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6.3.4: Expresiones exponenciales equivalentes - Matemáticas


Lección

Investiguemos expresiones con variables y exponentes.

Ejercicio ( PageIndex {1} ): ¿Arriba o Abajo?

Encuentra los valores de (3 ^ {x} ) y ( left ( frac {1} {3} right) ^ {x} ) para diferentes valores de (x ). ¿Qué patrones notas?

(X) (3 ^ {x} ) ( left ( frac {1} {3} right) ^ {x} )
(1)
(2)
(3)
(4)
Tabla ( PageIndex {1} )

Ejercicio ( PageIndex {2} ): ¿Cuál es el valor?

Evalúa cada expresión para el valor dado de (x ).

  1. (3x ^ {2} ) cuando (x ) es (10 ​​)
  2. (3x ^ {2} ) cuando (x ) es ( frac {1} {9} )
  3. ( frac {x ^ {3}} {4} ) cuando (x ) es (4 )
  4. ( frac {x ^ {3}} {4} ) cuando (x ) es ( frac {1} {2} )
  5. (9 + x ^ {7} ) cuando (x ) es (1 )
  6. (9 + x ^ {7} ) cuando (x ) es ( frac {1} {2} )

Ejercicio ( PageIndex {3} ): Experimentación de exponentes

Encuentra una solución para cada ecuación de la lista. (Los números de la lista pueden ser una solución a más de una ecuación y no se utilizarán todos los números de la lista).

  1. (64 = x ^ {2} )
  2. (64 = x ^ {3} )
  3. (2 ^ {x} = 32 )
  4. (x = left ( frac {2} {5} right) ^ {3} )
  5. ( frac {16} {9} = x ^ {2} )
  6. (2 cdot 2 ^ {5} = 2 ^ {x} )
  7. (2x = 2 ^ {4} )
  8. (4 ^ {3} = 8 ^ {x} )

Lista:

( frac {8} {125} quad frac {6} {15} quad frac {5} {8} quad frac {8} {9} quad 1 frac {4} {3 } quad 2 quad 3 quad 4 quad 5 quad 6 quad 8 )

¿Estás listo para más?

Este fractal se llama tetraedro de Sierpinski. Un tetraedro es un poliedro que tiene cuatro caras. (El plural de tetraedro es tetraedro).

Los pequeños tetraedros forman cuatro tetraedros de tamaño mediano: azul, rojo, amarillo y verde. Los tetraedros de tamaño mediano forman un tetraedro grande.

  1. ¿Cuántas caras pequeñas tiene este fractal? Asegúrese de incluir caras que no pueda ver. Trate de encontrar una manera de resolver esto para no tener que contar todas las caras.
  2. ¿Cuántos tetraedros pequeños hay en la capa inferior, tocando la mesa?
  3. Para hacer una versión aún más grande de este fractal, puede tomar cuatro fractales como el que se muestra en la imagen y juntarlos. Explica dónde unirías los fractales para hacer un tetraedro más grande.
  4. ¿Cuántas caras pequeñas tendría este fractal más grande? ¿Cuántos tetraedros pequeños habría en la capa inferior?
  5. ¿Qué otros patrones puedes encontrar?

Resumen

En esta lección, vimos expresiones que usaban la letra (x ) como variable. Evaluamos estas expresiones para diferentes valores de (x ).

  • Para evaluar la expresión (2x ^ {3} ) cuando (x ) es (5 ), reemplazamos la letra (x ) con (5 ) para obtener (2 cdot 5 ^ {3} ). Esto es igual a (2 cdot 125 ) o simplemente (250 ). Entonces, el valor de (2x ^ {3} ) es (250 ) cuando (x ) es (5 ).
  • Para evaluar ( frac {x ^ {2}} {8} ) cuando (x ) es (4 ), reemplazamos la letra (x ) con (4 ) para obtener ( frac {4 ^ {2}} {8} = frac {16} {8} ), que es igual a (2 ). Entonces ( frac {x ^ {2}} {8} ) tiene un valor de (2 ) cuando (x ) es (4 ).

También vimos ecuaciones con la variable (x ) y tuvimos que decidir qué valor de (x ) haría que la ecuación fuera verdadera.

