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2: Ecuaciones de primer orden - Matemáticas


En este capítulo, estudiamos ecuaciones diferenciales de primer orden para las que existen métodos generales de solución.

  • 2.1: Ecuaciones separables
    La sección trata sobre ecuaciones separables, las ecuaciones no lineales más simples. En esta sección presentamos la idea de soluciones implícitas y constantes de ecuaciones diferenciales y señalamos algunas diferencias entre las propiedades de las ecuaciones lineales y no lineales.
    • 2.1E: Ecuaciones separables (ejercicios)
  • 2.2: Ecuaciones lineales de primer orden
    Esta sección trata sobre ecuaciones lineales, el tipo más simple de ecuaciones de primer orden. En esta sección presentamos el método de variación de parámetros. La idea subyacente a este método será un tema unificador para nuestro enfoque para resolver muchos tipos diferentes de ecuaciones diferenciales a lo largo del libro.
    • 2.2E: Ecuaciones lineales de primer orden (ejercicios)
  • 2.3: Existencia y singularidad de soluciones de ecuaciones no lineales
    Aunque existen métodos para resolver algunas ecuaciones no lineales, es imposible encontrar fórmulas útiles para las soluciones de la mayoría. Ya sea que estemos buscando soluciones exactas o aproximaciones numéricas, es útil conocer las condiciones que implican la existencia y unicidad de soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones no lineales. En esta sección establecemos tal condición y la ilustramos con ejemplos.
    • 2.3E: Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones no lineales (ejercicios)
  • 2.4: Transformación de ecuaciones no lineales en ecuaciones separables
    Esta sección trata sobre ecuaciones no lineales que no son separables, pero que pueden transformarse en ecuaciones separables mediante un procedimiento similar a la variación de parámetros.
    • 2.4E: Transformación de ecuaciones no lineales en ecuaciones separables (ejercicios)
  • 2.5: Ecuaciones exactas
    Esta sección cubre las ecuaciones diferenciales exactas, que reciben este nombre porque el método para resolverlas usa la idea de una diferencia exacta del cálculo.
    • 2.5E: Ecuaciones exactas (ejercicios)
  • 2.6: Factores de integración
    Esta sección trata de ecuaciones que no son exactas, pero que pueden hacerse exactas multiplicándolas por una función conocida llamada factor de integración.
    • 2.6E: Factores integradores (ejercicios)
  • 2.7: Método de Euler
    Esta sección trata del método de Euler, que en realidad es demasiado tosco para ser de mucha utilidad en aplicaciones prácticas. Sin embargo, su simplicidad permite una introducción a las ideas necesarias para comprender los mejores métodos discutidos en las otras dos secciones.
    • 2.7E: Método de Euler (ejercicios)

2: Ecuaciones de primer orden - Matemáticas

Considere PDE begin au_t + bu_x = 0. etiqueta final Tenga en cuenta que la expresión de la izquierda es una derivado direccional de $ u $ en la dirección $ ell = (a, b) $. Considere una lineas integrales de este campo vectorial: begin frac

= frac. etiqueta final

Observación 1. Recuerde del curso ODE que un línea integral del campo vectorial es una línea, tangente a ella en cada punto.

Coeficientes constantes

Si $ a $ y $ b $ son constantes, entonces las curvas integrales son solo líneas rectas $ t / a -x / b = C $ donde $ C $ es una constante a lo largo de las curvas integrales y las etiqueta (al menos siempre que consideremos todo el plano $ (x, t) $). Por lo tanto, $ u $ depende solo de $ C $: begin u = phi bigl ( frac- frac bigr) etiqueta final donde $ phi $ es una función arbitraria.

Esto es un solución general de nuestra ecuación.

Si $ a = 1 $ podemos reescribir la solución general en la forma $ u (x, t) = phi_1 (x-bt) $ donde $ phi_1 (x) = phi (-x / b) $ es otro arbitrario función.

Definición 1. Las soluciones $ u = chi (x-ct) $ son olas corriendo donde $ c $ es un velocidad de propagación.

Coeficientes variables

Si $ a $ y / o $ b $ no son constantes, estas líneas integrales son curvas.

Ejemplo 1. Considere la ecuación $ u_t + tu_x = 0 $. Entonces la ecuación de la curva integral es $ frac

<1> = frac$ o equivalentemente $ tdt-dx = 0 $ que se resuelve como $ x- frac <1> <2> t ^ 2 = C $ y por lo tanto $ u = phi (x- frac <1> <2> t ^ 2) $ es una solución general a esta ecuación.

Uno puede ver fácilmente que $ u = f (x- frac <1> <2> t ^ 2) $ es una solución de IVP.

Ejemplo 2. Considere la misma ecuación, pero consideremos el PVI como $ x = 0 $: $ u (0, t) = g (t) $. Sin embargo, no es un buen problema: primero, algunas curvas integrales intersecan la línea $ x = 0 $ más de una vez y si en diferentes puntos de intersección de la misma curva los valores iniciales son diferentes, obtenemos una contradicción (por lo tanto, el problema no tiene solución para $ g $ que ni siquiera son funciones).

Por otro lado, si consideramos incluso la función $ g $ (o, de manera equivalente, imponemos la condición inicial solo para $ t> 0 $), entonces $ u $ no se define en las curvas que no se cruzan $ x = 0 $ (lo que significa que $ u $ no está definido para $ x> frac <1> <2> t ^ 2 $.)

En este ejemplo, ambos solubilidad y unicidad estan rotos.

Expresión de la mano derecha

Ejemplo 3. Considere el problema $ u_t + u_x = x $. Entonces $ frac<1> = frac

<1> = fracPS Entonces $ xt = C $ y $ u- frac <1> <2> x ^ 2 = D $ y obtenemos $ u- frac <1> <2> x ^ 2 = phi (xt) $ como relación entre $ C $ y $ D $, ambos constantes a lo largo de curvas integrales. Aquí $ phi $ es una función arbitraria. Entonces $ u = frac <1> <2> x ^ 2 + phi (x-t) $ es una solución general. Imponente Imponente condición inicial $ u | _= 0 $ (seguro, podríamos imponer otra condición) tenemos $ phi (x) = - frac <1> <2> x ^ 2 $ y conectando $ u $ obtenemos $ u (x, t) = frac <1> <2> x ^ 2- frac <1> <2> (xt) ^ 2 = xt - frac <1> <2> t ^ 2 $.

Ejemplo 4. Considere $ u_t + xu_x = x t $. Entonces $ frac

<1> = frac= fracPS Resolver la primera ecuación $ t- ln x = - ln C implica que x = Ce ^ t $ obtenemos curvas integrales. Ahora tenemos begin frac= dt implica du = x t dt = Cte ^ t dt implica u = C (t-1) e ^ t + D = x (t-1) + D end donde $ D $ debe ser constante a lo largo de curvas integrales y, por lo tanto, $ D = phi (xe ^ <-t>) $ con una función arbitraria $ phi $. Entonces $ u = x (t-1) + phi (xe ^ <-t>) $ es una solución general de esta ecuación.

Imponiendo condición inicial $ u | _= 0 $ (seguro, podríamos imponer otra condición) tenemos $ phi (x) = x $ y luego $ u = x (t-1 + e ^ <-t>) $.

Ecuaciones lineales y semilineales

Definición 2. Si $ a = a (x, t) $ y $ b = b (x, t) $ la ecuación es semilineal.

En este caso, primero definimos curvas integrales que no dependen de $ u $ y luego encontramos $ u $ como una solución de ODE a lo largo de estas curvas.

Definición 3. Además, si $ f $ es una función lineal de $ u $: $ f = c (x, t) u + g (x, t) $ la ecuación original es lineal.

En este caso, la última EDO también es lineal.

Ejemplo 5. Considere $ u_t + xu_x = u $. Entonces $ frac

<1> = frac= fracPS Resolver la primera ecuación $ t- ln x = - ln C implica que x = Ce ^ t $ obtenemos curvas integrales. Ahora tenemos begin frac= dt implica ln u = t + ln D implica u = De ^ t = phi (xe ^ <-t>) e ^ t end que es una solución general de esta ecuación.

Imponiendo condición inicial $ u | _= x ^ 2 $ (seguro, podríamos imponer otra condición) tenemos $ phi (x) = x ^ 2 $ y luego $ u = x ^ 2 e ^ <-t> $.

Ejemplo 6. Considere $ u_t + xu_x = -u ^ 2 $. Entonces $ frac

<1> = frac= - fracPS Resolviendo la primera ecuación $ x = Ce ^ t $ obtenemos curvas integrales. Ahora tenemos begin - frac= dt implica u ^ <-1> = t + D implica u = (t + phi (xe ^ <-t>)) ^ <-1>. final que es una solución general de esta ecuación.

Ecuaciones cuasilineales

Definición 4. Si $ a $ y / o $ b $ dependen de $ u $, esto es cuasinineal ecuación.

Para tales ecuaciones, las curvas integrales dependen de la solución que puede conducir a la ruptura de la solución.

Ejemplo 7. Considere la ecuación de Hopf $ u_t + uu_x = 0 $ (que es un modelo extremadamente simplificado de la dinámica de los gases). Tenemos $ frac

<1> = frac= frac<0> $ y por lo tanto $ u = const $ a lo largo de curvas integrales y, por lo tanto, las curvas integrales son $ x-ut = C $.

Considere el problema inicial $ u (x, 0) = f (x) $. Tomamos el punto inicial $ (y, 0) $, encontramos aquí $ u = f (y) $, luego $ xf (y) t = y $ (¿piensa por qué?) Y obtenemos $ u = f (y) $ donde $ y = y (x, t) $ es una solución de la ecuación $ x = f (y) t + y $.

El problema es que podemos definir $ y $ para todos los $ x $ solo si $ frac < partial> < partial y> bigl (f (y) t + y bigr) $ no desaparece. Entonces, $ f '(y) t +1 ne 0 $.

Esto es posible para todos $ t> 0 $ si y solo si $ f '(y) ge 0 $ es decir, $ f $ es una función monótona no decreciente.

Entonces, la solución clásica se rompe si $ f $ no es una función monótona no decreciente. Una comprensión adecuada de la solución global porque tal ecuación va mucho más allá de nuestro curso.

Considere IBVP (problema de valor de frontera inicial) para la ecuación de coeficiente constante begin left < begin& ampu_t + cu_x = 0, qquad & amp & ampx> 0, t> 0, & ampu | _= f (x) qquad & amp & ampx> 0. finalderecho. etiqueta final

La solución general es $ u = phi (x-ct) $ y conectando los datos iniciales obtenemos $ phi (x) = f (x) $ (como $ x> 0 $).

Entonces, $ u (x, t) = f (x-ct) $. ¡Listo! –No tan rápido. $ f $ se define solo para $ x> 0 $ por lo que $ u $ se define para $ x-ct> 0 $ (o $ x> ct $). Cubre todo el cuadrante si $ c le 0 $ (entonces las ondas corren hacia la izquierda) y solo en este caso hemos terminado.

