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3.3E: Ecuaciones autónomas de segundo orden (ejercicios)


Q4.4.1

En Ejercicios 4.4.1-4.4.4 encuentre las ecuaciones de las trayectorias de la ecuación no amortiguada dada. Identifique las soluciones de equilibrio, determine si son estables o inestables y trace algunas trayectorias.

1. (y '' + y ^ 3 = 0 )

2. (y '' + y ^ 2 = 0 )

3. (y '' + y | y | = 0 )

4. (y '' + ye ^ {- y} = 0 )

Q4.4.2

En Ejercicios 4.4.5–4.4.8 encuentre las ecuaciones de las trayectorias de la ecuación no amortiguada dada. Identifique las soluciones de equilibrio, determine si son estables o inestables y encuentre las ecuaciones de las separatrices (es decir, las curvas a través de los equilibrios inestables). Grafique las separatrices y algunas trayectorias en cada una de las regiones del plano de Poincaré determinadas por ellas.

5. (y '' - y ^ 3 + 4y = 0 )

6. (y '' + y ^ 3-4y = 0 )

7. (y '' + y (y ^ 2-1) (y ^ 2-4) = 0 )

8. (y '' + y (y-2) (y-1) (y + 2) = 0 )

Q4.4.3

En Ejercicios 4.4.9–4.4.12 trazar algunas trayectorias de la ecuación dada para varios valores (positivo, negativo, cero) del parámetro a. Encuentre los equilibrios de la ecuación y clasifíquelos como estables o inestables. Explique por qué las gráficas del plano de fase correspondientes a valores positivos y negativos de a difieren tan marcadamente. ¿Puedes pensar en una razón por la cual cero merece ser llamado el valor crítico de (a )?

9. (y '' + y ^ 2-a = 0 )

10. (y '' + y ^ 3-ay = 0 )

11. (y '' - y ^ 3 + ay = 0 )

12. (y '' + y-ay ^ 3 = 0 )

Q4.4.4

En Ejercicios 4.4.13-4.4.18 Trace las trayectorias de la ecuación dada para (c = 0 ) y valores pequeños distintos de cero (positivos y negativos) de (c ) para observar los efectos del amortiguamiento.

13. (y '' + cy '+ y ^ 3 = 0 )

14. (y '' + cy'-y = 0 )

15. (y '' + cy '+ y ^ 3 = 0 )

16. (y '' + cy '+ y ^ 2 = 0 )

17. (y '' + cy '+ y | y | = 0 )

18. (y '' + y (y-1) + cy = 0 )

Q4.4.5

19. El ecuación de van der Pol

[y '' - mu (1-y ^ 2) y '+ y = 0, tag {A} ]

donde ( mu ) es una constante positiva y (y ) es corriente eléctrica (sección 6.3), surge en el estudio de un circuito eléctrico cuyas propiedades resistivas dependen de la corriente. El término de amortiguación (- mu (1-y ^ 2) y ') funciona para reducir (| y | ) si (| y | <1 ) o para aumentar (| y | ) si (| y |> 1 ). Se puede demostrar que la ecuación de van der Pol tiene exactamente una trayectoria cerrada, que se llama ciclo límite. Las trayectorias dentro del ciclo límite giran hacia afuera hacia él, mientras que las trayectorias fuera del ciclo límite hacia adentro (Figura [figura: 4.4.16}). Utilice su software de ecuaciones diferenciales favorito para verificar esto para ( mu = .5,1.1.5,2 ). Utilice una cuadrícula con (- 4

20. Ecuación de Rayleigh,

[y '' - mu (1- (y ') ^ 2/3) y' + y = 0 ]

también tiene un ciclo límite. Siga las instrucciones de Ejercicio 4.4.19 para esta ecuación.

