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3.E: Introducción a las ecuaciones diferenciales (ejercicios) - Matemáticas


8.1: Conceptos básicos de ecuaciones diferenciales

En los ejercicios 1 a 7, determine el orden de cada ecuación diferencial.

1) (y ′ + y = 3y ^ 2 )

Respuesta
1er orden

2) ((y ′) ^ 2 = y ′ + 2y )

3) (y '' '+ y''y ′ = 3x ^ 2 )

Respuesta
3er orden

4) (y ′ = y '' + 3t ^ 2 )

5) ( dfrac {dy} {dt} = t )

Respuesta
1er orden

6) ( dfrac {dy} {dx} + dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 3x ^ 4 )

7) ( left ( dfrac {dy} {dt} right) ^ 2 + 8 dfrac {dy} {dt} + 3y = 4t )

Respuesta
1er orden

En los ejercicios 8 a 17, verifique que la función dada sea una solución a la ecuación diferencial dada.

8) (y = dfrac {x ^ 3} {3} quad ) resuelve ( quad y ′ = x ^ 2 )

9) (y = 2e ^ {- x} + x − 1 quad ) resuelve ( quad y ′ = x − y )

10) (y = e ^ {3x} - dfrac {e ^ x} {2} quad ) resuelve ( quad y ′ = 3y + e ^ x )

11) (y = dfrac {1} {1 − x} quad ) resuelve ( quad y ′ = y ^ 2 )

12) (y = e ^ {x ^ 2} / 2 quad ) resuelve ( quad y ′ = xy )

13) (y = 4 + ln x quad ) resuelve ( quad xy ′ = 1 )

14) (y = 3 − x + x ln x quad ) resuelve ( quad y ′ = ln x )

15) (y = 2e ^ x − x − 1 quad ) resuelve ( quad y ′ = y + x )

16) (y = e ^ x + dfrac { sin x} {2} - dfrac { cos x} {2} quad ) resuelve ( quad y ′ = cos x + y )

17) (y = πe ^ {- cos x} quad ) resuelve ( quad y ′ = y sin x )

En los ejercicios 18 a 27, verifique la solución general dada y encuentre la solución particular.

18) Encuentre la solución particular a la ecuación diferencial (y ′ = 4x ^ 2 ) que pasa por ((−3, −30) ), dado que (y = C + dfrac {4x ^ 3} { 3} ) es una solución general.

19) Encuentre la solución particular a la ecuación diferencial (y ′ = 3x ^ 3 ) que pasa por ((1,4.75) ), dado que (y = C + dfrac {3x ^ 4} {4} ) es una solución general.

Respuesta
(y = 4 + dfrac {3x ^ 4} {4} )

20) Encuentre la solución particular a la ecuación diferencial (y ′ = 3x ^ 2y ) que pasa por ((0,12) ), dado que (y = Ce ^ {x ^ 3} ) es un solución general.

21) Encuentre la solución particular a la ecuación diferencial (y ′ = 2xy ) que pasa por ((0, frac {1} {2}) ), dado que (y = Ce ^ {x ^ 2 } ) es una solución general.

Respuesta
(y = frac {1} {2} e ^ {x ^ 2} )

22) Encuentre la solución particular a la ecuación diferencial (y ′ = (2xy) ^ 2 ) que pasa por ((1, - frac {1} {2}) ), dado que (y = - dfrac {3} {C + 4x ^ 3} ) es una solución general.

23) Encuentre la solución particular a la ecuación diferencial (y′x ^ 2 = y ) que pasa por ((1, frac {2} {e}) ), dado que (y = Ce ^ { −1 / x} ) es una solución general.

Respuesta
(y = 2e ^ {- 1 / x} )

24) Encuentre la solución particular a la ecuación diferencial (8 dfrac {dx} {dt} = - 2 cos (2t) - cos (4t) ) que pasa por ((π, π) ), dado que (x = C− frac {1} {8} sin (2t) - frac {1} {32} sin (4t) ) es una solución general.

25) Encuentre la solución particular a la ecuación diferencial ( dfrac {du} {dt} = tan u ) que pasa por ((1, frac {π} {2}) ), dado que ( u = sin ^ {- 1} (e ^ {C + t}) ) es una solución general.

Respuesta
(u = sin ^ {- 1} (e ^ {- 1 + t}) )

26) Encuentre la solución particular a la ecuación diferencial ( dfrac {dy} {dt} = e ^ {(t + y)} ) que pasa por ((1,0) ), dado que (y = - ln (C − e ^ t) ) es una solución general.

27) Encuentre la solución particular a la ecuación diferencial (y ′ (1 − x ^ 2) = 1 + y ) que pasa por ((0, −2), ) dado que (y = C dfrac { sqrt {x + 1}} { sqrt {1 − x}} - 1 ) es una solución general.

Respuesta
(y = - dfrac { sqrt {x + 1}} { sqrt {1 − x}} - 1 )

En los ejercicios 28 a 37, encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

28) (y ′ = 3x + e ^ x )

29) (y ′ = ln x + tan x )

Respuesta
(y = C − x + x ln x− ln ( cos x) )

30) (y ′ = sin x e ^ { cos x} )

31) (y ′ = 4 ^ x )

Respuesta
(y = C + dfrac {4 ^ x} { ln (4)} )

32) (y ′ = sin ^ {- 1} (2x) )

33) (y ′ = 2t sqrt {t ^ 2 + 16} )

Respuesta
(y = frac {2} {3} sqrt {t ^ 2 + 16} (t ^ 2 + 16) + C )

34) (x ′ = coth t + ln t + 3t ^ 2 )

35) (x ′ = t sqrt {4 + t} )

Respuesta
(x = frac {2} {15} sqrt {4 + t} (3t ^ 2 + 4t − 32) + C )

36) (y ′ = y )

37) (y ′ = dfrac {y} {x} )

Respuesta
(y = Cx )

En los ejercicios 38 a 42, resuelve los problemas con valores iniciales comenzando por (y (t = 0) = 1 ) y (y (t = 0) = - 1. ) Dibuja ambas soluciones en la misma gráfica.

38) ( dfrac {dy} {dt} = 2t )

39) ( dfrac {dy} {dt} = - t )

Respuesta
(y = 1− dfrac {t ^ 2} {2}, ) y (y = - dfrac {t ^ 2} {2} −1 )

40) ( dfrac {dy} {dt} = 2y )

41) ( dfrac {dy} {dt} = - y )

Respuesta
(y = e ^ {- t} ) y (y = −e ^ {- t} )

42) ( dfrac {dy} {dt} = 2 )

En los ejercicios 43 a 47, resuelva los problemas con valores iniciales a partir de (y_0 = 10 ). ¿En qué momento (y ) aumenta a (100 ) o cae a (1 )?

43) ( dfrac {dy} {dt} = 4t )

Respuesta
(y = 2 (t ^ 2 + 5), ) Cuando (t = 3 sqrt {5}, ) (y ) aumentará a (100 ).

44) ( dfrac {dy} {dt} = 4y )

45) ( dfrac {dy} {dt} = - 2y )

Respuesta
(y = 10e ^ {- 2t}, ) Cuando (t = - frac {1} {2} ln ( frac {1} {10}), ) (y ) disminuirá a (1 ).

46) ( dfrac {dy} {dt} = e ^ {4t} )

47) ( dfrac {dy} {dt} = e ^ {- 4t} )

Respuesta
(y = frac {1} {4} (41 − e ^ {- 4t}), ) Ninguna condición sucederá nunca.

Recuerde que una familia de soluciones incluye soluciones de una ecuación diferencial que se diferencian por una constante. Para los ejercicios 48 a 52, usa tu calculadora para graficar una familia de soluciones a la ecuación diferencial dada. Utilice condiciones iniciales de (y (t = 0) = - 10 ) a (y (t = 0) = 10 ) aumentando en (2 ). ¿Existe algún punto crítico en el que el comportamiento de la solución comience a cambiar?

48) [T] (y ′ = y (x) )

49) [T] (xy ′ = y )

Respuesta
La solución cambia de creciente a decreciente en (y (0) = 0 ).

50) [T] (y ′ = t ^ 3 )

51) [T] (y ′ = x + y ) (Sugerencia: (y = Ce ^ x − x − 1 ) es la solución general)

Respuesta
La solución cambia de creciente a decreciente en (y (0) = 0 ).

52) [T] (y ′ = x ln x + sin x )

53) Encuentre la solución general para describir la velocidad de una bola de masa (1 ) lb que se lanza hacia arriba a una velocidad de (a ) pies / seg.

Respuesta
(v (t) = - 32t + a )

54) En el problema anterior, si la velocidad inicial de la pelota lanzada al aire es (a = 25 ) pies / s, escriba la solución particular a la velocidad de la pelota. Resuelva para encontrar el momento en que la pelota golpea el suelo.

55) Lanzas dos objetos con masas diferentes (m_1 ) y (m_2 ) al aire con la misma velocidad inicial de (a ) ft / s. ¿Cuál es la diferencia en su velocidad después de (1 ) segundo?

Respuesta
(0 ) pies / s

56) [T] Lanzas una bola de masa (1 ) kilogramo hacia arriba con una velocidad de (a = 25 ) m / s en Marte, donde la fuerza de gravedad es (g = −3,711 ) m /s2. Usa tu calculadora para calcular cuánto tiempo más está la bola en el aire en Marte.

57) [T] Para el problema anterior, usa tu calculadora para calcular cuánto más alto subió la bola en Marte.

Respuesta
(4.86 ) metros

58) [T] Un automóvil en la autopista acelera de acuerdo con (a = 15 cos (πt), ) donde (t ) se mide en horas. Establezca y resuelva la ecuación diferencial para determinar la velocidad del automóvil si tiene una rapidez inicial de (51 ) mph. Después de (40 ) minutos de conducción, ¿cuál es la velocidad del conductor?

59) [T] Para el automóvil del problema anterior, encuentre la expresión para la distancia que el automóvil ha viajado en el tiempo (t ), asumiendo una distancia inicial de (0 ). ¿Cuánto tarda el automóvil en recorrer (100 ) millas? Redondea tu respuesta a horas y minutos.

Respuesta
(x = 50t− frac {15} {π ^ 2} cos (πt) + frac {3} {π ^ 2}, 2 ) horas (1 ) minuto

60) [T] Para el problema anterior, calcule la distancia total recorrida en la primera hora.

61) Sustituye (y = Be ^ {3t} ) en (y′ − y = 8e ^ {3t} ) para encontrar una solución particular.

Respuesta
(y = 4e ^ {3t} )

62) Sustituye (y = a cos (2t) + b sin (2t) ) en (y ′ + y = 4 sin (2t) ) para encontrar una solución particular.

63) Sustituye (y = a + bt + ct ^ 2 ) en (y ′ + y = 1 + t ^ 2 ) para encontrar una solución particular.

Respuesta
(y = 1−2t + t ^ 2 )

64) Sustituye (y = ae ^ t cos t + be ^ t sin t ) en (y ′ = 2e ^ t cos t ) para encontrar una solución particular.