  • Suponga que tenemos una ecuación (10 ​​ cdot 3 ^ {x} = 90 ) y una lista de posibles soluciones: (1, 2, 3, 9, 11 ). El único valor de (x ) que hace que la ecuación sea verdadera es (2 ) porque (10 ​​ cdot 3 ^ {2} = 10 cdot 3 cdot 3 ), que es igual a (90 ). Entonces (2 ) es la solución de la ecuación.

Práctica

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Evalúa cada expresión si (x = 3 ).

  1. (2 ^ {x} )
  2. (x ^ {2} )
  3. (1 ^ {x} )
  4. (x ^ {1} )
  5. ( left ( frac {1} {2} right) ^ {x} )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Evalúe cada expresión para el valor dado de cada variable.

  1. (2 + x ^ {3} ), (x ) es (3 )
  2. (x ^ {2} ), (x ) es ( frac {1} {2} )
  3. (3x ^ {2} + y ), (x ) es (5 ) (y ) es (3 )
  4. (10y + x ^ {2} ), (x ) es (6 ) (y ) es (4 )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Decide si las expresiones tienen el mismo valor. De lo contrario, determine qué expresión tiene el valor mayor.

  1. (2 ^ {3} ) y (3 ^ {2} )
  2. (1 ^ {31} ) y (31 ^ {1} )
  3. (4 ^ {2} ) y (2 ^ {4} )
  4. ( left ( frac {1} {2} right) ^ {3} ) y ( left ( frac {1} {3} right) ^ {2} )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Relaciona cada ecuación con su solución.

  1. (7 + x ^ {2} = 16 )
  2. (5-x ^ {2} = 1 )
  3. (2 cdot 2 ^ {3} = 2 ^ {x} )
  4. ( frac {3 ^ {4}} {3 ^ {x}} = 27 )
  1. (x = 1 )
  2. (x = 2 )
  3. (x = 3 )
  4. (x = 4 )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Un pase de adulto en el parque de atracciones cuesta 1,6 veces más que un pase de niño.

  1. ¿Cuántos dólares cuesta un pase de adulto si el pase de un niño cuesta:
    ($5)?
    ($10)?
    (w ) dólares?
  2. El pase de un niño cuesta $ 15. ¿Cuántos dólares cuesta un pase de adulto?

(De la Unidad 6.2.1)

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Jada lee 5 páginas cada 20 minutos. A este ritmo, ¿cuántas páginas puede leer en 1 hora?

  • Usa una recta numérica doble para encontrar la respuesta.
  • Usa una tabla para encontrar la respuesta.
páginas leídastiempo en minutos
(5)(20)
Tabla ( PageIndex {2} )

¿Qué estrategia crees que es mejor y por qué?

(De la Unidad 2.4.4)


Lección 6

La mayoría de los exponentes fraccionarios que los estudiantes han encontrado hasta ahora en la unidad son fracciones unitarias. Este calentamiento permite a los estudiantes recordar cómo interpretar exponentes que no son fracciones unitarias. A los estudiantes se les da un conjunto de expresiones que son todas equivalentes y se les pide que expliquen por qué lo son. Al hacerlo, practican la aplicación de propiedades de exponentes y recuerdan cómo darle sentido a una expresión como (8 ^ < frac23> ).

  1. Analice con un compañero por qué las siguientes expresiones son equivalentes.
    1. (64 ^ frac13 )
    2. ( left (8 ^ 2 right) ^ frac13 )
    3. ( left (2 ^ 3 right) ^ frac23 )
    4. ( left (8 ^ frac13 right) ^ 2 )
    5. (8 ^ frac23 )

    Respuesta del estudiante

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    Síntesis de actividades

    Seleccione a los estudiantes para que compartan sus explicaciones sobre por qué cada expresión es equivalente a las demás. Si el tiempo lo permite, después de que un estudiante comparta su razonamiento para una expresión en particular, pregunte si otros pensaron sobre la misma expresión de manera diferente.

    Si no se menciona en las explicaciones de los estudiantes, resalte que se puede demostrar que cada una de las expresiones es equivalente a (8 ^ frac23 ). Señale también que todas las expresiones son equivalentes porque cuando cada una se eleva a la tercera potencia, es igual a (8 ^ 2 ).


    Introducción a la dinámica de los coloides

    El efecto del acoplamiento traslacional y rotacional.

