Artículos

7.2.2: Soluciones de desigualdades


Lección

Pensemos en las soluciones a las desigualdades.

Ejercicio ( PageIndex {1} ): incógnitas en una recta numérica

La recta numérica muestra varios puntos, cada uno etiquetado con una letra.

  1. Complete cada espacio en blanco con una letra para que las declaraciones de desigualdad sean verdaderas.
    1. _______ > _______
    2. _______ < _______
  2. Jada dice que encontró tres formas diferentes de responder correctamente la primera pregunta. ¿Crees que esto es posible? Explica tu razonamiento.
  3. Enumere un valor posible para cada letra en la recta numérica según su ubicación.

Ejercicio ( PageIndex {2} ): atracciones del parque de atracciones

Priya encuentra estos requisitos de altura para algunas de las atracciones en un parque de diversiones.

Para montar el. .Usted debe ser . .
Rebote altoentre (55 ) y (72 ) pulgadas de alto
Climn-A-Thonmenos de (60 ) pulgadas de alto
Montaña rusa giratoria (58 ) pulgadas mínimo
Tabla ( PageIndex {1} )
  1. Escribe una desigualdad para cada uno de los tres requisitos de altura. Utilice (h ) para la altura desconocida. Luego, represente cada requisito de altura en una recta numérica.
  2. El primo de Han mide 55 pulgadas de alto. Han no cree que sea lo suficientemente alta para montar en el High Bounce, pero Kiran cree que es lo suficientemente alta. ¿Estás de acuerdo con Han o Kiran? Esté preparado para explicar su razonamiento.
  3. Priya puede montar el Climb-A-Thon, pero no puede montar el High Bounce o el Twirl-O-Coaster. ¿Cuál de los siguientes, si es que hay alguno, podría ser la altura de Priya? Esté preparado para explicar su razonamiento.
    • 59 pulgadas
    • 53 pulgadas
    • 56 pulgadas
  4. Jada mide 56 pulgadas de alto. ¿A qué atracciones puede ir?
  5. Kiran mide 60 pulgadas de alto. ¿A qué atracciones puede ir?
  6. Las desigualdades (h <75 ) y (h> 64 ) representan las restricciones de altura, en pulgadas, de otro paseo. Escribe tres valores que sean soluciones a ambas de estas desigualdades.

¿Estás listo para más?

  1. Represente las restricciones de altura para los tres paseos en una sola línea numérica, usando un color diferente para cada viaje.
  1. ¿Qué parte de la recta numérica está sombreada con los 3 colores?
  2. Nombra una posible altura que podría tener una persona para realizar las tres atracciones.

Ejercicio ( PageIndex {3} ): ¿Qué número soy?

Su maestro le dará a su grupo dos juegos de tarjetas: un juego muestra desigualdades y el otro muestra números. Coloque las tarjetas de desigualdad boca arriba donde todos puedan verlas. Mezcle las tarjetas de números y apílelas boca abajo.

Jugar:

  • Una persona de su grupo es el detective. Las otras personas darán pistas.
  • Elija una tarjeta numérica de la pila y muéstresela a todos menos al detective.
  • Cada una de las personas que dan pistas elige una desigualdad que ayudará al detective a identificar el número desconocido.
  • El detective estudia las desigualdades y hace tres conjeturas.
    • Si el detective no adivina el número correcto, cada persona elige otra desigualdad para ayudar.
    • Cuando el detective adivina el número correcto, una nueva persona se convierte en detective.
  • Repite el juego hasta que todos hayan tenido un turno para ser el detective.

Resumen

Supongamos que una entrada al cine cuesta menos de $ 10. Si (c ) representa el costo de una entrada al cine, podemos usarlo para expresar lo que sabemos sobre el costo de una entrada.

Cualquier valor de (c ) que haga que la desigualdad sea verdadera se llama solución a la desigualdad.

Por ejemplo, 5 es una solución a la desigualdad (c <10 ) porque (5 <10 ) (o "5 es menor que 10") es un enunciado verdadero, pero 12 no es una solución porque (12 <10 ) ("12 es menor que 10") es no una declaración verdadera.

Si una situación involucra más de un límite o límite, necesitaremos más de una desigualdad para expresarlo.

Por ejemplo, si supiéramos que llovió durante más de 10 minutos pero menos de 30 minutos, podemos describir la cantidad de minutos que llovió ( (r )) con las siguientes desigualdades y rectas numéricas.