65) Resuelve (y ′ = e ^ {kt} ) con la condición inicial (y (0) = 0 ) y resuelve (y ′ = 1 ) con la misma condición inicial. Cuando (k ) se acerca a (0 ), ¿qué notas?

Respuesta
(y = frac {1} {k} (e ^ {kt} −1) ) y (y = t )

8.2: Campos de dirección y métodos numéricos

Para los siguientes problemas, usa el campo de dirección a continuación de la ecuación diferencial ( displaystyle y '= - 2y. ) Dibuja la gráfica de la solución para las condiciones iniciales dadas.

1) ( Displaystyle y (0) = 1 )

2) ( Displaystyle y (0) = 0 )

Solución:

3) ( Displaystyle y (0) = - 1 )

4) ¿Existen equilibrios? ¿Cuáles son sus estabilidades?

Solución: ( displaystyle y = 0 ) es un equilibrio estable

Para los siguientes problemas, usa el campo de dirección a continuación de la ecuación diferencial ( displaystyle y '= y ^ 2−2y ). Dibuja la gráfica de la solución para las condiciones iniciales dadas.

5) ( Displaystyle y (0) = 3 )

6) ( Displaystyle y (0) = 1 )

Solución:

7) ( Displaystyle y (0) = - 1 )

8) ¿Existen equilibrios? ¿Cuáles son sus estabilidades?

Solución: ( displaystyle y = 0 ) es un equilibrio estable y ( displaystyle y = 2 ) es inestable

Dibuje el campo de dirección para las siguientes ecuaciones diferenciales, luego resuelva la ecuación diferencial. Dibuja tu solución en la parte superior del campo de dirección. ¿Su solución sigue las flechas en su campo de dirección?

9) ( Displaystyle y '= t ^ 3 )

10) ( Displaystyle y '= e ^ t )

11) ( Displaystyle frac {dy} {dx} = x ^ 2cosx )

12) ( Displaystyle frac {dy} {dt} = te ^ t )

13) ( Displaystyle frac {dx} {dt} = cosh (t) )

Dibuja el campo direccional para las siguientes ecuaciones diferenciales. ¿Qué puede decir sobre el comportamiento de la solución? ¿Hay equilibrios? ¿Qué estabilidad tienen estos equilibrios?

14) ( Displaystyle y '= y ^ 2−1 )

Solución:

15) ( Displaystyle y '= y − x )

16) ( displaystyle y '= 1 − y ^ 2 − x ^ 2 )

Solución:

17) ( Displaystyle y '= t ^ 2siny )

18) ( Displaystyle y '= 3y + xy )

Solución:

Haga coincidir el campo de dirección con las ecuaciones diferenciales dadas. Explique sus selecciones.

19) ( Displaystyle y '= - 3y )

20) ( Displaystyle y '= - 3t )

Solución: ( displaystyle E )

21) ( Displaystyle y '= e ^ t )

22) ( Displaystyle y '= frac {1} {2} y + t )

Solución: ( displaystyle A )

23) ( Displaystyle y '= - ty )

Haga coincidir el campo de dirección con las ecuaciones diferenciales dadas. Explique sus selecciones.

24) ( Displaystyle y '= tsiny )

Solución: ( displaystyle B )

25) ( Displaystyle y '= - tcosy )

26) ( Displaystyle y '= ttany )

Solución: ( displaystyle A )

27) ( Displaystyle y '= pecado ^ 2y )

28) ( Displaystyle y '= y ^ 2t ^ 3 )

Solución: ( displaystyle C )

Estima las siguientes soluciones usando el método de Euler con ( displaystyle n = 5 ) pasos sobre el intervalo ( displaystyle t = [0,1]. ) Si puedes resolver el problema del valor inicial de manera exacta, compara tus solución con la solución exacta. Si no puede resolver el problema del valor inicial, se le proporcionará la solución exacta para que la compare con el método de Euler. ¿Qué precisión tiene el método de Euler?

29) ( Displaystyle y '= - 3y, y (0) = 1 )

30) ( Displaystyle y '= t ^ 2 )

Solución: ( displaystyle 2.24, ) exacta: ( displaystyle 3 )

31) ( displaystyle y ′ = 3t − y, y (0) = 1. ) La solución exacta es ( displaystyle y = 3t + 4e ^ {- t} −3 )

32) ( displaystyle y ′ = y + t ^ 2, y (0) = 3. ) La solución exacta es ( displaystyle y = 5e ^ t − 2 − t ^ 2−2t )

Solución: ( displaystyle 7.739364, ) exacta: ( displaystyle 5 (e − 1) )

33) ( Displaystyle y ′ = 2t, y (0) = 0 )

34) [T] ( displaystyle y '= e ^ {(x + y)}, y (0) = - 1. ) La solución exacta es ( displaystyle y = −ln (e + 1 − e ^ X))

Solución: ( displaystyle −0,2535 ) exacta: ( displaystyle 0 )

35) ( displaystyle y ′ = y ^ 2ln (x + 1), y (0) = 1. ) La solución exacta es ( displaystyle y = - frac {1} {(x + 1) (ln (x + 1) −1)} )

36) ( displaystyle y ′ = 2 ^ x, y (0) = 0, ) La solución exacta es ( displaystyle y = frac {2 ^ x − 1} {ln (2)} )

Solución: ( displaystyle 1.345, ) exacta: ( displaystyle frac {1} {ln (2)} )

37) ( displaystyle y ′ = y, y (0) = - 1. ) La solución exacta es ( displaystyle y = −e ^ x ).

38) ( displaystyle y ′ = - 5t, y (0) = - 2. ) La solución exacta es ( displaystyle y = - frac {5} {2} t ^ 2−2 )

Solución: ( displaystyle −4, ) exacta: ( displaystyle −1/2 )

Las ecuaciones diferenciales se pueden utilizar para modelar epidemias de enfermedades. En el siguiente conjunto de problemas, examinamos el cambio de tamaño de dos subpoblaciones de personas que viven en una ciudad: las personas infectadas y las personas susceptibles a la infección. ( displaystyle S ) representa el tamaño de la población susceptible y ( displaystyle I ) representa el tamaño de la población infectada. Suponemos que si una persona susceptible interactúa con una persona infectada, existe una probabilidad ( displaystyle c ) de que la persona susceptible se infecte. Cada persona infectada se recupera de la infección a un ritmo ( displaystyle r ) y vuelve a ser susceptible. Consideramos el caso de la influenza, donde asumimos que nadie muere a causa de la enfermedad, por lo que asumimos que el tamaño total de la población de las dos subpoblaciones es un número constante, ( displaystyle N ). Las ecuaciones diferenciales que modelan estos tamaños de población son

( displaystyle S '= rI − cSI ) y ( displaystyle I' = cSI − rI. )

Aquí ( displaystyle c ) representa la tasa de contacto y ( displaystyle r ) es la tasa de recuperación.

39) Demuestre que, asumiendo que el tamaño total de la población es constante ( displaystyle (S + I = N), ) puede reducir el sistema a una única ecuación diferencial en ( displaystyle I: I '= c (N − I) I − rI. )

40) Suponiendo que los parámetros son ( displaystyle c = 0.5, N = 5, ) y ( displaystyle r = 0.5 ), dibuja el campo direccional resultante.

41) [T] Usa un software computacional o una calculadora para calcular la solución al problema de valor inicial ( displaystyle y '= ty, y (0) = 2 ) usando el método de Euler con el tamaño de paso dado ( displaystyle h ). Encuentra la solución en ( displaystyle t = 1 ). Para una pista, aquí hay un "pseudocódigo" sobre cómo escribir un programa de computadora para realizar el Método de Euler para ( displaystyle y '= f (t, y), y (0) = 2: )

Crear función ( displaystyle f (t, y) )

Defina los parámetros ( displaystyle y (1) = y_0, t (0) = 0, ) tamaño de paso ( displaystyle h ) y el número total de pasos, ( displaystyle N )

Escribe un bucle for:

para ( displaystyle k = 1 ) a ( displaystyle N )

( Displaystyle fn = f (t (k), y (k)) )

( Displaystyle y (k + 1) = y (k) + h * fn )

( Displaystyle t (k + 1) = t (k) + h )

42) Resuelva el problema de valor inicial para la solución exacta.

Solución: ( displaystyle y '= 2e ^ {t ^ 2/2} )

43) Dibuja el campo direccional

44) ( Displaystyle h = 1 )

Solución: ( displaystyle 2 )

45) [T] ( Displaystyle h = 10 )

46) [T] ( Displaystyle h = 100 )

Solución: ( displaystyle 3.2756 )

47) [T] ( Displaystyle h = 1000 )

48) [T] Evalúa la solución exacta en ( displaystyle t = 1 ). Haz una tabla de errores para el error relativo entre la solución del método de Euler y la solución exacta. ¿Cuánto cambia el error? ¿Puedes explicar?

Solución: ( displaystyle 2 sqrt {e} )

Numero de pieError
( Displaystyle h = 1 ) ( Displaystyle 0.3935 )
( Displaystyle h = 10 ) ( Displaystyle 0.06163 )
( Displaystyle h = 100 ) ( Displaystyle 0,006612 )
( Displaystyle h = 10000 ) ( Displaystyle 0.0006661 )

Considere el problema de valor inicial ( displaystyle y '= - 2y, y (0) = 2. )

49) Muestre que ( displaystyle y = 2e ^ {- 2x} ) resuelve este problema de valor inicial.

50) Dibuje el campo direccional de esta ecuación diferencial.

Solución:

51) [T] A mano, calculadora o computadora, aproxima la solución usando el Método de Euler en ( displaystyle t = 10 ) usando ( displaystyle h = 5 ).

52) [T] Con calculadora o computadora, aproxima la solución usando el Método de Euler en ( displaystyle t = 10 ) usando ( displaystyle h = 100. )

Solución: ( displaystyle 4.0741e ^ {- 10} )

53) [T] Grafica la respuesta exacta y cada aproximación de Euler (para ( displaystyle h = 5 ) y ( displaystyle h = 100 )) en cada h en el campo direccional. ¿Que notaste?

8.3: Ecuaciones separables

En los ejercicios 1 a 4, resuelva los siguientes problemas con valores iniciales con la condición inicial (y_0 = 0 ) y grafique la solución.

1) ( dfrac {dy} {dt} = y + 1 )

Respuesta
(y = e ^ t − 1 )

2) ( dfrac {dy} {dt} = y − 1 )

3) ( dfrac {dy} {dt} = - y + 1 )

Respuesta
(y = 1 − e ^ {- t} )

4) ( dfrac {dy} {dt} = - y − 1 )

En los ejercicios 5 a 14, encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

5) (x ^ 2y '= (x + 1) y )

Respuesta
(y = Cxe ^ {- 1 / x} )

6) (y '= tan (y) x )

7) (y '= 2xy ^ 2 )

Respuesta
(y = dfrac {1} {C − x ^ 2} )

8) ( dfrac {dy} {dt} = y cos (3t + 2) )

9) (2x dfrac {dy} {dx} = y ^ 2 )

Respuesta
(y = - dfrac {2} {C + ln | x |} )

Solución:

10) (y '= e ^ yx ^ 2 )

11) ((1 + x) y '= (x + 2) (y − 1) )

Respuesta
(y = Ce ^ x (x + 1) +1 )

12) ( dfrac {dx} {dt} = 3t ^ 2 (x ^ 2 + 4) )

13) (t dfrac {dy} {dt} = sqrt {1 − y ^ 2} )

Respuesta
(y = sin ( ln | t | + C) )

14) (y '= e ^ xe ^ y )

En los ejercicios 15 a 24, encuentre la solución al problema de valor inicial.