21. En relación con la ecuación 4.4.16, suponga (y (0) = 0 ) y (y '(0) = v_0 ), donde (0

  1. Sea (T_1 ) el tiempo necesario para que (y ) aumente de cero a (y _ { max} = 2 sin ^ {- 1} (v_0 / v_c) ). Muestre que [{dy over dt} = sqrt {v_0 ^ 2-v_c ^ 2 sin ^ 2y / 2}, quad 0 le t
  2. Separe las variables en (A) y muestre que [T_1 = int_0 ^ {y _ { max}} {du over sqrt {v_0 ^ 2-v_c ^ 2 sin ^ 2u / 2}} tag {B} ]
  3. Sustituye ( sin u / 2 = (v_0 / v_c) sin theta ) en (B) para obtener [T_1 = 2 int_0 ^ { pi / 2} {d theta over sqrt {v_c ^ 2-v_0 ^ 2 sin ^ 2 theta}}. etiqueta {C} ]
  4. Concluya de la simetría que el tiempo requerido para que ((y (t), v (t)) ) recorra la trayectoria [v ^ 2 = v_0 ^ 2-v_c ^ 2 sin ^ 2y / 2 ] es (T = 4T_1 ), y que consecuentemente (y (t + T) = y (t) ) y (v (t + T) = v (t) ); es decir, la oscilación es periódica con período (T ).
  5. Muestre que si (v_0 = v_c ), la integral en (C) es impropia y diverge a ( infty ). Concluya de esto que (y (t) < pi ) para todo (t ) y ( lim_ {t to infty} y (t) = pi ).

22. Dé una definición directa de un equilibrio inestable de (y '' + p (y) = 0 ).

23. Sea (p ) continuo para todo (y ) y (p (0) = 0 ). Suponga que hay un número positivo ( rho ) tal que (p (y)> 0 ) si (0

[ alpha (r) = min left { int_0 ^ rp (x) , dx, int _ {- r} ^ 0 | p (x) | , dx right } mbox { quad y quad} beta (r) = max left { int_0 ^ rp (x) , dx, int _ {- r} ^ 0 | p (x) | , dx right }. ]

Sea (y ) la solución del problema del valor inicial

[y '' + p (y) = 0, quad y (0) = v_0, quad y '(0) = v_0, ]

y defina (c (y_0, v_0) = v_0 ^ 2 + 2 int_0 ^ {y_0} p (x) , dx ).

  1. Muestre que [0
  2. Muestre que [v ^ 2 + 2 int_0 ^ y p (x) , dx = c (y_0, v_0), quad t> 0. ]
  3. Concluya de (b) que si (c (y_0, v_0) <2 alpha (r) ) entonces (| y | 0 ).
  4. Dado ( epsilon> 0 ), se elige ( delta> 0 ) de modo que [ delta ^ 2 + 2 beta ( delta) < max left { epsilon ^ 2/2 , 2 alpha ( epsilon / sqrt2) right }. ] Demuestre que si ( sqrt {y_0 ^ 2 + v_0 ^ 2} < delta ) entonces ( sqrt {y ^ 2 + v ^ 2} < epsilon ) para (t> 0 ), lo que implica que ( overline y = 0 ) es un equilibrio estable de (y '' + p (y) = 0 ).
  5. Ahora sea (p ) continuo para todo (y ) y (p ( overline y) = 0 ), donde ( overline y ) no es necesariamente cero. Suponga que hay un número positivo ( rho ) tal que (p (y)> 0 ) si ( overline y

24. Sea (p ) continuo para todo (y ).

  1. Suponga (p (0) = 0 ) y hay un número positivo ( rho ) tal que (p (y) <0 ) si (0 0 ). Concluya que ( overline y = 0 ) es un equilibrio inestable de (y '' + p (y) = 0 ).
  2. Ahora sea (p ( overline y) = 0 ), donde ( overline y ) no es necesariamente cero. Suponga que hay un número positivo ( rho ) tal que (p (y) <0 ) si ( overline y
  3. Modifica tus pruebas de (a) y (b) para mostrar que si hay un número positivo ( rho ) tal que (p (y)> 0 ) if ( overline y- rho le y < overline y ), entonces ( overline y ) es un equilibrio inestable de (y '' + p (y) = 0 ).

ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES POR RAINVILLE PDF

Ecuaciones de orden uno 3. Métodos numéricos 4. Aplicaciones elementales 5. Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno 6. Ecuaciones diferenciales lineales 7. Mecánica elemental. Segundo orden autónomo Capítulo 10 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales. Introducción a. Archivo PDF de la Ecuación Diferencial Elemental. Problema y soluciones SOLAMENTE que se encuentran en

Autor: Nikokinos Grolrajas
País: Honduras
Idioma: Ingles Español)
Género: Política
Publicado (último): 16 de noviembre de 2004
Paginas: 19
Tamaño del archivo PDF: 3,37 Mb
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ISBN: 433-6-32152-522-3
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5.3 Métodos analíticos para resolver EDO de segundo orden con coeficientes lineales

Con base en las soluciones de la ecuación auxiliar, la solución toma las siguientes formas:

  • Si las soluciones son k = α, β donde α, β ∈ ℜ, con α ≠ β entonces las soluciones de la ecuación original son de la forma y = A e α x + B e β x, donde A, B ∈ ℜ son Las constantes de integración serán determinadas por las condiciones iniciales o de contorno.
  • Si las soluciones son k = α donde α ∈ ℜ entonces las soluciones de la ecuación original son de la forma y = (A + B x) e α x, donde A, B ∈ ℜ son constantes de integración que se determinarán por la inicial o condiciones de contorno.
  • Si las soluciones son k = ± β i donde β ∈ ℜ entonces las soluciones de la ecuación original son de la forma y = A sin ⁡ (β x) + B cos ⁡ (β x), donde A, B ∈ ℜ son constantes de integración a ser determinada por las condiciones iniciales o de frontera.
  • Si las soluciones son k = α ± β i donde α, β ∈ ℜ entonces las soluciones de la ecuación original son de la forma y = eax [A sin ⁡ (β x) + B cos ⁡ (β x)], donde A , B ∈ ℜ son constantes de integración que se determinarán mediante condiciones iniciales o de contorno.

Tutorial

d 2 y d x 2 + 2 d y d x + y = 0

Las soluciones de la ecuación auxiliar son ambas k = - 1, por lo tanto, la solución general es

Aplicando las condiciones de contorno y (0) = 0, y '(1) = 1 da B = e 1, A = 0, y la solución es por lo tanto


Biografías de los autores

Stephen A. Wirkus completó su Ph.D. en la Universidad de Cornell bajo la dirección de Richard Rand. Comenzó a guiar proyectos de investigación de pregrado mientras estaba en la escuela de posgrado y llegó a Cal Poly Pomona en 2000 después de ser profesor invitado en Cornell durante un año. Fue cofundador del Instituto de Verano de Ciencias Matemáticas Aplicadas (AMSSI), un programa de investigación de pregrado organizado conjuntamente por la Universidad Loyola Marymount, que se desarrolló entre 2005 y 2007. Llegó a la Universidad Estatal de Arizona en 2007 como profesor asociado titular y ganó el premio Profesor 2013 Premio del Año en ASU, así como el premio al Mentor del Año 2011 de NSF AGEP. Fue profesor visitante de MLK en el Instituto de Tecnología de Massachusetts en 2013-2014. Ha guiado a más de 80 estudiantes de pregrado en investigación y se ha desempeñado como presidente de 4 M.S. estudiantes y 2 Ph.D. estudiantes. Tiene más de 30 publicaciones e informes técnicos con más de 40 estudiantes y ha recibido subvenciones de la NSF y la NSA para guiar la investigación de pregrado.