Si $ c> 0 $ (las ondas van a la derecha) $ u $ no está definido como $ x & lt ct $ y para definirlo aquí necesitamos un condición de frontera en $ x = 0 $. Entonces obtenemos IBVP (problema de valor de límite inicial) begin left < begin& ampu_t + cu_x = 0, qquad & amp & ampx> 0, t> 0, & ampu | _= f (x) qquad & amp & ampx> 0, & ampu | _= g (t) qquad & amp & ampt> 0. finalderecho. etiqueta final Entonces obtenemos $ phi (-ct) = g (t) $ como $ t> 0 $ lo que implica $ phi (x) = g (- frac <1>x) $ como $ x & lt0 $ y luego $ u (x, t) = g (- frac <1>(x-ct)) = g (t- frac <1>x) $ como $ x & lt ct $.

Ecuaciones no lineales (tema avanzado)

Observación 2. Ecuación no lineal begin F (x_1, x_2, u, u_, u_) = 0 etiqueta final (preferimos tales notaciones aquí) también podría resolverse a través de EDO, pero es mucho más complicado: uno necesita encontrar simultáneamente $ x, u $ y $ p_j = u_$ a lo largo de trayectorias del sistema de ecuaciones: begin left < begin& amp frac

= F_, & amp frac
= -F_-F_u p_j, & amp frac
= sum_^ n F_p_j endderecho. etiqueta final donde en las expresiones de la derecha consideramos como función de $ 2n + 1 $ variables $ x_1, ldots, x_n, u, p_1, ldots, p_n $, $ n = 2 $. Más

Ecuaciones multidimensionales

Observación 3. Ecuaciones multidimensionales (de lineal a semilineal) begin au_t + sum_^ n b_j u_= f (x_1, ldots, x_n, t, u) etiqueta final y no lineal begin F (x_1, ldots, x_n, t, u, u_, ldots, u_, u_t) = 0 etiqueta final podría resolverse con los mismos métodos.

Por ejemplo, si $ a = 1 $, $ b_j = const $ y $ f = 0 $ la solución general de ( ref) es $ u = phi (x_1-b_1t, ldots, x_n-b_nt) $ donde $ phi $ es una función arbitraria de $ n $ variables.


B.Tech RGPV toma nota de los planes de estudio flexibles de AICTE Licenciatura en tecnología

UNIDAD 1:
Módulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias I: (6 horas): Ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado (Leibnitz linear, Bernoulli & # 8217s, Exact), Ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior, Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes, Homogéneas Ecuaciones diferenciales lineales, ecuaciones diferenciales simultáneas.

UNIDAD 2:
Módulo 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias II: (8 horas): Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables, Método de variación de parámetros, Soluciones en series de potencia Polinomios de Legendre, Funciones de Bessel de primer tipo y sus propiedades.

UNIDAD 3:
Módulo 3: Ecuaciones Diferenciales Parciales: (8 horas): Formulación de Ecuaciones Diferenciales Parciales, Ecuaciones Diferenciales Parciales Lineales y No Lineales, Ecuaciones Diferenciales Parciales Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes.

UNIDAD 4:
Módulo 4: Funciones de Variable Compleja: (8 horas): Funciones de Variables Complejas: Funciones Analíticas, Conjugado Armónico, Ecuaciones de Cauchy-Riemann (sin prueba), Integral de Línea, Teorema de Cauchy-Goursat (sin prueba), Fórmula de Integral de Cauchy (sin prueba) prueba), puntos singulares, polos y residuos, teorema de residuos, teorema de aplicación de residuos para la evaluación de integrales reales (círculo unitario).

UNIDAD 5:
Módulo 5: Cálculo vectorial: (10 horas): Diferenciación de vectores, Función escalar y de punto vectorial, Gradiente, Significado geométrico del gradiente, Derivada direccional, Divergencia y rizo, Integral de línea, Integral de superficie y Integral de volumen, Divergencia de Gauss, Stokes y Green teoremas.


Ecuaciones diferenciales de primer orden

La primera técnica, que se utiliza en ecuaciones diferenciales "separables" de primer orden, es la separación de variables. Se dice que una ecuación diferencial de primer orden (dy / dt ) es separable si se puede escribir en la forma:

Entonces, la separación de variables significa dividir entre (f (y) ) y luego integrar con respecto a (t ), es decir:

¡Realmente no hay más que eso! Aunque, por supuesto, las integrales de los lados izquierdo y derecho pueden no ser particularmente simples, a menudo requieren que hagas una sustitución. Esa es una de las razones por las que conocer la integración A-Level de adentro hacia afuera es de importancia clave y debería considerar revisar el Módulo 10 también para obtener algunos consejos y sugerencias allí.

El método de integración de factores

Nuestra segunda técnica aprovecha la regla del producto para la diferenciación para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden escribir en la forma:

Nuestro objetivo es poder escribir el lado izquierdo como ( frac

[g (t) y] ) para alguna función (g (t) ). No necesita preocuparse demasiado por el motivo, pero si tomamos (g (t) = e ^ < int p (t) dt> ), entonces tenemos lo que queremos. (g ) aquí es a lo que normalmente nos referimos como nuestro factor de integración. Específicamente, esto significa que nuestros pasos son:

Ahora, como un ejemplo iluminador con suerte, tomemos el caso simple:

Entonces nuestro factor integrador es:

Y hemos saltado a la fórmula final anterior:

Por lo tanto, son las dos técnicas con las que deberá familiarizarse para comenzar a abordar los problemas de ecuaciones diferenciales de primer orden de STEP. Sin embargo, para probar realmente las cosas, procedamos a trabajar con parte de una pregunta de PASO anterior.

Ejemplo

Este extracto es de la Pregunta 6 sobre STEP III 2008 y ofrece una buena introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden en STEP. En primer lugar, primero se nos pide que diferenciemos (y ) con respecto a (x ). Lo importante que hay que recordar es que (p ) es en sí mismo una función de (x ) y, por lo tanto, estamos haciendo una diferenciación implícita. Encontramos:

Entonces, dándonos cuenta de que el LHS (dy / dx ) puede ser reemplazado por (p ) y reorganizando adecuadamente encontramos:

Entonces, ahora tenemos una ecuación diferencial para (x ) que necesitamos resolver. En primer lugar, nos preguntamos si es separable y, con suerte, la respuesta debería ser claramente no. Pero, es de la forma que nos permite utilizar factores integradores. Esto debería ser mucho más claro si lo escribimos como:

Primero, entonces, necesitamos encontrar nuestro factor de integración. Aquí está dado por:

Por lo tanto, multiplicando y siguiendo los pasos que seguimos en general antes, o saltando a la fórmula final, tenemos:

según sea necesario. Entonces nuestra condición (p = -3 ), (x = 2 ) nos da (A ):

( hspace <1.7 in> 2 = - frac <2> <3> (-3) + A frac <1> <(- 3) ^ 2> Rightarrow 2 = 2 + A frac <1> <9> Flecha derecha A = 0. )

Entonces, tenemos (x = - frac <2> <3> p ) o (p = - frac <3> <2> x ), y sustituyendo esto en nuestra ecuación original por (y ) tenemos nuestra respuesta final:


Ecuaciones diferenciales elementales

MATH 223 o MATH 243, o MATH 127 o MATH 147 con una calificación de C- o superior, y MATH 290 o MATH 291. No está disponible para estudiantes con crédito en MATH 220.

CAPÍTULO

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden

3. Ecuaciones lineales de segundo orden

7. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

9. Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad *

Aplicaciones informáticas, con Mathematica, Maple o Matlab *

* Estos y otros temas a discreción del instructor pueden ser cubiertos si el tiempo lo permite.

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Contenido

Mientras que la lógica proposicional se ocupa de proposiciones declarativas simples, la lógica de primer orden cubre además los predicados y la cuantificación.

Un predicado toma una entidad o entidades del dominio del discurso como entrada, mientras que las salidas son Verdaderas o Fallas. Considere las dos oraciones "Sócrates es un filósofo" y "Platón es un filósofo". En la lógica proposicional, estas oraciones se consideran no relacionadas y podrían denotarse, por ejemplo, por variables como pag y q. El predicado "es un filósofo" aparece en ambas oraciones, que tienen una estructura común de "a es un filósofo ". La variable a se ejemplifica como "Sócrates" en la primera oración, y se ejemplifica como "Platón" en la segunda oración. Mientras que la lógica de primer orden permite el uso de predicados, como "es un filósofo" en este ejemplo, la lógica proposicional no. [5]

Las relaciones entre predicados se pueden establecer utilizando conectivos lógicos. Considere, por ejemplo, la fórmula de primer orden "si a es un filósofo, entonces a es un erudito ". Esta fórmula es una declaración condicional con"a es un filósofo "como su hipótesis, y"a es un erudito "como su conclusión. La verdad de esta fórmula depende de qué objeto se denota por a, y en las interpretaciones de los predicados "es un filósofo" y "es un erudito".

Los cuantificadores se pueden aplicar a variables en una fórmula. La variable a en la fórmula anterior se puede cuantificar universalmente, por ejemplo, con la oración de primer orden "Para cada a, Si a es un filósofo, entonces a es un erudito ". El cuantificador universal" para todos "en esta oración expresa la idea de que la afirmación" si a es un filósofo, entonces a es un erudito "vale para todas opciones de a.

La negación de la oración "Por cada a, Si a es un filósofo, entonces a es un erudito "es lógicamente equivalente a la oración" Existe a tal que a es un filósofo y a no es un erudito ". El cuantificador existencial" existe "expresa la idea de que la afirmación"a es un filósofo y a no es un erudito "vale para algunos elección de a.

Los predicados "es un filósofo" y "es un erudito" toman cada uno una sola variable. En general, los predicados pueden tomar varias variables. En la oración de primer orden "Sócrates es el maestro de Platón", el predicado "es el maestro de" toma dos variables.

Una interpretación (o modelo) de una fórmula de primer orden especifica lo que significa cada predicado y las entidades que pueden instanciar las variables. Estas entidades forman el dominio del discurso o universo, que generalmente se requiere que sea un conjunto no vacío. Por ejemplo, en una interpretación con el dominio del discurso formado por todos los seres humanos y el predicado "es un filósofo" entendido como "fue el autor de la República", la oración" Existe a tal que a es un filósofo "es visto como verdadero, como lo atestigua Platón.

Hay dos partes clave de la lógica de primer orden. La sintaxis determina qué secuencias finitas de símbolos son expresiones bien formadas en lógica de primer orden, mientras que la semántica determina los significados detrás de estas expresiones.