15) (y '= e ^ {y − x}, quad y (0) = 0 )

Respuesta
(y = - ln (e ^ {- x}) ) que se simplifica a (y = x )

16) (y '= y ^ 2 (x + 1), quad y (0) = 2 )

17) ( dfrac {dy} {dx} = y ^ 3xe ^ {x ^ 2}, quad y (0) = 1 )

Respuesta
(y = dfrac {1} { sqrt {2 − e ^ {x ^ 2}}} )

18) ( dfrac {dy} {dt} = y ^ 2e ^ x sin (3x), quad y (0) = 1 )

19) (y '= dfrac {x} { text {sech} ^ 2y}, quad y (0) = 0 )

Respuesta
(y = tanh ^ {- 1} left ( dfrac {x ^ 2} {2} right) )

20) (y '= 2xy (1 + 2y), quad y (0) = - 1 )

21) ( dfrac {dx} {dt} = ln (t) sqrt {1 − x ^ 2}, quad x (1) = 0 )

Respuesta
(x = sin (1 - t + t ln t) )

22) (y '= 3x ^ 2 (y ^ 2 + 4), quad y (0) = 0 )

23) (y '= e ^ y5 ^ x, quad y (0) = ln ( ln (5)) )

Respuesta
(y = ln ( ln (5)) - ln (2−5 ^ x) )

24) (y '= - 2x tan (y), quad y (0) = dfrac {π} {2} )

Para los problemas 25 - 29, use un programa de software o su calculadora para generar los campos direccionales. Resuelva explícitamente y dibuje curvas solución para varias condiciones iniciales. ¿Existen algunas condiciones iniciales críticas que cambian el comportamiento de la solución?

25) [T] (y '= 1−2y )

Respuesta

(y = Ce ^ {- 2} x + dfrac {1} {2} )

26) [T] (y '= y ^ 2x ^ 3 )

27) [T] (y '= y ^ 3e ^ x )

Respuesta

(y = dfrac {1} { sqrt {2} sqrt {C − e ^ x}} )

28) [T] (y '= e ^ y )

29) [T] (y '= y ln (x) )

Respuesta

(y = Ce ^ {- x} x ^ x )

30) La mayoría drogas en el torrente sanguíneo decaen de acuerdo con la ecuación (y '= cy ), donde (y ) es la concentración del fármaco en el torrente sanguíneo. Si la vida media de un fármaco es (2 ) horas, ¿qué fracción de la dosis inicial queda después de (6 ) horas?

31) Se administra un fármaco por vía intravenosa a un paciente a una velocidad de (r ) mg / hy se elimina del cuerpo a una velocidad proporcional a la cantidad de fármaco que aún está presente en el cuerpo, (d ) Preparado y Resuelva la ecuación diferencial, asumiendo que no hay fármaco inicialmente presente en el cuerpo.

Respuesta
(y = frac {r} {d} (1 − e ^ {- dt}) )

32) [T] ¿Con qué frecuencia se debe tomar un medicamento si su dosis es (3 ) mg, se aclara a una velocidad de (c = 0.1 ) mg / hy se requiere (1 ) mg para estar en el torrente sanguíneo en todo momento?

33) Un tanque contiene (1 ) kilogramo de sal disuelto en (100 ) litros de agua. Una solución salina de (0.1 ) kg de sal / L se bombea al tanque a una velocidad de (2 ) L / min y se drena a la misma velocidad. Resuelva para la concentración de sal en el tiempo (t ). Suponga que el tanque está bien mezclado.

Respuesta
(y (t) = 10−9e ^ {- t / 50} )

34) Un tanque que contiene (10 ​​) kilogramos de sal disueltos en (1000 ) litros de agua tiene dos soluciones de sal bombeadas. La primera solución de (0,2 ) kg de sal / L se bombea a una velocidad de (20 ) L / min y la segunda solución de (0.05 ) kg de sal / L se bombea a una velocidad de (5 ) L / min. El tanque se drena a (25 ) L / min. Suponga que el tanque está bien mezclado. Resuelva para la concentración de sal en el tiempo (t ).

35) [T] Para el problema anterior, calcule cuánta sal hay en el tanque (1 ) hora después de que comience el proceso.

Respuesta
(134,3 ) kilogramos

36) La ley de Torricelli establece que para un tanque de agua con un agujero en el fondo que tiene una sección transversal de (A ) y con una altura de agua (h ) por encima del fondo del tanque, la tasa de cambio del volumen de agua que fluye del tanque es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del agua, de acuerdo con ( dfrac {dV} {dt} = - A sqrt {2gh} ), donde (g ) es la aceleración debida a la gravedad. Tenga en cuenta que ( dfrac {dV} {dt} = A dfrac {dh} {dt} ). Resuelva el problema de valor inicial resultante para la altura del agua, suponiendo un tanque con un agujero de radio (2 ) pies. La altura inicial del agua es (100 ) pies.

37) Para el problema anterior, determine cuánto tiempo tarda el tanque en drenar.

Respuesta
(720 ) segundos

Para los problemas 38 a 44, use la ley de enfriamiento de Newton.

38) La base líquida de un helado tiene una temperatura inicial de (200 ° F ) antes de colocarla en un congelador con una temperatura constante de (0 ° F ). Después de (1 ) hora, la temperatura de la base del helado ha disminuido a (140 ° F ). Formule y resuelva el problema del valor inicial para determinar la temperatura del helado.

39) [T] La base líquida de un helado tiene una temperatura inicial de (210 ° F ) antes de colocarla en un congelador con una temperatura constante de (20 ° F ). Después de (2 ) horas, la temperatura de la base del helado ha disminuido a (170 ° F ). ¿A qué hora estará listo el helado para comer? (Suponga que (30 ° F ) es la temperatura óptima para comer).

Respuesta
(24 ) horas (55 ) minutos

40) [T] Estás organizando un helado social. La temperatura exterior es (80 ° F ) y el helado está a (10 ​​° F ). Después de (10 ​​) minutos, la temperatura del helado ha aumentado (10 ​​° F ). ¿Cuánto tiempo más puede esperar antes de que el helado se derrita a (40 ° F )?

41) Usted toma una taza de café a una temperatura (70 ° C ) y la temperatura ambiente en la habitación es (20 ° C ). Suponiendo una velocidad de enfriamiento (k ) de (0.125, ) escriba y resuelva la ecuación diferencial para describir la temperatura del café con respecto al tiempo.

Respuesta
(T (t) = 20 + 50e ^ {- 0.125t} )

42) [T] Tienes una taza de café a la temperatura (70 ° C ) que pones afuera, donde la temperatura ambiente es (0 ° C. ) Después de (5 ) minutos, cuánto más frío está ¿el café?

43) Te tomas una taza de café a una temperatura de (70 ° C ) e inmediatamente viertes (1 ) parte de leche en (5 ) partes de café. La leche está inicialmente a temperatura (1 ° C. ) Escribe y resuelve la ecuación diferencial que gobierna la temperatura de este café.

Respuesta
(T (t) = 20 + 38.5e ^ {- 0.125t} )

44) Tienes una taza de café a la temperatura (70 ° C, ) que dejas enfriar (10 ​​) minutos antes de verter la misma cantidad de leche a (1 ° C ) que en el problema anterior . ¿Cómo se compara la temperatura con la taza anterior después de (10 ​​) minutos?

45) Resuelve el problema genérico (y '= ay + b ) con la condición inicial (y (0) = c. )

Respuesta
(y = (c + ba) e ^ {ax} - frac {b} {a} )

46) Demuestre la ecuación básica de interés compuesto continuo. Suponiendo un depósito inicial de (P_0 ) y una tasa de interés de (r ), establezca y resuelva una ecuación para el interés compuesto continuamente.

47) Suponga una cantidad inicial de nutrientes de (I ) kilogramos en un tanque con (L ) litros. Suponga que se bombea una concentración de (c ) kg / L a una velocidad de (r ) L / min. El tanque está bien mezclado y se drena a una velocidad de (r ) L / min. Encuentre la ecuación que describe la cantidad de nutriente en el tanque.

Respuesta
(y (t) = cL + (I − cL) e ^ {- rt / L} )

48) Las hojas se acumulan en el suelo del bosque a una tasa de (2 ) g / cm2/ año y también se descomponen a una tasa de (90% ) por año. Escribe una ecuación diferencial que rija el número de gramos de hojarasca por centímetro cuadrado de suelo del bosque, suponiendo que en el momento (0 ) no hay hojarasca en el suelo. ¿Esta cantidad se acerca a un valor constante? ¿Cuál es ese valor?

49) Las hojas se acumulan en el suelo del bosque a una tasa de (4 ) g / cm2/ año Estas hojas se descomponen a una tasa de (10% ) por año. Escribe una ecuación diferencial que rija la cantidad de gramos de hojarasca por centímetro cuadrado de suelo del bosque. ¿Esta cantidad se acerca a un valor constante? ¿Cuál es ese valor?

Respuesta
Ecuación diferencial: ( dfrac {dy} {dt} = 4 - 0.1y )
Solución, el modelo para esta situación: (y = 40 (1 − e ^ {- 0.1t}) ),
La cantidad se acerca a un valor estable de 40 g / cm2

8.4: La ecuación logística

Modelo logístico básico

Para los problemas 1 - 11, considere la ecuación logística en la forma (P '= CP − P ^ 2. ) Dibuje el campo direccional y encuentre la estabilidad de los equilibrios.

1) (C = 3 )

2) (C = 0 )

Respuesta

(P = 0 ) semi-estable

3) (C = −3 )

4) Resuelva la ecuación logística para (C = 10 ) y una condición inicial de (P (0) = 2. )

Respuesta
(P = dfrac {10e ^ {10x}} {e ^ {10x} +4} )

5) Resuelva la ecuación logística para (C = −10 ) y una condición inicial de (P (0) = 2 ).

6) Una población de ciervos dentro de un parque tiene una capacidad de carga de (200 ) y una tasa de crecimiento de (2% ). Si la población inicial es (50 ) ciervos, ¿cuál es la población de ciervos en un momento dado?

Respuesta
(P (t) = dfrac {10000e ^ {0.02t}} {150 + 50e ^ {0.02t}} )

7) Una población de ranas en un estanque tiene una tasa de crecimiento de (5%. ) Si la población inicial es (1000 ) ranas y la capacidad de carga es (6000 ), ¿cuál es la población de ranas en ¿en cualquier momento?