(r> 10 )

(r <30 )

Cualquier número de minutos mayor que 10 es una solución para (r> 10 ), y cualquier número menor que 30 es una solución para (r <30 ). Pero para cumplir con la condición de "más de 10 pero menos de 30", las soluciones se limitan a los números entre 10 y 30 minutos, no incluyendo 10 y 30.

Podemos mostrar las soluciones visualmente graficando las dos desigualdades en una recta numérica.

Entradas del glosario

Definición: solución a una desigualdad

Una solución a una desigualdad es un número que se puede usar en lugar de la variable para hacer que la desigualdad sea verdadera.

Por ejemplo, 5 es una solución a la desigualdad (c <10 ), porque es cierto que (5 <10 ). Algunas otras soluciones a esta desigualdad son 9,9, 0 y -4.

Práctica

Ejercicio ( PageIndex {4} )

  1. Seleccione todas números que son soluciones de la desigualdad (k> 5 ).

(4 qquad 5 qquad 6 qquad 5.2 qquad 5.01 qquad 0.5 )

  1. Dibuja una recta numérica para representar esta desigualdad.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Un letrero en la carretera dice: "Límite de velocidad, 60 millas por hora".

  1. Sea (s ) la velocidad de un automóvil. Escribe una desigualdad que coincida con la información del signo.
  2. Dibuja una recta numérica para representar las soluciones de la desigualdad.
  3. ¿Podría ser 60 un valor de (s )? Explica tu razonamiento.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Un día en Boston, MA, la temperatura alta fue de 60 grados Fahrenheit y la temperatura baja de 52 grados.

  1. Escribe una o más desigualdades para describir las temperaturas (T ) que se encuentran entre la temperatura máxima y mínima de ese día.
  2. Muestre las posibles temperaturas en una recta numérica.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Seleccione todas las declaraciones verdaderas.

  1. (-5<|-5|)
  2. (|-6|<-5)
  3. (|-6|<3)
  4. (4<|-7|)
  5. (|-7|<|-8|)

(De la Unidad 7.1.7)

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Relaciona cada ecuación con su solución.

  1. (x ^ {4} = 81 )
  2. (x ^ {2} = 100 )
  3. (x ^ {3} = 64 )
  4. (x ^ {5} = 32 )
  • (2)
  • (3)
  • (4)
  • (10)

(De la Unidad 6.3.4)

Ejercicio ( PageIndex {9} )

  1. El precio de un teléfono celular suele ser de 250 dólares. La mamá de Elena compra uno de estos teléfonos celulares por $ 150. ¿Qué porcentaje del precio habitual pagó?
  2. El papá de Elena compra otro tipo de teléfono celular que también suele venderse por 250 dólares. Paga el 75% del precio habitual. ¿Cuánto pagó?

(De la Unidad 3.4.5)


8 Desigualdades de mayorización

Supongamos que el problema que tenemos que resolver es minimizar [f (x) = sum_^ nw_i | h_i (x) | ] sobre (x in mathcal. ) Aquí se supone que (h_i (x) ) es diferenciable. En estadística, normalmente es un residuo, por ejemplo (h_i (x) = y_i-z_i & # 39x. ) Supongamos, por el momento, que (h_i (x) not = 0 ). Entonces tenemos la mayorización [ sum_^ nw_i | h_i (x) | leq frac <1> <2> sum_^ n frac <| h_i (y) |> (h ^ 2_i (x) + h ^ 2_i (y)), ] y debemos minimizar [g (x, y): = sum_^ n frac<| h_i (y) |> h ^ 2_i (x), ] que es un problema de mínimos cuadrados ponderados.

El caso más simple de esto es el ejemplo unidimensional es (h_i (x) = y_i-x ), lo que significa que queremos calcular la mediana ponderada. El algoritmo es simplemente [x ^ <(k + 1)> = frac < sum_^ n u_i (x ^ <(k)>) y_i> < sum_^ n u_i (x ^ <(k)>)>, ] donde [u_i (x) = frac< mid y_i-x mid>. ]

Hemos asumido, hasta ahora, en este ejemplo que (h_i (y) not = 0 ). Si (h_i (y) = 0 ) en algún punto del proceso iterativo, entonces la función de mayorización no existe y no podemos calcular la actualización. Una forma fácil de solucionar este problema es minimizar [f_ epsilon (x) = sum_^ nw_i sqrt ] para valores pequeños de ( epsilon ). Claramente si ( epsilon_1 & gt epsilon_2 ) entonces [ min_x f _ < epsilon_1> (x) = f _ < epsilon_1> (x_1) & gtf _ < epsilon_2> (x_1) geq min_x f _ < epsilon_2> ( X). ] Resulta que