Alfabeto Editar

A diferencia de los lenguajes naturales, como el inglés, el lenguaje de la lógica de primer orden es completamente formal, por lo que se puede determinar mecánicamente si una expresión dada está bien formada. Hay dos tipos clave de expresiones bien formadas: condiciones, que representan objetos intuitivamente, y fórmulas, que expresan intuitivamente predicados que pueden ser verdaderos o falsos. Los términos y fórmulas de la lógica de primer orden son cadenas de simbolos, donde todos los símbolos juntos forman el alfabeto del idioma. Como ocurre con todos los lenguajes formales, la naturaleza de los símbolos en sí mismos está fuera del alcance de la lógica formal; a menudo se los considera simplemente como letras y símbolos de puntuación.

Es común dividir los símbolos del alfabeto en símbolos lógicos, que siempre tienen el mismo significado, y símbolos no lógicos, cuyo significado varía según la interpretación. Por ejemplo, el símbolo lógico ∧ < displaystyle land> siempre representa "y" nunca se interpreta como "o", que está representado por el símbolo lógico ∨ < displaystyle lor>. [6] Por otro lado, un símbolo de predicado no lógico como Phil (X) podría interpretarse en el sentido de "X es un filósofo ","X es un hombre llamado Felipe ", o cualquier otro predicado unario dependiendo de la interpretación que se tenga entre manos.

Símbolos lógicos Editar

Hay varios símbolos lógicos en el alfabeto, que varían según el autor, pero generalmente incluyen: [6] [7]

  • Los símbolos cuantificadores: ∀ para cuantificación universal y ∃ para cuantificación existencial
  • Los conectivos lógicos: ∧ para conjunción, ∨ para disyunción, → para implicación, ↔ para bicondicional, ¬ para negación. Ocasionalmente se incluyen otros símbolos conectivos lógicos. Algunos autores [8] utilizan Cpq, en lugar de →, y Epq, en lugar de ↔, especialmente en contextos donde → se utiliza para otros fines. Además, la herradura ⊃ puede reemplazar → la barra triple ≡ puede reemplazar ↔ una tilde (

No se requieren todos estos símbolos, solo uno de los cuantificadores, negación y conjunción, variables, paréntesis e igualdad es suficiente. Existen numerosas variaciones menores que pueden definir símbolos lógicos adicionales:

  • En algunas ocasiones, las constantes de verdad T, Vpq, o ⊤, para "verdadero" y F, Opq, o ⊥, para "falso" están incluidos. Sin tales operadores lógicos de valencia 0, estas dos constantes solo se pueden expresar usando cuantificadores.
  • En otras ocasiones, se incluyen conectivos lógicos adicionales, como el trazo de Sheffer, Dpq (NAND) y exclusivo o, Jpq.

Símbolos no lógicos Editar

Los símbolos no lógicos representan predicados (relaciones), funciones y constantes en el dominio del discurso. Solía ​​ser una práctica estándar utilizar un conjunto fijo e infinito de símbolos no lógicos para todos los propósitos. Una práctica más reciente es utilizar diferentes símbolos no lógicos según la aplicación que se tenga en mente. Por lo tanto, se ha vuelto necesario nombrar el conjunto de todos los símbolos no lógicos utilizados en una aplicación en particular. Esta elección se realiza a través de un firma. [9]

El enfoque tradicional es tener un solo conjunto infinito de símbolos no lógicos (una firma) para todas las aplicaciones. En consecuencia, bajo el enfoque tradicional hay un solo lenguaje de lógica de primer orden. [10] Este enfoque todavía es común, especialmente en libros de orientación filosófica.

  1. Por cada entero norte ≥ 0, hay una colección de norte-aria, o norte-lugar, símbolos de predicado. Porque representan relaciones entre norte elementos, también se denominan símbolos de relación. Para cada aridad norte, tenemos un suministro infinito de ellos: PAGnorte0, PAGnorte1, PAGnorte2, PAGnorte3, .
  2. Por cada entero norte ≥ 0, hay infinitos norte-ary símbolos de función: f n0, f n1, f n2, f n3, .

En la lógica matemática contemporánea, la firma varía según la aplicación. Las firmas típicas en matemáticas son <1, ×> o solo <×> para grupos, o <0, 1, +, ×, & lt> para campos ordenados. No hay restricciones sobre el número de símbolos no lógicos. La firma puede ser vacía, finita o infinita, incluso incontable. Las firmas incontables ocurren, por ejemplo, en las demostraciones modernas del teorema de Löwenheim-Skolem.

En este enfoque, cada símbolo no lógico es de uno de los siguientes tipos.

  1. A símbolo de predicado (o símbolo de relación) Con algo valencia (o aridad, número de argumentos) mayor o igual que 0. A menudo se indican con letras mayúsculas como PAG, Q y R. [6]
    • Las relaciones de valencia 0 se pueden identificar con variables proposicionales. Por ejemplo, PAG, que puede representar cualquier declaración.
    • Por ejemplo, PAG(X) es una variable predicada de valencia 1. Una posible interpretación es "X es un hombre".
    • Q(X,y) es una variable predicada de valencia 2. Las posibles interpretaciones incluyen "X es mayor que y" y "X es el padre de y".
  2. A símbolo de función, con alguna valencia mayor o igual a 0. A menudo se indican con letras romanas minúsculas como F, gramo y h. [6]
    • Ejemplos: F(X) puede interpretarse como "el padre de X". En aritmética, puede representar" -x ". En teoría de conjuntos, puede representar" el conjunto de potencias de x ". En aritmética, gramo(X,y) puede representar "X+y". En la teoría de conjuntos, puede representar" la unión de X y y".
    • Los símbolos de función de valencia 0 se llaman símbolos constantes, y a menudo se indican con letras minúsculas al principio del alfabeto, como a, B y C. [6] El símbolo a puede representar a Sócrates. En aritmética, puede representar 0. En teoría de conjuntos, tal constante puede representar el conjunto vacío.

El enfoque tradicional se puede recuperar en el enfoque moderno, simplemente especificando la firma "personalizada" para que consista en las secuencias tradicionales de símbolos no lógicos.

Reglas de formación Editar

Las reglas de formación definen los términos y fórmulas de la lógica de primer orden. [13] Cuando los términos y fórmulas se representan como cadenas de símbolos, estas reglas se pueden usar para escribir una gramática formal para términos y fórmulas. Estas reglas generalmente no tienen contexto (cada producción tiene un solo símbolo en el lado izquierdo), excepto que se puede permitir que el conjunto de símbolos sea infinito y puede haber muchos símbolos de inicio, por ejemplo, las variables en el caso de los términos.

Términos Editar

El conjunto de condiciones se define inductivamente por las siguientes reglas:

  1. Variables. Cualquier variable es un término.
  2. Funciones. Cualquier expresión F(t1. tnorte) de norte argumentos (donde cada argumento tI es un término y F es un símbolo de función de valencia norte) es un término. En particular, los símbolos que denotan constantes individuales son símbolos de función nula y, por lo tanto, son términos.

Sólo las expresiones que pueden obtenerse mediante un número finito de aplicaciones de las reglas 1 y 2 son términos. Por ejemplo, ninguna expresión que involucre un símbolo de predicado es un término.

Fórmulas Editar

El conjunto de fórmulas (también llamado fórmulas bien formadas [14] o WFF) se define inductivamente por las siguientes reglas:

  1. Símbolos de predicados. Si PAG es un nortesímbolo de predicado -ary y t1, . tnorte son términos entonces PAG(t1. tnorte) es una fórmula.
  2. Igualdad. Si el símbolo de igualdad se considera parte de la lógica, y t1 y t2 son términos, entonces t1 = t2 es una fórmula.
  3. Negación. Si φ < displaystyle varphi> es una fórmula, entonces ¬ φ < displaystyle lnot varphi> es una fórmula.
  4. Conectivos binarios. Si φ < displaystyle varphi> y ψ < displaystyle psi> son fórmulas, entonces (φ → ψ < displaystyle varphi rightarrow psi>) es una fórmula. Se aplican reglas similares a otras conectivas lógicas binarias.
  5. Cuantificadores. Si φ < displaystyle varphi> es una fórmula y X es una variable, entonces ∀ x φ < displaystyle forall x varphi> (para todo x, φ < displaystyle varphi> se mantiene) y ∃ x φ < displaystyle existe x varphi> (existe x tal que φ < displaystyle varphi>) son fórmulas.

Sólo las expresiones que pueden obtenerse mediante un número finito de aplicaciones de las reglas 1 a 5 son fórmulas. Se dice que las fórmulas obtenidas de las dos primeras reglas son fórmulas atómicas.

∀ x ∀ y (P (f (x)) → ¬ (P (x) → Q (f (y), x, z)))

es una fórmula, si F es un símbolo de función unaria, PAG un símbolo de predicado unario y Q un símbolo de predicado ternario. Por otro lado, ∀ x x → < displaystyle forall x , x rightarrow> no es una fórmula, aunque es una cadena de símbolos del alfabeto.

El papel de los paréntesis en la definición es garantizar que cualquier fórmula solo se pueda obtener de una manera: siguiendo la definición inductiva (es decir, hay un árbol de análisis sintáctico único para cada fórmula). Esta propiedad se conoce como legibilidad única de fórmulas. Hay muchas convenciones sobre el uso de paréntesis en las fórmulas. Por ejemplo, algunos autores utilizan dos puntos o puntos en lugar de paréntesis, o cambian los lugares en los que se insertan los paréntesis. La definición particular de cada autor debe ir acompañada de una prueba de legibilidad única.

Esta definición de una fórmula no admite la definición de una función si-entonces-si no ite (c, a, b), donde "c" es una condición expresada como una fórmula, que devolvería "a" si c es verdadera, y " b "si es falso. Esto se debe a que tanto los predicados como las funciones solo pueden aceptar términos como parámetros, pero el primer parámetro es una fórmula. Algunos lenguajes basados ​​en lógica de primer orden, como SMT-LIB 2.0, agregan esto. [15]

Convenciones de notación Editar

Por conveniencia, se han desarrollado convenciones sobre la precedencia de los operadores lógicos, para evitar la necesidad de escribir paréntesis en algunos casos. Estas reglas son similares al orden de las operaciones en aritmética. Una convención común es:

Además, se puede insertar puntuación adicional que no requiera la definición, para facilitar la lectura de las fórmulas. Así la fórmula

En algunos campos, es común usar notación infija para funciones y relaciones binarias, en lugar de la notación prefija definida anteriormente. Por ejemplo, en aritmética, normalmente se escribe "2 + 2 = 4" en lugar de "= (+ (2,2), 4)". Es común considerar las fórmulas en notación infija como abreviaturas de las fórmulas correspondientes en notación prefijada, cf. también estructura de términos vs. representación.

∀ x ∀ y (P (f (x)) → ¬ (P (x) → Q (f (y), x, z)))

Variables libres y ligadas Editar

En una fórmula, puede aparecer una variable libre o atado (o ambos). Intuitivamente, la ocurrencia de una variable está libre en una fórmula si no se cuantifica: [16] en ∀y PAG(X, y), la única aparición de variable X es gratis mientras que el de y está obligado. Las ocurrencias de variables libres y ligadas en una fórmula se definen inductivamente como sigue.