8) [T] Las bacterias crecen a una velocidad de (20% ) por hora en una placa de Petri. Si inicialmente hay una bacteria y una capacidad de carga de (1 ) millón de células, ¿cuánto tiempo se tarda en llegar a (500 000 ) células?

Respuesta
(69 ) horas (5 ) minutos

9) [T] Los conejos en un parque tienen una población inicial de (10 ​​) y crecen a una tasa de (4% ) por año. Si la capacidad de carga es (500 ), ¿a qué hora llega la población a (100 ) conejos?

10) [T] Se colocan dos monos en una isla. Después de (5 ) años, hay (8 ) monos y la capacidad de carga estimada es de (25 ) monos. ¿Cuándo llega la población de monos a (16 ) monos?

Respuesta
(8 ) años (11 ) meses

11) [T] Se construye un santuario de mariposas que puede albergar (2000 ) mariposas, y (400 ) mariposas se trasladan inicialmente. Si después de (2 ) meses ahora hay (800 ) mariposas, ¿Cuándo llega la población a (1500 ) mariposas?

Modelo logístico de población con agotamiento

Los siguientes problemas consideran la ecuación logística con un término agregado para el agotamiento, ya sea por muerte o emigración.

12) [T] La población de truchas en un estanque está dada por (P '= 0.4P left (1− dfrac {P} {10000} right) −400 ), donde (400 ) truchas se capturan por año. Use su calculadora o software de computadora para dibujar un campo direccional y dibujar algunas soluciones de muestra. ¿Qué esperas del comportamiento?

Respuesta

13) En el problema anterior, ¿cuáles son las estabilidades de los equilibrios (0

14) [T] Para el problema anterior, use software para generar un campo direccional para el valor (f = 400 ). ¿Cuáles son las estabilidades de los equilibrios?

Respuesta

(P_1 ) semi-estable

15) [T] Para los problemas anteriores, use software para generar un campo direccional para el valor (f = 600. ) ¿Cuáles son las estabilidades de los equilibrios?

16) [T] Para los problemas anteriores, considere el caso en el que se agrega un cierto número de peces al estanque, o (f = −200. ) ¿Cuáles son los equilibrios no negativos y sus estabilidades?

Respuesta

(P_2> 0 ) estable

Es más probable que la cantidad de peces se rija por el número actual de peces presentes, por lo que en lugar de un número constante de peces capturados, la tasa es proporcional al número actual de peces presentes, con proporcionalidad constante (k ) , como (P '= 0.4P left (1− dfrac {P} {10000} right) −kP. )

17) [T] Para el problema de pesca anterior, dibuje un campo direccional asumiendo (k = 0.1 ). Dibuja algunas soluciones que exhiban este comportamiento. ¿Cuáles son los equilibrios y cuáles son sus estabilidades?

18) [T] Use un software o una calculadora para dibujar campos direccionales para (k = 0.4 ). ¿Cuáles son los equilibrios no negativos y sus estabilidades?

Respuesta

(P_1 = 0 ) es semi-estable

19) [T] Use un software o una calculadora para dibujar campos direccionales para (k = 0.6 ). ¿Cuáles son los equilibrios y sus estabilidades?

20) Resuelve esta ecuación, asumiendo un valor de (k = 0.05 ) y una condición inicial de (2000 ) peces.

Respuesta
(y = dfrac {−20} {4 × 10 ^ {- 6} −0,002e ^ {0,01t}} )

21) Resuelve esta ecuación, asumiendo un valor de (k = 0.05 ) y una condición inicial de (5000 ) peces.

Umbrales mínimos de población sostenible

Los siguientes problemas agregan un valor umbral mínimo para que la especie sobreviva, (T ), que cambia la ecuación diferencial a (P '(t) = rP left (1− dfrac {P} {K} derecha) left (1− dfrac {T} {P} right) ).

22) Dibuje el campo direccional de la ecuación logística de umbral, asumiendo (K = 10, r = 0.1, T = 2 ). ¿Cuándo sobrevive la población? ¿Cuándo se extingue?

Respuesta

23) Para el problema anterior, resuelva la ecuación del umbral logístico, asumiendo la condición inicial (P (0) = P_0 ).

24) Los tigres de Bengala en un parque de conservación tienen una capacidad de carga de (100 ) y necesitan un mínimo de (10 ​​) para sobrevivir. Si su población crece a una tasa de (1% ) por año, con una población inicial de (15 ) tigres, calcule el número de tigres presentes.

Respuesta
(P (t) = dfrac {850 + 500e ^ {0.009t}} {85 + 5e ^ {0.009t}} )

25) Un bosque que contiene lémures de cola anillada en Madagascar tiene el potencial de sustentar (5000 ) individuos, y la población de lémures crece a una tasa del (5% ) por año. Se necesita un mínimo de 500 individuos para que los lémures sobrevivan. Dada una población inicial de (600 ) lémures, calcule la población de lémures.

26) La población de pumas en el norte de Arizona tiene una capacidad de carga estimada de (250 ) y crece a una tasa de (0.25% ) por año y debe haber (25 ) para que la población sobreviva. Con una población inicial de (30 ) pumas, ¿cuántos años se necesitarán para sacar a los pumas de la lista de especies en peligro de extinción (al menos (100 ))?

Respuesta
(13 ) años meses

La ecuación de Gompertz

Las siguientes preguntas consideran la ecuación de Gompertz, una modificación para el crecimiento logístico, que a menudo se usa para modelar el crecimiento del cáncer, específicamente el número de células tumorales.

27) La ecuación de Gompertz viene dada por (P (t) '= α ln left ( frac {K} {P (t)} right) P (t). ) Dibuja los campos direccionales para esta ecuación asumiendo que todos los parámetros son positivos, y dado que (K = 1. )

28) Suponga que para una población, (K = 1000 ) y (α = 0.05 ). Dibuje el campo direccional asociado con esta ecuación diferencial y dibuje algunas soluciones. ¿Cuál es el comportamiento de la población?

Respuesta

29) Resuelva la ecuación de Gompertz para (α ) y (K ) y (P (0) = P_0 ) genéricas.

30) [T] La ecuación de Gompertz se ha utilizado para modelar el crecimiento tumoral en el cuerpo humano. Partiendo de una célula tumoral el día (1 ) y asumiendo (α = 0,1 ) y una capacidad de carga de (10 ​​) millones de células, ¿cuánto tiempo se tarda en alcanzar la etapa de "detección" en (5 ) millones de células?

Respuesta
(31.465 ) días

31) [T] Se estima que la población humana mundial alcanzó (3 ) mil millones de personas en (1959 ) y (6 ) mil millones en (1999 ). Suponiendo una capacidad de carga de (16 ) mil millones de seres humanos, escriba y resuelva la ecuación diferencial para el crecimiento logístico y determine en qué año la población alcanzó los (7 ) mil millones.

32) [T] Se estima que la población humana mundial alcanzó (3 ) mil millones de personas en (1959 ) y (6 ) mil millones en (1999 ). Suponiendo una capacidad de carga de (16 ) mil millones de seres humanos, escriba y resuelva la ecuación diferencial para el crecimiento de Gompertz y determine en qué año la población alcanzó los (7 ) mil millones. ¿Fue más preciso el crecimiento logístico o el crecimiento de Gompertz, considerando que la población mundial alcanzó los (7 ) mil millones en octubre (31,2011? )

Respuesta
Septiembre (2008 )

33) Demuestre que la población crece más rápido cuando alcanza la mitad de la capacidad de carga para la ecuación logística (P '= rP left (1− dfrac {P} {K} right) ).

34) ¿Cuándo aumenta la población más rápido en la ecuación logística de umbral (P '(t) = rP left (1− dfrac {P} {K} right) left (1− dfrac {T} {P }derecho))?

Respuesta
( dfrac {K + T} {2} )

35) ¿Cuándo aumenta la población más rápido para la ecuación de Gompertz (P (t) '= α ln left ( frac {K} {P (t)} right) P (t)? )

A continuación se muestra una tabla de las poblaciones de grullas chillonas en estado salvaje desde (1940 ) hasta (2000 ). La población se recuperó de casi extinción después de que comenzaron los esfuerzos de conservación. Los siguientes problemas consideran la aplicación de modelos de población para ajustar los datos. Suponga una capacidad de carga de (10,000 ) grúas. Ajuste los datos asumiendo años desde (1940 ) (por lo que su población inicial en el momento (0 ) sería (22 ) grullas).

Año (años desde que comenzó la conservación) Población de grullas chillonas
1940(0)22
1950(10)31
1960(20)36
1970(30)57
1980(40)91
1990(50)159
2000(60)256

Fuente: https://www.savingcranes.org/images/...wc_numbers.pdf

36) Encuentre la ecuación y el parámetro (r ) que mejor se ajusten a los datos de la ecuación logística.

Respuesta
(r = 0.0405 )

37) Encuentre la ecuación y los parámetros (r ) y (T ) que mejor se ajusten a los datos de la ecuación logística de umbral.

38) Encuentre la ecuación y el parámetro (α ) que mejor se ajusten a los datos de la ecuación de Gompertz.

Respuesta
(α = 0,0081 )

39) Grafica las tres soluciones y los datos en la misma gráfica. ¿Qué modelo parece ser el más preciso?

40) Usando las tres ecuaciones encontradas en los problemas anteriores, estime la población en (2010 ) (año (70 ) después de la conservación). La población real medida en ese momento era (437 ). ¿Qué modelo es el más preciso?

Respuesta
Logística: (361 ), Umbral: (436 ), Gompertz: (309 ).

8.5: Ecuaciones lineales de primer orden

¿Son lineales las siguientes ecuaciones diferenciales? Explica tu razonamiento.

1) ( Displaystyle frac {dy} {dx} = x ^ 2y + senx )

2) ( Displaystyle frac {dy} {dt} = ty )

Solución: ( displaystyle Sí )

3) ( Displaystyle frac {dy} {dt} + y ^ 2 = x )

4) ( Displaystyle y '= x ^ 3 + e ^ x )

Solución: ( displaystyle Sí )

5) ( Displaystyle y '= y + e ^ y )

Escribe las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden en forma estándar.

6) ( Displaystyle y '= x ^ 3y + senx )

Solución: ( displaystyle y'− x ^ 3y = sinx )

7) ( Displaystyle y '+ 3y − lnx = 0 )

8) ( Displaystyle −xy '= (3x + 2) y + xe ^ x )

Solución: ( displaystyle y '+ frac {(3x + 2)} {x} y = −e ^ x )

9) ( Displaystyle frac {dy} {dt} = 4y + ty + tant )

10) ( Displaystyle frac {dy} {dt} = yx (x + 1) )

Solución: ( displaystyle frac {dy} {dt} −yx (x + 1) = 0 )

¿Cuáles son los factores integradores de las siguientes ecuaciones diferenciales?