La función (f_ epsilon ) es diferenciable. Encontramos [ mathcalf_ epsilon (x) = sum_^ n w_i frac< sqrt> mathcalh_i (x), ] y [ mathcal^ 2f_ epsilon (x) = sum_^ n w_i frac <1> < sqrt> izquierda < frac < epsilon ^ 2> left ( mathcalh_i (x) right) ^ 2 + h_i (x) mathcal^ 2h_i (x) right >. ] Con modificaciones obvias, se aplican las mismas fórmulas si (x ) es un vector de incógnitas, por ejemplo, si (h (x) = y-Zx ).

Según el teorema de la función implícita, la función (x ( epsilon) ) definida por ( mathcalf_ epsilon (x ( epsilon)) = 0 ) es diferenciable, con derivada [ mathcalx ( epsilon) = epsilon frac < sum_^ nw_i left [h_i ^ 2 (x ( epsilon)) ^ 2+ epsilon ^ 2 right] ^ <- frac32> h_i (x ( epsilon)) mathcalh_i (x ( epsilon))> < mathcal^ 2f_ epsilon (x ( epsilon))> ]

Para la mediana ponderada, las iteraciones siguen siendo los mismos promedios ponderados, pero ahora con ponderaciones [u_i (x, epsilon) = frac< sqrt <(y_i-x) ^ 2 + epsilon ^ 2 >>. ] Al diferenciar el mapa algorítmico se obtiene la relación de convergencia [ kappa_ epsilon (x) mathop <=> limits ^ < Delta> frac < sum_^ n u_i (x, epsilon) frac <(y_i-x) ^ 2> <(y_i-x) ^ 2 + epsilon ^ 2 >> < sum_^ n u_i (x, épsilon)>. ] Claramente [ min_i frac <(y_i-x) ^ 2> <(y_i-x) ^ 2 + epsilon ^ 2> leq kappa_ epsilon (x) leq max_i frac <(y_i -x) ^ 2> <(y_i-x) ^ 2 + epsilon ^ 2>, ] lo que implica ( kappa_ epsilon (x) & lt 1. ) Si (y_i not = x ) para todo (i ), entonces ( lim _ < epsilon rightarrow 0> kappa_ epsilon (x) = 1 ) y la convergencia es asintóticamente sublineal.

8.2.3 Diferencia media de Gini

Alternativamente, podemos minimizar la diferencia media de Gini de (f_i ( theta). ) Ahora

que se puede reescribir como [ cdots = sum_^ n sum_^ n w_( xi) f_i ( theta) f_j ( theta) + text, ] cuya minimización es un problema de mínimos cuadrados ponderados.

8.2.4 Problemas de ubicación

La Problema de Fermat-Weber es encontrar un punto (x in mathbb^ m ) tal que la suma de las distancias euclidianas a (m ) puntos dados (y_1, cdots, y_m ) se minimice. Entonces nuestra función de pérdida es [f (x) = sum_^ m w_jd (x, y_j), ] donde (w_j ) son pesos positivos. Otros nombres son los problema de ubicación de una sola instalación o el mediana espacial problema.

Weiszfeld (1937) propuso un algoritmo iterativo temprano para resolver el problema de Fermat-Weber. Véase una traducción en Weiszfeld y Plastria (2009).

Aquí mostramos cómo usar la desigualdad media aritmética-media geométrica para la mayorización. Supongamos que nuestro problema es minimizar [f (X) = sum_^ n sum_^ n w_D_(X), ] donde (w_) son ponderaciones no negativas y (d_(X) ) son nuevamente distancias euclidianas. Esto es un problema de ubicación. Para hacerlo interesante, suponemos que algunos de los puntos (instalaciones) son fijos, otros son las variables que tenemos que minimizar. Observe que este es un problema de optimización convexo, pero no diferenciable.

Usamos la desigualdad AM-GM en la forma [d_(X) d_(Y) leq frac <1> <2> (d_^ 2 (X) + d_^ 2 (Y)). ] Si (d_(Y) & gt0 ) luego [d_(X) leq frac <1> <2> frac<>^ 2 (X) + d_^ 2 (Y)> <>(Y)>. ] Usando la notación del Ejemplo a.a, ahora encontramos [ phi (X) leq frac <1> <2> ( hboxX & # 39B (Y) X + hboxY & # 39B (Y) Y), ] lo que nos da una mayorización cuadrática.

