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1.3: Campos de dirección para ecuaciones de primer orden


Es imposible encontrar fórmulas explícitas para la solución de algunas ecuaciones diferenciales. En este caso podemos recurrir a métodos gráficos o numéricos para tener una idea de cómo se comportan las soluciones de la ecuación dada.

En la sección 2.3 abordaremos la cuestión de la existencia de soluciones de una ecuación de primer orden [ label {eq: 1.3.1} y '= f (x, y). ]

En esta sección simplemente asumiremos que la Ecuación ref {eq: 1.3.1} tiene soluciones y discutiremos un método gráfico para aproximarlas. En el Capítulo 3 discutimos métodos numéricos para obtener soluciones aproximadas de la Ecuación ref {eq: 1.3.1}. Recuerde que una solución de la ecuación ref {eq: 1.3.1} es una función (y = y (x) ) tal que

[y '(x) = f (x, y (x)) nonumber ]

para todos los valores de (x ) en algún intervalo, y una curva integral es la gráfica de una solución o está formada por segmentos que son gráficas de soluciones. Por tanto, no poder resolver la Ecuación ref {eq: 1.3.1} es equivalente a no conocer las ecuaciones de las curvas integrales de la Ecuación ref {eq: 1.3.1}. Sin embargo, es fácil calcular las pendientes de estas curvas. Para ser específico, la pendiente de una curva integral de la Ecuación ref {eq: 1.3.1} a través de un punto dado ((x_0, y_0) ) está dada por el número (f (x_0, y_0) ). Esta es la base de el método de los campos de dirección.

Si (f ) se define en un conjunto (R ), podemos construir un campo de dirección para la ecuación ref {eq: 1.3.1} en (R ) dibujando un segmento de línea corto a través de cada punto ((x, y) ) en (R ) con pendiente (f (x, y ) ). Por supuesto, en la práctica, no podemos trazar segmentos de línea a través de cada apuntar en (R ); más bien, debemos seleccionar un conjunto finito de puntos en (R ). Por ejemplo, supongamos que (f ) se define en la región rectangular cerrada [R: {a le x le b, c le y le d }. Nonumber ]

Sea [a = x_0 formar un cuadrícula rectangular (Figura ( PageIndex {1} )). A través de cada punto de la cuadrícula, dibujamos un segmento de línea corto con pendiente (f (x_i, y_j) ). El resultado es una aproximación a un campo de dirección para la Ecuación ref {eq: 1.3.1} en (R ). Si los puntos de la cuadrícula son lo suficientemente numerosos y cercanos, podemos dibujar curvas integrales aproximadas de la Ecuación ref {eq: 1.3.1} dibujando curvas a través de puntos en la cuadrícula tangentes a los segmentos de línea asociados con los puntos en la cuadrícula.

Desafortunadamente, aproximar un campo de dirección y graficar curvas integrales de esta manera es demasiado tedioso para hacerlo a mano de manera efectiva. Sin embargo, existe un software para hacer esto. Como verá, la combinación de campos de dirección y curvas integrales proporciona información útil sobre el comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial, incluso si no podemos obtener soluciones exactas.

Estudiaremos métodos numéricos para resolver una sola ecuación de primer orden Ecuación ref {eq: 1.3.1} en el Capítulo 3. Estos métodos se pueden usar para trazar curvas solución de la Ecuación ref {eq: 1.3.1} en una forma rectangular región (R ) si (f ) es continuo en (R ). Las figuras ( PageIndex {2} ), ( PageIndex {3} ) y ( PageIndex {4} ) muestran campos de dirección y curvas solución para las ecuaciones diferenciales:

  • (y '= frac {x ^ 2-y ^ 2} {1 + x ^ 2 + y ^ 2} ),
  • (y '= 1 + xy ^ 2 ), y
  • (y '= frac {x-y} {1 + x ^ 2} ).

que son todos de la forma Ecuación ref {eq: 1.3.1} con (f ) continuo para todo ((x, y) ).