11) ( Displaystyle y '= xy + 3 )

12) ( Displaystyle y '+ e ^ xy = senx )

Solución: ( displaystyle e ^ x )

13) ( Displaystyle y '= xln (x) y + 3x )

14) ( Displaystyle frac {dy} {dx} = tanh (x) y + 1 )

Solución: ( displaystyle −ln (coshx) )

15) ( Displaystyle frac {dy} {dt} + 3ty = e ^ ty )

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando factores integradores.

16) ( Displaystyle y '= 3y + 2 )

Solución: ( displaystyle y = Ce ^ {3x} - frac {2} {3} )

17) ( Displaystyle y '= 2y − x ^ 2 )

18) ( displaystyle xy '= 3y − 6x ^ 2 )

Solución: ( displaystyle y = Cx ^ 3 + 6x ^ 2 )

19) ( Displaystyle (x + 2) y '= 3x + y )

20) ( Displaystyle y '= 3x + xy )

Solución: ( displaystyle y = Ce ^ {x ^ 2/2} −3 )

21) ( Displaystyle xy '= x + y )

22) ( Displaystyle sin (x) y '= y + 2x )

Solución: ( displaystyle y = Ctan ( frac {x} {2}) - 2x + 4tan ( frac {x} {2}) ln (sin ( frac {x} {2})) )

23) ( Displaystyle y '= y + e ^ x )

24) ( Displaystyle xy '= 3y + x ^ 2 )

Solución: ( displaystyle y = Cx ^ 3 − x ^ 2 )

25) ( Displaystyle y '+ lnx = frac {y} {x} )

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales. Usa tu calculadora para dibujar una familia de soluciones. ¿Existen ciertas condiciones iniciales que cambian el comportamiento de la solución?

26) [T] ( displaystyle (x + 2) y '= 2y − 1 )

Solución: ( displaystyle y = C (x + 2) ^ 2 + frac {1} {2} )

27) [T] ( Displaystyle y '= 3e ^ {t / 3} −2y )

28) [T] ( Displaystyle xy '+ frac {y} {2} = sin (3t) )

Solución: ( displaystyle y = frac {C} { sqrt {x}} + 2sin (3t) )

29) [T] ( Displaystyle xy '= 2 frac {cosx} {x} −3y )

30) [T] ( displaystyle (x + 1) y '= 3y + x ^ 2 + 2x + 1 )

Solución: ( displaystyle y = C (x + 1) ^ 3 − x ^ 2−2x − 1 )

31) [T] ( Displaystyle sin (x) y '+ cos (x) y = 2x )

32) [T] ( Displaystyle sqrt {x ^ 2 + 1} y '= y + 2 )

Solución: ( displaystyle y = Ce ^ {sinh ^ {- 1} x} −2 )

33) [T] ( displaystyle x ^ 3y '+ 2x ^ 2y = x + 1 )

Resuelva los siguientes problemas con valores iniciales mediante el uso de factores integradores.

34) ( Displaystyle y '+ y = x, y (0) = 3 )

Solución: ( displaystyle y = x + 4e ^ x − 1 )

35) ( Displaystyle y '= y + 2x ^ 2, y (0) = 0 )

36) ( displaystyle xy '= y − 3x ^ 3, y (1) = 0 )

Solución: ( displaystyle y = - frac {3x} {2} (x ^ 2−1) )

37) ( displaystyle x ^ 2y '= xy − lnx, y (1) = 1 )

38) ( displaystyle (1 + x ^ 2) y '= y − 1, y (0) = 0 )

Solución: ( displaystyle y = 1 − e ^ {tan ^ {- 1} x} )

39) ( Displaystyle xy '= y + 2xlnx, y (1) = 5 )

40) ( displaystyle (2 + x) y '= y + 2 + x, y (0) = 0 )

Solución: ( displaystyle y = (x + 2) ln ( frac {x + 2} {2}) )

41) (y '= xy + 2xe ^ x, y (0) = 2 )

42) ( Displaystyle sqrt {x} y '= y + 2x, y (0) = 1 )

Solución: ( displaystyle y = 2e ^ {2 sqrt {x}} - 2x − 2 sqrt {x} −1 )

43) ( Displaystyle y '= 2y + xe ^ x, y (0) = - 1 )

Usando tu expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad terminal? (Sugerencia: examine el comportamiento limitante; ¿se aproxima la velocidad a un valor?)

44) [T] Usando tu ecuación para la velocidad terminal, resuelve la distancia caída. ¿Cuánto tiempo se tarda en caer ( displaystyle 5000 ) metros si la masa es ( displaystyle 100 ) kilogramos, la aceleración debida a la gravedad es ( displaystyle 9,8 ) m / s?2 y la constante de proporcionalidad es ( displaystyle 4 )?

Solución: ( displaystyle 40.451 ) segundos

45) Una forma más precisa de describir la velocidad terminal es que la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, con una constante de proporcionalidad ( displaystyle k ). Establezca la ecuación diferencial y resuelva la velocidad.

46) Usando tu expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad terminal? (Sugerencia: Examine el comportamiento limitante: ¿Se acerca la velocidad a un valor?)

Solución: ( displaystyle sqrt { frac {gm} {k}} )

47) [T] Usando tu ecuación para la velocidad terminal, resuelve la distancia caída. ¿Cuánto tiempo se tarda en caer ( displaystyle 5000 ) metros si la masa es ( displaystyle 100 ) kilogramos, la aceleración debida a la gravedad es ( displaystyle 9,8 ) m / s?2 y la constante de proporcionalidad es ( displaystyle 4 )? ¿Toma más o menos tiempo que su estimación inicial?

Para los siguientes problemas, determina cómo el parámetro ( displaystyle a ) afecta la solución.

48) Resuelve la ecuación genérica ( displaystyle y '= ax + y ). ¿Cómo cambia ( displaystyle a ) el comportamiento?

Solución: ( displaystyle y = Ce ^ x − a (x + 1) )

49) Resuelve la ecuación genérica ( displaystyle y '= ax + y. ) ¿Cómo cambia ( displaystyle a ) el comportamiento?

50) Resuelve la ecuación genérica ( displaystyle y '= ax + xy ). ¿Cómo cambia ( displaystyle a ) el comportamiento?

Solución: ( displaystyle y = Ce ^ {x ^ 2/2} −a )

51) Resuelve la ecuación genérica ( displaystyle y '= x + axy. ) ¿Cómo cambia ( displaystyle a ) el comportamiento?

52) Resuelve ( displaystyle y'− y = e ^ {kt} ) con la condición inicial ( displaystyle y (0) = 0 ). A medida que ( displaystyle k ) se acerca a ( displaystyle 1 ), ¿qué sucede con tu fórmula?

Solución: ( displaystyle y = frac {e ^ {kt} −e ^ t} {k − 1} )

Ejercicio de repaso del capítulo

¿Verdadero o falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) La ecuación diferencial ( displaystyle y '= 3x ^ 2y − cos (x) y' ') es lineal.

2) La ecuación diferencial ( displaystyle y '= x − y ) es separable.

Solución: ( displaystyle F )

3) Puede resolver explícitamente todas las ecuaciones diferenciales de primer orden por separación o por el método de integración de factores.

4) Puede determinar el comportamiento de todas las ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando campos direccionales o el método de Euler.

Solución: ( displaystyle T )

Para los siguientes problemas, encuentre la solución general de las ecuaciones diferenciales.

5) ( displaystyle y ′ = x ^ 2 + 3e ^ x − 2x )

6) ( Displaystyle y '= 2 ^ x + cos ^ {- 1} x )

Solución: ( displaystyle y (x) = frac {2 ^ x} {ln (2)} + xcos ^ {- 1} x− sqrt {1 − x ^ 2} + C )

7) ( Displaystyle y '= y (x ^ 2 + 1) )

8) ( Displaystyle y '= e ^ {- y} senx )

Solución: ( displaystyle y (x) = ln (C − cosx) )

9) ( Displaystyle y '= 3x − 2y )

10) ( Displaystyle y '= ylny )

Solución: ( displaystyle y (x) = e ^ {e ^ {C + x}} )

Para los siguientes problemas, encuentre la solución al problema del valor inicial.

11) ( displaystyle y '= 8x − lnx − 3x ^ 4, y (1) = 5 )

12) ( Displaystyle y '= 3x − cosx + 2, y (0) = 4 )

Solución: ( displaystyle y (x) = 4 + frac {3} {2} x ^ 2 + 2x − sinx )

13) ( displaystyle xy '= y (x − 2), y (1) = 3 )

14) ( Displaystyle y '= 3y ^ 2 (x + cosx), y (0) = - 2 )

Solución: ( displaystyle y (x) = - frac {2} {1 + 3 (x ^ 2 + 2sinx)} )

15) ( displaystyle (x − 1) y '= y − 2, y (0) = 0 )

16) ( displaystyle y '= 3y − x + 6x ^ 2, y (0) = - 1 )

Solución: ( displaystyle y (x) = - 2x ^ 2−2x− frac {1} {3} - frac {2} {3} e ^ {3x} )

Para los siguientes problemas, dibuje el campo direccional asociado con la ecuación diferencial, luego resuelva la ecuación diferencial. Dibuja una solución de muestra en el campo direccional.

17) ( Displaystyle y '= 2y − y ^ 2 )

18) ( displaystyle y '= frac {1} {x} + lnx − y, ) para ( displaystyle x> 0 )

Solución: ( displaystyle y (x) = Ce ^ {- x} + lnx )

Para los siguientes problemas, usa el método de Euler con ( displaystyle n = 5 ) pasos sobre el intervalo ( displaystyle t = [0,1]. ) Luego, resuelve el problema de valor inicial exactamente. ¿Qué tan cerca está la estimación del método de Euler?

19) ( Displaystyle y '= - 4yx, y (0) = 1 )

20) ( displaystyle y '= 3 ^ x − 2y, y (0) = 0 )

Solución: Euler: ( displaystyle 0.6939 ), solución exacta: ( displaystyle y (x) = frac {3 ^ x − e ^ {- 2x}} {2 + ln (3)} )

Para los siguientes problemas, configure y resuelva las ecuaciones diferenciales.

21) Un automóvil circula por una autopista y acelera de acuerdo con ( displaystyle a = 5sin (πt), ) donde ( displaystyle t ) representa el tiempo en minutos. Calcula la velocidad en cualquier momento ( displaystyle t ), suponiendo que el automóvil arranca con una velocidad inicial de ( displaystyle 60 ) mph.

22) Lanzas una bola de masa ( displaystyle 2 ) kilogramos al aire con una velocidad ascendente de ( displaystyle 8 ) m / s. Calcula exactamente el tiempo que la pelota permanecerá en el aire, asumiendo que la gravedad viene dada por ( displaystyle g = 9,8 m / s ^ 2 ).

Solución: ( displaystyle frac {40} {49} ) segundo

23) Dejas caer una pelota con una masa de ( displaystyle 5 ) kilogramos por la ventana de un avión a una altura de ( displaystyle 5000 ) m. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo?