Randall J. Swift completó su Ph.D. en la Universidad de California, Riverside bajo la dirección de M. M. Rao. Comenzó su carrera en la Western Kentucky University y enseñó allí durante casi una década antes de mudarse a Cal Poly Pomona en 2001 como profesor asociado titular. Es activo en la investigación y la docencia, siendo autor de más de 80 artículos de revistas, tres monografías de investigación y tres libros de texto, además de ser presidente de 25 M.S. estudiantes. Ahora es profesor y recibió el Premio de Investigación Distinguida Ralph W. Ames 2011-12 de la Facultad de Ciencias de Cal Poly Pomona. El premio honra a Swift por su destacada investigación tanto en matemáticas puras como aplicadas, y sus contribuciones al campo de las matemáticas como orador, editor de revistas e investigador principal en numerosas subvenciones. También fue profesor invitado en 2007-2008 en la Universidad Nacional de Australia en Canberra, Australia, además de haber enseñado en Claremont Colleges.
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Características

  • Describe métodos analíticos y numéricos para estudiar EDO
  • Muestra a los estudiantes cómo usar MATLAB, Maple y Mathematica de manera efectiva en la práctica, asumiendo que no tienen conocimiento previo de los paquetes de software.
  • Cubre temas esenciales de álgebra lineal, como vectores propios, bases y transformaciones, para mejorar la comprensión de los estudiantes de las ecuaciones diferenciales.
  • Incluye numerosos problemas de diferentes niveles de dificultad para estudiantes de matemáticas puras y aplicadas, así como para ingenieros y otros no matemáticos.
  • Ofrece respuestas a la mayoría de los problemas extraños al final del libro.
  • Contiene revisiones y proyectos al final de cada capítulo.

Nuevo en la segunda edición

  • Mueve los códigos de computadora a los laboratorios de computación al final de cada capítulo, lo que brinda a los profesores flexibilidad en el uso de la tecnología.
  • Cubre los sistemas lineales en su totalidad antes de abordar las aplicaciones a sistemas no lineales.
  • Incorpora las últimas versiones de MATLAB, Maple y Mathematica
  • Incluye nuevas secciones sobre variables complejas, la fórmula de respuesta exponencial para resolver ecuaciones no homogéneas, vibraciones forzadas y no dimensionalización.
  • Destaca nuevas aplicaciones y modelado en muchos campos.
  • Presenta conjuntos de ejercicios que progresan en dificultad.
  • Contiene gráficos en color para ayudar a los estudiantes a comprender mejor los conceptos cruciales en las EDO
  • Proporciona proyectos actualizados y ampliados en cada capítulo.

Análisis de las ecuaciones de competencia Lotka-Volterra como modelo de sustitución tecnológica

Este artículo proporciona información sobre la dinámica de las ecuaciones de competencia de Lotka-Volterra (LVC), un modelo de competencia muy utilizado, y compara la dinámica de la sustitución competitiva de LVC con la de varios modelos de sustitución bien conocidos. El comportamiento de las ecuaciones de LVC se analiza para el caso especial de un competidor dominante en equilibrio que es reemplazado después de la introducción de una pequeña población de un competidor invasor con una ventaja competitiva. Se derivan expresiones que describen el crecimiento del competidor invasor y que se muestra que el crecimiento es de cuatro clases: asimétrico a la izquierda, logístico, asimétrico a la derecha con 1−ε2 asíntota y asimétrica derecha con γ asíntota.Se muestra que el modelo LVC vuelve a la sustitución logística en un mercado de tamaño fijo, resultado con importantes implicaciones. Las ecuaciones de LVC se ajustan a los modelos de sustitución de Gompertz, Bass, Non-Symmetrical Responding Logistic (NSRL) y Sharif-Kabir y se comparan mediante una técnica gráfica novedosa. Las ecuaciones de LVC pueden imitar razonablemente la gama completa de formas de curvas exhibidas por cada uno de estos modelos.


3 respuestas 3

Creo que debes recordar que los modelos ARIMA son ateo modelos, por lo que el enfoque habitual para interpretar los coeficientes de regresión estimados no se traslada realmente al modelado ARIMA.

Para interpretar (o comprender) los modelos ARIMA estimados, sería bueno conocer las diferentes características mostradas por varios modelos ARIMA comunes.

