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1.4: Volúmenes de revolución - Conchas cilíndricas - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Calcule el volumen de un sólido de revolución utilizando el método de las carcasas cilíndricas.
  • Compare los diferentes métodos para calcular un volumen de revolución.

En esta sección, examinamos el método de las carcasas cilíndricas, el método final para encontrar el volumen de un sólido de revolución. Podemos usar este método en los mismos tipos de sólidos que el método del disco o el método de la lavadora; sin embargo, con los métodos de disco y arandela, integramos a lo largo del eje de coordenadas paralelo al eje de revolución. Con el método de conchas cilíndricas, integramos a lo largo de la coordenada eje perpendicular al eje de revolución. La capacidad de elegir qué variable de integración queremos usar puede ser una ventaja significativa con funciones más complicadas. Además, la geometría específica del sólido a veces hace que el método de usar carcasas cilíndricas sea más atractivo que el método de arandela. En la última parte de esta sección, revisamos todos los métodos para encontrar el volumen que hemos estudiado y presentamos algunas pautas para ayudarlo a determinar qué método usar en una situación determinada.

El método de las carcasas cilíndricas

Nuevamente, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región (R ), delimitada arriba por la gráfica de una función (y = f (x) ), abajo por la (x ) - eje, ya la izquierda y derecha por las líneas (x = a ) y (x = b ), respectivamente, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1a} ). Luego, giramos esta región alrededor del eje (y ) -, como se muestra en la Figura ( PageIndex {1b} ). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hemos hecho antes. Anteriormente, las regiones definidas en términos de funciones de (x ) giraban en torno al (x ) - eje o una línea paralela a ella.

Como hemos hecho muchas veces antes, particione el intervalo ([a, b] ) usando una partición regular, (P = {x_0, x_1,…, x_n} ) y, para (i = 1,2 ,…, N ), elija un punto (x ^ ∗ _ i∈ [x_ {i − 1}, x_i] ). Luego, construya un rectángulo sobre el intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) de altura (f (x ^ ∗ _ i) ) y ancho (Δx ). Un rectángulo representativo se muestra en la Figura ( PageIndex {2a} ). Cuando ese rectángulo gira alrededor del eje (y ), en lugar de un disco o una arandela, obtenemos una carcasa cilíndrica, como se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ).

Para calcular el volumen de este caparazón, considere la Figura ( PageIndex {3} ).

La carcasa es un cilindro, por lo que su volumen es el área de la sección transversal multiplicada por la altura del cilindro. Las secciones transversales son anillos (regiones en forma de anillo, esencialmente círculos con un agujero en el centro), con un radio exterior (x_i ) y un radio interior (x_ {i − 1} ). Por lo tanto, el área de la sección transversal es (πx ^ 2_i − πx ^ 2_ {i − 1} ). La altura del cilindro es (f (x ^ ∗ _ i). ) Entonces el volumen de la cáscara es

[ begin {align *} V_ {shell} = f (x ^ ∗ _ i) (π , x ^ 2_ {i} −π , x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x ^ 2_i − x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x_i + x_ {i − 1}) ( x_i − x_ {i − 1}) [4pt] = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} right) (x_i − x_ {i − 1}). end {alinear *} ]

Tenga en cuenta que (x_i − x_ {i − 1} = Δx, ) entonces tenemos

[V_ {shell} = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} right) , Δx. ]

Además, ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} ) es tanto el punto medio del intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) como el radio promedio del caparazón, y podemos aproximar esto por (x ^ ∗ _ i ). Entonces tenemos

[V_ {caparazón} ≈2π , f (x ^ ∗ _ i) x ^ ∗ _ i , Δx. ]

Otra forma de pensar en esto es pensar en hacer un corte vertical en el caparazón y luego abrirlo para formar una placa plana (Figura ( PageIndex {4} )).

En realidad, el radio exterior de la carcasa es mayor que el radio interior y, por tanto, el borde trasero de la placa sería ligeramente más largo que el borde delantero de la placa. Sin embargo, podemos aproximar el caparazón aplanado por una placa plana de altura (f (x ^ ∗ _ i) ), ancho (2πx ^ ∗ _ i ) y espesor (Δx ) (Figura). El volumen de la cáscara, entonces, es aproximadamente el volumen de la placa plana. Multiplicando la altura, el ancho y la profundidad de la placa, obtenemos

[V_ {caparazón} ≈f (x ^ ∗ _ i) (2π , x ^ ∗ _ i) , Δx, ]

que es la misma fórmula que teníamos antes.

