Artículos

3.5: La ecuación logística


Objetivos de aprendizaje

  • Describir el concepto de capacidad de carga ambiental en el modelo logístico de crecimiento poblacional.
  • Dibuje un campo de dirección para una ecuación logística e interprete las curvas solución.
  • Resuelva una ecuación logística e interprete los resultados.

Se pueden usar ecuaciones diferenciales para representar el tamaño de una población a medida que varía con el tiempo. Vimos esto en un capítulo anterior en la sección sobre crecimiento y decaimiento exponencial, que es el modelo más simple. Un modelo más realista incluye otros factores que afectan el crecimiento de la población. En esta sección, estudiamos la ecuación diferencial logística y vemos cómo se aplica al estudio de la dinámica de poblaciones en el contexto de la biología.

Crecimiento de la población y capacidad de carga

Para modelar el crecimiento de la población usando una ecuación diferencial, primero necesitamos introducir algunas variables y términos relevantes. La variable (t ). representará el tiempo. Las unidades de tiempo pueden ser horas, días, semanas, meses o incluso años. Cualquier problema dado debe especificar las unidades utilizadas en ese problema en particular. La variable (P ) representará la población. Dado que la población varía con el tiempo, se entiende que es una función del tiempo. Por lo tanto, usamos la notación (P (t) ) para la población en función del tiempo. Si (P (t) ) es una función diferenciable, entonces la primera derivada ( frac {dP} {dt} ) representa la tasa instantánea de cambio de la población en función del tiempo.

En Crecimiento y descomposición exponencial, estudiamos el crecimiento y la descomposición exponencial de poblaciones y sustancias radiactivas. Un ejemplo de una función de crecimiento exponencial es (P (t) = P_0e ^ {rt}. ) En esta función, (P (t) ) representa la población en el tiempo (t, P_0 ) representa la población inicial (población en el tiempo (t = 0 )), y la constante (r> 0 ) se llama tasa de crecimiento. La figura ( PageIndex {1} ) muestra una gráfica de (P (t) = 100e ^ {0.03t} ). Aquí (P_0 = 100 ) y (r = 0.03 ).

Podemos verificar que la función (P (t) = P_0e ^ {rt} ) satisface el problema del valor inicial

[ dfrac {dP} {dt} = rP ]

con (P (0) = P_0. )

Esta ecuación diferencial tiene una interpretación interesante. El lado izquierdo representa la tasa a la que la población aumenta (o disminuye). El lado derecho es igual a una constante positiva multiplicada por la población actual. Por lo tanto, la ecuación diferencial establece que la tasa a la que aumenta la población es proporcional a la población en ese momento. Además, establece que la constante de proporcionalidad nunca cambia.

Un problema con esta función es su predicción de que a medida que pasa el tiempo, la población crece sin límites. Esto no es realista en un entorno del mundo real. Varios factores limitan la tasa de crecimiento de una población en particular, incluida la tasa de natalidad, la tasa de mortalidad, el suministro de alimentos, los depredadores, etc. La constante de crecimiento (r ) generalmente toma en consideración las tasas de natalidad y muerte, pero ninguno de los otros factores, y puede interpretarse como una tasa de crecimiento porcentual neta (nacimiento menos muerte) por unidad de tiempo. Una pregunta natural es si la tasa de crecimiento de la población se mantiene constante o si cambia con el tiempo. Los biólogos han descubierto que en muchos sistemas biológicos, la población crece hasta que se alcanza una cierta población en estado estable. Esta posibilidad no se tiene en cuenta con un crecimiento exponencial. Sin embargo, el concepto de capacidad de carga permite la posibilidad de que en un área determinada, solo un cierto número de un organismo o animal determinado pueda prosperar sin tener problemas de recursos.

Definición: capacidad de carga

La capacidad de carga de un organismo en un ambiente dado se define como la población máxima de ese organismo que el ambiente puede sostener indefinidamente.

Usamos la variable (K ) para denotar la capacidad de carga. La tasa de crecimiento está representada por la variable (r ). Usando estas variables, podemos definir la ecuación diferencial logística.

Definición: Ecuación diferencial logística

Sea (K ) la capacidad de carga de un organismo en particular en un entorno dado, y sea (r ) un número real que represente la tasa de crecimiento. La función (P (t) ) representa la población de este organismo en función del tiempo (t ), y la constante (P_0 ) representa la población inicial (población del organismo en el tiempo (t = 0 )). Entonces el ecuación diferencial logística es

[ dfrac {dP} {dt} = rP left (1− dfrac {P} {K} right). label {LogisticDiffEq} ]

La ecuación logística fue publicada por primera vez por Pierre Verhulst en (1845 ). Esta ecuación diferencial puede acoplarse con la condición inicial (P (0) = P_0 ) para formar un problema de valor inicial para (P (t). )

Suponga que la población inicial es pequeña en relación con la capacidad de carga. Entonces ( frac {P} {K} ) es pequeño, posiblemente cercano a cero. Por tanto, la cantidad entre paréntesis en el lado derecho de la ecuación ref {LogisticDiffEq} está cerca de (1 ), y el lado derecho de esta ecuación está cerca de (rP ). Si (r> 0 ), entonces la población crece rápidamente, asemejándose a un crecimiento exponencial.

Sin embargo, a medida que crece la población, la razón ( frac {P} {K} ) también crece, porque (K ) es constante. Si la población permanece por debajo de la capacidad de carga, entonces ( frac {P} {K} ) es menor que (1 ), entonces (1− frac {P} {K}> 0 ). Por lo tanto, el lado derecho de la ecuación ref {LogisticDiffEq} sigue siendo positivo, pero la cantidad entre paréntesis se vuelve más pequeña y, como resultado, la tasa de crecimiento disminuye. Si (P = K ) entonces el lado derecho es igual a cero y la población no cambia.

Ahora suponga que la población comienza con un valor superior a la capacidad de carga. Entonces ( frac {P} {K}> 1, ) y (1− frac {P} {K} <0 ). Entonces, el lado derecho de la ecuación ref {LogisticDiffEq} es negativo y la población disminuye. Mientras (P> K ), la población disminuye. En realidad, nunca llega a K porque ( frac {dP} {dt} ) se hará cada vez más pequeña, pero la población se acerca a la capacidad de carga cuando (t ) se acerca al infinito. Este análisis se puede representar visualmente mediante una línea de fase. A línea de fase describe el comportamiento general de una solución a una ecuación diferencial autónoma, dependiendo de la condición inicial. Para el caso de una capacidad de carga en la ecuación logística, la línea de fase es como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

Esta línea de fase muestra que cuando (P ) es menor que cero o mayor que (K ), la población disminuye con el tiempo. Cuando (P ) está entre (0 ) y (K ), la población aumenta con el tiempo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): examen de la capacidad de carga de una población de ciervos

Consideremos la población de venado cola blanca (Odocoileus virginianus) en el estado de Kentucky. El Departamento de Recursos de Pesca y Vida Silvestre de Kentucky (KDFWR) establece pautas para la caza y la pesca en el estado. Antes de la temporada de caza de 2004, se estimaba una población de 900.000 ciervos. Johnson señala: "Una población de ciervos que tiene mucho para comer y no es cazada por humanos u otros depredadores se duplicará cada tres años". (George Johnson, "El problema de la explosión de las poblaciones de ciervos no tiene soluciones atractivas", 12 de enero de 2001, consultado el 9 de abril de 2015)

Esta observación corresponde a una tasa de aumento (r = dfrac { ln (2)} {3} = 0.2311, ) por lo que la tasa de crecimiento aproximada es 23.11% por año. (Esto supone que la población crece exponencialmente, lo cual es razonable, al menos a corto plazo, con abundante suministro de alimentos y sin depredadores). El KDFWR también informa las densidades de la población de ciervos en 32 condados de Kentucky, cuyo promedio es de aproximadamente 27 ciervos por milla cuadrada. Suponga que esta es la densidad de ciervos para todo el estado (39,732 millas cuadradas). La capacidad de carga (K ) es 39,732 millas cuadradas por 27 ciervos por milla cuadrada, o 1,072,764 ciervos.

  1. Para esta aplicación, tenemos (P_0 = 900,000, K = 1,072,764, ) y (r = 0.2311. ) Sustituya estos valores en la Ecuación ref {LogisticDiffEq} y forme el problema de valor inicial.
  2. Resuelva el problema con valores iniciales del inciso a.
  3. Según este modelo, ¿cuál será la población en (3 ) años? Recuerde que el tiempo de duplicación predicho por Johnson para la población de ciervos fue (3 ) años. ¿Cómo se comparan estos valores?

Supongamos que la población logró alcanzar 1,200,000 ¿Qué predice la ecuación logística que le pasará a la población en este escenario?

Solución

una. El problema del valor inicial es

[ dfrac {dP} {dt} = 0.2311P left (1− dfrac {P} {1,072,764} right), , , P (0) = 900,000. sin número]

B. La ecuación logística es una ecuación diferencial autónoma, por lo que podemos utilizar el método de separación de variables.

Paso 1: Establecer el lado derecho igual a cero da (P = 0 ) y (P = 1,072,764. ) Esto significa que si la población comienza en cero, nunca cambiará, y si comienza en el capacidad, nunca cambiará.

Paso 2: Reescribe la ecuación diferencial y multiplica ambos lados por:

[ begin {align *} dfrac {dP} {dt} = 0.2311P left ( dfrac {1,072,764 − P} {1,072,764} right) [4pt] dP = 0.2311P left ( dfrac { 1,072,764 − P} {1,072,764} right) dt [4pt] dfrac {dP} {P (1,072,764 − P)} = dfrac {0.2311} {1,072,764} dt. end {alinear *} ]

Paso 3: Integra ambos lados de la ecuación usando la descomposición de fracciones parciales:

[ begin {align *} ∫ dfrac {dP} {P (1,072,764 − P)} = ∫ dfrac {0.2311} {1,072,764} dt [4pt] dfrac {1} {1,072,764} ∫ left ( dfrac {1} {P} + dfrac {1} {1,072,764 − P} right) dP = dfrac {0.2311t} {1,072,764} + C [4pt] dfrac {1} {1,072,764} left ( ln | P | - ln | 1,072,764 − P | right) = dfrac {0.2311t} {1,072,764} + C. end {alinear *} ]

Paso 4: Multiplica ambos lados por 1,072,764 y usa la regla del cociente para los logaritmos:

[ ln left | dfrac {P} {1,072,764 − P} right | = 0.2311t + C_1. sin número]

Aquí (C_1 = 1,072,764C. ) Luego exponencia ambos lados y elimina el valor absoluto:

[ begin {align *} e ^ { ln left | dfrac {P} {1,072,764 − P} right |} = e ^ {0.2311t + C_1} [4pt] left | dfrac { P} {1.072.764 - P} right | = C_2e ^ {0.2311t} [4pt] dfrac {P} {1,072,764 − P} = C_2e ^ {0.2311t}. end {alinear *} ]