Podemos explorar algunas de estas características investigando los tipos de pronósticos producidos por diferentes modelos ARIMA. Este es el enfoque principal que he adoptado a continuación, pero una buena alternativa sería mirar el funciones de respuesta al impulso o rutas de tiempo dinámicas asociado con diferentes modelos ARIMA (o ecuaciones en diferencias estocásticas). Hablaré de estos al final.

Consideremos un modelo AR (1) por un momento. En este modelo, podemos decir que cuanto menor sea el valor de $ alpha_ <1> $, más rápida será la tasa de convergencia (a la media). Podemos intentar comprender este aspecto de los modelos AR (1) investigando la naturaleza de los pronósticos para un pequeño conjunto de modelos AR (1) simulados con diferentes valores para $ alpha_ <1> $.

El conjunto de cuatro modelos AR (1) que discutiremos se puede escribir en notación algebraica como: begin Y_ = C + 0,95 Y_ + nu_

(4) end donde $ C $ es una constante y el resto de la notación se sigue del OP. Como puede verse, cada modelo difiere solo con respecto al valor de $ alpha_ <1> $.

En el siguiente gráfico, he trazado pronósticos fuera de la muestra para estos cuatro modelos AR (1). Se puede observar que los pronósticos para el modelo AR (1) con $ alpha_ <1> = 0.95 $ convergen a un ritmo más lento con respecto a los otros modelos. Los pronósticos para el modelo AR (1) con $ alpha_ <1> = 0.4 $ convergen a un ritmo más rápido que los demás.

Nota: cuando la línea roja es horizontal, ha alcanzado la media de la serie simulada.

Ahora consideremos cuatro modelos MA (1) con diferentes valores para $ theta_ <1> $. Los cuatro modelos que discutiremos se pueden escribir como: begin Y_ = C + 0,95 nu_ + nu_

En el siguiente gráfico, he trazado pronósticos fuera de la muestra para estos cuatro modelos MA (1) diferentes. Como muestra el gráfico, el comportamiento de los pronósticos en los cuatro casos es una convergencia rápida (lineal) marcadamente similar a la media. Nótese que hay menos variedad en la dinámica de estos pronósticos en comparación con los de los modelos AR (1).

Nota: cuando la línea roja es horizontal, ha alcanzado la media de la serie simulada.

Las cosas se ponen mucho más interesantes cuando empezamos a considerar modelos ARIMA más complejos. Tomemos, por ejemplo, los modelos AR (2). Estos son solo un pequeño paso adelante del modelo AR (1), ¿verdad? Bueno, uno podría querer pensar eso, pero la dinámica de los modelos AR (2) es bastante rica en variedad, como veremos en un momento.

Exploremos cuatro modelos AR (2) diferentes:

empezar Y_ = C + 1,7 Y_ -0,8 Y_ + nu_

(9) Y_ = C + 0,9 Y_ -0,2 Y_ + nu_

(10) Y_ = C + 0.5 Y_ -0,2 Y_ + nu_

(11) Y_ = C + 0.1 Y_ -0,7 Y_ + nu_

Los pronósticos fuera de la muestra asociados con cada uno de estos modelos se muestran en el gráfico a continuación. Está bastante claro que cada uno difiere significativamente y también son un grupo bastante variado en comparación con los pronósticos que hemos visto anteriormente, a excepción de los pronósticos del modelo 2 (gráfico superior derecho) que se comportan de manera similar a los de un AR (1) modelo.

Nota: cuando la línea roja es horizontal, ha alcanzado la media de la serie simulada.

¡El punto clave aquí es que no todos los modelos AR (2) tienen la misma dinámica! Por ejemplo, si la condición, begin alpha_ <1> ^ <2> +4 alpha_ <2> & lt 0, end está satisfecho, entonces el modelo AR (2) muestra un comportamiento pseudoperiódico y, como resultado, sus pronósticos aparecerán como ciclos estocásticos. Por otro lado, si no se cumple esta condición, los ciclos estocásticos no estarán presentes en los pronósticos, sino que los pronósticos serán más similares a los de un modelo AR (1).