Si (X ) está dividido en (X_1 ) y (X_2, ) con filas que son fijas y filas que deben determinarse (instalaciones que deben ubicarse), y (B ) está dividido correspondientemente, entonces el algoritmo que encontramos es [X_2 ^ <(k + 1)> = B_ <22> (X ^ <(k)>) ^ <-1> B_ <21> (X ^ <(k)> ) X_1. ]

8.2.5 El lazo y el puente


Una familia de desigualdades basadas en la heurística para maximizar los márgenes generales de seguridad en los problemas de disposición de los stands de estacionamiento de aeronaves

Consideramos el problema de disponer un conjunto de aeronaves en un hangar de mantenimiento operado por un proveedor de servicios de aeronaves independiente. Los márgenes de seguridad generales del diseño de estacionamiento deben maximizarse dentro del espacio disponible limitado, medido por la suma ponderada de los márgenes de seguridad discretos individuales de cada aeronave. Se desarrolla un modelo de programación lineal de enteros mixtos, y las posiciones de la aeronave se determinan mediante las variables binarias de control de posición asociadas con un conjunto de polígonos no ajustados (NFP) revisados. Debido a la forma irregular no convexa de la aeronave, el modelo involucra un gran número de variables binarias asociadas con el NFP revisado. El algoritmo predeterminado de bifurcación y vinculación es ineficaz para resolver un modelo de este tipo, ya que la información de inviabilidad de la solución visitada precedente no puede ser utilizada directamente por el método predeterminado para actualizar los límites. Se desarrolla un algoritmo heurístico para proporcionar soluciones prácticas, y las soluciones intermedias no factibles identificadas durante la búsqueda se utilizan para desarrollar desigualdades válidas y aproximadas, reduciendo la brecha de optimización. Los resultados computacionales demuestran que la adición de desigualdades mejora la eficiencia computacional en la resolución de una amplia gama de instancias y en el ajuste de la brecha de optimalidad mientras se cumple el criterio de detención.

1. Introducción

El problema de disponer un conjunto de aviones de diferentes tamaños en un hangar de mantenimiento surge debido a la creciente subcontratación de las actividades de mantenimiento del hangar de aviones a empresas independientes de servicios de aviones [1, 2]. El problema del mantenimiento de aeronaves puede verse desde diferentes perspectivas, incluida la compañía aérea, el proveedor de servicios de mantenimiento de línea, el proveedor de servicios de mantenimiento de hangares y el departamento de misiones militares [2-12]. Desde la perspectiva de la empresa de servicios de aeronaves, después de recibir solicitudes de mantenimiento de aeronaves de varios clientes, es necesario considerar qué subconjunto de solicitudes de mantenimiento atender durante un período de planificación para lograr el máximo beneficio, así como para llegar a un estacionamiento de aeronaves. diseño para minimizar el riesgo de colisión durante las operaciones de movimiento de la aeronave. En las operaciones reales, el profesional normalmente reúne un subconjunto de aeronaves con tiempos de mantenimiento similares en un lote y luego organiza el lote en el hangar de mantenimiento para facilitar los procedimientos de mantenimiento. La literatura relacionada con el problema de la programación del mantenimiento en el contexto de una base de mantenimiento de aeronaves operada por una sola línea aérea rara vez considera la variación de la capacidad del hangar [13], es decir, el número de aeronaves que se pueden acomodar en el hangar al mismo tiempo, a lo largo de el período de planificación, ya que los puestos de estacionamiento se han predeterminado en la etapa de diseño del hangar debido al tipo limitado de aeronave que se va a mantener. Sin embargo, como la base de mantenimiento operada por la compañía de servicios de mantenimiento recibe aviones de diferentes tamaños dentro del período de planificación, la capacidad del hangar varía de vez en cuando y, por lo tanto, es esencial optimizar el espacio del hangar dentro del período de planificación. El problema de la disposición de los puestos de estacionamiento de aeronaves (PSAP) tiene como objetivo maximizar la utilización del hangar con márgenes de seguridad generales máximos para la aeronave colocada en el hangar. Después de determinar la aeronave que se estacionará en el hangar, nuestro objetivo es finalizar el diseño de estacionamiento de aeronaves organizando el estacionamiento de aeronaves con los máximos márgenes de seguridad [14]. Dada la complejidad del problema, nuestro objetivo es mejorar la eficiencia computacional del algoritmo heurístico utilizado en estudios anteriores [14] mediante el desarrollo de una familia de desigualdades basadas en las soluciones intermedias no factibles durante el proceso de búsqueda heurística para determinar el diseño óptimo de estacionamiento con el máximo márgenes de seguridad generales o estrechando la brecha de optimización para los problemas desafiantes. Dado un conjunto de aviones

para ser atendido, el objetivo del problema es maximizar los márgenes de seguridad generales medidos por la suma ponderada de los márgenes de seguridad individuales de cada aeronave, evitando el riesgo general de colisión durante la operación de movimiento por lotes antes y después de las operaciones de mantenimiento en el hangar .