    Un análisis como el dado anteriormente con la inclusión del término de acoplamiento es un asunto complicado. Afortunadamente, la relevancia del término de acoplamiento se puede analizar, de manera bastante sencilla, en el corto plazo. Para ello empleamos la expresión exponencial del operador (1.67) para funciones de correlación que se deriva en el capítulo introductorio, de la misma manera que para la derivación de resultados a corto plazo para un sistema de esferas interactuantes en la sección 6.5. Dado que la variable estocástica aquí es X = (r, u ˆ), y el pdf P (X) = 1 4 π V, tenemos,

    En la segunda ecuación, el operador exponencial es Taylor expandido hasta el primer orden en el tiempo. Aquí sólo es necesario considerar el término de acoplamiento en el operador de Smoluchowski (el término ∼ Δ D). La sustitución de ese término en la expresión anterior conduce a (con X = cos<θ>),

    La exponenciación de la expresión resultante a corto plazo da lugar a un factor adicional exp <- c (k L) Δ D k 2 t> al EACF,

    La función de acoplamiento C(kL) es igual a,

    Esta función se puede evaluar numéricamente y se representa en la figura 6.17. Dado que el tiempo de caída del EACF debido a la traslación es típicamente 1 / D ¯ k 2, y ΔD no es muy diferente de D ¯ (véanse las ecuaciones (5.127, 128)), la contribución adicional debida al acoplamiento de traslación y rotación puede despreciarse para kL & lt 5, como puede verse en la figura 6.17 (hay una contribución del 10% del acoplamiento en momentos donde D ¯ k 2 t ≈ 1). Dado que descubrimos anteriormente que una contribución significativa de la difusión rotacional solo se encuentra para kL & gt 5, la conclusión es que el acoplamiento entre traslación y rotación es de importancia tan pronto como la difusión rotacional en sí misma lo es. Tanto la difusión rotacional como el acoplamiento con la difusión traslacional son importantes (para kL & gt 5)) o esencialmente ausente (para kL & lt 5).

    Figura 6.17. La función de acoplamiento C, que caracteriza la relevancia del acoplamiento de la difusión traslacional y rotacional, en función de kL.

    Por tanto, hay que distinguir tres regiones en el espacio de vectores de ondas. Para kL & lt 5 solo se observa difusión traslacional, mientras que para 5 & lt kL & lt 10 se observan difusión tanto traslacional como rotacional, incluido el acoplamiento entre traslación y rotación, y donde el EACF (6.221) puede estar truncado después del S2-término. Para kL & gt 10, los términos rotacionales de orden superior en la expansión (6.221) se vuelven relevantes además (para 10 & lt kL & lt 15, la única contribución significativa de orden superior es la S4-término).

    El EACF es una suma de dos funciones exponenciales de tiempo para kL & lt 10. La diferencia con el caso en el que se desprecia el acoplamiento es que D ¯ k 2 t ahora se reemplaza por [C(kL) ΔD + D ¯]k 2 t. El EACF es ahora una suma de dos funciones exponenciales en el tiempo, con una frecuencia Γ 1 = [c (k L) Δ D + D ¯] k 2, y una frecuencia Γ 2 = [c (k L) Δ D + D ¯] k 2 + 6 DT · La amplitud de la última función exponencial relativa a la primera (cuya razón es igual a S2(kL)/S0(kL)) es significativamente diferente de cero solo para kL & gt 5. El procedimiento experimental para medir tanto D ¯ como Dr es así como sigue. Primero realice mediciones del IACF para vectores de onda kL & lt 5, y ajuste el IACF mediante la relación de Siegert (3.82) con g ˆ E = exp <- Γ t> · En este rango de vector de onda, Γ = D ¯ k 2, ya que tanto la rotación como el acoplamiento son insignificantes. Determine el coeficiente de difusión traslacional promedio D ¯ a partir de la pendiente de una gráfica de Γ versus k 2. Luego reste las dos frecuencias, Γ2 - Γ1 = 6Dr, obtenido a partir de mediciones en el rango del vector de onda 5 & lt kL & lt 10. Esta diferencia debe ser independiente del vector de onda y da un valor para el coeficiente de difusión rotacional Dr.