Vale la pena señalar que la condición anterior proviene de la solución general a la forma homogénea de la ecuación en diferencias lineal, autónoma, de segundo orden (con raíces complejas). Si esto le resulta extraño, le recomiendo tanto el Capítulo 1 de Hamilton (1994) como el Capítulo 20 de Hoy et al. (2001).

La prueba de la condición anterior para los cuatro modelos AR (2) da como resultado lo siguiente: begin (1.7) ^ <2> + 4 (-0.8) = -0.31 & lt 0

Como se esperaba por la aparición de los pronósticos graficados, la condición se cumple para cada uno de los cuatro modelos excepto para el modelo 2. Recuerde del gráfico, los pronósticos del modelo 2 se comportan ("normalmente") de manera similar a los pronósticos de un modelo AR (1). Los pronósticos asociados con los otros modelos contienen ciclos.

Aplicación: modelado de la inflación

Ahora que tenemos algunos antecedentes bajo nuestros pies, intentemos interpretar un modelo AR (2) en una aplicación. Considere el siguiente modelo para la tasa de inflación ($ pi_$): begin Pi_ = C + alpha_ <1> pi_ + alpha_ <2> pi_ + nu_. final Una expresión natural para asociar con un modelo de este tipo sería algo como: "la inflación de hoy depende del nivel de inflación de ayer y del nivel de inflación de anteayer". Ahora, no discutiría en contra de tal interpretación, pero sugeriría que se tome cierta precaución y que deberíamos profundizar un poco más para idear una interpretación adecuada. En este caso podríamos preguntarnos, ¿de qué manera se relaciona la inflación con los niveles previos de inflación? ¿Hay ciclos? Si es así, ¿cuántos ciclos hay? ¿Podemos decir algo sobre el pico y el valle? ¿Qué tan rápido convergen los pronósticos a la media? Y así.

Este es el tipo de preguntas que podemos hacer cuando intentamos interpretar un modelo AR (2) y, como puede ver, no es tan sencillo como tomar un coeficiente estimado y decir "un aumento de 1 unidad en esta variable está asociado con un aumento de tantas unidades en la variable dependiente" - asegurándose de colocar el ceteris paribus condición a esa declaración, por supuesto.

Tenga en cuenta que en nuestra discusión hasta ahora, solo hemos explorado una selección de modelos AR (1), MA (1) y AR (2). Ni siquiera hemos analizado la dinámica de los modelos ARMA mixtos y los modelos ARIMA que implican retrasos más altos.

Para mostrar lo difícil que sería interpretar modelos que caen en esa categoría, imagine otro modelo de inflación: un ARMA (3,1) con $ alpha_ <2> $ restringido a cero: begin Pi_ = C + alpha_ <1> pi_ + alpha_ <3> pi_ + theta_ <1> nu_ + nu_. final

Di lo que quieras, pero aquí es mejor intentar comprender la dinámica del sistema en sí. Como antes, podemos mirar y ver qué tipo de pronósticos produce el modelo, pero el enfoque alternativo que mencioné al comienzo de esta respuesta fue mirar el función de respuesta al impulso o camino del tiempo asociado con el sistema.

Esto me lleva a la siguiente parte de mi respuesta, donde discutiremos las funciones de respuesta al impulso.

Funciones de respuesta a impulsos

Aquellos que estén familiarizados con las autorregresiones vectoriales (VAR) sabrán que, por lo general, se intenta comprender el modelo VAR estimado interpretando las funciones de respuesta al impulso en lugar de intentar interpretar los coeficientes estimados, que a menudo son demasiado difíciles de interpretar de todos modos.

Se puede adoptar el mismo enfoque al intentar comprender los modelos ARIMA. Es decir, en lugar de tratar de dar sentido a declaraciones (complicadas) como "La inflación de hoy depende de la inflación de ayer y de la inflación de hace dos meses, ¡pero no de la inflación de la semana pasada!", en su lugar, trazamos la función de respuesta al impulso y tratamos de darle sentido.