Aquí (C_2 = e ^ {C_1} ) pero después de eliminar el valor absoluto, también puede ser negativo. Ahora resuelva para:

[ begin {align *} P = C_2e ^ {0.2311t} (1,072,764 − P) [4pt] P = 1,072,764C_2e ^ {0.2311t} −C_2Pe ^ {0.2311t} [4pt] P + C_2Pe ^ {0.2311t} = 1,072,764C_2e ^ {0.2311t} [4pt] P (1 + C_2e ^ {0.2311t} = 1,072,764C_2e ^ {0.2311t} [4pt] P (t) = dfrac {1,072,764 C_2e ^ {0.2311t}} {1 + C_2e ^ {0.23 nonumber11t}}. End {align *} ]

Paso 5: Para determinar el valor de (C_2 ), en realidad es más fácil retroceder un par de pasos hasta donde se definió (C_2 ). En particular, use la ecuación

[ dfrac {P} {1,072,764 − P} = C_2e ^ {0.2311t}. sin número]

La condición inicial es (P (0) = 900 000 ). Reemplaza (P ) con (900,000 ) y (t ) con cero:

[ begin {align *} dfrac {P} {1,072,764 − P} = C_2e ^ {0.2311t} [4pt] dfrac {900,000} {1,072,764−900,000} = C_2e ^ {0.2311 (0)} [4pt] dfrac {900,000} {172,764} = C_2 [4pt] C_2 = dfrac {25,000} {4,799} [4pt] ≈5.209. end {alinear *} ]

Por lo tanto

[ begin {align *} P (t) = dfrac {1,072,764 left ( dfrac {25000} {4799} right) e ^ {0.2311t}} {1+ (250004799) e ^ {0.2311t} } [4pt] = dfrac {1,072,764 (25000) e ^ {0.2311t}} {4799 + 25000e ^ {0.2311t}.} End {align *} ]

Dividiendo el numerador y el denominador por 25,000 da

[P (t) = dfrac {1,072,764e ^ {0.2311t}} {0.19196 + e ^ {0.2311t}}. sin número]

La figura es un gráfico de esta ecuación.

C. Usando este modelo podemos predecir la población en 3 años.

[P (3) = dfrac {1,072,764e ^ {0.2311 (3)}} {0.19196 + e ^ {0.2311 (3)}} ≈978,830 , venado nonumber ]

Esto es muy inferior al doble de la población inicial de (900 000. ). Recuerde que el tiempo de duplicación se basa en el supuesto de que la tasa de crecimiento nunca cambia, pero el modelo logístico tiene en cuenta esta posibilidad.

D. Si la población alcanzara 1,200,000 venado, entonces el nuevo problema de valor inicial sería

[ dfrac {dP} {dt} = 0.2311P left (1− dfrac {P} {1,072,764} right), , P (0) = 1,200,000. sin número]

La solución general de la ecuación diferencial seguirá siendo la misma.

[P (t) = dfrac {1,072,764C_2e ^ {0.2311t}} {1 + C_2e ^ {0.2311t}} nonumber ]

Para determinar el valor de la constante, regrese a la ecuación

[ dfrac {P} {1,072,764 − P} = C_2e ^ {0.2311t}. sin número]

Sustituyendo los valores (t = 0 ) y (P = 1,200,000, ) obtienes

[ begin {align *} C_2e ^ {0.2311 (0)} = dfrac {1,200,000} {1,072,764−1,200,000} [4pt] C_2 = - dfrac {100,000} {10,603} ≈ − 9.431. end { alinear*}]

Por lo tanto

[ begin {align *} P (t) = dfrac {1,072,764C_2e ^ {0.2311t}} {1 + C_2e ^ {0.2311t}} [4pt] = dfrac {1,072,764 left (- dfrac {100,000} {10,603} right) e ^ {0.2311t}} {1+ left (- dfrac {100,000} {10,603} right) e ^ {0.2311t}} [4pt] = - dfrac {107,276,400,000e ^ {0.2311t}} {100,000e ^ {0.2311t} −10,603} [4pt] ≈ dfrac {10,117,551e ^ {0.2311t}} {9.43129e ^ {0.2311t} −1} end {alinear*}]

Esta ecuación está graficada en la Figura ( PageIndex {5} ).

Resolver la ecuación diferencial logística

La ecuación diferencial logística es una ecuación diferencial autónoma, por lo que podemos usar la separación de variables para encontrar la solución general, como acabamos de hacer en el Ejemplo ( PageIndex {1} ).

Paso 1: Establecer el lado derecho igual a cero conduce a (P = 0 ) y (P = K ) como soluciones constantes. La primera solución indica que cuando no hay organismos presentes, la población nunca crecerá. La segunda solución indica que cuando la población comienza en la capacidad de carga, nunca cambiará.

Paso 2: reescribe la ecuación diferencial en la forma

[ dfrac {dP} {dt} = dfrac {rP (K − P)} {K}. ]

Luego multiplica ambos lados por (dt ) y divide ambos lados por (P (K − P). ) Esto lleva a

[ dfrac {dP} {P (K − P)} = dfrac {r} {K} dt. ]

Multiplica ambos lados de la ecuación por (K ) e integra:

[∫ dfrac {K} {P (K − P)} dP = ∫rdt. label {eq20a} ]

El lado izquierdo de esta ecuación se puede integrar mediante la descomposición de fracciones parciales. Te dejamos comprobar que

[ dfrac {K} {P (K − P)} = dfrac {1} {P} + dfrac {1} {K − P}. ]

Entonces la ecuación ref {eq20a} se convierte en

[∫ dfrac {1} {P} + dfrac {1} {K − P} dP = ∫rdt ]

[ ln | P | - ln | K − P | = rt + C ]

[ ln ∣ dfrac {P} {K − P} ∣ = rt + C. ]

Ahora exponencia ambos lados de la ecuación para eliminar el logaritmo natural:

[e ^ { ln ∣ dfrac {P} {K − P} ∣} = e ^ {rt + C} ]

[∣ dfrac {P} {K − P} ∣ = e ^ Ce ^ {rt}. ]

Definimos (C_1 = e ^ c ) de modo que la ecuación se convierta en

[ dfrac {P} {K − P} = C_1e ^ {rt}. label {eq30a} ]

Para resolver esta ecuación para (P (t) ), primero multiplica ambos lados por (K − P ) y reúne los términos que contienen (P ) en el lado izquierdo de la ecuación:

[ begin {align *} P = C_1e ^ {rt} (K − P) [4pt] = C_1Ke ^ {rt} −C_1Pe ^ {rt} [4pt] P + C_1Pe ^ {rt} = C_1Ke ^ {rt}. End {align *} ]

Luego, factoriza (P ) del lado izquierdo y divide ambos lados por el otro factor:

[ begin {align *} P (1 + C_1e ^ {rt}) = C_1Ke ^ {rt} [4pt] P (t) = dfrac {C_1Ke ^ {rt}} {1 + C_1e ^ {rt }}. end {alinear *} ]

El último paso es determinar el valor de (C_1. ) La forma más fácil de hacer esto es sustituir (t = 0 ) y (P_0 ) en lugar de (P ) en la Ecuación y resolver para (C_1 ):

[ begin {align *} dfrac {P} {K − P} = C_1e ^ {rt} [4pt] dfrac {P_0} {K − P_0} = C_1e ^ {r (0)} [4pt] C_1 = dfrac {P_0} {K − P_0}. end {alinear *} ]

Finalmente, sustituya la expresión por (C_1 ) en la Ecuación ref {eq30a}:

[P (t) = dfrac {C_1Ke ^ {rt}} {1 + C_1e ^ {rt}} = dfrac { dfrac {P_0} {K − P_0} Ke ^ {rt}} {1+ dfrac {P_0} {K − P_0} e ^ {rt}} ]

Ahora multiplica el numerador y el denominador del lado derecho por ((K − P_0) ) y simplifica:

[ begin {align *} P (t) = dfrac { dfrac {P_0} {K − P_0} Ke ^ {rt}} {1+ dfrac {P_0} {K − P_0} e ^ {rt} } [4pt] = dfrac { dfrac {P_0} {K − P_0} Ke ^ {rt}} {1+ dfrac {P_0} {K − P_0} e ^ {rt}} ⋅ dfrac {K −P_0} {K − P_0} = dfrac {P_0Ke ^ {rt}} {(K − P_0) + P_0e ^ {rt}}. end {alinear *} ]

Expresamos este resultado como un teorema.

Solución de la ecuación diferencial logística

Considere la ecuación diferencial logística sujeta a una población inicial de (P_0 ) con capacidad de carga (K ) y tasa de crecimiento (r ). La solución al problema de valor inicial correspondiente está dada por

[P (t) = dfrac {P_0Ke ^ {rt}} {(K − P_0) + P_0e ^ {rt}} ].

Ahora que tenemos la solución al problema del valor inicial, podemos elegir valores para (P_0, r ) y (K ) y estudiar la curva de solución.Por ejemplo, en el Ejemplo usamos los valores (r = 0.2311, K = 1,072,764, ) y una población inicial de (900,000 ) ciervos. Esto conduce a la solución

[ begin {align *} P (t) = dfrac {P_0Ke ^ {rt}} {(K − P_0) + P_0e ^ {rt}} [4pt] = dfrac {900,000 (1,072,764) e ^ {0.2311t}} {(1,072,764−900,000) + 900,000e ^ {0.2311t}} [4pt] = dfrac {900,000 (1,072,764) e ^ {0.2311t}} {172,764 + 900,000e ^ {0.2311t} }. end {align *} ]

Dividiendo la parte superior e inferior por (900,000 ) da

[P (t) = dfrac {1,072,764e ^ {0.2311t}} {0.19196 + e ^ {0.2311t}}. ]

Esta es la misma que la solución original. La gráfica de esta solución se muestra nuevamente en azul en la Figura ( PageIndex {6} ), superpuesta sobre la gráfica del modelo de crecimiento exponencial con población inicial (900,000 ) y tasa de crecimiento (0.2311 ) (que aparece en verde). La línea punteada roja representa la capacidad de carga y es una asíntota horizontal para la solución de la ecuación logística.

Trabajando bajo el supuesto de que la población crece según la ecuación diferencial logística, este gráfico predice que aproximadamente (20 ) años antes ((1984) ), el crecimiento de la población era muy cercano al exponencial. La tasa de crecimiento neto en ese momento habría sido de alrededor del (23,1% ) por año. A medida que pasa el tiempo, los dos gráficos se separan. Esto sucede porque la población aumenta y la ecuación diferencial logística establece que la tasa de crecimiento disminuye a medida que aumenta la población. En el momento en que se midió la población ((2004) ), estaba cerca de la capacidad de carga y la población estaba comenzando a estabilizarse.