    6.3.4: Expresiones exponenciales equivalentes - Matemáticas

    o Derivar las reglas para multiplicar y dividir expresiones exponenciales

    o Determinar el significado de un exponente negativo

    o Aplicar exponentes para comprender y usar la notación científica.

    Digamos que queremos multiplicar dos expresiones exponenciales con la misma base, como y. El enfoque de "fuerza bruta" para encontrar el producto sería expandir cada exponente, multiplicar los resultados y convertir nuevamente a un exponente (asumiendo que se desea una representación exponencial del resultado).

    Tenga en cuenta que cuando multiplicamos dos exponentes (nuevamente, asumiendo que tienen la misma base), el resultado es la multiplicación de los factores del primer exponente y los factores del segundo exponente. Por tanto, el número total de factores es la suma de los dos exponentes. Podemos generalizar esta regla usando letras en lugar de números no especificados.

    A menudo puede ver la operación de multiplicación expresada con un punto (& # 183) en lugar de una cruz (), o puede verla expresada sin ningún símbolo. Por tanto, cada una de las siguientes expresiones es equivalente a las demás.

    Podemos derivar una regla similar para la división. Echemos un vistazo a lo que sucede cuando dividimos entre.

    Ahora, podemos "cancelar" cualquier instancia de un factor que aparezca tanto en el numerador como en el denominador. ¿Por qué es este el caso? Recuerde que pudimos encontrar fracciones equivalentes al multiplicar (o dividir) tanto el numerador como el denominador por un valor particular; esto es equivalente a multiplicar o dividir por uno. Por tanto, podemos hacer lo siguiente:

    Esto no es más que escribir la fracción original en una forma equivalente. En lugar de que la fracción involucre un solo número, involucra una serie de operaciones (multiplicación, en este caso).

    La forma sencilla de ver esto es que cualquier factor en el numerador puede simplemente cancelar factores equivalentes en el denominador. Por lo tanto, para cada caso en el que aparezca 2 en el numerador y denominador, podemos tachar ese par.

    Podemos ver que el exponente de la respuesta es la diferencia entre el numerador y el denominador (nuevamente, todos tienen la misma base). Generalicemos la regla:

    Consideremos un caso más: ¿qué pasa si una expresión exponencial se eleva a un exponente, como en el ejemplo siguiente?

    Expande la expresión para ver cómo se ve en términos de multiplicación.

    Observe que la expresión entre paréntesis tiene tres factores y debemos multiplicar esta expresión cuatro veces. Por tanto, el número total de factores de dos es 12, o el producto de los exponentes. Generalmente, la regla se puede enunciar de la siguiente manera.

    La clave para usar estas reglas es tener en cuenta que las expresiones exponenciales siempre deben tener la misma base; las reglas no se aplican a exponentes con bases diferentes. En resumen, las reglas de los exponentes son las siguientes.

    Problema de práctica: Escribe cada uno de los siguientes como una expresión exponencial con una sola base y un solo exponente.

    Solución: En cada caso, use las reglas para multiplicar y dividir exponentes para simplificar la expresión en una sola base y un solo exponente. Observe en la parte c que cualquier número es igual a sí mismo elevado a la primera potencia. Note también la utilidad de estas reglas de exponentes en la parte d: multiplicar 150 por veinte (o veintiséis) veces es una propuesta difícil, e incluso la mayoría de las calculadoras no pueden proporcionar un producto exacto. El uso de exponentes, sin embargo, nos permite tener un exacto representación del resultado.

    Ahora miramos un caso ligeramente diferente: un producto de dos (o más) factores, todos elevados a un exponente. Consideremos el siguiente ejemplo.

    Expande la exponencial de la manera habitual:

    Observe que la forma expandida tiene cuatro factores de 2 y cuatro factores de 3. Esta expresión es la misma que la siguiente (la multiplicación es conmutativa, por lo que podemos reordenar los factores en el producto).

    Por lo tanto, dado el producto ab (o), podemos escribir la siguiente regla general:

    Si considera la división de expresiones exponenciales, puede notar que la regla parece indicar que podemos terminar con exponentes negativos. El siguiente ejemplo, similar al ejemplo anterior, ilustra este punto:

    Pero las reglas de los exponentes indican lo siguiente:

    Los resultados debería sea ​​lo mismo, equiparemos los dos y veamos qué información podemos obtener del resultado.