Para calcular el volumen de todo el sólido, luego sumamos los volúmenes de todas las conchas y obtenemos

[V≈ sum_ {i = 1} ^ n (2π , x ^ ∗ _ if (x ^ ∗ _ i) , Δx). ]

Aquí tenemos otra suma de Riemann, esta vez para la función (2π , x , f (x). ) Tomando el límite como (n → ∞ ) nos da

[V = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ n (2π , x ^ ∗ _ if (x ^ ∗ _ i) , Δx) = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx. ]

Esto conduce a la siguiente regla para el método de conchas cilíndricas.

Regla: el método de las carcasas cilíndricas

Sea (f (x) ) continua y no negativa. Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) ), abajo por la (x ) - eje, a la izquierda por la línea (x = a ) y a la derecha por la línea (x = b ). Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del eje (y ) - está dado por

[V = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx. ]

Ahora consideremos un ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): El método de conchas cilíndricas I

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = 1 / x ) y abajo por la (x ) - eje sobre el intervalo ([1,3] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del eje (y ) -.

Solución

Primero debemos graficar la región (R ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

Figura ( PageIndex {5} ) (c) Visualización del sólido de revolución con CalcPlot3D.

Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx = int ^ 3_1 left (2π , x left ( dfrac {1 } {x} right) right) , dx = int ^ 3_12π , dx = 2π , x bigg | ^ 3_1 = 4π , text {unidades} ^ 3. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Defina R como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ) y abajo por el eje (x ) - sobre el intervalo ([1,2] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del eje (y ) -.

Insinuación

Utilice el procedimiento del Ejemplo ( PageIndex {1} ).

Respuesta

( dfrac {15π} {2} , text {unidades} ^ 3 )

Ejemplo ( PageIndex {2} ): El método de conchas cilíndricas II

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = 2x − x ^ 2 ) y abajo por el eje (x ) - sobre el intervalo ([0,2] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor de la (y ) - eje.

Solución

Primero grafique la región (R ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ).

Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V = int ^ b_a (2π , x , f (x)) , dx = int ^ 2_0 (2π , x (2x − x ^ 2)) , dx = 2π int ^ 2_0 (2x ^ 2 − x ^ 3) , dx = 2π left. left [ dfrac {2x ^ 3} {3} - dfrac {x ^ 4} {4} right] right | ^ 2_0 = dfrac {8π} {3} , text {unidades} ^ 3 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = 3x − x ^ 2 ) y abajo por el eje (x ) - sobre el intervalo ([0,2] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del eje (y ) -.

Insinuación

Utilice el proceso del Ejemplo ( PageIndex {2} ).

Respuesta

(8π , text {unidades} ^ 3 )

Al igual que con el método de disco y el método de arandela, podemos usar el método de carcasas cilíndricas con sólidos de revolución, girados alrededor del eje (x ) -, cuando queremos integrar con respecto a (y ). Aquí se da la regla análoga para este tipo de sólidos.

Regla: El método de las carcasas cilíndricas para sólidos de revolución alrededor del eje (x ) -

Sea (g (y) ) continuo y no negativo. Defina (Q ) como la región limitada a la derecha por la gráfica de (g (y) ), a la izquierda por el eje (y ) -, abajo por la línea (y = c ) , y arriba por la línea (y = d ). Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar (Q ) alrededor del eje (x ) - está dado por

[V = int ^ d_c (2π , y , g (y)) , dy. ]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): El método de conchas cilíndricas para un sólido que gira alrededor del eje (x ) -

Defina (Q ) como la región limitada a la derecha por la gráfica de (g (y) = 2 sqrt {y} ) y a la izquierda por el eje (y ) - para (y∈ [0,4] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (Q ) alrededor del eje (x ) -.

Solución

Primero, necesitamos graficar la región (Q ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).

Rotula la región sombreada (Q ). Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V = int ^ d_c (2π , y , g (y)) , dy = int ^ 4_0 (2π , y (2 sqrt {y})) , dy = 4π int ^ 4_0y ^ {3/2} , dy = 4π left [ dfrac {2y ^ {5/2}} {5} right] ∣ ^ 4_0 = dfrac {256π} {5} , text {unidades} ^ 3 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Defina (Q ) como la región limitada a la derecha por la gráfica de (g (y) = 3 / y ) y a la izquierda por el eje (y ) - para (y∈ [1, 3] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (Q ) alrededor del eje (x ) -.

Insinuación

Utilice el proceso del Ejemplo ( PageIndex {3} ).