24) Dejas caer la misma bola de masa ( displaystyle 5 ) kilogramos por la misma ventana del avión a la misma altura, excepto que esta vez asumes una fuerza de arrastre proporcional a la velocidad de la bola, usando una constante de proporcionalidad de ( displaystyle 3 ) y la pelota alcanza la velocidad terminal. Calcule la distancia recorrida en función del tiempo. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo?

Solución: ( displaystyle x (t) = 5000 + frac {245} {9} - frac {49} {3} t− frac {245} {9} e ^ {- 5 / 3t}, t = 307,8 ) segundos

25) Se administra un fármaco a un paciente cada ( displaystyle 24 ) horas y se elimina a un ritmo proporcional a la cantidad de fármaco que queda en el cuerpo, con una constante de proporcionalidad ( displaystyle 0,2 ). Si el paciente necesita un nivel inicial de ( displaystyle 5 ) mg para estar en el torrente sanguíneo en todo momento, ¿qué tan grande debe ser la dosis?

26) Un tanque de ( displaystyle 1000 ) litros contiene agua pura y una solución de ( displaystyle 0.2 ) kg de sal / L se bombea al tanque a una velocidad de ( displaystyle 1 ) L / min y se drena al mismo ritmo. Resuelve la cantidad total de sal en el tanque en el momento ( displaystyle t ).

Solución: ( displaystyle T (t) = 200 (1 − e ^ {- t / 1000}) )

27) Hierves agua para hacer té. Cuando viertes el agua en la tetera, la temperatura es ( displaystyle 100 ° C. ) Después de ( displaystyle 5 ) minutos en tu habitación ( displaystyle 15 ° C ), la temperatura del té es ( Displaystyle 85 ° C ). Resuelve la ecuación para determinar las temperaturas del té en el momento ( displaystyle t ). ¿Cuánto tiempo debes esperar hasta que el té esté a una temperatura potable ( ( displaystyle 72 ° C ))?

28) La población humana (en miles) de Nevada en ( displaystyle 1950 ) era aproximadamente ( displaystyle 160 ). Si la capacidad de carga se estima en ( displaystyle 10 ) millones de individuos, y asumiendo una tasa de crecimiento de ( displaystyle 2% ) por año, desarrolle un modelo de crecimiento logístico y resuelva para la población de Nevada en cualquier momento ( usa ( displaystyle 1950 ) como tiempo = 0). ¿Qué población predice tu modelo para ( displaystyle 2000 )? ¿Qué tan cerca está tu predicción del valor real de ( displaystyle 1,998,257 )?

Solución: ( displaystyle P (t) = frac {1600000e ^ {0.02t}} {9840 + 160e ^ {0.02t}} )

Repita el problema anterior pero use el modelo de crecimiento de Gompertz. ¿Cuál es más exacto?


Ecuaciones diferenciales: del cálculo a los sistemas dinámicos: segunda edición

Un libro de texto completamente moderno para el curso de ecuaciones diferenciales de segundo año. Los ejemplos y ejercicios enfatizan el modelado no solo en ingeniería y física, sino también en matemáticas aplicadas y biología. Hay una introducción temprana a los métodos numéricos y, en todo momento, un fuerte énfasis en el punto de vista cualitativo de los sistemas dinámicos. Las bifurcaciones y el análisis de la variación de parámetros es un tema persistente.

Suponiendo una exposición previa a solo dos semestres de cálculo, el álgebra lineal necesaria se desarrolla según sea necesario. La exposición es muy clara y atractiva. El libro sería útil para su uso en un enfoque pedagógico de aula invertida o para el autoaprendizaje de un estudiante universitario avanzado o un estudiante graduado principiante.

Esta segunda edición del libro de texto más vendido de Noonburg incluye dos nuevos capítulos sobre ecuaciones diferenciales parciales, lo que hace que el libro se pueda utilizar para una secuencia de dos semestres en ecuaciones diferenciales. Incluye ejercicios, ejemplos y extensos proyectos de estudiantes tomados de la literatura científica y matemática actual.

Existe una serie de extensos proyectos de estudiantes diseñados por el autor y una colección de ejercicios adicionales en la página web del libro. Haga clic en "Materiales suplementarios" en la parte inferior izquierda de esta página para acceder a ellos.

Un manual del instructor para este título está disponible electrónicamente para aquellos instructores que han adoptado el libro de texto para uso en el aula. Envíe un correo electrónico a [email protected] para obtener más información.

Las asignaciones en línea para este título están disponibles en WebAssign. WebAssign es un proveedor líder de herramientas de instrucción en línea para profesores y estudiantes.

Número de lectores

Estudiantes de pregrado interesados ​​en la enseñanza y el aprendizaje de ecuaciones diferenciales (tanto ordinarias como PDE).


3.E: Introducción a las ecuaciones diferenciales (ejercicios) - Matemáticas

En esta sección queremos buscar soluciones para

alrededor ( = 0 ). Estos tipos de ecuaciones diferenciales se denominan Ecuaciones de Euler.

Recuerde de la sección anterior que un punto es un punto ordinario si los cocientes,

tener series de Taylor alrededor ( = 0 ). Sin embargo, debido a (x ) en el denominador, ninguno de estos tendrá una serie de Taylor alrededor de ( = 0 ) y entonces ( = 0 ) es un punto singular. Por lo tanto, el método de la sección anterior no funcionará ya que requería un punto ordinario.

Sin embargo, es posible obtener soluciones para esta ecuación diferencial que no sean soluciones en serie. Comencemos asumiendo que (x & gt0 ) (la razón de esto será evidente después de trabajar en el primer ejemplo) y que todas las soluciones son de la forma,

Ahora conecte esto a la ecuación diferencial para obtener,

[empezara izquierda (r derecha) izquierda ( derecho)<>> + bx left (r right)<>> + c & = 0 ar left ( derecho) + b izquierda (r derecha) + c & = 0 left ( right) + b left (r right) + c> right) & = 0 end]

Ahora, asumimos que (x & gt0 ) y esto solo será cero si,

Entonces las soluciones serán de la forma ( eqref) siempre que (r ) sea una solución a ( eqref). Esta ecuación es cuadrática en (r ), por lo que tendremos tres casos para ver: raíces reales, raíces distintas, raíces dobles y raíces complejas.

Raíces reales y distintas

Realmente no hay mucho que hacer en este caso. Obtendremos dos soluciones que formarán un conjunto fundamental de soluciones (dejaremos que usted lo verifique) y, por lo tanto, nuestra solución general será,

Primero necesitamos encontrar las raíces de ( eqref).

[empezar2r left ( derecha) + 3r - 15 & = 0 2 + r - 15 = izquierda (<2r - 5> derecha) izquierda ( right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> = frac <5> <2>, , , , = - 3 end]

La solución general es entonces,

Para encontrar las constantes, diferenciamos y sustituimos las condiciones iniciales como hicimos en el capítulo de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

La solución real es entonces,

Con la solución de este ejemplo, ahora podemos ver por qué requerimos (x & gt0 ). El segundo término tendría división por cero si permitiéramos (x = 0 ) y el primer término nos daría raíces cuadradas de números negativos si permitiéramos (x & lt0 ).

Raíces dobles

Este caso conducirá al mismo problema que hemos tenido cada dos veces que nos encontramos con raíces dobles (o valores propios dobles). Solo obtenemos una única solución y necesitaremos una segunda solución. En este caso se puede demostrar que la segunda solución será,

y entonces la solución general en este caso es,

Nuevamente podemos ver una razón para requerir (x & gt0 ). Si no lo hiciéramos, tendríamos todo tipo de problemas con ese logaritmo.

[empezarr left ( derecha) - 7r + 16 & = 0 - 8r + 16 & = 0 < izquierda ( right) ^ 2> & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> r = 4 end]

Entonces, la solución general es entonces,

Raíces complejas

En este caso, asumiremos que nuestras raíces tienen la forma,

Si tomamos la primera raíz obtendremos la siguiente solución.

Este es un problema, ya que no queremos soluciones complejas, solo queremos soluciones reales. Podemos eliminar esto recordando que,

Conectar la raíz a esto da,

Tenga en cuenta que también tuvimos que usar la fórmula de Euler para llegar al paso final. Ahora, como hemos hecho todas las veces que hemos visto soluciones como esta, podemos tomar la parte real y la parte imaginaria y usarlas para nuestras dos soluciones.

Entonces, en el caso de raíces complejas, la solución general será,

Una vez más, podemos ver por qué necesitábamos requerir (x & gt 0 ).

Lleva las raíces a ( eqref) primero como siempre.

[empezarr left ( derecha) + 3r + 4 & = 0 + 2r + 4 & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in>> = - 1 pm sqrt 3 , i end]

La solución general es entonces,

Ahora deberíamos hablar sobre cómo lidiar con (x & lt 0 ) ya que, en ocasiones, esa es una posibilidad. Para lidiar con esto, necesitamos usar la transformación de variable,

En este caso, dado que (x & lt 0 ) obtendremos ( eta & gt 0 ). Ahora, defina,

[u left ( eta right) = y left (x right) = y left (<- eta> right) ]

Luego, usando la regla de la cadena, podemos ver que,

[u ' left ( eta right) = - y' left (x right) hspace <0.25in> < mbox> hspace <0.25in> u '' left ( eta right) = y '' left (x right) ]

Con esta transformación, la ecuación diferencial se convierte en,

En otras palabras, desde ( eta & gt0 ) podemos usar el trabajo anterior para obtener soluciones a esta ecuación diferencial. También volveremos a (x ) usando la transformación de variable a la inversa.

Tomemos primero el caso real y distinto para ver qué sucede.

Ahora, podríamos hacer esto para el resto de los casos si quisiéramos, pero antes de hacer eso, observemos que si recordamos la definición de valor absoluto,

podemos combinar nuestras dos soluciones para este caso en una y escribir la solución como,

Tenga en cuenta que todavía necesitamos evitar (x = 0 ) ya que aún podríamos obtener una división por cero. Sin embargo, esta es ahora una solución para cualquier intervalo que no contenga (x = 0 ).

Podemos hacer lo mismo para los otros dos casos y las siguientes soluciones para cualquier intervalo que no contenga (x = 0 ).

Podemos hacer una generalización más antes de trabajar con un ejemplo más. Una forma más general de una ecuación de Euler es,

y podemos pedir soluciones en cualquier intervalo que no contenga (x = ). El trabajo para generar las soluciones en este caso es idéntico a todo el trabajo anterior y, por lo tanto, no se muestra aquí.

Las soluciones en este caso general para cualquier intervalo que no contenga (x = a ) son,

Donde las raíces son soluciones para

[ar left ( right) + b left (r right) + c = 0 ]

Ejemplo 4 Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial en cualquier intervalo que no contenga (x = - 6 ).

Entonces, obtenemos las raíces de la cuadrática idéntica en este caso.