Los métodos del Capítulo 3 no funcionarán para la ecuación [ label {eq: 1.3.2} y '= - x / y ]

si (R ) contiene parte del eje (x ) -, ya que (f (x, y) = - x / y ) no está definido cuando (y = 0 ). Del mismo modo, no funcionarán para la ecuación

[ label {eq: 1.3.3} y '= {x ^ 2 over1-x ^ 2-y ^ 2} ]

si (R ) contiene cualquier parte del círculo unitario (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ), porque el lado derecho de la Ecuación ref {eq: 1.3.3} no está definido si (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ). Sin embargo, la Ecuación ref {eq: 1.3.2} y la Ecuación ref {eq: 1.3.3} pueden escribirse como

[ label {eq: 1.3.4} y '= {A (x, y) over B (x, y)} ]

donde (A ) y (B ) son continuas en cualquier rectángulo (R ). Debido a esto, algunos software de ecuaciones diferenciales se basan en la resolución numérica de pares de ecuaciones de la forma

[ label {eq: 1.3.5} {dx over dt} = B (x, y), quad {dy over dt} = A (x, y) ]

donde (x ) y (y ) se consideran funciones de un parámetro (t ). Si (x = x (t) ) y (y = y (t) ) satisfacen estas ecuaciones, entonces

[y '= {dy over dx} = {dy over dt} left / {dx over dt} right. = {A (x, y) over B (x, y)}, nonumber ]

entonces (y = y (x) ) satisface la Ecuación ref {eq: 1.3.4}.

Las ecuaciones ref {eq: 1.3.2} y ref {eq: 1.3.3} se pueden reformular como en la Ecuación ref {eq: 1.3.4} con [{dx over dt} = - y, quad {dy over dt} = x nonumber ]

y

[{dx over dt} = 1-x ^ 2-y ^ 2, quad {dy over dt} = x ^ 2, nonumber ]

respectivamente. Incluso si (f ) es continuo y "agradable" en todo (R ), su software puede requerir que reformule la ecuación (y '= f (x, y) ) como

[{dx over dt} = 1, quad {dy over dt} = f (x, y), nonumber ]

que es de la forma Ecuación ref {eq: 1.3.5} con (A (x, y) = f (x, y) ) y (B (x, y) = 1 ).

La Figura ( PageIndex {5} ) muestra un campo de dirección y algunas curvas integrales para la Ecuación ref {eq: 1.3.2}. Como vimos en el Ejemplo [ejemplo: 1.2.1} y verificaremos nuevamente en la Sección 2.2, las curvas integrales de la Ecuación ref {eq: 1.3.2} son círculos centrados en el origen.

La Figura ( PageIndex {6} ) muestra un campo de dirección y algunas curvas integrales para la Ecuación ref {eq: 1.3.3}. Las curvas integrales cerca de la parte superior e inferior son curvas solución. Sin embargo, las curvas integrales cerca del medio son más complicadas. Por ejemplo, la Figura ( PageIndex {7} ) muestra la curva integral a través del origen. Los vértices del rectángulo punteado están en el círculo (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) ( (a approx.846 ), (b approx.533 )), donde todas las curvas integrales de La ecuación ref {eq: 1.3.3} tiene pendiente infinita. Hay tres curvas solución de la Ecuación ref {eq: 1.3.3} en la curva integral de la figura: el segmento por encima del nivel (y = b ) es la gráfica de una solución en ((- infty, a) ), el segmento debajo del nivel (y = -b ) es la gráfica de una solución en ((- a, infty) ), y el segmento entre estos dos niveles es la gráfica de una solución en ((- a, a) ).

Usando tecnología

A medida que estudie este libro, a menudo se le pedirá que utilice software y gráficos de computadora. Los ejercicios con esta intención se marcan como (se requiere computadora o calculadora), (se requiere computadora y / o gráficos) o (trabajo de laboratorio que requiere software y / o gráficos). A menudo, es posible que no comprenda completamente cómo el software hace lo que hace. Esto es similar a la situación en la que se encuentra la mayoría de las personas cuando conducen automóviles o ven televisión, y no disminuye el valor de utilizar la tecnología moderna como ayuda para el aprendizaje. Solo tenga cuidado de utilizar la tecnología como un complemento del pensamiento en lugar de un sustituto de él.


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