El PSAP no ha sido ampliamente estudiado en la literatura y la referencia más cercana que conocemos se refiere a los problemas de embalaje irregular de los artículos [14], según la clasificación de Wäscher et al. [15]. El problema estudiado aquí puede considerarse como una versión extendida del problema de empaquetado irregular bidimensional de artículos en un contenedor de dimensión fija [15, 16], ya que las aeronaves deben modelarse como polígonos irregulares para medir con precisión la capacidad del hangar que aloja el aeronave. PSAP es diferente del problema general del embalaje, que tiene como objetivo disponer los artículos para que sean lo más compactos posible. En cambio, PSAP tiene como objetivo organizar de manera óptima la posición de estacionamiento de la aeronave mientras se reserva una distancia moderada entre cada par de aeronaves. El problema de corte y empaque de artículos en un espacio bidimensional ha sido ampliamente estudiado en la literatura debido a su uso práctico en varias industrias, y tales problemas de empaque pueden clasificarse como problemas de empaque de artículos regulares o problemas de empaque de artículos irregulares [15, 17– 24]. En la literatura se han propuesto muchas formulaciones matemáticas que resuelven problemas de empaquetado de artículos irregulares [25-30]. El No-Fit Polygon (NFP) se ha utilizado ampliamente para detectar si dos elementos irregulares se superponen entre sí [31, 32], mientras que también existen otros enfoques [33]. La principal dificultad para abordar los problemas de artículos de forma irregular es el gran número de variables binarias que determinan la posición relativa entre cada par de aviones en el contenedor. Generalmente, resolver una instancia que incluye más de 10 ítems irregulares se vuelve desafiante e intratable con los enfoques actuales [26]. En nuestro problema, asumimos que cada aeronave tiene que seleccionar un margen de seguridad individual dentro del rango discreto admisible

. En este sentido, hay una serie de

PFN involucrados en cada instancia de problema para el problema propuesto, que son extremadamente desafiantes si se usa el enfoque existente.