[empezar3r left ( derecha) + 25r - 16 & = 0 3 + 22r - 16 & = 0 izquierda (<3r - 2> derecha) izquierda ( right) & = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> = frac <2> <3>, , , = - 8 end]


Manual de sistemas dinámicos

Prueba

El procedimiento de enderezamiento consta de dos pasos. Primero, vamos a las coordenadas del cuadro de flujo del flujo original. Entonces, la ecuación diferencial original toma la forma (16). En consecuencia, el integrador toma la forma,

A continuación, buscamos un cambio de coordenadas cercano a la identidad en la forma y (z) = z + ɛ u (z, ɛ), que completa el enderezamiento. Este cambio es una solución de la ecuación de conjugabilidad

Esta ecuación toma la forma,

Para aclarar la estructura de la última ecuación conviene reescribirla:

Este es un tipo especial de ecuaciones en diferencias finitas. Es una discretización de una ecuación diferencial de primer orden. Esto propone el tratamiento de la ecuación. La reescribimos como una ecuación “integral” y aplicamos un procedimiento iterativo convergente en una bola adecuadamente elegida de un espacio de Banach.

Considere esta ecuación en el espacio de Banach de todas las funciones analíticas en un pequeño polidisco, V r = , y continuo en su cierre. Este espacio cuenta con la norma supremum. En el Apéndice C se muestra que en este espacio el operador de diferencias finitas tiene un inverso derecho acotado L. Esto significa que cualquier solución de la ecuación “integral”,

satisface automáticamente la Ecuación (18). Hay una constante C tal que ‖ G ˜ ‖ V 2 r ⩽ C y ‖ D G ˜ ‖ V 2 r ⩽ C (si es necesario, podemos reducir ry usar las estimaciones de tipo Cauchy para acotar las derivadas).

Considere dos funciones uyv de una pelota, ‖ υ ‖ V r, ‖ u ‖ V r ⩽ R con radio R = r / ɛ0. La elección de R viene dictada por lo siguiente: si z ∈ V r, entonces z + ɛ u ∈ V 2 r, y el argumento de G ˜ no sale del polidisco V 2 r. Ahora estamos listos para estimar el operador no lineal norte:

Si C ‖ L ‖ & lt R, la pelota es invariante con respecto al operador no lineal N. Si adicionalmente ɛ 0 C ‖ L ‖ & lt 1, la restricción del operador sobre la pelota es contractiva, y el operador tiene un punto fijo único . Este punto fijo proporciona la solución deseada para la ecuación (18). Las desigualdades requeridas pueden satisfacerse reduciendo ɛ0 ya que hemos elegido R = r / ɛ 0. □


Dinámica y control

Las ecuaciones diferenciales se resuelven en Python con el paquete Scipy.integrate usando la función odeint o solve_ivp.

ODEINT requiere tres entradas:

  1. modelo: Nombre de la función que devuelve valores derivados en los valores de yyt solicitados como dydt = model (y, t)
  2. y0: Condiciones iniciales de los estados diferenciales
  3. t: Momentos en los que se debe notificar la solución. Los puntos internos adicionales a menudo se calculan para mantener la precisión de la solución, pero no se informan.

Un ejemplo de uso ODEINT es con la siguiente ecuación diferencial con parámetro k = 0,3, la condición inicial y0=5 y la siguiente ecuación diferencial.

El código Python primero importa los paquetes Numpy, Scipy y Matplotlib necesarios. El modelo, las condiciones iniciales y los puntos de tiempo se definen como entradas para ODEINT calcular numéricamente y (t).

importar numpy como np
de scipy. integrar import odeint
importar matplotlib. pyplot como plt

# función que devuelve dy / dt
def modelo & # 40 y, t & # 41:
k = 0,3
dydt = -k * y
volver dydt

# puntos de tiempo
t = np. linspace y # 40 0, 20 y # 41

# resolver EDO
y = modelo odeint & # 40, y0, t & # 41

# resultados de la trama
plt. parcela & # 40 t, y & # 41
plt. xlabel & # 40 'tiempo' & # 41
plt. ylabel & # 40 'y (t)' & # 41
plt. mostrar & # 40 & # 41

Una cuarta entrada opcional es argumentos que permite pasar información adicional al modelo función. La argumentos la entrada es una secuencia tupla de valores. El argumento k ahora es una entrada al modelo función mediante la inclusión de un argumento de adición.

importar numpy como np
de scipy. integrar import odeint
importar matplotlib. pyplot como plt

# función que devuelve dy / dt
def modelo & # 40 y, t, k & # 41:
dydt = -k * y
volver dydt

# puntos de tiempo
t = np. linspace y # 40 0, 20 y # 41

# resolver EDO
k = 0,1
y1 = odeint & # 40 modelo, y0, t, args = & # 40 k, & # 41 & # 41
k = 0,2
y2 = odeint & # 40 modelo, y0, t, args = & # 40 k, & # 41 & # 41
k = 0,5
y3 = odeint & # 40 modelo, y0, t, args = & # 40 k, & # 41 & # 41

# resultados de la trama
plt. plot & # 40 t, y1, 'r-', linewidth = 2, label = 'k = 0.1' & # 41
plt. plot & # 40 t, y2, 'b--', linewidth = 2, label = 'k = 0.2' & # 41
plt. plot & # 40 t, y3, 'g:', linewidth = 2, label = 'k = 0.5' & # 41
plt. xlabel & # 40 'tiempo' & # 41
plt. ylabel & # 40 'y (t)' & # 41
plt. leyenda & # 40 & # 41
plt. mostrar & # 40 & # 41

Ejercicios

Encuentre una solución numérica para las siguientes ecuaciones diferenciales con las condiciones iniciales asociadas. Expanda el horizonte de tiempo solicitado hasta que la solución alcance un estado estable. Muestre una gráfica de los estados (x (t) y / o y (t)). Informe el valor final de cada estado como `t ​​ to infty`.

importar numpy como np
de scipy. integrar import odeint
importar matplotlib. pyplot como plt

# función que devuelve dy / dt
def modelo & # 40 y, t & # 41:
dydt = -y + 1.0
volver dydt

# puntos de tiempo
t = np. linspace y # 40 0, 5 y # 41

# resolver EDO
y = modelo odeint & # 40, y0, t & # 41

# resultados de la trama
plt. parcela & # 40 t, y & # 41
plt. xlabel & # 40 'tiempo' & # 41
plt. ylabel & # 40 'y (t)' & # 41
plt. mostrar & # 40 & # 41

`u` pasos de 0 a 2 en `t = 10`

importar numpy como np
de scipy. integrar import odeint
importar matplotlib. pyplot como plt

# función que devuelve dy / dt
def modelo & # 40 y, t & # 41:
# u pasa de 0 a 2 en t = 10
si t & lt 10.0:
u = 0
demás :
u = 2
dydt = & # 40 -y + u & # 41 / 5.0
volver dydt

# puntos de tiempo
t = np. linspace & # 40 0, 40, 1000 & # 41

# resolver EDO
y = modelo odeint & # 40, y0, t & # 41

# resultados de la trama
plt. plot & # 40 t, y, 'r-', label = 'Salida (y (t))' & # 41
plt. plot & # 40 & # 91 0, 10, 10, 40 & # 93, & # 91 0, 0, 2, 2 & # 93, 'b-', label = 'Input (u (t))' & # 41
plt. ylabel & # 40 'valores' & # 41
plt. xlabel & # 40 'tiempo' & # 41
plt. leyenda & # 40 loc = 'mejor' & # 41
plt. mostrar & # 40 & # 41

Resuelva para 'x (t)' y 'y (t)' y demuestre que las soluciones son equivalentes.

importar numpy como np
de scipy. integrar import odeint
importar matplotlib. pyplot como plt

# función que devuelve dz / dt
def modelo & # 40 z, t & # 41:
dxdt = 3,0 * np. exp & # 40 -t & # 41
dydt = -z & # 91 1 & # 93 + 3
dzdt = & # 91 dxdt, dydt & # 93
volver dzdt

# condición inicial
z0 = & # 91 0, 0 & # 93

# puntos de tiempo
t = np. linspace y # 40 0, 5 y # 41

# resolver EDO
z = modelo odeint & # 40, z0, t & # 41

# resultados de la trama
plt. trazar & # 40 t, z & # 91:, 0 & # 93, 'b-', etiqueta = r '$ f rac

= 3 e xp (-t)

Resolver ecuaciones diferenciales simples

y '= f (x) Se presenta un conjunto de ejemplos con soluciones detalladas y un conjunto de ejercicios después de los tutoriales. Dependiendo de f (x), estas ecuaciones pueden resolverse analíticamente por integración. En lo que sigue, C es una constante de integración y puede tomar cualquier valor constante.

Ejemplo 1: Resuelva y encuentre una solución general a la ecuación diferencial.
y '= 2x + 1
Solución al ejemplo 1:
Integra ambos lados de la ecuación.
y 'dx = (2x + 1) dx
lo que da
y = x 2 + x + C.
Como práctica, verifique que la solución obtenida satisfaga la ecuación diferencial dada anteriormente.

Ejemplo 2: Resuelva y encuentre una solución general a la ecuación diferencial.
2 y '= pecado (2x)
Solución al ejemplo 2:
Escribe la ecuación diferencial de la forma y '= f (x).
y '= (1/2) pecado (2x)
Integrar ambos lados
y 'dx = (1/2) sin (2x) dx
Sea u = 2x de modo que du = 2 dx, el lado derecho se convierte en
y = (1/4) sin (u) du
Lo que da .
y = (-1/4) cos (u) = (-1/4) cos (2x)

Ejemplo 3: Resuelva y encuentre una solución general a la ecuación diferencial.
y 'e -x + e 2x = 0
Solución al ejemplo 3:
Multiplica todos los términos de la ecuación por e x y escribe la ecuación diferencial de la forma y '= f (x).
y '= - e 3x
Integra ambos lados de la ecuación
y 'dx = - e 3x dx
Sea u = 3x para que du = 3 dx, escriba el lado derecho en términos de u
y = (-1/3) e u du
Lo que da .
y = (-1/3) e u = (-1/3) e 3x

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales.
a) 2y '= 6x
b) y 'cos x = sin (2x)
c) y 'e x = e 3x

Soluciones a los ejercicios anteriores
a) y = (3/2) x 2 + C
b) y = -2 cos x + C
c) y = (1/2) e 2x + C


Haga clic en las preguntas para revelar su solución.

Tenemos: dy / dx = 2 y sdot2 y thinspe 2X = 4 y thinspe 2X
y: D 2 y / dx 2 = 2 y sdot4 y thinspe 2X = 8 y thinspe 2X
& there4 D 2 y / dx 2 y menos dy / dx & menos 2y = 8 y thinspe 2X y menos 4 y thinspe 2X & menos 2 & sdote 2X
= (8 y menos 8) y thinspe 2X
= 0
= RHS

Tenemos: dy / dx = & minus21 & thinspsin & thinsp (3X) y menos 4 y thinspcos y thinsp (2X)
y: D 2 y / dx 2 = & minus63 & thinspcos & thinsp (3X) + 8 y thinspsin y thinsp (2X)
& there4 D 2 y / dx 2 + 2y = & minus63 & thinspcos & thinsp (3X) + 8 y thinspsin (2X) + 2 y thinsp (7 y thinspcos y thinsp (3X) y menos 2 y thinspsin (2X))
= (y menos 63 + 14) y thinspcos y thinsp (3X) + (8 y menos 4) y thinspsin y thinsp (2X)
= & minus49 & thinspcos & thinsp (3X) + 4 y thinspsin (2X)

Nota: la ecuación es de segundo orden, por lo que la solución general tendría dos constantes arbitrarias (indeterminadas).

