 p.322: 27a p.329: 7, 19, 23, 24.
        SOLUTIONS aquí

        Tarea 7 , due Friday November 5th 2010:
        9th edition: p.336: 1, 10 p.343: 25 p.350: 7, 13, 22, 29.
        O 8th edition: p.337: 1, 10 p.344: 25 p.351: 7, 13, 22, 29.
        Nota: p.351: 22b,c and 29 will not be graded.
        SOLUTIONS here and, for 6.4.1 and 6.4.10, here.

        Homework 8 , due Friday November 12th 2010:
        9th edition:p.398: 15, 28, 29, 32, 33 p.409: 26, 27 p.428: 1.
        O 8th edition: p.398: 15, 28, 29, 32, 33 p.410 26, 27 p.428: 1.
        SOLUTIONS here and, for 7.8.1, here.

        Homework 9 , due Friday November 19th 2010:
        9th edition: p.439: 1,3 p494: 2(a)-(c).
        O 8th edition: p.439: 1,3 p492: 2(a)-(c).
        SOLUTIONS here and, for 7.9.3: undetermined vectors, variation of vectors.

        Homework 10 , due Friday November 26th 2010:
        9th edition: p.494: 3, 4, 5 Page 506: 19.
        O 8th edition: p.492: 3, 4, 5 Page 501: 17..
        SOLUTIONS aquí.

        Homework 11 , due Wednesday Dec 1st 2010:
        9th edition: p.516: 5,6, 19, 27, 30.
        O 8th edition: p.511: 5,6, 19, 26, 28.
        SOLUTIONS aquí.


        4.6: The Method of Undetermined Coefficients I - Mathematics

        The book is Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems The authors are Boyce and DiPrima

        tenga en cuenta This is the tenth edition! (It seems to differ little from earlier editions, so you are probably safe with them. I have the 9th as well so I can help you align the exercises)

        Software

        Some of the exercises will require you to use a computer to create pictures. Hay varias formas de hacer esto. Some of you are probably familiar with MatLab which has something called PPLANE which will be helpful. I wrote a software package XPPAUT for solving and graphing differential equations. This runs on all PCs and also runs on iOS devices (sorry, no Android). You can get this at This site . I can help you get it on your computer as it requires a small amount of effort

        Programa de estudios:

        Homework due: 9/5: 1.1:15-20,23,24,26,29,302.1:13,15,16,31,322.2:1,5,8,9,10,17,31,37,36

        • Here is a handout for using XPP and doing some of the computer problems How to plot
        • Simple XPP code for direction fields
          • Run this in XPP. Click on (D)ir.field (S)caled and then Return to accept the default. See the nice direction fields!
          • Click (I)nitialconds m(I)ce and click around on the screen near the dashed line. See the trajectories. Tap ESC when done.
          • Take a screen shot of this to print it if you want
            Homework Due 9/26
        • 3.1:1,7,9,12,17,20,23,28
        • 3.2:1,2,4,7,12,13,16,17,23,28,29
        • 3.3:1,4,6,10,15,21,34,35,39
          • Homework Due 10/3
      • 3.4:7,11,12,17,20,21
      • 3.5: 1,6(4),10(8),14(12),16(14),20(18) [Note 9th edition in parentheses]
      • 3.6: 1,2,9,13
        • 3.7: 1,5,7,13,18
        • 3.8: 1,11,17,24
        • 4.1:3,6,7,11,15,24 (you can assume without proving it, the result of problem 20 on page 225)
        • Read pages 3-5 of this handout
        • Sample exam 1 (note problem 4 is page 157 in the 10th edition)
        • Review 10/6
          • Phase line (2.5)
          • Direction fields (1.1)
          • Applications of 1D linear (2.3)
          • Methods of solving:
            • Linear 1st order (2.1)
            • Bernoulli equations (2.4 exercise 27)
            • Exact equations (2.6)
            • homogeneous equations (2.2 exercise 29)
            • Second order linear equations (3.1-3.3)
            • Chapter 4. 4.2:11,18,214.3:1(see 4.2,11)4.4:1
            • Chapt 7.1 1,4,6,23
            • 7.3:1,4,15,18,21,23
            • 7.4:2abc,6
            • 7.5:1,2,5,7,11,15,16,20,24,25,27,31
            • 7.6:1,3,5,13,14,28
            • 7.7:1,3,5
            • 7.8:1,2,11
            • Let A be a 3x3 matrix with eigenvalues -1, -1+2 i. Express exp(At) in terms of the matrix A. (Use Fulmer's method)
            • Use Fulmer's method to do problem 1 in 7.7
            • 7.9:3,12
            • 9.1: 1,3,5,6,13
            • 9.2:1,4,5,9,17,21

            They have infinitely many periodic solutions. Let T be the period of one of the solutions and let x(t),y(t) be the solution. Compute the average values of x(t),y(t):


            MATH 351 (Spring 2014): Differential Equations

            Midterm Exam 1: (date to be announed) in class.
            Midterm Exam 2: (date to be annouced) in class.
            Midterm Exam 3: (date to be annouced) in class.

            Lecture times and locations

            Mondays & Wednesdays 11:00 am - 12:15 pm in LO (Live Oak Hall) 1326

            Course text

            Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (10th edition), or the short version of Elementary Differential Equations by William E. Boyce and Richard C. DiPrima.