La solución de la ecuación diferencial logística tiene un punto de inflexión. Para encontrar este punto, establezca la segunda derivada igual a cero:

[ begin {align *} P (t) = dfrac {P_0Ke ^ {rt}} {(K − P_0) + P_0e ^ {rt}} [4pt] P ′ (t) = dfrac {rP_0K (K − P0) e ^ {rt}} {((K − P_0) + P_0e ^ {rt}) ^ 2} [4pt] P '' (t) = dfrac {r ^ 2P_0K (K − P_0 ) ^ 2e ^ {rt} −r ^ 2P_0 ^ 2K (K − P_0) e ^ {2rt}} {((K − P_0) + P_0e ^ {rt}) ^ 3} [4pt] = dfrac { r ^ 2P_0K (K − P_0) e ^ {rt} ((K − P_0) −P_0e ^ {rt})} {((K − P_0) + P_0e ^ {rt}) ^ 3}. end {alinear *} ]

Poniendo el numerador igual a cero,

[r ^ 2P_0K (K − P_0) e ^ {rt} ((K − P_0) −P_0e ^ {rt}) = 0. sin número]

Siempre que (P_0 ≠ K ), la cantidad completa antes e incluyendo (e ^ {rt} ) sea distinta de cero, entonces podemos dividirla:

[(K − P_0) −P_0e ^ {rt} = 0. sin número]

Resolviendo para (t ),

[P_0e ^ {rt} = K − P_0 nonumber ]

[e ^ {rt} = dfrac {K − P_0} {P_0} nonumber ]

[ ln e ^ {rt} = ln dfrac {K − P_0} {P_0} nonumber ]

[rt = ln dfrac {K − P_0} {P_0} nonumber ]

[t = dfrac {1} {r} ln dfrac {K − P_0} {P_0}. sin número]

Observe que si (P_0> K ), entonces esta cantidad no está definida y la gráfica no tiene un punto de inflexión. En el gráfico logístico, el punto de inflexión puede verse como el punto donde el gráfico cambia de cóncavo hacia arriba a cóncavo hacia abajo. Aquí es donde comienza a producirse la "nivelación", porque la tasa de crecimiento neto se vuelve más lenta a medida que la población comienza a acercarse a la capacidad de carga.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Se observa que una población de conejos en un prado es (200 ) conejos en el tiempo (t = 0 ). Después de un mes, se observa que la población de conejos ha aumentado en (4% ). Usando una población inicial de (200 ) y una tasa de crecimiento de (0.04 ), con una capacidad de carga de (750 ) conejos,

  1. Escriba la ecuación diferencial logística y la condición inicial para este modelo.
  2. Dibuje un campo de pendiente para esta ecuación diferencial logística y dibuje la solución correspondiente a una población inicial de (200 ) conejos.
  3. Resuelva el problema con valores iniciales para (P (t) ).
  4. Usa la solución para predecir la población después de (1 ) año.
Insinuación

Primero determine los valores de (r, K, ) y (P_0 ). Luego crea el problema de valor inicial, dibuja el campo de dirección y resuelve el problema.

Respuesta

una. ( dfrac {dP} {dt} = 0.04 (1− dfrac {P} {750}), P (0) = 200 )

B.

C. (P (t) = dfrac {3000e ^ {. 04t}} {11 + 4e ^ {. 04t}} )

D. Después de (12 ) meses, la población será de (P (12) ≈278 ) conejos.

Proyecto de estudiante: Ecuación logística con una población umbral

Una mejora del modelo logístico incluye una población umbral. La población umbral se define como la población mínima necesaria para que la especie sobreviva. Usamos la variable (T ) para representar la población umbral. Una ecuación diferencial que incorpora tanto la población umbral (T ) como la capacidad de carga (K ) es

[ dfrac {dP} {dt} = - rP left (1− dfrac {P} {K} right) left (1− dfrac {P} {T} right) ]

donde (r ) representa la tasa de crecimiento, como antes.

  1. La población umbral es útil para los biólogos y se puede utilizar para determinar si una especie determinada debe incluirse en la lista de especies en peligro de extinción. Un grupo de investigadores australianos dice que ha determinado el umbral de población para que sobreviva cualquier especie: (5000 ) adultos. (Catherine Clabby, "A Magic Number", American Scientist 98 (1): 24, doi: 10.1511 / 2010.82.24. Consultado el 9 de abril de 2015, www.americanscientist.org/iss...a-magic-number). Por lo tanto, usamos (T = 5000 ) como población umbral en este proyecto. Suponga que la capacidad de carga ambiental de alces en Montana es (25 000 ). Configure la Ecuación usando la capacidad de carga de (25,000 ) y la población umbral de (5000 ). Suponga una tasa de crecimiento neto anual del 18%.
  2. Dibuje el campo de dirección para la ecuación diferencial del paso (1 ), junto con varias soluciones para diferentes poblaciones iniciales. ¿Cuáles son las soluciones constantes de la ecuación diferencial? ¿A qué corresponden estas soluciones en el modelo de población original (es decir, en un contexto biológico)?
  3. ¿Cuál es la población límite para cada población inicial que eligió en el paso (2 )? (Sugerencia: use el campo de pendiente para ver qué sucede para varias poblaciones iniciales, es decir, busque las asíntotas horizontales de sus soluciones).
  4. Esta ecuación se puede resolver mediante el método de separación de variables. Sin embargo, es muy difícil obtener la solución como función explícita de (t ). Usando una población inicial de (18 000 ) alce, resuelva el problema de valor inicial y exprese la solución como una función implícita de t, o resuelva el problema general de valor inicial, encontrando una solución en términos de (r, K, T, ) y (P_0 ).

Conceptos clave

  • Al estudiar las funciones de población, diferentes supuestos, como el crecimiento exponencial, el crecimiento logístico o el umbral de población, conducen a diferentes tasas de crecimiento.
  • La ecuación diferencial logística incorpora el concepto de capacidad de carga. Este valor es un valor límite en la población para cualquier entorno dado.
  • La ecuación diferencial logística se puede resolver para cualquier tasa de crecimiento positiva, población inicial y capacidad de carga.

Ecuaciones clave

  • Ecuación diferencial logística y problema de valor inicial

( dfrac {dP} {dt} = rP (1− dfrac {P} {K}), P (0) = P_0 )

  • Solución de la ecuación diferencial logística / problema de valor inicial

(P (t) = dfrac {P_0Ke ^ {rt}} {(K − P_0) + P_0e ^ {rt}} )

  • Modelo de población de umbral

( dfrac {dP} {dt} = - rP (1− dfrac {P} {K}) (1− dfrac {P} {T}) )

Glosario

capacidad de carga
la población máxima de un organismo que el medio ambiente puede sostener indefinidamente
tasa de crecimiento
la constante (r> 0 ) en la función de crecimiento exponencial (P (t) = P_0e ^ {rt} )
población inicial
la población en el momento (t = 0 )
ecuación diferencial logística
una ecuación diferencial que incorpora la capacidad de carga (K ) y la tasa de crecimiento rr en un modelo de población
línea de fase
una representación visual del comportamiento de las soluciones a una ecuación diferencial autónoma sujeta a varias condiciones iniciales
población umbral
la población mínima necesaria para que una especie sobreviva

Caos y la ecuación de diferencia logística

La ecuación de diferencia logística (o mapa logistico) se define de la siguiente manera:

Esta ecuación, y variaciones más complicadas de ella, han sido estudiadas por ecólogos desde la década de 1950. Puede usarse como un modelo simple de la dinámica de la población de muchos animales como peces e insectos. Dada una población xnorte en el año n y un valor para el parámetro de crecimiento r, esta ecuación devuelve xn + 1 , la población para el próximo año.

Sin embargo, lo que es especialmente interesante acerca de la ecuación de diferencias logísticas es el cambio cualitativo en el comportamiento del sistema para diferentes valores del parámetro r. Dependiendo de lo que establezcamos que sea r, nuestra población modelada puede extinguirse. O podría asentarse en un tamaño particular y permanecer allí para siempre. ¡O podría rebotar entre dos tamaños, o entre cuatro tamaños, o incluso rebotar por todo el lugar de forma caótica!

Entonces, como primera publicación para el nuevo año (¡y el nuevo blog!), Usaremos algunas de las magníficas instalaciones de trazado de Racket para explorar esta ecuación de diferencia logística y su comportamiento caótico.

La ecuación de diferencia logística

La ecuación de diferencia logística viene dada por xn + 1= rxnorte(1-xnorte). Podemos traducir esto directamente en una función Racket como esta:


Como se mencionó, la ecuación se usa como un modelo muy simple de una población animal que cambia año tras año. Aquí xnorte es un valor entre 0 (extinción) y 1 (población máxima posible). Entonces el (1-xnorte) término también está entre 0 y 1, y funciona para limitar el crecimiento de la población & # 8211 cuando xnorte se vuelve grande, (1-xnorte) se vuelve pequeño y viceversa.

El parámetro r representa la tasa de crecimiento, elegida para ser un valor entre 0 y 4.
(¿Por qué podría ser esto así? Bueno, queremos xnorte= 1 para representar el tamaño máximo de población posible. Entonces, si miramos la ecuación logística como una función continua, digamos y = rx (1-x), entonces el cálculo dice que el máximo de esta función ocurre en dy / dx = r-2rx = 0 es decir, x = 1 / 2, para un valor de y (1/2) = r / 4.

Pero querríamos usar este valor de y como el próximo valor de xn + 1 en el caso de la ecuación en diferencias. Entonces, asegurarnos de que r permanezca entre 0 y 4 nos mantiene dentro de 0 & # 8804 xn + 1 & # 8804 1 límites.)

Entonces, con la función codificada, podemos explorar su comportamiento jugando con ella y viendo qué le sucede a la población para diferentes valores del parámetro de tasa de crecimiento r.

Graficar poblaciones para diferentes valores de r

Ahora, la ecuación de diferencia logística nos dice exactamente cómo generar el siguiente valor para el tamaño de la población dado el valor actual. Para un valor elegido del parámetro de tasa de crecimiento r y un punto de partida x0 en el intervalo (0,1), solo necesitamos aplicar repetidamente la ecuación para generar una serie de tamaños de población, que luego podemos graficar en función del tiempo.

Entonces, podemos escribir una ecuación-logística-iterativa de la función Racket que toma como argumentos el número de veces que se genera un nuevo valor de población (los pasos), la tasa de crecimiento ry x-init para el punto de partida. Luego, la función aplica iterativamente la ecuación logística al valor más reciente, los almacena todos en una lista y luego construye vectores para los puntos del gráfico emparejando cada tamaño de población con su índice de tiempo.

Luego, la función devuelve una lista de estos puntos (vectores), que podemos pasar directamente al trazador de líneas en la biblioteca de gráficos de Racket. Podemos resumir todo esto en una función ordenada parcela-ecuación-logística que toma el número de pasos, la tasa de crecimiento ry el punto de partida x-init y muestra la gráfica para x (n). El código para todo esto se muestra a continuación.