Fórmulas atómicas Si φ es una fórmula atómica, entonces X ocurre gratis en φ si y solo si X ocurre en φ. Además, no hay variables ligadas en ninguna fórmula atómica. Negación X ocurre gratis en ¬φ si y solo si X ocurre gratis en φ. X ocurre ligado en ¬φ si y solo si X ocurre atado en φ Conectivos binarios X ocurre gratis en (φψ) si y solo si X ocurre gratis en cualquiera de los dos φ o ψ. X ocurre ligado en (φψ) si y solo si X ocurre enlazado en cualquiera de los dos φ o ψ. La misma regla se aplica a cualquier otro conector binario en lugar de →. Cuantificadores X ocurre gratis en ∀y φ , si y solo si x aparece libre en φ y X es un símbolo diferente de y. También, X ocurre ligado en ∀y φ , si y solo si X es y o X ocurre atado en φ. La misma regla se aplica con ∃ en lugar de ∀.

Por ejemplo, en ∀Xy (PAG(X) → Q(X,F(X),z)) , X y y ocurrir solo encuadernado, [17] z ocurre solo gratis, y w tampoco es porque no aparece en la fórmula.

Las variables libres y ligadas de una fórmula no necesitan ser conjuntos disjuntos: en la fórmula PAG(X) → ∀X Q(X), la primera aparición de X, como argumento de PAG, es libre mientras que el segundo, como argumento de Q, está obligado.

Una fórmula en lógica de primer orden sin ocurrencias de variables libres se llama oración de primer orden. Estas son las fórmulas que tendrán valores de verdad bien definidos bajo una interpretación. Por ejemplo, si una fórmula como Phil (X) es verdad debe depender de lo que X representa. Pero la oración ∃X Phil (X) será verdadero o falso en una interpretación dada.

Ejemplo: grupos abelianos ordenados Editar

En matemáticas, el lenguaje de los grupos abelianos ordenados tiene un símbolo constante 0, un símbolo de función unaria -, un símbolo de función binaria + y un símbolo de relación binaria ≤. Luego:

  • Las expresiones + (X, y) y + (X, +(y, −(z))) están condiciones. Por lo general, se escriben como X + y y X + yz.
  • Las expresiones + (X, y) = 0 y ≤ (+ (X, +(y, −(z))), +(X, y)) están fórmulas atómicas. Por lo general, se escriben como X + y = 0 y X + yzX + y.
  • La expresión (∀ x ∀ y [≤ ⁡ (+ ⁡ (x, y), z) → ∀ x ∀ y + ⁡ (x, y) = 0)] < displaystyle ( forall x forall y , [ mathop < leq> ( mathop <+> (x, y), z) to forall x , forall y , mathop <+> (x, y) = 0)]> es un fórmula, que generalmente se escribe como ∀ x ∀ y (x + y ≤ z) → ∀ x ∀ y (x + y = 0). < Displaystyle forall x forall y (x + y leq z) to forall x forall y (x + y = 0).> Esta fórmula tiene una variable libre, z.

Los axiomas para grupos abelianos ordenados se pueden expresar como un conjunto de oraciones en el idioma. Por ejemplo, el axioma que establece que el grupo es conmutativo generalmente se escribe (∀ x) (∀ y) [x + y = y + x].

Una interpretación de un idioma de primer orden asigna una denotación a cada símbolo no lógico en ese idioma. También determina un dominio de discurso que especifica el rango de los cuantificadores. El resultado es que a cada término se le asigna un objeto que representa, a cada predicado se le asigna una propiedad de objetos y a cada oración se le asigna un valor de verdad. De esta manera, una interpretación proporciona significado semántico a los términos, predicados y fórmulas del lenguaje. El estudio de las interpretaciones de lenguajes formales se denomina semántica formal. Lo que sigue es una descripción de la semántica estándar o de Tarsk para la lógica de primer orden. (También es posible definir la semántica del juego para la lógica de primer orden, pero además de requerir el axioma de elección, la semántica del juego concuerda con la semántica de Tarsk para la lógica de primer orden, por lo que la semántica del juego no se desarrollará aquí).

La interpretación de un símbolo de función es una función. Por ejemplo, si el dominio del discurso consta de números enteros, un símbolo de función F de arity 2 se puede interpretar como la función que da la suma de sus argumentos. En otras palabras, el símbolo F está asociado con la función I (f) < displaystyle I (f)> que, en esta interpretación, es la suma.

La interpretación de un símbolo constante es una función del conjunto de un elemento D 0 a D, que puede identificarse simplemente con un objeto en D. Por ejemplo, una interpretación puede asignar el valor I (c) = 10 < displaystyle I (c) = 10> al símbolo constante c < displaystyle c>.

La interpretación de un norte-ary símbolo de predicado es un conjunto de norte-tuplas de elementos del dominio del discurso. Esto significa que, dada una interpretación, un símbolo de predicado y norte elementos del dominio del discurso, se puede decir si el predicado es verdadero de esos elementos de acuerdo con la interpretación dada. Por ejemplo, una interpretación Yo (p) de un símbolo de predicado binario PAG puede ser el conjunto de pares de números enteros de modo que el primero sea menor que el segundo. Según esta interpretación, el predicado PAG sería cierto si su primer argumento es menor que el segundo.

Estructuras de primer orden Editar

La forma más común de especificar una interpretación (especialmente en matemáticas) es especificar una estructura (también llamado modelo vea abajo). La estructura consta de un conjunto no vacío D que forma el dominio del discurso y una interpretación I de los términos no lógicos de la firma. Esta interpretación es en sí misma una función:

Evaluación de valores de verdad Editar

Una fórmula se evalúa como verdadera o falsa dada una interpretación, y una asignación de variable μ que asocia un elemento del dominio del discurso a cada variable. La razón por la que se requiere una asignación de variable es dar significado a fórmulas con variables libres, como y = x < displaystyle y = x>. El valor de verdad de esta fórmula cambia dependiendo de si X y y denotar el mismo individuo.

Primero, la asignación de variable μ puede extenderse a todos los términos del lenguaje, con el resultado de que cada término se asigna a un solo elemento del dominio del discurso. Las siguientes reglas se utilizan para realizar esta asignación:

  1. Variables. Cada variable X evalúa a μ(X)
  2. Funciones. Términos dados t 1,…, t n < displaystyle t_ <1>, ldots, t_> que se han evaluado en los elementos d 1,…, d n < displaystyle d_ <1>, ldots, d_> del dominio del discurso, y una nortesímbolo de función -arial F, el término f (t 1,…, t n) < displaystyle f (t_ <1>, ldots, t_)> se evalúa como (I (f)) (re 1,…, re n) < displaystyle (I (f)) (d_ <1>, ldots, d_)> .

A continuación, a cada fórmula se le asigna un valor de verdad. La definición inductiva utilizada para realizar esta asignación se llama esquema T.

  1. Fórmulas atómicas (1). Una fórmula P (t 1,…, t n) < displaystyle P (t_ <1>, ldots, t_)> se asocia el valor verdadero o falso dependiendo de si ⟨v 1,…, v n⟩ ∈ I (P) < displaystyle langle v_ <1>, ldots, v_ rangle in I (P)>, donde v 1,…, v n < displaystyle v_ <1>, ldots, v_> son la evaluación de los términos t 1,…, t n < displaystyle t_ <1>, ldots, t_> y I (P) < displaystyle I (P)> es la interpretación de P < displaystyle P>, que por supuesto es un subconjunto de D n < displaystyle D ^> .
  2. Fórmulas atómicas (2). Una fórmula t 1 = t 2 < displaystyle t_ <1> = t_ <2>> se asigna como verdadera si t 1 < displaystyle t_ <1>> y t 2 < displaystyle t_ <2>> evalúan el mismo objeto del dominio del discurso (ver la sección sobre igualdad a continuación).
  3. Conectivos lógicos. Una fórmula en la forma ¬ ϕ < displaystyle neg phi>, ϕ → ψ < displaystyle phi rightarrow psi>, etc. se evalúa de acuerdo con la tabla de verdad para el conectivo en cuestión, como en la lógica proposicional.
  4. Cuantificadores existenciales. Una fórmula ∃ x ϕ (x) < displaystyle exist x phi (x)> es verdadera según METRO y μ < displaystyle mu> si existe una evaluación μ ′ < displaystyle mu '> de las variables que solo difiera de μ < displaystyle mu> con respecto a la evaluación de X y tal que φ es cierto según la interpretación METRO y la asignación de variable μ ′ < displaystyle mu '>. Esta definición formal captura la idea de que ∃ x ϕ (x) < displaystyle exist x phi (x)> es verdadera si y solo si hay una manera de elegir un valor para X tal que φ (X) Está satisfecho.
  5. Cuantificadores universales. Una fórmula ∀ x ϕ (x) < displaystyle forall x phi (x)> es verdadera según METRO y μ < displaystyle mu> si φ (X) es cierto para cada par compuesto por la interpretación METRO y alguna asignación de variable μ ′ < displaystyle mu '> que difiere de μ < displaystyle mu> solo en el valor de X. Esto captura la idea de que ∀ x ϕ (x) < displaystyle forall x phi (x)> es verdadera si todas las opciones posibles de un valor para X causas φ (X) a decir verdad.

Si una fórmula no contiene variables libres, y también lo es una oración, entonces la asignación de variable inicial no afecta su valor de verdad. En otras palabras, una oración es verdadera según METRO y μ < displaystyle mu> si y solo si es cierto de acuerdo con METRO y cualquier otra asignación de variable μ ′ < displaystyle mu '>.

Existe un segundo enfoque común para definir valores de verdad que no se basa en funciones de asignación de variables. En cambio, dada una interpretación METRO, primero se agrega a la firma una colección de símbolos constantes, uno para cada elemento del dominio del discurso en METRO di que para cada uno D en el dominio el símbolo constante CD está arreglado. La interpretación se amplía para que cada nuevo símbolo constante se asigne a su elemento correspondiente del dominio. Ahora se define sintácticamente la verdad para fórmulas cuantificadas, de la siguiente manera:

Este enfoque alternativo da exactamente los mismos valores de verdad a todas las oraciones que el enfoque a través de asignaciones de variables.

Validez, satisfacibilidad y consecuencia lógica Editar

Si una oración φ se evalúa como Verdadero bajo una interpretación dada METRO, uno dice que METRO satisface φ esto se denota [18] M ⊨ φ < displaystyle M vDash varphi>. Una oración es satisfactorio si hay alguna interpretación bajo la cual es verdad.

La satisfacción de fórmulas con variables libres es más complicada, porque una interpretación por sí sola no determina el valor de verdad de dicha fórmula. La convención más común es que se dice que una fórmula con variables libres se satisface mediante una interpretación si la fórmula permanece verdadera independientemente de qué individuos del dominio del discurso se asignan a sus variables libres. Esto tiene el mismo efecto que decir que una fórmula se satisface si y solo si se satisface su cierre universal.