Se han desarrollado muchos algoritmos heurísticos para utilizar soluciones inviables que se identifican durante el proceso de búsqueda. Por ejemplo, algunos investigadores que se centran en el problema de enrutamiento de vehículos (VRP) con restricciones de carga y descarga en un espacio bidimensional adoptaron soluciones inviables para desarrollar heurísticas, y existen algunas similitudes con el problema estudiado en este artículo. Específicamente, estos dos problemas tienen un gran número de soluciones candidatas para explorar y la viabilidad de la solución candidata solo puede examinarse después de haber tomado todas las decisiones. Para comparar estos dos problemas, el VRP tiene que determinar primero la ruta de cada vehículo, y el problema de la disposición del puesto de estacionamiento tiene que determinar primero los márgenes de seguridad individuales para cada avión. Posteriormente, existe un conjunto de variables de decisión que determinan la posición de los artículos que se colocarán en el contenedor en ambos problemas posteriores. Como los elementos están dispuestos en un espacio bidimensional en ambos problemas, la viabilidad de la solución no puede comprobarse directamente con una única restricción de recursos como en el problema de asignación clásico, sino que debe examinarse con un conjunto de restricciones geométricas, incluidas las restricciones que no se superponen y restricciones de límites. Para utilizar estas soluciones no factibles identificadas durante el proceso de búsqueda, se puede eliminar un conjunto de soluciones candidatas poco prometedoras no visitadas que tienen el mismo patrón de las soluciones no factibles identificadas. En particular, las soluciones no factibles identificadas se registran en una lista, luego se generan las respectivas desigualdades y se ingresan en el modelo matemático de acuerdo con la información de la lista, para eliminar las soluciones poco prometedoras no visitadas con los mismos patrones. Por ejemplo, Felipe et al. [34] utilizó la solución intermedia inviable para diversificar el proceso de búsqueda en un algoritmo heurístico, abordando el problema de la ruta de los vehículos con precedencia y restricciones de carga. Iori y col. [35] propuso un enfoque exacto basado en un algoritmo de ramificación y corte para resolver el problema de enrutamiento de vehículos con restricciones bidimensionales. La ruta inviable identificada durante el proceso de verificación de viabilidad se registra y se convierte en un corte, que se agrega al problema original. Hokama y col. [36] desarrolló un algoritmo de ramificación y corte para lidiar con la ruta desempaquetable generada a partir del problema maestro. Utilizaron una tabla hash para registrar la información de viabilidad de la ruta o subruta visitada anteriormente. La viabilidad de la ruta tentativa se puede examinar comparando los elementos de la ruta. Si la ruta tentativa tiene los mismos elementos que la subruta no factible registrada en la tabla hash, la ruta tentativa puede denominarse ruta no factible sin un examen más detenido por el algoritmo de ramificación y acotación. Existen algunas estrategias de búsqueda heurística para detectar la viabilidad de una solución dada en el problema de empaquetamiento, como la heurística basada en secuencias [37], el algoritmo hiperheurístico robusto [38] para el problema de empaquetamiento rectangular y el algoritmo recursivo para el empaquetamiento de tira de guillotina rectangular. problema [39, 40]. Sin embargo, el uso de estos métodos puede llevar a quedar atrapado en óptimos locales a medida que aumenta la complejidad de los polígonos. La hoja de ruta técnica está organizada de la siguiente manera: en primer lugar, se presenta un modelo matemático para formular el problema de disposición de los puestos de estacionamiento de aeronaves en el contexto de los proveedores de servicios de mantenimiento de aeronaves. Debido a la gran cantidad de variables binarias involucradas, el modelo matemático solo puede resolver la instancia pequeña del problema al óptimo dentro de un tiempo razonable, y las instancias de tamaño mediano a grande son intratables, únicamente por el modelo matemático. Para proporcionar un comienzo cálido y ajustar los límites del modelo matemático, se desarrolla un algoritmo heurístico destinado a abordar instancias a gran escala, que utiliza el modelo matemático como base. En detalle, el algoritmo heurístico determina primero una solución candidata, y luego se incorpora un enfoque de verificación de viabilidad basado en bifurcaciones y límites en el algoritmo heurístico para examinar la viabilidad de una combinación dada de márgenes de seguridad individuales para el conjunto de aeronaves que se mantendrá. en el hangar. Para examinar la viabilidad de la solución tentativa, el enfoque de verificación de viabilidad ingresa la solución tentativa en el modelo matemático con todas las variables de decisión relacionadas con el margen de seguridad fijadas en el modelo y luego implementa el modelo para verificar si la inviabilidad retorna. La heurística ajusta la solución candidata si las soluciones candidatas anteriores no son factibles, y la solución de inicio en caliente para el modelo matemático se determinaría al final de la heurística. Durante el proceso de verificación de viabilidad, las soluciones no factibles identificadas se registran para reducir aún más el conjunto de soluciones no factibles agregando varias formas de desigualdades para excluir combinaciones no factibles, antes de iniciar la ejecución del modelo original para mejorar la eficiencia del modelo matemático. Específicamente, se desarrolla un conjunto de desigualdades para convertir las soluciones no factibles registradas que se identificaron durante el proceso de búsqueda heurística como restricciones en el modelo. El enfoque desarrollado se ha probado exhaustivamente en casos de problemas derivados de la situación real en una empresa de servicios de mantenimiento de aeronaves.

El resto de este documento está organizado de la siguiente manera. La sección 2 describe el problema y la notación y formulación del modelo matemático, fundamental para la heurística y las desigualdades. Además, la complejidad del problema se analiza con más detalle en esta sección. La sección 3 presenta el enfoque heurístico y las desigualdades derivadas de las soluciones inviables durante el proceso de búsqueda heurística. La sección 4 examina los resultados computacionales y las conclusiones se extraen en la sección 5.