Con el código escrito, simplemente lo llamamos en el REPL para generar gráficos de la ecuación de diferencia logística para diferentes valores de r:

r = 0.1 (parcela-ecuación-logística 20 0.1 0.4)

r = 0,6 (parcela-ecuación-logística 20 0,6 0,4)

r = 1,1 (parcela-ecuación-logística 20 1,1 0,4)

r = 2,1 (gráfica-ecuación-logística 20 2,1 0,4)

r = 2.8 (gráfica-ecuación-logística 20 2.8 0.4)

Como podemos ver en los gráficos, para 0 & # 8804r & lt1, el tamaño de la población cae a cero y permanece allí. Es decir, para valores de la tasa de crecimiento inferiores a 1, tenemos uno estado estable: un tamaño de población de 0 (extinción).

Sin embargo, a medida que r aumenta por encima de 1, todavía tenemos un solo estado estable, pero esta vez no es cero, el tamaño de la población converge a algún valor distinto de cero y permanece en ese equilibrio.

Hasta ahora, no está sucediendo nada demasiado extraño. Sin embargo, suponga que seguimos aumentando la tasa de crecimiento r.

r = 2.9 (gráfica-ecuación-logística 50 2.9 0.4)

r = 3,0 (gráfica-ecuación-logística 50 3,0 0,4)

r = 3,2 (parcela-ecuación-logística 50 3,2 0,4)

Aquí estamos comenzando a ver una oscilación entre dos tamaños de población diferentes. Hemos tenido un bifurcación & # 8211 para algún valor del parámetro r entre 2.9 y 3.2, el comportamiento cualitativo del sistema cambia, y en lugar de un solo estado estable, ahora tenemos dos estados estacionarios entre los que se alterna el tamaño de la población. (Así que hemos tenido un bifurcación que duplica el período: ahora tenemos dos pasos de tiempo entre tamaños de población repetidos).

Podemos aumentar r aún más y ver qué sucede.

r = 3.4 (gráfica-ecuación-logística 50 3.4 0.4)

r = 3,5 (parcela-ecuación-logística 50 3,5 0,4)

Ahora hemos tenido otra bifurcación que duplica el período y el tamaño de la población oscila entre cuatro estados estacionarios diferentes.

Pero si seguimos aumentando la tasa de crecimiento r ahora, vemos algo realmente extraño.

r = 3,55 (parcela-ecuación-logística 60 3,55 0,4)

r = 3.65 (parcela-ecuación-logística 60 3.65 0.4)

r = 3,75 (parcela-ecuación-logística 60 3,75 0,4)

r = 3.90 (gráfica-ecuación-logística 60 3.90 0.4)

En este punto, el tamaño de la población parece rebotar erráticamente, sin establecerse en ningún valor específico. Tenemos caos!

¿Entonces qué pasó? Deberíamos investigar absolutamente este fenómeno. Y resulta que tenemos algunas herramientas analíticas rápidas y sencillas que podemos usar para tener una idea de lo que está sucediendo.

Diagramas de telaraña para la ecuación de diferencia logística

  1. Dibuja la línea que conecta (x0, 0) y (x0, y (x0)). Es decir, trazamos una línea desde el eje x en x0 hasta llegar a la gráfica de y = rx (1-x).
  2. Nuestra relación xn + 1= rxnorte(1-xnorte) especifica que este valor de y (x0) es en realidad el siguiente valor para x1 . Entonces trazamos una línea horizontalmente a través de la diagonal y = x. Estaremos en el punto (y (x0), y (x0)) ahora (es decir, hemos 'configurado' x1= y (x0) .)
  3. Ahora dibujamos la línea vertical que conecta (x1,X1) a (x1, y (x1)), y continúe de esta manera para obtener cada uno de los puntos xnorte . Como veremos, de esta forma dibujamos las iteraciones para los tamaños de población.


Podemos trazar los diagramas de telaraña para diferentes valores del parámetro de crecimiento r y diferentes puntos de partida x-init de una manera sencilla desde Racket REPL.

r = 0.5 (diagrama de telaraña 30 0.5 0.7)

r = 0,9 (diagrama de telaraña 30 0,9 0,7)

De esta manera, podemos ver fácilmente cómo podría ocurrir la convergencia a 0 para 0 & # 8804r & lt1. También podemos ver cómo se pueden alcanzar los estados estacionarios únicos:

r = 1.6 (diagrama de telaraña 30 1.6 0.8)

r = 2.4 (diagrama de telaraña 30 2.4 0.1)

Ahora recuerde que cuando graficamos los valores de la ecuación de diferencia logística antes, parecía que teníamos una bifurcación entre r = 2.9, r = 3.0 yr = 3.2, y comenzamos a ver la oscilación entre dos estados estacionarios diferentes. Una mirada a los diagramas de telaraña para estos valores del parámetro de crecimiento puede ayudarnos a ver qué está pasando:

r = 2.9 (diagrama de telaraña 200 2.9 0.4)

r = 3,0 (diagrama de telaraña 200 3,0 0,4)

r = 3,2 (diagrama de telaraña 200 3,2 0,4)

En los diagramas, podemos ver que la oscilación de los dos estados estacionarios parece coincidir con la sucesión de líneas verticales y horizontales en el diagrama de telaraña que convergen en un cuadrado. Podemos ver que ocurre algo similar para los cuatro casos de estado estacionario:

r = 3.4 (diagrama de telaraña 200 3.4 0.4)

r = 3,5 (diagrama de telaraña 200 3,5 0,4)

Y los diagramas de telaraña también nos muestran qué sucede con las iteraciones cuando cruzamos ese umbral hacia un comportamiento caótico:

r = 3,55 (diagrama de telaraña 200 3,55 0,4)

r = 3,65 (diagrama de telaraña 200 3,65 0,4)

r = 3,75 (diagrama de telaraña 200 3,75 0,4)

r = 3.90 (diagrama de telaraña 200 3.90 0.4)

Aquí las líneas verticales y horizontales no convergen en un punto, ni en un cuadrado, ni nada por el estilo. ¡En cambio, tenemos una espiral que rebota por todos lados!

Diagrama de bifurcación para la ecuación de diferencia logística

Vimos en los gráficos y diagramas anteriores que los valores de la población en estado estable cambiaban a medida que aumentamos el parámetro de crecimiento r. Entonces, tal vez sea esclarecedor graficar los valores del estado estacionario contra ese parámetro, para que podamos ver los puntos en los que ocurren las bifurcaciones.

  • Variaremos lentamente el parámetro de bifurcación r en el rango [0,4].
  • Para cada valor del parámetro r, iteraremos desde un punto de partida para una cierta cantidad de pasos (digamos 100) y generaremos una lista de los tamaños de población que alcanzamos. Dado que generalmente saltamos un poco al comienzo de la iteración, realizaremos un seguimiento solo de los últimos 30 puntos.
  • Luego graficaremos estos valores de estado estacionario contra el valor del parámetro de crecimiento r.

Podemos escribir otra función de Racket plot-bifurcation-diagram para hacer todo esto, que toma un punto inicial x-init como argumento y muestra el diagrama de bifurcación. La función tiene este aspecto:


Entonces podemos generar el diagrama de bifurcación llamando a la función desde REPL como siempre. Aquí el valor de x-init en realidad no importa mucho (siempre que esté entre 0 y 1, por supuesto), por lo que elegiremos arbitrariamente x-init para que sea 0.3.

Aquí podemos ver claramente cómo el estado estacionario es 0 para tasas de crecimiento entre 0 y 1, y que el tamaño de la población en estado estacionario aumenta con r después, hasta que r es aproximadamente 3.0. En ese punto, tenemos nuestra primera bifurcación de duplicación de períodos: podemos ver cómo la curva se divide en dos ramas separadas.

Luego tenemos otra bifurcación que duplica el período en aproximadamente r = 3.5, donde las dos ramas se dividen nuevamente. Y a medida que r sigue aumentando, vemos rápidamente el inicio del caos, representado por el desorden disperso de puntos en el lado derecho.

Curiosamente, podemos observar en el diagrama de bifurcación que parece que tenemos una fina franja de blanco en la región del caos, por lo demás azul, a aproximadamente r = 3,85. Efectivamente, cuando trazamos la ecuación de diferencia logística y el diagrama de telaraña para ese valor de la tasa de crecimiento, parece que tenemos un comportamiento un poco más predecible:

r = 3.85 (gráfica-ecuación-logística 100 3.85 0.3)

r = 3,85 (diagrama de telaraña 200 3,85 0,3)

Así que fue una introducción rápida (¡y con suerte no demasiado intensa!) Al comportamiento caótico que se puede encontrar en la ecuación de diferencias logísticas, y quizás también una introducción al fascinante campo de la Teoría del Caos. ¡Hasta la proxima vez!

[Para mayor comodidad, el archivo fuente completo de Racket para todo el código de esta publicación de blog se puede encontrar aquí.]

Referencias

Gleick, J. 1988, Caos: haciendo una nueva ciencia, 1ª ed., William Heinemann Ltd, Londres, Reino Unido.

Sternberg, S. 2010, Sistemas dinámicos, 1ª ed., Dover Publications Inc, Mineola, NY.


Logístico

Se utiliza un procedimiento iterativo para dibujar el Mapa Logístico.

Ejecutar modelo:& nbsp & nbsp & nbsp Ayuda para ejecutar un modelo JSim.
Se requiere tiempo de ejecución de Java. (El modelo JSim puede tardar entre 10 y 20 segundos en cargarse).
MacOS: ajuste "Preferencias del sistema" -> "Seguridad y privacidad" para permitir que se ejecute la aplicación Java JSim jnlp.
Más info aquí.

Figura 1: El mapa logístico.


1. Introducción

La conocida ecuación diferencial logística fue propuesta originalmente por el matemático belga Pierre-François Verhulst (1804-1849) en 1838, para describir el crecimiento de una población bajo el supuesto de que la tasa de crecimiento de la población era proporcional a

la población existente y

la cantidad de recursos disponibles.

Cuando este problema se "traduce" a las matemáticas, los resultados de la ecuación diferencial

donde denota tiempo, es la población inicial y, son constantes asociadas con la tasa de crecimiento y la capacidad de carga de la población. Una forma más general de (1.1), que se utilizará en este documento, es

donde y,, son constantes reales con (para excluir casos triviales).

La ecuación (1.2) se puede considerar como una ecuación diferencial de Bernoulli o se puede resolver aplicando el método más simple de separación de variables. En cualquier caso, la solución del problema del valor inicial (1.2) viene dada por

Aunque, (1.2) puede considerarse como una simple ecuación diferencial, en el sentido de que es completamente solucionable mediante el uso de técnicas elementales de la teoría de ecuaciones diferenciales, tiene tremendas y numerosas aplicaciones en varios campos. La primera aplicación de (1.2) ya se mencionó y está relacionada con problemas de población y, más en general, problemas de ecología. Otras aplicaciones de (1.2) aparecen en problemas de química, medicina (especialmente en el modelado del crecimiento de tumores), farmacología (especialmente en la producción de medicamentos antibióticos) [1], epidemiología [2, 3], contaminación atmosférica, flujo en un río [4], etc.