Una fórmula es lógicamente válido (o simplemente válido) si es cierto en todas las interpretaciones. [19] Estas fórmulas juegan un papel similar a las tautologías en la lógica proposicional.

Una fórmula φ es una consecuencia lógica de una fórmula ψ si toda interpretación que hace que ψ sea verdadero también hace que φ sea verdadero. En este caso, se dice que φ está lógicamente implícito en ψ.

Algebraizaciones Editar

Un enfoque alternativo a la semántica de la lógica de primer orden procede a través del álgebra abstracta. Este enfoque generaliza las álgebras de lógica proposicional de Lindenbaum-Tarski. Hay tres formas de eliminar las variables cuantificadas de la lógica de primer orden que no implican reemplazar los cuantificadores con otros operadores de términos de vinculación de variables:

Tarski y Givant (1987) demostraron que el fragmento de lógica de primer orden que no tiene una oración atómica dentro del alcance de más de tres cuantificadores tiene el mismo poder expresivo que el álgebra de relaciones. [20]: 32–33 Este fragmento es de gran interés porque es suficiente para la aritmética de Peano y la teoría de conjuntos más axiomática, incluida la canónica ZFC. También prueban que la lógica de primer orden con un par ordenado primitivo es equivalente a un álgebra de relaciones con dos funciones de proyección de par ordenado. [21]: 803

Teorías de primer orden, modelos y clases de primaria Editar

A teoría de primer orden de una firma particular es un conjunto de axiomas, que son oraciones que consisten en símbolos de esa firma. El conjunto de axiomas es a menudo finito o recursivamente enumerable, en cuyo caso la teoría se llama eficaz. Algunos autores exigen que las teorías incluyan también todas las consecuencias lógicas de los axiomas. Se considera que los axiomas se sostienen dentro de la teoría y de ellos se pueden derivar otras oraciones que se sostienen dentro de la teoría.

Una estructura de primer orden que satisface todas las oraciones en una teoría dada se dice que es un modelo de la teoría. Un clase de primaria es el conjunto de todas las estructuras que satisfacen una teoría particular. Estas clases son un tema principal de estudio en la teoría de modelos.

Muchas teorías tienen un interpretación prevista, cierto modelo que se tiene en cuenta al estudiar la teoría. Por ejemplo, la interpretación prevista de la aritmética de Peano consiste en los números naturales habituales con sus operaciones habituales. Sin embargo, el teorema de Löwenheim-Skolem muestra que la mayoría de las teorías de primer orden también tendrán otros modelos no estándar.

Una teoria es consistente si no es posible probar una contradicción a partir de los axiomas de la teoría. Una teoria es completo si, para cada fórmula en su firma, esa fórmula o su negación es una consecuencia lógica de los axiomas de la teoría. El teorema de incompletitud de Gödel muestra que las teorías de primer orden efectivas que incluyen una porción suficiente de la teoría de los números naturales nunca pueden ser consistentes y completas.

Dominios vacíos Editar

La definición anterior requiere que el dominio del discurso de cualquier interpretación no esté vacío. Hay configuraciones, como la lógica inclusiva, donde se permiten dominios vacíos. Además, si una clase de estructuras algebraicas incluye una estructura vacía (por ejemplo, hay un poset vacío), esa clase solo puede ser una clase elemental en lógica de primer orden si se permiten dominios vacíos o la estructura vacía se elimina de la clase. .

Sin embargo, existen varias dificultades con los dominios vacíos:

  • Muchas reglas comunes de inferencia solo son válidas cuando se requiere que el dominio del discurso no esté vacío. Un ejemplo es la regla que establece que ϕ ∨ ∃ x ψ < displaystyle phi lor exist x psi> implica ∃ x (ϕ ∨ ψ) < displaystyle exist x ( phi lor psi)> cuando X no es una variable libre en ϕ < displaystyle phi>. Esta regla, que se utiliza para poner fórmulas en forma normal prenex, es válida en dominios no vacíos, pero errónea si se permite el dominio vacío.
  • La definición de verdad en una interpretación que usa una función de asignación de variable no puede funcionar con dominios vacíos, porque no hay funciones de asignación de variable cuyo rango esté vacío. (De manera similar, no se pueden asignar interpretaciones a símbolos constantes). Esta definición de verdad requiere que se seleccione una función de asignación de variable (μ arriba) antes de que se puedan definir valores de verdad para fórmulas atómicas pares. Luego, el valor de verdad de una oración se define como su valor de verdad bajo cualquier asignación de variable, y se demuestra que este valor de verdad no depende de qué asignación se elija. Esta técnica no funciona si no hay funciones de asignación en absoluto, debe cambiarse para acomodar dominios vacíos.

Por lo tanto, cuando se permite el dominio vacío, a menudo debe tratarse como un caso especial. La mayoría de los autores, sin embargo, simplemente excluyen el dominio vacío por definición.

A sistema deductivo se utiliza para demostrar, sobre una base puramente sintáctica, que una fórmula es una consecuencia lógica de otra fórmula. Existen muchos de estos sistemas para la lógica de primer orden, incluidos los sistemas deductivos al estilo de Hilbert, la deducción natural, el cálculo secuencial, el método de cuadros y la resolución. Estos comparten la propiedad común de que una deducción es un objeto sintáctico finito, el formato de este objeto y la forma en que se construye varían ampliamente. Estas deducciones finitas en sí mismas a menudo se denominan derivaciones en la teoría de la prueba. A menudo también se les llama pruebas, pero están completamente formalizadas a diferencia de las pruebas matemáticas en lenguaje natural.

Un sistema deductivo es sonar si alguna fórmula que se pueda derivar en el sistema es lógicamente válida. Por el contrario, un sistema deductivo es completo si toda fórmula lógicamente válida es derivable. Todos los sistemas discutidos en este artículo son sólidos y completos. También comparten la propiedad de que es posible verificar efectivamente que una deducción supuestamente válida es en realidad una deducción, tales sistemas de deducción se denominan eficaz.

Una propiedad clave de los sistemas deductivos es que son puramente sintácticos, por lo que las derivaciones se pueden verificar sin considerar ninguna interpretación. Por lo tanto, un argumento sólido es correcto en todas las posibles interpretaciones del lenguaje, independientemente de que se trate de matemáticas, economía o alguna otra área.

En general, la consecuencia lógica en la lógica de primer orden es solo semidecidible: si una oración A implica lógicamente una oración B, entonces esto se puede descubrir (por ejemplo, buscando una prueba hasta encontrar una, usando alguna prueba efectiva, sólida y completa sistema). Sin embargo, si A no implica lógicamente B, esto no significa que A implica lógicamente la negación de B. No existe un procedimiento efectivo que, dadas las fórmulas A y B, siempre decida correctamente si A implica lógicamente B.

Reglas de inferencia Editar

A regla de inferencia establece que, dada una fórmula particular (o conjunto de fórmulas) con una determinada propiedad como hipótesis, se puede derivar otra fórmula específica (o conjunto de fórmulas) como conclusión. La regla es sólida (o preserva la verdad) si preserva la validez en el sentido de que siempre que cualquier interpretación satisfaga la hipótesis, esa interpretación también satisface la conclusión.

Por ejemplo, una regla de inferencia común es la regla de sustitución. Si t es un término y φ es una fórmula que posiblemente contenga la variable X, luego φ [t/X] es el resultado de reemplazar todas las instancias gratuitas de X por t en φ. La regla de sustitución establece que para cualquier φ y cualquier término t, se puede concluir φ [t/X] de φ siempre que ninguna variable libre de t se vincula durante el proceso de sustitución. (Si alguna variable libre de t se vuelve obligado, luego para sustituir t por X Primero es necesario cambiar las variables ligadas de φ para que difieran de las variables libres de t.)

La regla de sustitución demuestra varios aspectos comunes de las reglas de inferencia. Es completamente sintáctico, uno puede decir si se aplicó correctamente sin apelar a ninguna interpretación. Tiene limitaciones (definidas sintácticamente) sobre cuándo se puede aplicar, que deben respetarse para preservar la corrección de las derivaciones. Además, como suele ser el caso, estas limitaciones son necesarias debido a las interacciones entre las variables libres y ligadas que ocurren durante las manipulaciones sintácticas de las fórmulas involucradas en la regla de inferencia.

Sistemas de estilo Hilbert y deducción natural Editar

Una deducción en un sistema deductivo al estilo de Hilbert es una lista de fórmulas, cada una de las cuales es una axioma lógico, una hipótesis que se ha asumido para la derivación en cuestión, o que se sigue de fórmulas anteriores mediante una regla de inferencia. Los axiomas lógicos consisten en varios esquemas de axiomas de fórmulas lógicamente válidas que abarcan una cantidad significativa de lógica proposicional. Las reglas de inferencia permiten la manipulación de cuantificadores. Los sistemas típicos del estilo de Hilbert tienen un pequeño número de reglas de inferencia, junto con varios esquemas infinitos de axiomas lógicos. Es común tener solo modus ponens y generalización universal como reglas de inferencia.

Los sistemas de deducción natural se parecen a los sistemas de estilo Hilbert en que una deducción es una lista finita de fórmulas. Sin embargo, los sistemas de deducción natural no tienen axiomas lógicos que compensen agregando reglas de inferencia adicionales que se pueden usar para manipular los conectivos lógicos en fórmulas en la demostración.

Cálculo secuencial Editar

El cálculo secuencial se desarrolló para estudiar las propiedades de los sistemas de deducción natural. [22] En lugar de trabajar con una fórmula a la vez, usa secuentes, que son expresiones de la forma

Método Tableaux Editar

A diferencia de los métodos que se acaban de describir, las derivaciones del método tableaux no son listas de fórmulas. En cambio, una derivación es un árbol de fórmulas. Para mostrar que una fórmula A es demostrable, el método de cuadros intenta demostrar que la negación de A es insatisfactorio. El árbol de la derivación tiene ¬ A < displaystyle lnot A> en su raíz las ramas del árbol de una manera que refleja la estructura de la fórmula. Por ejemplo, para mostrar que C ∨ D < displaystyle C lor D> es insatisfactorio requiere mostrar que C y D son insatisfactorios, esto corresponde a un punto de ramificación en el árbol con el padre C ∨ D < displaystyle C lor D> y los niños C y D.

Resolución Editar

La regla de resolución es una sola regla de inferencia que, junto con la unificación, es sólida y completa para la lógica de primer orden. Al igual que con el método de cuadros, una fórmula se prueba mostrando que la negación de la fórmula es insatisfactorio. La resolución se usa comúnmente en la demostración automatizada de teoremas.