2. Problema de disposición de los soportes de estacionamiento de aeronaves

2.1. Descripción del problema

El problema propuesto se puede definir de la siguiente manera: se nos da un subconjunto de aeronaves de diferentes formas para ser reparadas durante un breve período de planificación, y estas aeronaves se pueden organizar de manera factible en el hangar de mantenimiento dado que satisfaga los requisitos mínimos de margen de seguridad, es decir, la la distancia entre cada par de aeronaves es al menos igual o mayor que el margen mínimo de seguridad. La Figura 1 presenta un hangar de mantenimiento típico operado por una compañía de mantenimiento de base de aeronaves independiente que atiende a diferentes clientes y aloja aeronaves de diferentes formas y tamaños. En el problema, cada avión tiene que seleccionar un margen de seguridad individual para utilizar el espacio no utilizado en el hangar a fin de minimizar el riesgo de colisión durante las operaciones de movimiento y mantenimiento. Dos diseños de hangar pueden acomodar el mismo conjunto de aviones, mientras que la posición asignada para cada avión es diferente. En la Figura 1 (a), la aeronave se puede organizar de manera factible en el hangar de mantenimiento mientras se colocan de manera concentrada incluso si hay mucho espacio no utilizado (la región de sombra en la Figura 1 (a)). En este sentido, el problema estudiado en este trabajo tiene como objetivo ampliar el margen de seguridad de cada aeronave para aprovechar al máximo el espacio vacío (Figura 1 (b)). El margen de seguridad se define como la distancia más corta entre dos aeronaves en el hangar, y el problema tiene como objetivo tener un margen de seguridad general máximo medido por la suma ponderada de los márgenes de seguridad individuales de cada aeronave colocada en el hangar, como se describe en [14 ]. En una situación real, los aviones de gran tamaño corren más riesgo de colisión, en comparación con los aviones pequeños y medianos, ya que los aviones más grandes son menos maniobrables que los más pequeños. En este sentido, a las aeronaves más grandes se les da mayor prioridad al reservar mayores márgenes de seguridad en la práctica, y el peso del margen de seguridad individual en la función objetivo está asociado con el área de cada aeronave. En el modelo matemático desarrollado, el margen de seguridad de la aeronave se discretiza para el compromiso entre precisión y eficiencia computacional, y también prescribimos el límite inferior individual (

) y el límite superior () del margen de seguridad para representar el requisito de seguridad mínimo y el margen de seguridad más grande que contribuyen a los márgenes de seguridad generales, respectivamente, ya que reservar un margen de seguridad demasiado alto no contribuye necesariamente a la seguridad general, sino que solo aumenta el número de variables binarias para resolver el problema.


Sin graficar estos números, decide qué desigualdades son verdaderas. Marque todo lo que corresponda. StartRoot 7 EndRoot & gt 2 StartRoot 7 EndRoot & lt 7 StartRoot 7 EndRoot & lt StartRoot 8 EndRoot StartRoot 8 EndRoot & lt 2 StartRoot 8 EndRoot & lt 8

Sin graficar estos números, decide ¿Cuáles de las desigualdades son verdaderas?

Considérelos uno por uno:

Se puede escribir como :

Valor de es igual a 2 (que es el lado derecho de la desigualdad)

Por lo tanto, es verdad.

Su RHS se puede escribir como:

En RHS, LHS se multiplica por LHS en sí.

Y cuando un número mayor que 1 se multiplica por sí mismo, su valor aumenta.

Por lo tanto, es verdad.

7 & lt 8 por lo que su raíz también seguirá la misma.

también es cierto.

El lado izquierdo (LHS) se puede escribir como:

y Por lo tanto, multiplicar 2 por un número mayor que 1 lo hará mayor que 2.

Eso significa

Por tanto, la desigualdad dada Es falso.

Su RHS se puede escribir como:

En RHS, LHS se multiplica por LHS en sí.

Y cuando un número mayor que 1 se multiplica por sí mismo, su valor aumenta.

Por lo tanto, es verdad.


Oraciones numéricas verdaderas y falsas

Videos y soluciones para ayudar a los estudiantes de 6. ° grado a aprender a determinar si una oración numérica es verdadera o falsa en función de los símbolos de igualdad y desigualdad dados.



Módulo 4 de Matemáticas Básicas Comunes del Estado de Nueva York, Grado 6, Lección 23

Resultados de los estudiantes de la lección 23

Los estudiantes explican qué significan los símbolos de igualdad y desigualdad, incluidos =, & lt, & gt, & le y & ge. Ellos determinan si una oración numérica es verdadera o falsa basándose en el símbolo dado.

Resumen del estudiante de la lección 23

Oración numérica: Una oración numérica es una declaración de igualdad (o desigualdad) entre dos expresiones numéricas.
Valores de verdad de una oración numérica: Se dice que una oración numérica que es una ecuación es verdadera si ambas expresiones numéricas se evalúan con el mismo número, de lo contrario se dice que es falsa. Verdadero y falso se denominan valores de verdad.
Las oraciones numéricas que son desigualdades también tienen valores de verdad. Por ejemplo, 3 & lt 4, 6 + 8 & gt 15 & gt 12 y (15 + 3) 2 & lt 1000 - 32 son todas oraciones numéricas verdaderas, mientras que la oración 9 & gt 3 (4) es falsa.