Hoy en día, la ecuación diferencial logística se puede encontrar en muchos libros de texto de biología y se puede considerar como una piedra angular de la ecología. Sin embargo, también ha recibido muchas críticas por parte de varios ecologistas. Uno puede encontrar la base de estas críticas y varias paradojas en [5].

Sin embargo, como sucede a menudo en las aplicaciones, al modelar un problema realista, se puede decidir describir el problema en términos de ecuaciones diferenciales o en términos de ecuaciones en diferencias. Por tanto, el problema de valor inicial (1.2) que describe el problema de población estudiado por Verhulst, podría formularse en cambio como un problema de valor inicial de una ecuación en diferencias. Además, existe una gran literatura sobre temas relacionados con los análogos discretos del cálculo diferencial. En este contexto, la ecuación en diferencias general

se ha conocido como la ecuación logística discreta y sirve como análogo al problema del valor inicial (1.2) (ver, por ejemplo, [6]).

Hay varias formas de "terminar" con (1.4) a partir de (1.1) o (1.2) como:

iterando la función, que da lugar a la ecuación en diferencias [7, página 43]

discretizando (1.1) utilizando un esquema de diferencias a plazo para la derivada, lo que da lugar a la ecuación de diferencias

donde, siendo el tamaño del paso del esquema [8], o

"traduciendo" el problema poblacional estudiado por Verhulst en términos de diferencias: si es la población en estudio en ese momento, su crecimiento viene indicado por. Así, de acuerdo con los supuestos y, aparece el siguiente problema de valor inicial:

Observe, por supuesto, que las tres ecuaciones (1.5) - (1.7) son casos especiales de (1.4).

Las similitudes entre (1.2) y (1.4) son obvias incluso a primera vista. Sin embargo, estas similitudes son solo superficiales, ya que existen muchas diferencias cualitativas entre sus soluciones. Quizás la diferencia más importante entre (1.2) y (1.4) es que, en contraste con (1.2), (cuya solución se da explícitamente en (1.3)) (1.4) (o incluso su forma más simple (1.5)) no puede ser resuelto explícitamente para obtener su solución en forma cerrada (excepto para ciertos valores de los parámetros) (ver, por ejemplo, [6, página 120] y [7, página 14]).

Además, (1.4) es uno de los ejemplos más simples de ecuaciones autónomas discretas que conducen al caos, mientras que la solución (1.3) de (1.2) garantiza la regularidad de (1.2). Finalmente, vale la pena mencionar que el esquema numérico (1.6) u otras aproximaciones de ecuaciones en diferencias no lineales de (1.2) dadas por ejemplo en [6, página 120] o en [8, páginas 297-303] dan lugar a soluciones aproximadas de (1.2 ), que son cualitativamente diferentes de la verdadera solución (1.3). Estas soluciones se denominan muchas veces soluciones espurias. Estas soluciones espúreas "desaparecen" cuando se utilizan mejores aproximaciones, por ejemplo, aplicando esquemas de diferencias no estándar (ver, por ejemplo, [9-11]).

Recientemente, en [12, 13] se propuso una forma no estándar para resolver "numéricamente" una ecuación diferencial ordinaria acompañada de condiciones iniciales o de frontera en el plano real o complejo. Este método se aplicó con éxito a la ecuación de Duffing, el sistema de Lorenz y la ecuación de Blasius. La técnica utilizada se basa en la transformación equivalente de la ecuación diferencial ordinaria considerada a una ecuación en diferencia ordinaria mediante una ecuación de operador que utiliza un isomorfismo específico en espacios de Banach específicos. Uno de los objetivos del presente trabajo es aplicar esta técnica a (1.2) para obtener la siguiente ecuación:

donde, son constantes, que en el resto del artículo se llamaránecuación logística equivalente discreta. Cabe mencionar en este punto que si bien la aplicación de la técnica en [12] a (1.2) es interesante por sí misma, su efecto secundario, es decir, la derivación de (1.8) es más importante, ya que se propone como el equivalente discreto de (1.2). También se enfatiza que (1.8) es la ecuación logística equivalente discreta derivada por medios analíticos directos a diferencia de las versiones conocidas de ecuaciones logísticas discretas como (1.4). Por tanto, se espera que las soluciones de (1.8) tengan un comportamiento similar a las de la ecuación logística diferencial y no a las características peculiares que aparecen en las soluciones de (1.4) discutidas anteriormente. En conclusión, el objetivo principal del presente artículo es convencer al lector de que (1.8) merece ser llamado ecuación logística equivalente discreta. También se espera que (1.8) sea una mejor opción para el modelado de varios problemas, donde se utilizan diferentes versiones de ecuaciones logísticas discretas conocidas hasta el día de hoy.

La ecuación (1.8) es una ecuación en diferencias de Volterra no lineal de tipo convolución. Las ecuaciones en diferencias de Volterra se han estudiado a fondo y existe una enorme literatura sobre ellas. Por ejemplo, hay varios resultados relacionados con la acotación, el comportamiento asintótico, la admisibilidad y la periodicidad de la solución de una ecuación en diferencias de Volterra. Aunque la lista de artículos citados en el presente trabajo no es de ningún modo exhaustiva, deben mencionarse los artículos de revisión [14, 15] sobre la delimitación, estabilidad y asintoticidad de las ecuaciones en diferencias de Volterra (véanse también las referencias en estos dos artículos). A título indicativo, también se podrían mencionar los artículos [16-32], cuyos resultados generales también se pueden aplicar a las ecuaciones en diferencias de Volterra de tipo convolución. Además, en [33-36], se estudian exclusivamente las ecuaciones en diferencias lineales de Volterra de tipo convolución.

En la Sección 2, (1.8) se deriva completamente. Además, en la misma sección se dan las condiciones para la existencia de una solución única de (1.2) en el espacio de Banach

dónde y de (1.8) en el espacio de Banach

Cabe mencionar en este punto que la cuestión de la existencia de una solución única en la ecuación logística analógica discreta (1.4) se ha estudiado en [37] en el marco de una ecuación en diferencias más general.

En la Sección 3, (1.8) se resuelve explícitamente aplicando el método -transform. Finalmente, en la Sección 4, se discuten varias diferencias entre (1.4) y (1.8). Estas diferencias se refieren a sus soluciones (ver Figura 1), sus diagramas de bifurcación y su estabilidad.


3.3 Multicolinealidad

La multicolinealidad (o colinealidad para abreviar) ocurre cuando dos o más variables independientes en el modelo están determinadas aproximadamente por una combinación lineal de otras variables independientes en el modelo. El grado de multicolinealidad puede variar y puede tener diferentes efectos en el modelo. Cuando se produce una colinealidad perfecta, es decir, cuando una variable independiente es una combinación lineal perfecta de las demás, es imposible obtener una estimación única de los coeficientes de regresión con todas las variables independientes del modelo. Lo que Stata hace en este caso es eliminar una variable que es una combinación lineal perfecta de las otras, dejando solo las variables que no son exactamente combinaciones lineales de otras en el modelo para asegurar una estimación única de los coeficientes de regresión. Por ejemplo, podemos crear artificialmente una nueva variable llamada perli como la suma de yr_rnd y comidas. Observe que el único propósito de este ejemplo y la creación de la variable perli es mostrar lo que hace Stata cuando ocurre una colinealidad perfecta. Note que Stata emite una nota, informándonos que la variable yr_rnd se ha eliminado del modelo debido a la colinealidad. No podemos asumir que la variable que Stata elimina del modelo es la variable & # 8220correct & # 8221 para omitir del modelo, sino que debemos confiar en la teoría para determinar qué variable debe omitirse.

La multicolinealidad moderada es bastante común, ya que cualquier correlación entre las variables independientes es una indicación de colinealidad. Pero cuando ocurre una multicolinealidad severa, los errores estándar de los coeficientes tienden a ser muy grandes (inflados) y, a veces, los coeficientes de regresión logística estimados pueden ser muy poco confiables. Consideremos el siguiente ejemplo. En este modelo, la variable dependiente será hiqual, y las variables predictoras incluirán avg_ed, yr_rnd, comidas, completo, y la interacción entre yr_rnd y completo, yxfull. Después del procedimiento logit, también ejecutaremos una prueba de bondad de ajuste. Observe que la prueba de bondad de ajuste indica que, en general, nuestro modelo encaja bastante bien.

Sin embargo, observe la razón impar y el error estándar de la variable yr_rnd son increíblemente altos. Al parecer, algo salió mal. Una causa directa de la razón impar increíblemente grande y el error estándar muy grande es la multicolinealidad entre las variables independientes. Podemos usar un programa llamado collin para detectar la multicolinealidad. Puede descargar el programa desde el sitio web de ATS de los programas de Stata para la docencia y la investigación. (o utilice & # 8220buscar collin& # 8221 y luego siga el enlace).

Todas las medidas del resultado anterior son medidas de la fuerza de las interrelaciones entre las variables. Dos medidas de uso común son la tolerancia (un indicador de cuánta colinealidad puede tolerar un análisis de regresión) y VIF (vardiente Iinflación Factor: un indicador de cuánto de la inflación del error estándar podría ser causada por la colinealidad). La tolerancia para una variable en particular es 1 menos la R 2 que resulta de la regresión de las otras variables sobre esa variable. El VIF correspondiente es simplemente 1 / tolerancia. Si todas las variables son ortogonales entre sí, es decir, no tienen ninguna correlación entre sí, tanto la tolerancia como el VIF son 1. Si una variable está muy estrechamente relacionada con otra (s) variable (s), la tolerancia pasa a 0, y la inflación de la varianza se vuelve muy grande. Por ejemplo, en la salida anterior, vemos que la tolerancia y VIF para la variable yxfull es 0.0291 y 34.34, respectivamente. Podemos reproducir estos resultados haciendo la regresión correspondiente.

Note que el R 2 es .9709. Por lo tanto, la tolerancia es 1-.9709 = .0291. El VIF es 1 / .0291 = 34,36 (la diferencia entre 34,34 y 34,36 es el error de redondeo). Como regla general, una tolerancia de 0,1 o menos (lo que equivale a un VIF de 10 o más) es motivo de preocupación.

Ahora hemos visto lo que miden la tolerancia y los VIF y nos hemos convencido de que existe un grave problema de colinealidad, ¿qué hacemos al respecto? Observe que en la regresión anterior, las variables completo y yr_rnd son los únicos predictores significativos y el coeficiente para yr_rnd es muy grande. Esto se debe a que muchas veces cuando creamos un término de interacción, también creamos algún problema de colinealidad. Esto se puede ver en el resultado de la correlación a continuación. Una forma de solucionar el problema de colinealidad es centrar la variable completo Como se muestra abajo. Usamos el suma comando para obtener la media de la variable completoy luego generar una nueva variable llamada fullc, cual es completo menos su media. A continuación, generamos la interacción de yr_rnd y fullc, llamada yxfc. Finalmente, ejecutamos el comando logit con fullc y yxfc como predictores en lugar de completo y yxfull. Recuerde que si utiliza una variable centrada como predictor, debe crear los términos de interacción necesarios utilizando la versión centrada de esa variable (en lugar de la versión no centrada).