Aplicación: cuatro macro variables

Para este ejemplo (basado en Leamer (2010)), consideremos cuatro modelos ARIMA basados ​​en cuatro variables macroeconómicas: crecimiento del PIB, inflación, tasa de desempleo y tasa de interés a corto plazo. Los cuatro modelos han sido estimados y pueden escribirse como: begin Y_ & amp = & amp 3.20 + 0.22 Y_ + 0,15 Y_ + nu_ Pi_ & amp = & amp 4.10 + 0.46 pi_ + 0.31 pi_ + 0.16 pi_ + 0.01 pi_ + nu_ u_ & amp = & amp 6.2+ 1.58 u_ - 0,64 u_ + nu_ r_ & amp = & amp 6.0 + 1.18 r_ - 0,23 r_ + nu_ final donde $ Y_$ denota el crecimiento del PIB en el momento $ t $, $ pi $ denota inflación, $ u $ denota la tasa de desempleo y $ r $ denota la tasa de interés a corto plazo (tesorería a 3 meses).

Las ecuaciones muestran que el crecimiento del PIB, la tasa de desempleo y la tasa de interés a corto plazo se modelan como procesos AR (2) mientras que la inflación se modela como un proceso AR (4).

En lugar de intentar interpretar los coeficientes de cada ecuación, grafiquemos las funciones de respuesta al impulso (IRF) e interpretémoslas en su lugar. El siguiente gráfico muestra las funciones de respuesta al impulso asociadas con cada uno de estos modelos.

No tome esto como una clase magistral en la interpretación de los IRF, piense en ello más como una introducción básica, pero de todos modos, para ayudarnos a interpretar los IRF, tendremos que acostumbrarnos a dos conceptos. impulso y persistencia.

Estos dos conceptos se definen en Leamer (2010) de la siguiente manera:

Impulso: Momentum es la tendencia a seguir moviéndose en la misma dirección. El efecto de impulso puede compensar la fuerza de regresión (convergencia) hacia la media y puede permitir que una variable se aleje de su media histórica, durante algún tiempo, pero no indefinidamente.

Persistencia: Una variable de persistencia permanecerá donde está y convergerá lentamente solo a la media histórica.

Equipados con este conocimiento, ahora hacemos la pregunta: Suponga que una variable está en su media histórica y recibe un choque temporal de una unidad en un solo período, ¿cómo responderá la variable en períodos futuros? Esto es similar a hacer las preguntas que hicimos antes, como, ¿Las previsiones contienen ciclos?, ¿Qué tan rápido convergen los pronósticos a la media?etc.

Por fin, ahora podemos intentar interpretar las IRF.

Después de un choque de una unidad, la tasa de desempleo y la tasa de interés a corto plazo (tesorería a 3 meses) se trasladan más allá de su media histórica. Este es el efecto de impulso. Los IRF también muestran que la tasa de desempleo se sobrepasa en mayor medida que la tasa de interés a corto plazo.

También vemos que todas las variables vuelven a sus medias históricas (ninguna de ellas "explota"), aunque cada una lo hace a ritmos diferentes. Por ejemplo, el crecimiento del PIB vuelve a su media histórica después de aproximadamente 6 períodos después de un shock, la tasa de desempleo vuelve a su media histórica después de aproximadamente 18 períodos, pero la inflación y los intereses a corto plazo tardan más de 20 períodos en volver a sus medias históricas. En este sentido, el crecimiento del PIB es la menos persistente de las cuatro variables, mientras que se puede decir que la inflación es muy persistente.

Creo que es una conclusión justa decir que hemos logrado (al menos parcialmente) dar sentido a lo que nos dicen los cuatro modelos ARIMA sobre cada una de las cuatro variables macro.

En lugar de intentar interpretar los coeficientes estimados en los modelos ARIMA (difícil para muchos modelos), intente comprender la dinámica del sistema. Podemos intentar esto explorando los pronósticos producidos por nuestro modelo y trazando la función de respuesta al impulso.


3.3E: Ecuaciones autónomas de segundo orden (ejercicios)

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