Observe cuán similar es la solución particular al lado derecho de la ecuación. Implica las mismas funciones, pero tienen un coeficiente diferente, es decir: y tiene la forma ay thinspcos y thinsp (3X) + By thinspsin y thinsp (2X) , dónde a = 7 y B = & menos2.

dy / dx = A& thinspcos & thinsp (X) y menos By thinspsin y thinsp (X)
D 2 y / dx 2 = &menosAy thinspsin y thinsp (X) y menos B& thinspcos & thinsp (X)
& there4 D 2 y / dx 2 + y = (&menosAy thinspsin y thinsp (X) y menos B& thinspcos & thinsp (X)) + (Ay thinspsin y thinsp (X) + B& thinspcos & thinsp (X))
= 0

Nota: dado que la ecuación diferencial es de segundo orden y la solución tiene dos constantes arbitrarias, esta solución es la solución general.

Esta es una ecuación de la forma dy / dx = & fnof(X), y se puede resolver mediante integración directa.

Integre ambos lados con respecto ax:

&En t dy / dx dx = & int (2X + 3)dx
es decir, & int dy = & int (2X + 3)dx
es decir. y = 2 y sdot 1/2 X 2 + 3X + C
es decir. y = X 2 + 3X + C

- dónde C es la constante arbitraria (combinada) que resulta de integrar ambos lados de la ecuación. La solución general debe tener una constante arbitraria ya que la ecuación diferencial es de primer orden.

Esta es de la forma D 2 y / dx 2 = & fnof(X), por lo que podemos resolver y mediante integración directa.

Integre ambos lados con respecto ax:

dy / dx = & menos & int & thinspsin & thinsp (X)dx
= & menos (& menos & thinspcos & thinspX) + A

y = y thinspsin y thinsp (X) + Hacha + B

- dónde A,B son las dos constantes arbitrarias de la solución general. Tenga en cuenta que la ecuación es de segundo orden.

Integrar ambos lados con respecto a t :

dy / dt = &En t un dt
es decir. dy / dt = a + C

y = &En t (a + C)dt
y = 1 / 2 a 2 + Connecticut + D

- dónde C,D son las dos constantes arbitrarias requeridas para la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden.

Integre ambos lados con respecto ax:

D 2 y / dx 2 = & int 3X 2 dx
es decir. D 2 y / dx 2 = 3 y sdot 1/3 X 3 + C
es decir. D 2 y / dx 2 = X 3 + C

dy / dx = &En t (X 3 + C) y thinspdx
es decir. dy / dx = X 4 / 4 + Cx + D

y = &En t ( X 4 / 4 + Cx + D ) y thinspdx
es decir. y = 1 / 20 X 5 + C / 2 X 2 + Dx + mi
es decir. y = 1 / 20 X 5 + C'X 2 + Dx + mi

dónde C' (= C & frasl 2), D y mi son las tres constantes arbitrarias requeridas para la solución general de la ecuación diferencial de tercer orden.

Multiplicar ambos lados de la ecuación por e X da:

mi X & sdote & menosX D 2 y / dx 2 = mi X & sdot3
es decir. D 2 y / dx 2 = 3 y thinspe X

Esto es ahora de la forma D 2 y / dx 2 = & fnof(X), dónde & fnof(X) = 3 & thinspe X , y la solución y se puede encontrar mediante integración directa.

Integre ambos lados con respecto ax:

dy / dx = & int (3e X )dx
es decir. dy / dx = 3 y thinspe X + C

y = & int (3 & thinspe X + C) y thinspdx
es decir. y = 3 y thinspe X + Cx + D

- dónde C y D son las dos constantes arbitrarias de la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden.


3.E: Introducción a las ecuaciones diferenciales (ejercicios) - Matemáticas

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Fuente:

Puede obtener un archivo de la fuente de la versión lanzada en github, busque en https://github.com/jirilebl/diffyqs/releases, aunque si planea trabajar con él, tal vez sea mejor mirar solo la última versión de trabajo ya que podría tener erratas o nuevas adiciones. Aunque estos podrían ser un trabajo en progreso. Quizás lo mejor sea hacérmelo saber.

El archivo principal es diffyqs.tex, que incluye los capítulos que están en archivos separados ch - *. Tex. Compilo el pdf con pdflatex diffyqs. También desea ejecutar makeindex para generar el índice (generalmente ejecuto pdflatex diffyqs tres veces, luego makeindex diffyqs y finalmente pdflatex diffyqs nuevamente). El archivo de instalación con todo el preámbulo que puede querer editar es diffyqssetup.sty.

La versión 'maestra' de github es la versión de trabajo actual, por lo que tendrá los cambios nuevos que haga en mi árbol.

Durante la redacción de este libro, el autor fue apoyado en parte por la subvención de la NSF DMS-0900885 y DMS-1362337.


Mark H. Holmes

Mis intereses de investigación dependen del tiempo. La razón es que me gustan las matemáticas y me gusta usar las matemáticas para comprender el mundo en el que vivimos (es decir, soy un matemático aplicado). Estos son algunos de los temas de investigación para mis estudiantes de doctorado más recientes (en orden cronológico inverso):

Auroras boreales. El problema de la aurora consiste en resolver una ecuación de transporte de electrones en la atmósfera superior que se acopla al modelo cinético para la emisión de luz debido a la dispersión. La ecuación de transporte se resolvió utilizando un método de descomposición de valores propios que permite la resolución precisa de la capa límite bastante extrema cerca de la superficie de la Tierra. Cuando se combinó con el modelo de emisiones de luz, fue posible predecir con precisión la luz (roja, verde y azul) que se ve en una aurora.

Modelo y análisis para el inicio y la progresión de la enfermedad de Parkinson. La enfermedad de Parkinson (EP) se asocia con oscilaciones anormalmente sincronizadas en la beta (

20 Hz) banda de frecuencia en los ganglios basales. Desarrollar una comprensión cuantitativa de la EP implica uno de los mayores desafíos en la neurobiología teórica, que es poder caracterizar las interacciones dinámicas en un modelo de red compleja y distribuida de circuitos neuronales. Usando un modelo de tasa de disparo de campo medio, se mostró cómo las interacciones entre los grupos neuronales cambian de una respuesta de estado estable (saludable) a un comportamiento de ciclo límite a medida que avanza la enfermedad.

Amplificación no lineal en la cóclea. Una cuestión abierta fundamental para comprender cómo escuchamos tiene que ver con el papel de un mecanismo de retroalimentación no lineal conocido como amplificador coclear. En este proyecto, se analizó un modelo continuo tridimensional no lineal para la amplificación de una onda en la cóclea. Esto implicó el uso de una aproximación WKB no lineal y un esquema numérico híbrido, para demostrar que el modelo es capaz de reproducir algunos de los efectos más conocidos del amplificador.

Ciclo sueño-vigilia. El objetivo de este proyecto de investigación es derivar, y luego analizar, un modelo fisiológico del ciclo de sueño-vigilia humano. El enfoque consiste en utilizar las propiedades conocidas de los neurotransmisores asociados con la vigilia y el sueño, y las regiones del cerebro en las que funcionan, para derivar el modelo. Este enfoque también incorpora o tiene en cuenta los estados del sueño (REM y NREM) y los mecanismos que lo regulan (impulso homeostático y sincronización circadiana).

Libros


Introducción a los fundamentos de las matemáticas aplicadas (2a ed.)

Introducción a los métodos de perturbación (2a ed.)

Introducción a las ecuaciones diferenciales 2e

Introducción a la informática científica y al análisis de datos

Introducción a los métodos numéricos en ecuaciones diferenciales

Introducción a los fundamentos de las matemáticas aplicadas
Teorías de mezclas para la mecánica de tejidos biológicos, RPI Web Book, 1995. Página de información

Algunos premios

Y.C. Premio Fung Joven Investigador (ASME)

2000 Premier Award for Excellence in Engineering Education Courseware

Premio a la Innovación Curricular de la ASME 2001

2002 Premio a la excelencia innovadora en la enseñanza, el aprendizaje y la tecnología

Premio ICTCM 2007 a la excelencia e innovación con el uso de tecnología en matemáticas universitarias

Premio al maestro sobresaliente 2007 de Rensselaer Trustee

Subvenciones más grandes (como director de proyecto)

"RTG: Capacitación en investigación en matemáticas aplicadas", con G. Kovacic, P. Kramer, F. Li, Y. Lvov y D. Schwendeman, $ 2,099,878, National Science Foundation. Resumen. [activo]

"GAANN: Asistencia para graduados en áreas de necesidad nacional", con I. Herron, G. Kovacic, F. Li y D. Schwendeman, $ 1,330,000, Departamento de Educación. [inactivo]

"RTG: Grupo de capacitación en investigación en sistemas no lineales a gran escala", con G. Kovacic, P. Kramer, F. Li, Y. Lvov y V. Roytburd, $ 1,272,000, National Science Foundation. Resumen de los primeros tres años de la subvención. [inactivo]

"CSUMS: Entrenamiento en Ciencias Computacionales en Ciencias Matemáticas en Rensselaer", con I. Herron, G. Kovacic, P. Kramer y V. Roytburd, $ 1,251,000, National Science Foundation. Resumen de los tres primeros años de la subvención. [inactivo]

"Iniciativa para la integración vertical de la investigación y la educación en matemáticas aplicadas", con J. Flaherty, G. Kovacic, J. McLaughlin y D. Schwendeman, $ 3,830,000, National Science Foundation. Resumen de los dos últimos años de la subvención. [inactivo]

"Matemáticas y sus aplicaciones en ingeniería y ciencia: construyendo vínculos", con W. Boyce, R. Spilker, K. Conner y J. Wilson, $ 4.016.000, National Science Foundation. [inactivo]

Artículos de investigación recientes (a partir de 2018)

"Un modelo y análisis para la amplificación no lineal de ondas en la cóclea", con K. Fessel. Biociencias Matemáticas

"Propiedades de invariancia para la función de error utilizada para regresión multilineal", con M. Caiola. MÁS UNO

"Solución numérica de la ecuación de transporte de electrones en la atmósfera superior", con M. Woods y W. Sailor. Revista de física computacional

"Modelo y análisis para el inicio de patrones de disparo parkinsonianos en un ganglio basal simplificado", con M. Caiola. Revista internacional de sistemas neuronales

"Métodos numéricos conservadores para osciladores no lineales", American Journal of Physics

"Análisis empírico de enfoques de acoplamiento de fase-amplitud", con M. Caiola, T. Wichmann y A. Devergnas, PLOS ONE


Ver el vídeo: Διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθμού -Διαχωρίσιμες (Septiembre 2021).