Mostramos la matriz de correlación usando el corr comando antes y después del centrado y observe cuánto cambio ha producido el centrado. El centrado de la variable completo en este caso ha solucionado el problema de la colinealidad, y nuestro modelo encaja bien en general. La variable yr_rnd ya no es un predictor significativo, pero el término de interacción entre yr_rnd y completo es. Al poder mantener todos los predictores en nuestro modelo, será fácil para nosotros interpretar el efecto de cada uno de los predictores. Este método de centrado puede considerarse como un caso especial de transformación de las variables. La transformación de las variables es el mejor remedio para la multicolinealidad cuando funciona, ya que no perdemos ninguna variable de nuestro modelo. Pero la elección de la transformación es a menudo difícil de hacer, aparte de las sencillas como centrar. Otras transformaciones de uso común incluyen la transformación logarítmica y la transformación cuadrada. Otros remedios comúnmente sugeridos incluyen eliminar algunas de las variables y aumentar el tamaño de la muestra para obtener más información. La primera no siempre es una buena opción, ya que podría dar lugar a un modelo mal especificado, y la segunda opción no siempre es posible. Remitimos a nuestros lectores a Berry y Feldman & # 8217s Regresión múltiple en la práctica (1985, págs. 46-50) para una discusión más detallada de los remedios para la colinealidad.


Introducción al modelo de regresión logística

Hola chicos, hemos aprendido sobre el modelo de regresión lineal en mi artículo anterior. Hoy, en este artículo aprenderemos los conceptos básicos de la regresión logística y algunos trucos para encontrar la relación entre las variables.

¿Sabe qué tipo de variable se utiliza en la regresión logística? No se preocupe, si no lo sabe, déjeme enseñarle las variables:

En la regresión lineal simple, las variables son una dependiente y una independiente. En la regresión lineal múltiple hay más de una variable independiente.

Comprenda una cosa si sus datos están en forma continua, luego use solo el modelo de regresión lineal, mientras que, por otro lado, si sus datos están en forma categórica (por ejemplo, positivo y negativo) y en forma binaria (0,1), use solo regresión logística . En este modelo, los datos se codifican en forma binaria. como 1 para positivo y 0 para negativo [solo suposición].

Regresión logística:

En estadística, Regresión logística, o regresión logit, o modelo logit es un modelo de regresión donde la variable dependiente (DV) es categórica.

La regresión logística mide la relación entre la variable dependiente categórica y una o más variables independientes mediante la estimación de probabilidades utilizando una función logística, que es la distribución logística acumulativa. Por lo tanto, trata el mismo conjunto de problemas como regresión probit utilizando técnicas similares, y esta última utiliza en su lugar una curva de distribución normal acumulativa.

La regresión logística puede verse como un caso especial del modelo lineal generalizado y, por lo tanto, similar a la regresión lineal. Sin embargo, el modelo de regresión logística se basa en supuestos bastante diferentes (sobre la relación entre variables dependientes e independientes) de los de la regresión lineal. En particular, las diferencias clave de estos dos modelos se pueden ver en las siguientes dos características de la regresión logística.

  1. Primero, la distribución condicional y | x es una distribución de Bernoulli en lugar de una distribución de Gauss, porque la variable dependiente es binaria.
  2. En segundo lugar, los valores predichos son probabilidades y, por lo tanto, están restringidos a (0,1) a través de la función de distribución logística porque la regresión logística predice la probabilidad de resultados particulares.

La regresión logística se usa ampliamente en muchos campos, como el médico y las redes sociales.

Por ejemplo, en el campo médico, suponga que un paciente tiene una enfermedad (como el VIH) según las características observadas del paciente (edad, sexo, varios análisis de sangre y análisis de orina).

Otro ejemplo, como si desea predecir el resultado de la elección de algún partido nacional, o si desea predecir si el votante votará por el congreso o el partido democrático, en función de la edad, el sexo, los ingresos, la casta y muchas más características.

Un grupo de 20 estudiantes dedica entre 0 y 6 horas a estudiar para un examen. ¿Cómo afecta la cantidad de horas dedicadas a estudiar la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen?

La tabla muestra la cantidad de horas que cada estudiante pasó estudiando y si aprobó (1) o reprobó (0).


La aplicación del modelo de ecuaciones logísticas para predecir las características de remineralización de la pasta desensibilizante

Objetivos. Se desarrolló un modelo matemático que utiliza la ecuación logística de Verhulst para predecir los comportamientos de remineralización de la pasta desensibilizante. Métodos. El parámetro de entrada utilizado para el modelo se obtuvo de forma experimental cepillando veintiuna muestras de dentina simuladas durante siete días con tres grupos de muestras, a saber, EB @ TiO2, Colgate Pro-Relief y Sensodyne Repair (norte = 7). Se utilizaron un microscopio electrónico de barrido de emisión de campo (FESEM) y el software ImageJ para observar y medir el porcentaje de proporción ocluida de la superficie de la dentina. Los ajustes del modelo para los tres grupos de muestra se llevaron a cabo utilizando la rutina de ajuste por mínimos cuadrados de MATLAB incorporada fmincon en la caja de herramientas de optimización. Resultados. Los resultados sugieren que el parámetro experimental estuvo de acuerdo con el modelo. Se encontró que el modelo de ecuaciones logísticas puede hacer una predicción futura del patrón de remineralización para EB @ TiO2 y Colgate Pro-relief. Sin embargo, se descubrió que la trayectoria de la reparación de Sensodyne era un poco compleja, lo que dificultaba la predicción. Conclusiones. En general, la característica sobresaliente de este estudio sugiere que la ecuación logística podría usarse para predecir el comportamiento de remineralización de la pasta desensibilizante en el manejo de dientes sensibles.

1. Introducción

Durante la última década, la hipersensibilidad dentinaria (DH) se ha investigado extensamente debido a su prevalencia generalizada y al doloroso problema de salud bucal que afecta a muchas personas [1]. Un estudio anterior [2] informó que más del 80% de los niños y hasta el 43% de la población adulta sufren de dolor dental asociado con DH. Más preocupante es que la DH afecta negativamente la calidad de vida de los pacientes dentales si no se trata [3]. En consecuencia, se han propuesto numerosas estrategias de remineralización de dentina en la literatura [4, 5] para el manejo de la DH. Entre estos, se ha informado que el uso de biomateriales como el vidrio bioactivo y el proargin ocluyen eficazmente los túbulos dentinarios abiertos [6]. Si bien, por ejemplo, se observa que el vidrio bioactivo proporciona un alivio sustancial a los pacientes [6], la duración general de la estrategia de tratamiento con este material sigue siendo difícil de alcanzar tanto en la saliva como sin la saliva.

Aunque el vidrio bioactivo ocluye los túbulos dentinarios permeables al suministrar calcio (Ca 2+) y fosfato (

) iones en un ambiente oral óptimo para formar hidroxicarbonato apatito (HCA) [7, 8], sin embargo, en algunos pacientes, particularmente aquellos con condiciones de hiposalivación y xerostomía, el flujo de saliva es limitado [9]. Como se informa en la literatura [10, 11], la saliva facilita la deposición de la trampa Ca 2+ e iones en los túbulos dentinarios abiertos que gradualmente provocan el sellado u oclusión de los túbulos. Por tanto, es suficiente asumir que la eficacia del vidrio bioactivo será menos eficaz en pacientes con un flujo de saliva limitado.

En un intento por abordar las preocupaciones antes mencionadas del flujo salival limitado, Kleinberg desarrolló la tecnología proargin en 2002 basándose en el papel que desempeña la saliva en la oclusión natural de los túbulos dentinarios [6]. Según [6], proargin comprende arginina (un aminoácido con pH 6,5 a 7,5), bicarbonato, tampón de pH y carbonato de calcio. Hamlin et al. [12] que la interacción de la arginina y el carbonato de calcio a pH fisiológico atrae posteriormente una capa rica en calcio que se une a la superficie de la dentina cargada negativamente. Esto, a su vez, facilita la infiltración de calcio resultando en el bloqueo de los túbulos dentinarios [13]. Sin embargo, Yang et al. [14] encontró que Colgate Pro-relief no mostró cambios significativos después del tratamiento y la inmersión en saliva artificial durante 14 días.

Dadas las diferencias en las características de oclusión de los biomateriales antes mencionados en saliva y sin saliva, un nuevo biomaterial a partir de residuos de cáscara de huevo y dióxido de titanio (EB @ TiO2) se propone como material de oclusión alternativo para la gestión de DH. Si bien un estudio reciente ha demostrado las características de oclusión de EB @ TiO2 [15], aún no se ha establecido el tiempo necesario para ocluir completa y eficazmente los túbulos dentinarios en un entorno oral simulado. Igualmente esencial, y en línea con la afirmación de Schmidlin y Sahrmann [16], aún no se ha establecido un estándar de oro para el manejo de la DH con un alivio predecible y duradero de la DH.

Es importante destacar que el modelado matemático ofrece una perspectiva de investigación diferente al superar algunos de los problemas que se encuentran con frecuencia en un estudio experimental [17]. Esencialmente, utilizando herramientas numéricas, Ilie et al. [17] asumió que es posible diseñar un entorno controlado para abordar los desafíos de un largo período de tiempo necesario para estudiar de manera efectiva el proceso biológico. En la última década, varios estudiosos han propuesto un modelo matemático diferente para investigar los tejidos duros dentales; sin embargo, la mayoría se centra principalmente en la caries dental y el proceso de desmineralización de los dientes [17-19]. A pesar de los numerosos modelos desarrollados para estudiar los tejidos dentales, existe evidencia limitada que sugiere el uso de un modelo matemático para predecir los potenciales de remineralización de los agentes desensibilizantes en los túbulos dentinarios. Este estudio utiliza el modelo de ecuaciones logísticas como herramienta para la predicción de la efectividad de los agentes desensibilizantes en la oclusión de los túbulos dentinarios.

1.1. Ecuación logística

La ecuación logística fue propuesta por primera vez por el trabajo fundamental de Pierre-Francois Verhulst (1844-1845). Verhulst derivó la ecuación logística para describir el crecimiento autolimitante de la población biológica [20]. Curiosamente, Sweilam et al. [21] afirman que la ecuación logística se describe mediante una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Su informe resuena aún más con Murphy et al. [22] quien señaló que la ecuación logística está formalizada por la ecuación diferencial. En consecuencia, señaló que el modelo logístico describe el crecimiento de una población está limitado por una capacidad de carga de B [22]. Por lo tanto, la ecuación logística asume que la tasa de crecimiento disminuye linealmente con el tamaño hasta que es igual a cero en la capacidad de carga [22].