Respuesta

(12π ) unidades3

Para el siguiente ejemplo, miramos un sólido de revolución para el cual la gráfica de una función gira alrededor de una línea que no sea uno de los dos ejes de coordenadas. Para configurar esto, necesitamos revisar el desarrollo del método de las carcasas cilíndricas. Recuerde que encontramos que el volumen de una de las conchas viene dado por

[ begin {align *} V_ {shell} = f (x ^ ∗ _ i) (π , x ^ 2_i − π , x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x ^ 2_i − x ^ 2_ {i − 1}) [4pt] = π , f (x ^ ∗ _ i) (x_i + x_ {i − 1}) (x_i − x_ {i − 1}) [4pt] = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} right) (x_i − x_ {i− 1}). End {align *} ]

Esto se basó en un caparazón con un radio exterior de (x_i ) y un radio interior de (x_ {i − 1} ). Sin embargo, si giramos la región alrededor de una línea que no sea el eje (y ), tenemos un radio externo e interno diferente. Supongamos, por ejemplo, que rotamos la región alrededor de la línea (x = −k, ) donde (k ) es una constante positiva. Entonces, el radio exterior del caparazón es (x_i + k ) y el radio interno del caparazón es (x_ {i − 1} + k ). Sustituyendo estos términos en la expresión de volumen, vemos que cuando una región plana gira alrededor de la línea (x = −k, ) el volumen de una capa está dado por

[ begin {align *} V_ {shell} = 2π , f (x ^ ∗ _ i) ( dfrac {(x_i + k) + (x_ {i − 1} + k)} {2}) (( x_i + k) - (x_ {i − 1} + k)) [4pt] = 2π , f (x ^ ∗ _ i) left ( left ( dfrac {x_i + x_ {i − 2}} {2} right) + k right) Δx. End {align *} ]

Como antes, notamos que ( dfrac {x_i + x_ {i − 1}} {2} ) es el punto medio del intervalo ([x_ {i − 1}, x_i] ) y puede ser aproximado por (x ^ ∗ _ i ). Entonces, el volumen aproximado de la cáscara es

[V_ {caparazón} ≈2π (x ^ ∗ _ i + k) f (x ^ ∗ _ i) Δx. ]

El resto del desarrollo procede como antes, y vemos que

[V = int ^ b_a (2π (x + k) f (x)) dx. ]

También podríamos rotar la región alrededor de otras líneas horizontales o verticales, como una línea vertical en el semiplano derecho. En cada caso, la fórmula de volumen debe ajustarse en consecuencia. Específicamente, el término (x ) - en la integral debe reemplazarse con una expresión que represente el radio de un caparazón. Para ver cómo funciona esto, considere el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): una región de revolución que gira alrededor de una línea

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = x ) y abajo por el eje (x ) - sobre el intervalo ([1,2] ). Encuentra el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor de la línea (x = −1. )

Solución

Primero, grafique la región (R ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ).

Tenga en cuenta que el radio de un caparazón viene dado por (x + 1 ). Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V = int ^ 2_1 2π (x + 1) f (x) , dx = int ^ 2_1 2π (x + 1) x , dx = 2π int ^ 2_1 x ^ 2 + x , dx = 2π left [ dfrac {x ^ 3} {3} + dfrac {x ^ 2} {2} right] bigg | ^ 2_1 = dfrac { 23π} {3} , text {unidades} ^ 3 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = x ^ 2 ) y abajo por el eje (x ) - sobre el intervalo ([0,1] ) . Encuentra el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor de la línea (x = −2 ).

Insinuación

Utilice el proceso del Ejemplo ( PageIndex {4} ).

Respuesta

( dfrac {11π} {6} ) unidades3

Para nuestro ejemplo final en esta sección, veamos el volumen de un sólido de revolución para el cual la región de revolución está limitada por las gráficas de dos funciones.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): una región de revolución limitada por las gráficas de dos funciones

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de la función (f (x) = sqrt {x} ) y abajo por la gráfica de la función (g (x) = 1 / x ) sobre el intervalo ([1,4] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución generado al girar (R ) alrededor del eje (y ) -.

Solución

Primero, grafique la región (R ) y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ).