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            Course syllabus and tentative timetable

            I will post all assigments, solutions and additional material in this space. You should therefore consult this spot frequently.

            Sec. 1.3: Classification of Differential Equations

            Exercises 1.3 (page 24): 1, 3, 5, 7, 11, 14, 17, 19

            (due Feb 5) Exercises 1.2 (page 15): 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 19

            Exercises 1.3 (page 24): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 16, 18, 20, 29

            Exercises 2.2 (page 48): 2-26 (even), 23, 32(a)(b), 34(a)(b), 36(a)(b), 38(a)(b)

            Sec. 2.3: Modeling with First Order Equations

            Exercises 2.3 (page 60): 1, 4, 8, 16, 19, 24

            Exercises 2.4 (page 76): 1, 3, 7, 9, 11, 15, 22, 28, 33

            Exercises 2.4 (page 76): 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 13, 21, 23-26, 29

            (Exercises 2.6 due Mar 5) Exercises 2.6 (page 101): 2-12 (even), 16, 20, 26, 28, 30

            Sec. 2.7: Numerical Approximations: Euler's Method

            Sec. 2.8: The Existence and Uniqueness Theorem

            Sec. 3.1: Homogeneous Equations with Constant Coefficient

            Sec. 3.2: Solutions of Linear Homogeneous Equations the Wronskian

            Exercises 3.1 (page 144): 10, 11, 12, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27

            Exercises 3.2 (page 155): 5, 6, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 22, 26, 31, 34

            (Exercises 3.1 due March 24)

            Miscellaneous Problems for Chapter 2 (page 133): 1-35

            Exercises 3.1 (page 144): 1-7, 9, 13, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28

            Exercises 3.2 (page 155): 2, 3, 4, 7, 8, 10, 13, 16, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 35

            Sec. 3.4: Repeated Roots Reduction of Order

            Exercises 3.3 (page 164): 5, 8, 9, 12, 13, 18, 19, 20, 25, 34, 39, 40

            Exercises 3.6 (page 190): 3, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 31 5.1 (page 253): 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 15, 17, 21, 22, 23, 24, 27 -->

            Sec. 4.1: General Theory of nth Order Linear Equations

            Sec. 4.2: Homogeneous Equations with Constant Coefficients

            Sec. 4.3: The Method of Undetermined Coefficients

            Exercises 4.2 (page 233): 2, 5, 9, 11, 13, 15, 16, 19, 20 Exercises 4.3 (page 239): 1, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 15, 17

            Exercises 4.4 (page 244): 1, 2, 3, 9 5.2 (page 263): 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 21

            Exercises 5.3 (page 269): 2, 3, 6, 7, 10, 12, 13, 16, 19, 22, 23

            (Exercises 4.2 due April 16 )

            (Exercises 4.3 due April 16)

            Exercises 4.2 (page 233): 1, 3, 4, 6, 10, 12, 14, 17, 18, 21-24

            Exercises 4.3 (page 239): 3, 8, 10, 14, 16, 18

            Exercises 4.4 (page 244): 4, 5, 7, 11, 13 5.2 (page 263): 5, 6, 13, 14, 20, 22

            Exercises 5.3 (page 269): 1, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 17, 18, 20, 21

            Sec. 7.2: Review of Matrices

            Sec. 7.3: Systems of Linear Algebraic Equations: Linear Independence, Eigenvalues, Eigenvectors

            Exercises 7.2 (page 376): 2, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 25

            Exercises 7.3 (page 388): 2, 3, 4, 5, 7, 11, 13, 16, 17, 22, 23, 25

            (Exercises 7.2 due April 23)

            Exercises 7.2 (page 376): 1, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 16, 18, 19, 20, 22, 24, 26

            Exercises 7.3 (page 388): 6, 8, 9, 10, 14, 18, 19, 20, 21, 24

            Sec. 7.5: Homogeneous Linear Systems with Constant Coefficients

            Sec. 7.6: Complex Eigenvalues

            Sec. 7.7: Fundamental Matrices

            Exercises 7.5 (page 405): 2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 25, 27 7.6 (page ): -->

            Exercises 7.6 (page 417): 4, 5, 6, 7, 9, 19

            Exercises 7.7 (page 427): 1, 3, 5, 7, 9, 11

            (Exercises 7.5 due April 30)

            Exercises 7.4 (page 394): 1, 3, 7

            Exercises 7.5 (page 405): 1, 4, 5, 8, 12, 14, 15, 18-24, 26, 28, 29, 30

            7.6 (page ): --> Exercises 7.6 (page 417): 1, 2, 3, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

            Exercises 7.7 (page 427): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 17

            Exercises 7.8 (page 436): 1, 6, 8, 10, 11, 12, 15

            Sec. 9.2: Autonomous Systems and Stability

            Sec. 9.3: Locally Linear Systems

            Exercises 9.2 (page 517): 1, 2, 3, 4, 17, 19, 21

            Exercises 9.3 (page 527): 1, 3, 5, 6, 7, 12, 15, 16, 19, 21, 26, 27, 28

            Exercises 9.4 (page 541): 1, 3, 5, 8, 9, 10

            Exercises 9.2 (page 517): 5-16, 18, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28

            Exercises 9.3 (page 527): 2, 4, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 20, 23, 24, 25, 30


            Ver el vídeo: Método por coeficientes indeterminados (Septiembre 2021).