Desde el descubrimiento, la ecuación logística se ha utilizado ampliamente en muchos campos científicos como la ecología, la química, el dinamismo de la población, la psicología matemática, las ciencias políticas, la geociencia, la estadística, la economía y la sociología [23-26]. En ecología, por ejemplo, la ecuación logística se ha utilizado ampliamente para modelar el crecimiento de la población donde la tasa de reproducción es proporcional tanto a la población existente como a la cantidad de recursos disponibles [21]. Esto se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

donde representa el tamaño de la población, es la constante que define la tasa de crecimiento, es la capacidad de carga y representa el tiempo.

Otra aplicación típica de la ecuación logística es en medicina, donde la ecuación diferencial logística se utiliza para modelar el crecimiento de tumores o para estudiar la reacción de la farmacocinética [20]. Aquí, la aplicación de la ecuación logística puede considerarse una extensión del uso mencionado anteriormente en el marco de la ecología, donde

es el tamaño del tumor en el momento t [21]. Dado el poder predictivo de la ecuación logística, este estudio tuvo como objetivo desarrollar un modelo matemático (modelo de ecuación logística) para estudiar las capacidades de remineralización de tres pastas desensibilizantes, a saber, EB @ TiO2, proargin y vidrio bioactivo (NovaMin), en saliva y sin saliva.

2. Materiales y métodos

Se compró dióxido de titanio anatasa de calidad alimentaria (número CAS: 13463677) de Sigma-Aldrich (Alemania). Merck (Sudáfrica) suministró ácido cítrico monohidrato. Se compraron dos marcas diferentes de pasta de dientes, a saber, Sensodyne Repair (GlaxoSmithKline, Reino Unido) y Colgate Pro-relief (Colgate-Palmolive, Polonia), en un popular centro comercial ubicado en Durban (Sudáfrica).

2.1. Preparación de compuesto de cáscara de huevo y dióxido de titanio (EB @ TiO2)

El compuesto de cáscara de huevo y dióxido de titanio se preparó de acuerdo con el método descrito en la literatura [15]. Se modificaron 20 g de polvo fino de cáscara de huevo añadiendo 5 g de dióxido de titanio anatasa (≤15 μmetro). Posteriormente, la mezcla se molió con bolas durante 200 min para obtener el compuesto cáscara de huevo-dióxido de titanio (EB @ TiO2).

2.2. Parámetro de entrada experimental

El parámetro experimental se obtuvo de la prueba de remineralización realizada en nuestro laboratorio. Se prepararon 21 muestras de dentina de 5 mm x 5 mm x 1 mm seccionando perpendicularmente al eje largo de los dientes por debajo de la unión esmalte-dentinaria utilizando una sierra de diamante de baja velocidad en condiciones de enfriamiento por agua. Se simuló un modelo sensible sumergiendo las muestras en una solución de ácido cítrico al 4% en peso durante 2 min. Luego, las muestras se asignaron al azar en tres grupos, a saber, EB @ TiO2, Colgate Pro-Relief y Sensodyne Repair (norte = 7).

Cada muestra de los respectivos grupos se cepilló dos veces al día (mañana y tarde) durante siete días con un cepillo de dientes alimentado con batería alcalina de 1,5 v (Oralwise, China) durante 1 minuto y se dejó secar durante 30 s antes de enjuagar con agua desionizada. El cepillado se realizó a temperatura ambiente utilizando 100 mg de cada pasta de dientes respectiva. La lechada de EB @ TiO2 se preparó mezclando 100 mg del polvo con 200 μL de agua desionizada. Después de cada protocolo de cepillado, las muestras se sumergieron en saliva o sin saliva. Utilizando un microscopio electrónico de barrido por emisión de campo (FESEM Carl Zeiss) que opera en condiciones atmosféricas controladas a 20 kV, examinamos la superficie de la dentina después de cada día de cepillado. Las proporciones de túbulos ocluidos se calcularon utilizando el software ImageJ (Instituto Nacional de Salud, EE. UU., Http://imagej.nih.gov./ij). Esto se calculó dividiendo el área de los túbulos ocluidos por el área total de los túbulos utilizando imágenes de aumento de × 1500 (norte = 7). Los valores medios de la relación del área ocluida se evaluaron con un análisis de varianza de 1 vía (ANOVA). A esto le siguió una prueba de comparación múltiple con corrección de Bonferroni (α = 0.05).

2.3. descripcion del modelo

El modelo matemático considera que el tamaño de los túbulos dentinarios (S) y la cantidad de depósitos de calcio y fosfato (A) influyen significativamente en el tiempo (t) necesarios para ocluir completa y eficazmente los túbulos dentinarios.

2.3.1. Modelo logístico

Se propuso el siguiente modelo de ecuación logística:

donde es el porcentaje de túbulos ocluidos, es la velocidad a la que se ocluyen, es el valor máximo y es el tiempo para completar la remineralización de los túbulos de dentina. A menos que se indique lo contrario, tomaremos

ya que es el valor máximo de.

2.3.2. Solución analítica del modelo

Al utilizar el método de resolución de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden (método de separación de variables), obtenemos la solución analítica de la ecuación modelo (3):

y esta en t = 0 (es decir, valor inicial de X). Otros análisis del modelo (2) muestran que el modelo tiene dos puntos de equilibrio: el punto de equilibrio trivial

y el punto de equilibrio positivo

. La realización de un análisis de estabilidad sobre los dos estados de equilibrio muestra que el punto de equilibrio positivo es globalmente estable. Esto se establece fácilmente como

. Este resultado muestra que es posible aumentar la capacidad de carga. Por otro lado, el punto de equilibrio trivial es inestable. Esto muestra que será difícil reducir a cero.

2.3.3. Ajuste de modelo y estimación de parámetros

Se realizó un ajuste del modelo y una estimación de parámetros utilizando nuestro modelo para ajustar los datos reales de las tres muestras (EB @ TiO2, Colgate Pro-relief y Sensodyne Repair) para los dos casos: con saliva y sin saliva. El objetivo de estos análisis es mostrar que el modelo que consideramos se puede utilizar para estudiar y hacer predicciones futuras sobre estas muestras. Para el ajuste del modelo, tomamos la capacidad de carga (KX) como 100% mientras que la tasa de crecimiento se estima a partir de los ajustes del modelo para todas las muestras. Los ajustes del modelo se llevaron a cabo utilizando la rutina de ajuste por mínimos cuadrados de MATLAB incorporada fmincon en la caja de herramientas de optimización.

3. Resultados

3.1. Parámetro experimental

La Tabla 1 describe las proporciones de% de área ocluida de las muestras de dentina cepilladas en siete días con o sin saliva artificial. En el EB @ TiO2grupo tratado, las proporciones de% de área ocluida observadas para las muestras con saliva fueron significativamente más altas que aquellas sin saliva para los días 2, 3, 4, 6 y 7 (

). No se observaron diferencias entre los dos grupos en el día 5 (

). Por otro lado, el grupo sin saliva fue mayor que el grupo con saliva el día 1 ().


El camino al caos

Hasta ahora hemos observado que cuando $ lambda & gt1 $ tenemos un único punto fijo en $ x ^ < star> = 1-1 / lambda $ que pierde estabilidad en un valor crítico $ lambda_ <2> = 3 $ cuando un emerge un período estable de 2 ciclos. Si aumentamos $ lambda $ más allá de $ lambda_ <3> = 3.449. $ veremos que el período-2-ciclo también pierde estabilidad. Es reemplazado por un período de 4 ciclos nuevo, estable y atractivo. Los puntos que componen este ciclo son puntos fijos estables del mapa cuádruple [h = g circ g = f circ f circ f circ f. ] Ahora resulta que este período-4-ciclo no permanece estable por mucho tiempo sino en $ lambda_ <4> = 3.54409. $ se reemplaza por un período estable de 8 ciclos, y así sucesivamente.

Lo que es importante tener en cuenta es que los puntos críticos en los que estos textbf Ocurre, o más bien, la separación se hace cada vez más pequeña y eventualmente en [ lambda _ < infty> = 3.569946. ] tenemos una período de infinito. Esto significa que aunque tenemos un `` ciclo '' que es atractivo, su período es infinito, por lo que nunca se repite, ya no es realmente periódico. Más bien se ha convertido aperiódico y caótico. Esto fue muy confuso para las personas que primero miraron el mapa logístico simple. Podemos calcular la razón [ delta = lim_ frac < lambda_- lambda_> < lambda_- lambda_> = 4.669] El límite se conoce como Constante de Feigenbaum. Esta es una constante universal que sigue apareciendo en sistemas como el mapa logístico y está íntimamente conectada a sistemas caóticos.

Lo que es aún más desconcertante es que las soluciones periódicas como el período-2-ciclos, 4-ciclos, etc., aunque ya no son estables en el régimen caótico, todavía existen como repelentes. Entonces, para $ lambda & gt lambda _ < infty> $ tenemos un conjunto muy denso e infinito de órbitas periódicas en el sistema, todas las cuales son inestables. De hecho, tienen que encajar en el sistema de alguna manera, por lo que en realidad para cada punto $ x $ tenemos un conjunto infinito de órbitas periódicas arbitrariamente cercanas a él.


Exploración de la dinámica producida por la ecuación logística discreta

Tenemos dos opciones para explorar el comportamiento de ecuaciones como la logística discreta. Primero, dadas las condiciones iniciales, por ejemplo, un número inicial de plantas en germinación y valores para los parámetros K y X, podemos generar una serie de valores de plantas como hicimos para el modelo independiente de la densidad. Este es un enfoque de simulación del proceso exploratorio: nos mostrará lo que la ecuación (modelo) puede hacer, pero no necesariamente nos dirá mucho sobre por qué lo hace. Si queremos saber por qué, entonces tenemos que realizar algún tipo de análisis matemático, que se conoce como enfoque analítico. Algunas técnicas analíticas se detallan después de las simulaciones.

Los valores de N generados a partir de simulaciones utilizando la ecuación 5.4 se muestran en la Fig. 5.4. Comenzando con 10 plantas en germinación, la Fig. 5.4a muestra un diagrama de flujo de la secuencia de cálculos en la simulación (tales simulaciones se pueden escribir en paquetes de hojas de cálculo ampliamente disponibles). Este es un proceso iterativo en el que generamos un valor para Nt + 1 y luego lo usamos como el nuevo Nt y así sucesivamente. Debe comprobar los primeros valores de iteración que se muestran en la figura 5.4b.

(B)

Fig. 5.4 (a) Diagrama de flujo de la secuencia de cálculos que muestra cómo generar valores sucesivos de Nt utilizando la ecuación logística discreta (ecuación 5.4). Cambio en la densidad (Nt) con el tiempo generado a partir de la ecuación logística discreta con K = 100 y 200 y X tomando los valores: (b) 2, (c) 3.1, (d) 3.5 ye) 4. Todas las gráficas comienzan con N1 = 10.

Fig. 5.4 (a) Diagrama de flujo de la secuencia de cálculos que muestra cómo generar valores sucesivos de Nt utilizando la ecuación logística discreta (ecuación 5.4). Cambio en la densidad (Nt) con el tiempo generado a partir de la ecuación logística discreta con K = 100 y 200 y X tomando los valores: (b) 2, (c) 3.1, (d) 3.5 ye) 4. Todas las gráficas comienzan con N1 = 10.