Tenga en cuenta que el eje de revolución es el eje (y ), por lo que el radio de un caparazón viene dado simplemente por (x ). No necesitamos hacer ningún ajuste en el término x de nuestro integrando. Sin embargo, la altura de un caparazón viene dada por (f (x) −g (x) ), por lo que en este caso necesitamos ajustar el término (f (x) ) del integrando. Entonces el volumen del sólido viene dado por

[ begin {align *} V = int ^ 4_1 (2π , x (f (x) −g (x))) , dx [4pt] = int ^ 4_1 (2π , x ( sqrt {x} - dfrac {1} {x})) , dx = 2π int ^ 4_1 (x ^ {3/2} −1) dx [4pt] = 2π left [ dfrac { 2x ^ {5/2}} {5} −x right] bigg | ^ 4_1 = dfrac {94π} {5} , text {unidades} ^ 3. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Defina (R ) como la región acotada arriba por la gráfica de (f (x) = x ) y abajo por la gráfica de (g (x) = x ^ 2 ) sobre el intervalo ([0 , 1] ). Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar (R ) alrededor del eje (y ) -.

Insinuación

Sugerencia: utilice el proceso del Ejemplo ( PageIndex {5} ).

Respuesta

( dfrac {π} {6} ) unidades3

¿Qué método debemos utilizar?

Hemos estudiado varios métodos para encontrar el volumen de un sólido de revolución, pero ¿cómo sabemos qué método usar? A menudo se reduce a elegir qué integral es más fácil de evaluar. La figura ( PageIndex {10} ) describe los diferentes enfoques para sólidos de revolución alrededor del eje (x ). Depende de usted desarrollar la tabla análoga para sólidos de revolución alrededor del eje (y ) -.

Echemos un vistazo a un par de problemas adicionales y decidamos cuál es el mejor enfoque a seguir para resolverlos.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): seleccionar el mejor método

Para cada uno de los siguientes problemas, seleccione el mejor método para encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje (x ) - y configure la integral para encontrar el volumen (no evalúe el integral).

  1. La región delimitada por las gráficas de (y = x, y = 2 − x, ) y el eje (x ) -.
  2. La región delimitada por las gráficas de (y = 4x − x ^ 2 ) y el eje (x ) -.

Solución

una.

Primero, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra.

Mirando la región, si queremos integrar con respecto a (x ), tendríamos que dividir la integral en dos partes, porque tenemos diferentes funciones que delimitan la región sobre ([0,1] ) y ([1,2] ). En este caso, usando el método del disco, tendríamos

[V = int ^ 1_0 π , x ^ 2 , dx + int ^ 2_1 π (2 − x) ^ 2 , dx. sin número]

Si usáramos el método de la capa en su lugar, usaríamos funciones de y para representar las curvas, produciendo

[V = int ^ 1_0 2π , y [(2 − y) −y] , dy = int ^ 1_0 2π , y [2−2y] , dy. sin número]

Ninguna de estas integrales es particularmente onerosa, pero como el método de caparazón requiere solo una integral y el integrando requiere menos simplificación, probablemente deberíamos usar el método de caparazón en este caso.

B.

Primero, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra.

Mirando la región, sería problemático definir un rectángulo horizontal; la región está limitada a la izquierda y a la derecha por la misma función. Por tanto, podemos descartar el método de las conchas. El sólido no tiene cavidad en el medio, por lo que podemos usar el método de los discos. Luego

[V = int ^ 4_0π left (4x − x ^ 2 right) ^ 2 , dx nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Seleccione el mejor método para encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje (x ) - y configure la integral para encontrar el volumen (no evalúe la integral): la región delimitada por las gráficas de (y = 2 − x ^ 2 ) y (y = x ^ 2 ).

Insinuación

Dibuje la región y use la Figura ( PageIndex {12} ) para decidir qué integral es más fácil de evaluar.

Respuesta

Utilice el método de las arandelas; [V = int ^ 1 _ {- 1} π left [ left (2 − x ^ 2 right) ^ 2− left (x ^ 2 right) ^ 2 right] , dx nonumber ]

Conceptos clave

  • El método de las carcasas cilíndricas es otro método para usar una integral definida para calcular el volumen de un sólido de revolución. Este método a veces es preferible al método de los discos o al método de las lavadoras porque lo integramos con respecto a la otra variable. En algunos casos, una integral es sustancialmente más complicada que la otra.
  • La geometría de las funciones y la dificultad de la integración son los principales factores a la hora de decidir qué método de integración utilizar.

Ecuaciones clave

  • Método de conchas cilíndricas

( Displaystyle V = int ^ b_a left (2π , x , f (x) right) , dx )

Glosario

método de conchas cilíndricas
un método para calcular el volumen de un sólido de revolución dividiendo el sólido en capas cilíndricas anidadas; este método se diferencia de los métodos de discos o arandelas en que integramos con respecto a la variable opuesta