El método de resolución funciona solo con fórmulas que son disyunciones de fórmulas atómicas. Las fórmulas arbitrarias primero deben convertirse a esta forma a través de Skolemization. La regla de resolución establece que a partir de las hipótesis A 1 ∨ ⋯ ∨ A k ∨ C < displaystyle A_ <1> lor cdots lor A_ lor C> y B 1 ∨ ⋯ ∨ B l ∨ ¬ C < displaystyle B_ <1> lor cdots lor B_ lor lnot C>, la conclusión A 1 ∨ ⋯ ∨ A k ∨ B 1 ∨ ⋯ ∨ B l < displaystyle A_ <1> lor cdots lor A_ lor B_ <1> lor cdots lor B_> se puede obtener.

Identidades demostrables Editar

Se pueden probar muchas identidades, que establecen equivalencias entre fórmulas particulares. Estas identidades permiten reorganizar fórmulas moviendo cuantificadores a través de otras conectivas y son útiles para poner fórmulas en forma normal prenex. Algunas identidades probables incluyen:

Hay varias convenciones diferentes para usar la igualdad (o identidad) en la lógica de primer orden. La convención más común, conocida como lógica de primer orden con igualdad, incluye el símbolo de igualdad como símbolo lógico primitivo que siempre se interpreta como la relación de igualdad real entre miembros del dominio del discurso, de manera que los "dos" miembros dados son el mismo miembro. Este enfoque también agrega ciertos axiomas sobre la igualdad al sistema deductivo empleado. Estos axiomas de igualdad son: [23]: 198-200

  1. Reflexividad. Para cada variable X, X = X.
  2. Sustitución de funciones. Para todas las variables X y y, y cualquier símbolo de función F, X = yF(. X. ) = F(. y. ).
  3. Sustitución de fórmulas. Para cualquier variable X y y y cualquier fórmula φ (X), si φ 'se obtiene reemplazando cualquier número de apariciones libres de X en φ con y, de modo que estas siguen siendo ocurrencias libres de y, luego X = y → (φ → φ ').

Estos son esquemas de axiomas, cada uno de los cuales especifica un conjunto infinito de axiomas. El tercer esquema se conoce como Ley de leibniz, "el principio de sustituibilidad", "la indiscernibilidad de los idénticos", o "la propiedad de sustitución". El segundo esquema, que involucra el símbolo de función F, es (equivalente a) un caso especial del tercer esquema, utilizando la fórmula

X = y → (F(. X. ) = z → F(. y. ) = z).

Muchas otras propiedades de la igualdad son consecuencia de los axiomas anteriores, por ejemplo:

  1. Simetría. Si X = y luego y = X. [24]
  2. Transitividad. Si X = y y y = z luego X = z. [25]

Lógica de primer orden sin igualdad Editar

Un enfoque alternativo considera que la relación de igualdad es un símbolo no lógico. Esta convención se conoce como lógica de primer orden sin igualdad. Si se incluye una relación de igualdad en la firma, los axiomas de igualdad ahora deben agregarse a las teorías en consideración, si se desea, en lugar de ser consideradas reglas de lógica. La principal diferencia entre este método y la lógica de primer orden con igualdad es que una interpretación ahora puede interpretar a dos individuos distintos como "iguales" (aunque, según la ley de Leibniz, estos satisfarán exactamente las mismas fórmulas bajo cualquier interpretación). Es decir, la relación de igualdad ahora puede ser interpretada por una relación de equivalencia arbitraria en el dominio del discurso que es congruente con respecto a las funciones y relaciones de la interpretación.

Cuando se sigue esta segunda convención, el término modelo normal se utiliza para referirse a una interpretación en la que no hay individuos distintos a y B satisfacer a = B. En la lógica de primer orden con igualdad, solo se consideran los modelos normales, por lo que no existe un término para un modelo que no sea un modelo normal. Cuando se estudia la lógica de primer orden sin igualdad, es necesario enmendar los enunciados de resultados como el teorema de Löwenheim-Skolem para que solo se consideren modelos normales.

La lógica de primer orden sin igualdad se emplea a menudo en el contexto de la aritmética de segundo orden y otras teorías aritméticas de orden superior, donde la relación de igualdad entre conjuntos de números naturales generalmente se omite.

Definición de igualdad dentro de una teoría Editar

Si una teoría tiene una fórmula binaria A(X,y) que satisface la reflexividad y la ley de Leibniz, se dice que la teoría tiene igualdad, o es una teoría con igualdad. Es posible que la teoría no tenga todas las instancias de los esquemas anteriores como axiomas, sino más bien como teoremas derivables. Por ejemplo, en teorías sin símbolos de función y un número finito de relaciones, es posible definir la igualdad en términos de las relaciones, definiendo los dos términos s y t para ser igual si alguna relación no cambia al cambiar s a t en cualquier argumento.

Algunas teorías permiten otras ad hoc definiciones de igualdad:

  • En la teoría de órdenes parciales con un símbolo de relación ≤, se podría definir s = t ser una abreviatura de stts.
  • En la teoría de conjuntos con una relación ∈, se puede definir s = t para ser una abreviatura de ∀X (sXtX) ∧ ∀X (XsXt). Esta definición de igualdad satisface automáticamente los axiomas de igualdad. En este caso, se debe reemplazar el axioma habitual de extensionalidad, que puede expresarse como ∀ x ∀ y [∀ z (z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y] < displaystyle forall x forall y [ para todo z (z in x Flecha izquierda z in y) Flecha derecha x = y]>, con una formulación alternativa ∀ x ∀ y [∀ z (z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ ∀ z (x ∈ z ⇔ y ∈ z)] < Displaystyle forall x forall y [ forall z (z in x Leftrightarrow z in y) Rightarrow forall z (x in z Leftrightarrow y in z)]>, que dice que si se pone X y y tienen los mismos elementos, entonces también pertenecen a los mismos conjuntos.

Una motivación para el uso de la lógica de primer orden, en lugar de la lógica de orden superior, es que la lógica de primer orden tiene muchas propiedades metalógicas que las lógicas más fuertes no tienen. Estos resultados se refieren a propiedades generales de la propia lógica de primer orden, más que a propiedades de teorías individuales. Proporcionan herramientas fundamentales para la construcción de modelos de teorías de primer orden.

Completitud e indecidibilidad Editar

El teorema de completitud de Gödel, probado por Kurt Gödel en 1929, establece que existen sistemas deductivos sólidos, completos y efectivos para la lógica de primer orden y, por lo tanto, la relación de consecuencia lógica de primer orden es capturada por la demostrabilidad finita. Ingenuamente, la afirmación de que una fórmula φ implica lógicamente una fórmula ψ depende de cada modelo de φ estos modelos serán, en general, de cardinalidad arbitrariamente grande, por lo que las consecuencias lógicas no pueden verificarse eficazmente comprobando todos los modelos. Sin embargo, es posible enumerar todas las derivaciones finitas y buscar una derivación de ψ a partir de φ. Si ψ está lógicamente implícito en φ, eventualmente se encontrará dicha derivación. Así, la consecuencia lógica de primer orden es semidecidible: es posible hacer una enumeración efectiva de todos los pares de oraciones (φ, ψ) de manera que ψ sea una consecuencia lógica de φ.

A diferencia de la lógica proposicional, la lógica de primer orden es indecidible (aunque semidecidible), siempre que el lenguaje tenga al menos un predicado de aridad al menos 2 (distinto de la igualdad). Esto significa que no existe un procedimiento de decisión que determine si las fórmulas arbitrarias son lógicamente válidas. Este resultado fue establecido independientemente por Alonzo Church y Alan Turing en 1936 y 1937, respectivamente, dando una respuesta negativa al Entscheidungsproblem planteado por David Hilbert y Wilhelm Ackermann en 1928. Sus pruebas demuestran una conexión entre la imposibilidad de resolver el problema de la decisión por primera vez la lógica del orden y la imposibilidad de resolver el problema de la detención.

Hay sistemas más débiles que la lógica completa de primer orden para los que la relación de consecuencia lógica es decidible. Estos incluyen la lógica proposicional y la lógica de predicados monádica, que es lógica de primer orden restringida a símbolos de predicado unario y sin símbolos de función. Otras lógicas sin símbolos de función que son decidibles son el fragmento protegido de la lógica de primer orden, así como la lógica de dos variables. La clase Bernays-Schönfinkel de fórmulas de primer orden también es decidible. Los subconjuntos decidibles de la lógica de primer orden también se estudian en el marco de las lógicas descriptivas.

El teorema de Löwenheim-Skolem Editar

El teorema de Löwenheim-Skolem muestra que si una teoría de cardinalidad de primer orden λ tiene un modelo infinito, entonces tiene modelos de cada cardinalidad infinita mayor o igual que λ. Uno de los primeros resultados en la teoría de modelos, implica que no es posible caracterizar la contabilidad o incontable en un lenguaje de primer orden con una firma contable. Es decir, no existe una fórmula de primer orden φ (X) tal que una estructura arbitraria M satisface φ si y solo si el dominio del discurso de M es contable (o, en el segundo caso, incontable).

El teorema de Löwenheim-Skolem implica que las estructuras infinitas no pueden axiomatizarse categóricamente en la lógica de primer orden. Por ejemplo, no existe una teoría de primer orden cuyo único modelo sea la línea real: cualquier teoría de primer orden con un modelo infinito también tiene un modelo de cardinalidad mayor que el continuo. Dado que la línea real es infinita, cualquier teoría satisfecha por la línea real también es satisfecha por algunos modelos no estándar. Cuando el teorema de Löwenheim-Skolem se aplica a las teorías de conjuntos de primer orden, las consecuencias no intuitivas se conocen como paradoja de Skolem.

El teorema de la compacidad editar

El teorema de la compacidad establece que un conjunto de oraciones de primer orden tiene un modelo si y solo si cada subconjunto finito tiene un modelo. [26] Esto implica que si una fórmula es una consecuencia lógica de un conjunto infinito de axiomas de primer orden, entonces es una consecuencia lógica de algún número finito de esos axiomas. Este teorema fue probado primero por Kurt Gödel como consecuencia del teorema de completitud, pero se han obtenido muchas pruebas adicionales a lo largo del tiempo. Es una herramienta central en la teoría de modelos, proporcionando un método fundamental para construir modelos.

El teorema de la compacidad tiene un efecto limitante sobre qué colecciones de estructuras de primer orden son clases elementales. Por ejemplo, el teorema de la compacidad implica que cualquier teoría que tenga modelos finitos arbitrariamente grandes tiene un modelo infinito. Por tanto, la clase de todos los gráficos finitos no es una clase elemental (lo mismo se aplica a muchas otras estructuras algebraicas).