(mi)

La dinámica de la población del modelo a lo largo del tiempo a diferentes valores de X se puede resumir de la siguiente manera. En X = 2, la población se acerca a un valor de equilibrio de K / 2 en el que permanece (figura 5.4b), es decir, parece ser un valor de equilibrio estable. Recuerde del Capítulo 2 que el equilibrio se define como la densidad de población hacia la cual o alrededor de la cual se moverá una población, mientras que la estabilidad describe la tendencia de una población a permanecer o moverse hacia o alrededor del equilibrio. Hemos visto que la dinámica independiente de la densidad solo puede producir un estado estable si X = 1. En contraste, la dependencia de la densidad permite un equilibrio estable ecológicamente factible con diferentes valores de X. En X = 3.1 (Fig. 5.4c) la población oscila entre dos densidades, esto se conoce como ciclo límite de dos puntos. En X = 3.5 (Fig. 5.4d) se producen ciclos límite de cuatro puntos, mientras que en X = 4 (Fig. 5.4e) los ciclos inicialmente regulares se rompen, de modo que la población fluctúa, aparentemente de manera impredecible, entre una serie de densidades. Esto se conoce como dinámica caótica: a continuación se analiza la definición matemática del caos y su importancia en la ecología. En esta ecuación, los valores de K no afectan la dinámica y solo contribuyen al tamaño del equilibrio.

Para estar seguros de la estabilidad del equilibrio con X = 2, necesitamos desplazar a la población del equilibrio supuesto y verificar su retorno.Esto se puede lograr ejecutando el modelo desde diferentes condiciones iniciales y mostraría que el equilibrio de 50 es de hecho estable, de hecho, es globalmente estable para todos los valores ecológicamente realistas. La 'estabilidad global' debe calificarse para adaptarse a una falla en el modelo, que es que colapsará si los valores de Nt exceden K (porque 1 - Nt / K se vuelve negativo). El ciclo límite de dos puntos también es estable para un valor dado de X (dentro del rango de valores que dan ciclos de dos puntos) la población siempre se estabilizará para fluctuar entre las mismas dos densidades, de modo que ahora hay dos equilibrios estables. Por el contrario, la dinámica caótica no tiene esta propiedad. Aquí, la secuencia particular de valores depende de las condiciones iniciales, aunque el tamaño de las fluctuaciones estará determinado por los valores de X y K.

La posibilidad de una dinámica caótica significa que si se registran dinámicas "aleatorias" o impredecibles, esto no implica necesariamente que los mecanismos subyacentes sean aleatorios (estocásticos). Parte o toda la "aleatoriedad" podría producirse mediante procesos deterministas predecibles expresados ​​como caos. Por tanto, si el cambio de población se describe mediante la ecuación logística discreta, cada tamaño de población en t + 1 (Nt + 1) viene dado por un valor particular de Nt. Podemos ver esto claramente al graficar Nt + i contra Nt (Fig. 5.5a) usando los valores de los parámetros para X y K de 4 y 100 (Fig. 5.4e). El sistema caótico muestra la relación matemática de la logística discreta: una ecuación cuadrática. Un ajuste a través de los puntos da (como se esperaba) un ajuste perfecto indicado por el r2 de 1. Los coeficientes de -0,04 y +4 concuerdan con la ecuación 5.5 (-X / K para Nt2 y X para Nt). Esto se puede comparar con una secuencia de valores verdaderamente aleatoria en la que Nt + 1 graficado contra Nt es una nube de puntos (Fig. 5.5b).

Por tanto, el desafío de detectar el caos en la dinámica de la población real es distinguirlo de los eventos aleatorios. El primer estudio que intentó detectar el caos en las poblaciones de laboratorio y de campo fue el de Hassell et al. (1976). Utilizaron la técnica de asumir un modelo matemático subyacente (descrito por la ecuación Nt + 1 = XNt (1 + aNt) -b discutida anteriormente) y determinar los valores de X, ayb para diferentes poblaciones de insectos. Luego pudieron comparar estos valores con los que se sabe producen ciclos límite y caos (Fig. 5.6). Entonces, Hassell y sus colegas estaban probando si el modelo que se ajusta a los datos tiene valores de parámetros que darían lugar al caos. Los valores de los parámetros de by X para cada especie se superpusieron en las regiones de diferente comportamiento dinámico predichas por el modelo, por ejemplo, equilibrio estable, ciclos límite y caos.

Solo una especie tuvo valores consistentes con la dinámica caótica y una consistente con los ciclos límite. Todas las demás poblaciones se encontraban en la región de equilibrio estable. Vale la pena señalar que la población aparentemente caótica era una población de laboratorio de moscardones estudiada por Nicholson (1954). La


Prefacio a la tercera edición xiii

1 Introducción al modelo de regresión logística 1

1.2 Ajuste del modelo de regresión logística 8

1.3 Prueba de la significancia de los coeficientes 10

1.4 Estimación del intervalo de confianza 15

1.5 Otros métodos de estimación 20

1.6 Conjuntos de datos usados ​​en ejemplos y ejercicios 22

1.6.2 Estudio de bajo peso al nacer 24

1.6.3 El estudio longitudinal global de la osteoporosis en mujeres 24

1.6.4 El estudio de colocación de adolescentes 26

1.6.5 El estudio de lesiones por quemaduras 27

1.6.8 El estudio de polifarmacia 31

2 El modelo de regresión logística múltiple 35

2.2 El modelo de regresión logística múltiple 35

2.3 Ajuste del modelo de regresión logística múltiple 37

2.4 Prueba de la importancia del modelo 39

2.5 Estimación del intervalo de confianza 42

2.6 Otros métodos de estimación 45

3 Interpretación del modelo de regresión logística ajustada 49

3.2 Variable independiente dicotómica 50

3.3 Variable independiente policotómica 56

3.4 Variable independiente continua 62

3.5 Modelos multivariables 64

3.6 Presentación e interpretación de los valores ajustados 77

3.7 Una comparación de regresión logística y análisis estratificado para tablas 2 y 2 82

4 Estrategias y métodos de construcción de modelos para la regresión logística 89

4.2 Selección intencionada de covariables 89

4.2.1 Métodos para examinar la escala de una covariable continua en el Logit 94

4.2.2 Ejemplos de selección intencionada 107

4.3 Otros métodos para seleccionar covariables 124

4.3.1 Selección escalonada de covariables 125

4.3.2 Regresión logística de los mejores subconjuntos 133

4.3.3 Selección de covariables y verificación de su escala mediante polinomios fraccionales multivariables 139

4.4 Problemas numéricos 145

5 Evaluación del ajuste del modelo 153

5.2 Resumen de medidas de bondad de ajuste 154

5.2.1 Estadístico chi-cuadrado de Pearson, desviación y suma de cuadrados 155

5.2.2 Las pruebas de Hosmer y ndashLemeshow 157

5.2.3 Tablas de clasificación 169

5.2.4 Área bajo la curva característica de funcionamiento del receptor 173

5.2.5 Otras medidas de resumen 182

5.3 Diagnóstico de regresión logística 186

5.4 Evaluación del ajuste mediante validación externa 202

5.5 Interpretación y presentación de los resultados de un modelo de regresión logística ajustado 212

6 Aplicación de regresión logística con diferentes modelos de muestreo 227

6.3 Estudios de casos y controles 229

6.4 Ajuste de modelos de regresión logística a datos de encuestas de muestras complejas 233

7 Regresión logística para estudios de casos y controles emparejados 243

7.2 Métodos para la evaluación del ajuste en un 1 & ndashMETRO Estudio combinado 248

7.3 Un ejemplo que utiliza el modelo de regresión logística en un estudio emparejado 1 & ndash1 251

7.4 Un ejemplo usando el modelo de regresión logística en un 1 & ndashMETRO Estudio combinado 260

8 Modelos de regresión logística para resultados multinomiales y ordinales 269

8.1 El modelo de regresión logística multinomial 269

8.1.1 Introducción al modelo y estimación de los parámetros del modelo 269

8.1.2 Interpretación y evaluación de la importancia de los coeficientes estimados 272

8.1.3 Estrategias de construcción de modelos para regresión logística multinomial 278

8.1.4 Evaluación de las estadísticas de ajuste y diagnóstico para el modelo de regresión logística multinomial 283

8.2 Modelos de regresión logística ordinal 289

8.2.1 Introducción a los modelos, métodos de ajuste e interpretación de los parámetros del modelo 289

8.2.2 Estrategias de construcción de modelos para modelos de regresión logística ordinal 305

9 Modelos de regresión logística para el análisis de datos correlacionados 313

9.2 Modelos de regresión logística para el análisis de datos correlacionados 315

9.3 Métodos de estimación para modelos de regresión logística de datos correlacionados 318

9.4 Interpretación de coeficientes de modelos de regresión logística para el análisis de datos correlacionados 323

9.4.1 Modelo de promedio poblacional 324

9.4.2 Modelo específico de clúster 326

9.4.3 Métodos de estimación alternativos para el modelo específico de conglomerado 333

9.4.4 Comparación del promedio poblacional y el modelo específico de conglomerado 334

9.5 Un ejemplo de modelado de regresión logística con datos correlacionados 337

9.5.1 Elección del modelo para el análisis de datos correlacionados 338

9.5.2 Modelo de promedio poblacional 339

9.5.3 Modelo 344 específico de clúster

9.5.4 Puntos adicionales a considerar al ajustar modelos de regresión logística a datos correlacionados 351

9.6 Evaluación del ajuste del modelo 354

9.6.1 Evaluación del ajuste del modelo promedio de la población 354

9.6.2 Evaluación del ajuste 365 del modelo específico del clúster

10 temas especiales 377

10.2 Aplicación de métodos de puntuación de propensión en modelos de regresión logística 377

10.3 Métodos exactos para modelos de regresión logística 387

10.5 Problemas de tamaño de la muestra al ajustar modelos de regresión logística 401

10.6 Métodos bayesianos para regresión logística 408

10.6.1 El modelo de regresión logística bayesiana 410

10.6.3 Un ejemplo de un análisis bayesiano y su interpretación 419

10.7 Otras funciones de enlace para modelos de regresión binaria 434

10.8.1 Distinguir mediadores de factores de confusión 441

10.8.2 Implicaciones para la interpretación de un coeficiente de regresión logística ajustado 443

10.8.3 ¿Por qué adaptarse a un mediador? 444

10.8.4 Uso de la regresión logística para evaluar la mediación: supuestos 445

10.9 Más sobre la interacción estadística 448

10.9.1 Escala aditiva versus multiplicativa y ndash Diferencia de riesgo versus razón de probabilidades 448

10.9.2 Estimación y prueba de interacción aditiva 451


Ver el vídeo: MOOC Caos: Dinámica de poblaciones. Ecuación logística (Septiembre 2021).