Determine qué representa cada símbolo y proporcione un ejemplo.

Ejemplo 1
Para cada desigualdad o ecuación que muestre su maestro, escriba la ecuación o desigualdad, luego sustituya 3 por cada x. Determina si la ecuación o desigualdad da como resultado una oración numérica verdadera o una oración numérica falsa.

Conjunto de problemas
Sustituya el valor en la variable e indique (en una oración completa) si la oración numérica resultante es verdadera o falsa. Si es verdadero, encuentre un valor que resulte en una oración numérica falsa. Si es falso, encuentre un valor que resulte en una oración numérica verdadera.

1. 3 5/6 = 1 2/3 + h. Sustituye h por 2 1/6.
2. 39 & gt 156 g. Sustituye g por 1/4.
3. f / 4 & le 3. Sustituye 12 por f.
4. 121-98 & ge r. Sustituye r por 23.
5. 54 / = 6. Sustituye q por 10.

Crea una oración numérica usando la variable y el símbolo dados. La oración numérica que escriba debe ser verdadera para el valor dado de la variable.

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

Agradecemos sus comentarios, comentarios y preguntas sobre este sitio o página. Envíe sus comentarios o consultas a través de nuestra página de Comentarios.


7.2.2: Soluciones de desigualdades

Condiciones de uso Persona de contacto: Donna Roberts

Además de resolver sistemas de ecuaciones algebraicamente, también puedes resolverlos gráficamente. Se puede hacer una solución gráfica mano (en papel cuadriculado), o con el uso de una calculadora gráfica.

Graficar un sistema de ecuaciones lineales es tan simple como graficar dos líneas rectas. Cuando se grafican las líneas, la solución será (x, y) par ordenado donde las dos líneas se cruzan (cruzan).

Encuentra el punto de intersección (donde se cruzan las líneas).
Estas líneas se cruzan en el punto (2,5).
Esto significa que la solución a este sistema es:
Solución: X = 2 y y = 5.

Resolver sistema: y = 2X + 4 y y = 2X - 2

Resolver sistema: y = -2X + 1 y 2x + y = 1

Solución: Número infinito de soluciones

Encuentra el punto de intersección (donde se cruzan las líneas).
Estas líneas se cruzan en el punto (-2, -3).
Esto significa que la solución a este sistema es:
X = -2 y y = -3.


Teorema uno de la desigualdad del triángulo

De acuerdo con el teorema de desigualdad del primer triángulo, las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo deben sumar más que la longitud del tercer lado. Esto significa que no puede dibujar un triángulo que tenga lados de 2, 7 y 12, por ejemplo, ya que 2 + 7 es menor que 12. Para tener una idea intuitiva de esto, imagine primero dibujar un segmento de línea de 12 cm de largo. Ahora piense en otros dos segmentos de línea de 2 cm y 7 cm de largo unidos a los dos extremos del segmento de 12 cm. Está claro que no sería posible hacer coincidir los dos segmentos finales. Tendrían que sumar al menos 12 cm.


Lineas perpendiculares

Escribe la ecuación para la primera línea e identifica la pendiente y la intersección con el eje y, como con las líneas paralelas.

Ejemplo: y = 4x + 3 m = pendiente = 4 b = intersección en y = 3

Transforma para la variable "x" e "y". El ángulo de rotación es de 90 grados porque una línea perpendicular se cruza con la línea original en 90 grados.

Ejemplo: x '= x_cos (90) - y_sin (90) y' = x_sin (90) + y_cos (90)

Sustituye "y" y "x" por "x" e "y" y luego escribe la ecuación en forma estándar.

Ejemplo: Línea original: y = 4x + 3 Sustituir: -x '= 4y' + 3 Forma estándar: y '= - (1/4) * x - 3/4

La línea original, y = 4x + b, es perpendicular a la nueva línea, y '= - (1/4) _x - 3/4, y cualquier línea paralela a la nueva línea, como y' = - (1/4 ) _x - 10.

Para las líneas tridimensionales, el proceso es el mismo pero los cálculos son mucho más complejos. Un estudio de los ángulos de Euler ayudará a comprender las transformaciones tridimensionales.


Ver el vídeo: FULL Klipsch Dolby Atmos w Sony 295 SI ZERO EDGE Black Diamond PRO in Prosper TX (Septiembre 2021).