También hay limitaciones más sutiles de la lógica de primer orden que están implícitas en el teorema de la compacidad. Por ejemplo, en informática, muchas situaciones se pueden modelar como un gráfico dirigido de estados (nodos) y conexiones (bordes dirigidos). La validación de un sistema de este tipo puede requerir demostrar que no se puede alcanzar un estado "malo" desde un estado "bueno". Por lo tanto, se busca determinar si los estados bueno y malo están en diferentes componentes conectados del gráfico. Sin embargo, el teorema de la compacidad se puede utilizar para demostrar que los gráficos conectados no son una clase elemental en la lógica de primer orden, y no existe una fórmula φ (X,y) de lógica de primer orden, en la lógica de los gráficos, que expresa la idea de que hay un camino desde X a y. Sin embargo, la conexión se puede expresar en lógica de segundo orden, pero no solo con cuantificadores de conjuntos existenciales, ya que Σ 1 1 < displaystyle Sigma _ <1> ^ <1>> también disfruta de la compacidad.

Teorema de Lindström editar

Per Lindström mostró que las propiedades metalogicas que acabamos de discutir en realidad caracterizan la lógica de primer orden en el sentido de que ninguna lógica más fuerte también puede tener esas propiedades (Ebbinghaus y Flum 1994, Capítulo XIII). Lindström definió una clase de sistemas lógicos abstractos y una definición rigurosa de la fuerza relativa de un miembro de esta clase. Estableció dos teoremas para sistemas de este tipo:

  • Un sistema lógico que satisface la definición de Lindström que contiene lógica de primer orden y satisface tanto el teorema de Löwenheim-Skolem como el teorema de compacidad debe ser equivalente a la lógica de primer orden.
  • Un sistema lógico que satisfaga la definición de Lindström que tenga una relación de consecuencia lógica semidecidible y satisfaga el teorema de Löwenheim-Skolem debe ser equivalente a la lógica de primer orden.

Aunque la lógica de primer orden es suficiente para formalizar gran parte de las matemáticas, y se usa comúnmente en ciencias de la computación y otros campos, tiene ciertas limitaciones. Estos incluyen limitaciones en su expresividad y limitaciones de los fragmentos de lenguajes naturales que puede describir.

Por ejemplo, la lógica de primer orden es indecidible, lo que significa que un algoritmo de decisión sólido, completo y final para la demostrabilidad es imposible. Esto ha llevado al estudio de interesantes fragmentos decidibles, como C2: lógica de primer orden con dos variables y los cuantificadores de conteo ∃ ≥ n < displaystyle existe ^ < geq n >> y ∃ ≤ n < displaystyle existe ^ < leq n >>. [27]

Expresividad Editar

El teorema de Löwenheim-Skolem muestra que si una teoría de primer orden tiene un modelo infinito, entonces tiene modelos infinitos de cada cardinalidad. En particular, ninguna teoría de primer orden con un modelo infinito puede ser categórica. Por tanto, no existe una teoría de primer orden cuyo único modelo tenga el conjunto de números naturales como dominio, o cuyo único modelo tenga el conjunto de números reales como dominio. Muchas extensiones de la lógica de primer orden, incluidas las lógicas infinitarias y las lógicas de orden superior, son más expresivas en el sentido de que permiten axiomatizaciones categóricas de los números naturales o reales. Sin embargo, esta expresividad tiene un costo metalológico: según el teorema de Lindström, el teorema de la compacidad y el teorema descendente de Löwenheim-Skolem no pueden sostenerse en ninguna lógica más fuerte que el primer orden.

Formalización de lenguajes naturales Editar

La lógica de primer orden es capaz de formalizar muchas construcciones cuantificadoras simples en lenguaje natural, como "toda persona que vive en Perth vive en Australia". Pero hay muchas características más complicadas del lenguaje natural que no se pueden expresar en la lógica de primer orden (de un solo orden). "Cualquier sistema lógico que sea apropiado como instrumento para el análisis del lenguaje natural necesita una estructura mucho más rica que la lógica de predicados de primer orden". [28]

Hay muchas variaciones de lógica de primer orden. Algunos de estos no son esenciales en el sentido de que simplemente cambian la notación sin afectar la semántica. Otros cambian el poder expresivo de manera más significativa, extendiendo la semántica a través de cuantificadores adicionales u otros símbolos lógicos nuevos. Por ejemplo, las lógicas infinitas permiten fórmulas de tamaño infinito y las lógicas modales añaden símbolos de posibilidad y necesidad.

Idiomas restringidos Editar

La lógica de primer orden se puede estudiar en lenguajes con menos símbolos lógicos que los descritos anteriormente.

  • Porque ∃ x ϕ (x) < displaystyle existe x phi (x)> se puede expresar como ¬ ∀ x ¬ ϕ (x) < displaystyle neg forall x neg phi (x)>, y ∀ x ϕ (x) < displaystyle forall x phi (x)> se puede expresar como ¬ ∃ x ¬ ϕ (x) < displaystyle neg exist x neg phi (x)>, cualquiera de los dos los cuantificadores ∃ < displaystyle exist> y ∀ < displaystyle forall> pueden descartarse.
  • Dado que ϕ ∨ ψ < displaystyle phi lor psi> se puede expresar como ¬ (¬ ϕ ∧ ¬ ψ) < displaystyle lnot ( lnot phi land lnot psi)> y ϕ ∧ ψ < displaystyle phi land psi> se puede expresar como ¬ (¬ ϕ ∨ ¬ ψ) < displaystyle lnot ( lnot phi lor lnot psi)>, ya sea ∨ < displaystyle vee> o ∧ < displaystyle wedge> se puede quitar. En otras palabras, es suficiente tener ¬ < displaystyle neg> y ∨ < displaystyle vee>, o ¬ < displaystyle neg> y ∧ < displaystyle wedge>, como las únicas conectivas lógicas.
  • De manera similar, es suficiente tener solo ¬ < displaystyle neg> y → < displaystyle rightarrow> como conectivos lógicos, o tener solo el trazo de Sheffer (NAND) o el operador de flecha de Peirce (NOR).
  • Es posible evitar por completo los símbolos de función y los símbolos constantes, reescribiéndolos a través de símbolos de predicado de una manera adecuada. Por ejemplo, en lugar de usar un símbolo constante 0 < displaystyle 0>, se puede usar un predicado 0 (x) < displaystyle 0 (x)> (interpretado como x = 0 < displaystyle x = 0>), y reemplace cada predicado como P (0, y) < displaystyle P (0, y)> con ∀ x (0 (x) → P (x, y)) < displaystyle forall x (0 (x) ) flecha derecha P (x, y))>. Una función como f (x 1, x 2,..., X n) < displaystyle f (x_ <1>, x_ <2>. X_)> también será reemplazado por un predicado F (x 1, x 2,..., x n, y) < displaystyle F (x_ <1>, x_ <2>. x_, y)> interpretado como y = f (x 1, x 2,..., x n) < displaystyle y = f (x_ <1>, x_ <2>. x_)>. Este cambio requiere agregar axiomas adicionales a la teoría en cuestión, de modo que las interpretaciones de los símbolos predicados utilizados tengan la semántica correcta. [29]

Restricciones como estas son útiles como técnica para reducir el número de reglas de inferencia o esquemas de axiomas en sistemas deductivos, lo que conduce a pruebas más breves de resultados metalógicos. El costo de las restricciones es que se vuelve más difícil expresar enunciados en lenguaje natural en el sistema formal en cuestión, porque los conectivos lógicos usados ​​en los enunciados en lenguaje natural deben ser reemplazados por sus definiciones (más largas) en términos de la colección restringida de conectivos lógicos. De manera similar, las derivaciones en los sistemas limitados pueden ser más largas que las derivaciones en sistemas que incluyen conectivos adicionales. Por lo tanto, existe una compensación entre la facilidad de trabajar dentro del sistema formal y la facilidad de probar resultados sobre el sistema formal.

También es posible restringir las aridades de los símbolos de función y los símbolos de predicado, en teorías suficientemente expresivas. En principio, se puede prescindir por completo de funciones de aridad mayor que 2 y predicados de aridad mayor que 1 en teorías que incluyen una función de emparejamiento. Esta es una función de arity 2 que toma pares de elementos del dominio y devuelve un par ordenado que los contiene. También es suficiente tener dos símbolos predicados de aridad 2 que definan funciones de proyección desde un par ordenado a sus componentes. En cualquier caso, es necesario que se satisfagan los axiomas naturales para una función de emparejamiento y sus proyecciones.

Lógica de muchos ordenamientos Editar

Las interpretaciones ordinarias de primer orden tienen un solo dominio de discurso sobre el que se extienden todos los cuantificadores. Lógica de primer orden con muchos ordenamientos permite que las variables tengan diferentes ordena, que tienen diferentes dominios. Esto también se llama lógica de primer orden escrita, y los tipos llamados tipos (como en el tipo de datos), pero no es lo mismo que la teoría de tipos de primer orden. La lógica de primer orden de muchos ordenamientos se utiliza a menudo en el estudio de la aritmética de segundo orden. [30]

Cuando solo hay un número finito de tipos en una teoría, la lógica de primer orden de muchos ordenamientos se puede reducir a la lógica de primer orden de un solo orden. [31]: 296-299 Se introduce en la teoría de un solo orden un símbolo de predicado unario para cada género en la teoría de muchos ordenadas, y se agrega un axioma que dice que estos predicados unarios dividen el dominio del discurso. Por ejemplo, si hay dos tipos, uno agrega los símbolos de predicado P 1 (x) < displaystyle P_ <1> (x)> y P 2 (x) < displaystyle P_ <2> (x)> y el axioma

Cuantificadores adicionales Editar

Se pueden agregar cuantificadores adicionales a la lógica de primer orden.

  • A veces es útil decir que " PAG(X) es válido para exactamente uno X", que se puede expresar como ∃!XPAG(X). Esta notación, llamada cuantificación de unicidad, se puede tomar para abreviar una fórmula como ∃X (PAG(X) ∧∀y (PAG(y) → (X = y))) .
  • Lógica de primer orden con cuantificadores adicionales tiene nuevos cuantificadores Qx. con significados como "hay muchos X tal que. Véase también cuantificadores de ramificación y cuantificadores plurales de George Boolos y otros.
  • Cuantificadores acotados se utilizan a menudo en el estudio de la teoría de conjuntos o la aritmética.

Lógicas infinitas Editar

La lógica infinita permite oraciones infinitamente largas. Por ejemplo, se puede permitir una conjunción o disyunción de un número infinito de fórmulas, o una cuantificación de un número infinito de variables. Las oraciones infinitamente largas surgen en áreas de las matemáticas, incluida la topología y la teoría de modelos.

La lógica infinita generaliza la lógica de primer orden para permitir fórmulas de longitud infinita. La forma más común en la que las fórmulas pueden volverse infinitas es a través de conjunciones y disyunciones infinitas. Sin embargo, también es posible admitir firmas generalizadas en las que se permite que los símbolos de función y relación tengan aridades infinitas, o en las que los cuantificadores pueden unir infinitas variables. Debido a que una fórmula infinita no puede ser representada por una cadena finita, es necesario elegir alguna otra representación de fórmulas, la representación habitual en este contexto es un árbol. Por lo tanto, las fórmulas se identifican, esencialmente, con sus árboles de análisis sintáctico, en lugar de con las cadenas que se analizan.

Las lógicas infinitarias más comúnmente estudiadas se denotan Lαβ, donde α y β son números cardinales o el símbolo ∞. En esta notación, la lógica ordinaria de primer orden es Lωω. En la lógica L∞ω, se permiten conjunciones o disyunciones arbitrarias al construir fórmulas, y hay un suministro ilimitado de variables. De manera más general, la lógica que permite conjunciones o disyunciones con menos de κ constituyentes se conoce como Lκω. Por ejemplo, Lω1ω permite conjunciones y disyunciones contables.

El conjunto de variables libres en una fórmula de Lκω puede tener cualquier cardinalidad estrictamente menor que κ, pero solo un número finito de ellos puede estar en el alcance de cualquier cuantificador cuando una fórmula aparece como una subfórmula de otra. [32] En otras lógicas infinitarias, una subfórmula puede estar en el alcance de un número infinito de cuantificadores. Por ejemplo, en Lκ∞, un único cuantificador universal o existencial puede vincular arbitrariamente muchas variables simultáneamente. Del mismo modo, la lógica Lκλ permite la cuantificación simultánea sobre menos de λ variables, así como conjunciones y disyunciones de tamaño menor que κ.

Lógicas modales y no clásicas Editar

  • Lógica intuicionista de primer orden utiliza cálculo proposicional intuicionista en lugar de clásico, por ejemplo, ¬¬φ no necesita ser equivalente a φ.
  • Primer orden lógica modal permite describir otros mundos posibles, así como este mundo contingentemente verdadero que habitamos. En algunas versiones, el conjunto de mundos posibles varía según el mundo posible en el que se habita. La lógica modal tiene más operadores modales con significados que pueden caracterizarse informalmente como, por ejemplo, "es necesario que φ" (verdadero en todos los mundos posibles) y "es posible que φ" (verdadero en algún mundo posible). Con la lógica estándar de primer orden tenemos un solo dominio y a cada predicado se le asigna una extensión. Con la lógica modal de primer orden tenemos un función de dominio que asigna a cada mundo posible su propio dominio, de modo que cada predicado obtiene una extensión sólo relativa a estos mundos posibles. Esto nos permite modelar casos en los que, por ejemplo, Alex es un filósofo, pero podría haber sido un matemático y podría no haber existido en absoluto. En el primer mundo posible PAG(a) es cierto, en el segundo PAG(a) es falso, y en el tercer mundo posible no hay a en el dominio en absoluto.
  • Lógicas difusas de primer orden son extensiones de primer orden de la lógica proposicional difusa en lugar del cálculo proposicional clásico.

Lógica de punto fijo Editar

Lógica de punto fijo extiende la lógica de primer orden agregando el cierre debajo de los puntos menos fijos de los operadores positivos. [33]

Lógicas de orden superior Editar

El rasgo característico de la lógica de primer orden es que los individuos pueden cuantificarse, pero no los predicados. Por lo tanto

es una fórmula legal de primer orden, pero

no lo es, en la mayoría de las formalizaciones de la lógica de primer orden. La lógica de segundo orden amplía la lógica de primer orden al agregar el último tipo de cuantificación. Otras lógicas de orden superior permiten la cuantificación sobre tipos incluso superiores a los que permite la lógica de segundo orden. Estos tipos superiores incluyen relaciones entre relaciones, funciones de relaciones a relaciones entre relaciones y otros objetos de tipo superior. Así, el "primero" en la lógica de primer orden describe el tipo de objetos que se pueden cuantificar.

A diferencia de la lógica de primer orden, para la que solo se estudia una semántica, existen varias semánticas posibles para la lógica de segundo orden. La semántica más comúnmente empleada para la lógica de segundo orden y de orden superior se conoce como semántica completa. La combinación de cuantificadores adicionales y la semántica completa de estos cuantificadores hace que la lógica de orden superior sea más fuerte que la lógica de primer orden. En particular, la relación de consecuencia lógica (semántica) para la lógica de segundo orden y la lógica de orden superior no es semidecidible; no existe un sistema de deducción eficaz para la lógica de segundo orden que sea sólido y completo bajo la semántica completa.

La lógica de segundo orden con semántica completa es más expresiva que la lógica de primer orden. Por ejemplo, es posible crear sistemas de axiomas en lógica de segundo orden que caractericen de manera única los números naturales y la línea real. El costo de esta expresividad es que las lógicas de segundo orden y de orden superior tienen menos propiedades metálicas atractivas que la lógica de primer orden. Por ejemplo, el teorema de Löwenheim-Skolem y el teorema de compacidad de la lógica de primer orden se vuelven falsos cuando se generalizan a lógicas de orden superior con semántica completa.

La demostración automatizada de teoremas se refiere al desarrollo de programas de computadora que buscan y encuentran derivaciones (demostraciones formales) de teoremas matemáticos. [34] Encontrar derivaciones es una tarea difícil porque el espacio de búsqueda puede ser muy grande. Una búsqueda exhaustiva de todas las posibles derivaciones es teóricamente posible pero computacionalmente inviable para muchos sistemas de interés en matemáticas. Así, se desarrollan funciones heurísticas complicadas para intentar encontrar una derivación en menos tiempo que una búsqueda ciega. [ cita necesaria ]

El área relacionada de verificación de pruebas automatizada utiliza programas de computadora para verificar que las pruebas creadas por humanos sean correctas. A diferencia de los complicados probadores de teoremas automatizados, los sistemas de verificación pueden ser lo suficientemente pequeños como para comprobar su exactitud tanto a mano como a través de la verificación automatizada del software. Esta validación del verificador de pruebas es necesaria para dar confianza en que cualquier derivación etiquetada como "correcta" es realmente correcta.

Algunos verificadores de pruebas, como Metamath, insisten en tener una derivación completa como entrada. Otros, como Mizar e Isabelle, toman un boceto de prueba bien formateado (que aún puede ser muy largo y detallado) y completan las piezas faltantes haciendo búsquedas de prueba simples o aplicando procedimientos de decisión conocidos: la derivación resultante es luego verificada por un pequeño núcleo "kernel". Muchos de estos sistemas están destinados principalmente a un uso interactivo por parte de matemáticos humanos: estos se conocen como asistentes de prueba. También pueden usar lógicas formales que son más fuertes que la lógica de primer orden, como la teoría de tipos. Debido a que una derivación completa de cualquier resultado no trivial en un sistema deductivo de primer orden será extremadamente larga para que la escriba un humano, [35] los resultados a menudo se formalizan como una serie de lemas, para los cuales las derivaciones se pueden construir por separado.

Los probadores de teoremas automatizados también se utilizan para implementar la verificación formal en informática. En este escenario, los probadores de teoremas se utilizan para verificar la corrección de programas y de hardware, como procesadores, con respecto a una especificación formal. Debido a que dicho análisis requiere mucho tiempo y, por lo tanto, es costoso, generalmente se reserva para proyectos en los que un mal funcionamiento tendría graves consecuencias humanas o financieras.

Para el problema de la verificación del modelo, se sabe que los algoritmos eficientes deciden si una estructura finita de entrada satisface una fórmula de primer orden, además de los límites de complejidad computacional: consulte Verificación de modelos # Lógica de primer orden.


Ecuaciones lineales de primer orden

A ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la siguiente forma:

La solución general viene dada por

llamado factor integrador. Si se da una condición inicial, úsela para encontrar la constante C.

Estos son algunos pasos prácticos a seguir: 1. Si la ecuación diferencial se da como

2. Encuentra el factor integrador

3. Evalúa la integral 4. Escribe la solución general

5. Si le dan un PVI, use la condición inicial para encontrar la constante C.


Ejemplo: encuentre la solución particular de:

Solución: Usemos los pasos: Paso 1: No es necesario volver a escribir la ecuación diferencial. Tenemos

Paso 2: Factor integrador

Paso 4: La solución general viene dada por

Paso 5: Para encontrar la solución particular al PVI dado, usamos la condición inicial para encontrar C. De hecho, tenemos

Por lo tanto, la solución es

Tenga en cuenta que es posible que no tenga que realizar el último paso si se le pide que busque la solución general (no un PVI).


Argumentos de entrada

Eqn1. eqnN & # 8212 Ecuaciones diferenciales de orden superior ecuación diferencial simbólica | matriz de ecuaciones diferenciales simbólicas

Ecuaciones diferenciales de orden superior, especificadas como una ecuación diferencial simbólica o una matriz de ecuaciones diferenciales simbólicas. Utilice el operador == para crear una ecuación. Utilice la función diff para indicar diferenciación. Por ejemplo, represente D 2 y(t)/dt 2 = t y(t) ingresando el siguiente comando.


Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden

Toma la ecuación diferencial

Las variables no se pueden separar, pero observe que el lado izquierdo es igual a $ frac(xy) $ de la regla del producto. Entonces la ecuación diferencial se convierte en

Integre ambos lados con respecto a $ x $ para obtener la solución general

Las ecuaciones diferenciales de esta forma donde un lado es la derivada exacta de un producto y el otro se puede integrar con respecto a la variable independiente ($ x $ en este caso) es una ecuación diferencial exacta de primer orden.


Esquema de trabajo de matemáticas para SS 2 (1er semestre 2do semestre y 3er semestre)

ESQUEMA DE TRABAJO DE MATEMÁTICAS SS 2 PRIMER TRIMESTRE

  1. Logaritmos
  2. Aproximaciones y precisión
  3. Secuencias y series
  4. Ecuaciones cuadráticas
  5. Ecuaciones simultáneas, lineales y cuadráticas
  6. Gradiente de una curva y líneas

ESQUEMA DE TRABAJO DE MATEMÁTICAS SS 2 SEGUNDO TRIMESTRE

  1. Razonamiento logico
  2. Determinación del gradiente de una curva mediante la lectura de un gráfico
  3. Desigualdades lineales
  4. Fracciones algebraicas
  5. Propiedad de cuerda (geometría circular I)
  6. Teoremas del círculo (geometría del círculo II)
  7. Trigonometría (derivación de la regla del seno)

ESQUEMA DE TRABAJO DE MATEMÁTICAS SS 2 TERCER TRIMESTRE

  1. Trigonometría (Derivación de la regla del coseno)
  2. Relaciones trigonométricas (revisión) y ángulos de elevación y depresión
  3. Aspectos
  4. Estadísticas (datos agrupados)
  5. Probabilidad

Este es el esquema de trabajo de matemáticas aprobado por el gobierno para SS 2 del primer al tercer término actualmente en Nigeria. Sin embargo, puede descargar el archivo PDF gratuito para fines de registro.

Si tiene alguna pregunta con respecto al Plan de trabajo de matemáticas para SS 2 (primer período, segundo período y tercer período), no dude en hacerlo a través del cuadro de comentarios a continuación y le responderemos en consecuencia.


Ver el vídeo: Sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Determinantes - Método de Cramer. Ejemplo 1 (Septiembre 2021).