    Reescribamos la expresión exponencial de la siguiente manera.

    Pero las reglas de los exponentes nos permiten escribir esta expresión como un exponente elevado a otro exponente.

    Este resultado implica que un exponente de & # 82111 está asociado con el recíproco:

    Por lo tanto, cualquier número a elevado a la potencia de & # 82111 es igual a.

    Usando nuestras reglas de exponentes, por lo tanto, podemos determinar en general lo que significa elevar un número a una potencia que es un número negativo (específicamente en este punto, un número entero negativo). La siguiente derivación sigue el patrón del ejemplo que consideramos anteriormente.

    Este resultado se puede combinar con el resultado que obtuvimos anteriormente para un producto elevado a una potencia determinada:

    Consideremos un cociente (fracción) elevado a una potencia. Podemos usar las reglas de exponentes que hemos estudiado hasta ahora para derivar un resultado equivalente. Primero, usaremos la regla de producto anterior como se muestra a continuación.

    Ahora, usaremos un exponente negativo y otras reglas de exponentes.

    Recuerda que la multiplicación es conmutativa. Por lo tanto,

    Reescribe el segundo exponencial de la siguiente manera.

    Así, obtenemos una regla para cocientes similar a la de productos:

    Por lo tanto, ahora podemos manejar cualquier exponente entero, ya sea positivo o negativo. También sabemos cómo multiplicar y dividir expresiones exponenciales. Más adelante en el curso, consideraremos exponentes fraccionarios. (Resulta que los exponentes fraccionarios obedecen las mismas reglas que los exponentes enteros, pero el significado preciso de una fracción se aclarará más adelante).

    Problema de práctica: Evalúa o simplifica cada expresión.

    Solución: Usa las reglas de los exponentes junto con el hecho de que un exponente negativo indica que se debe tomar el recíproco de la base.

    Aplicación de exponentes: notación científica

    Aunque los exponentes a veces pueden parecer una herramienta matemática oscura o poco práctica, tienen numerosas aplicaciones importantes y prácticas. Por ejemplo, los exponentes se utilizan en los llamados notación cientifica, que es una forma de representar valores decimales que son muy grandes o muy pequeños. Considere los dos números siguientes.

    Debido a su tamaño, escribir estos números es extremadamente engorroso. Si pudiéramos escribirlos simplemente como 1.37 seguido de alguna indicación del número de ceros que siguen o preceden a estos dígitos, podríamos simplificar mucho el proceso de expresión de estos números.Tenga en cuenta que podemos obtener el número más grande multiplicando repetidamente 1,37 por 10 varias veces.

    La expresión de la derecha debe incluir 26 factores de 10. Pero sabemos cómo escribir múltiples factores usando exponentes:

    Podemos hacer lo mismo con el número menor. En este caso, 1,37 debe dividirse entre 10 varias veces.

    En este caso, el denominador contiene 22 factores de 10. Usemos lo que sabemos sobre exponentes negativos para escribir esto en una forma similar a la que usamos anteriormente para el número mayor.

    La notación científica es este método de representar números. El formato general es un solo dígito entero seguido de un número de posiciones decimales, todo multiplicado por una potencia entera de 10. Echemos un vistazo a dos ejemplos más de conversión de notación estándar a notación científica.

    Tenga en cuenta que el exponente también se puede ver como el número de lugares en los que el punto decimal debe moverse hacia la izquierda (para exponentes positivos) o hacia la derecha (para exponentes negativos) cuando se pasa del número estándar a la notación científica.

    Problema de práctica: Convierta cada número a notación científica.

    una. 0,0000041 b. & # 82113,720,000 c. 0.0839

    Solución: Para cada número, escriba un decimal que contenga los dígitos distintos de cero con el punto decimal después del primer dígito, luego multiplíquelo por la potencia apropiada de 10.

    Problema de práctica: Convierta cada número en notación científica a un decimal en forma estándar.

    Solución: La conversión a la forma estándar simplemente requiere mover el punto decimal el número de lugares indicados por el exponente. Para un exponente negativo, el punto decimal debe moverse hacia la izquierda y para un exponente positivo, debe moverse hacia la derecha.


    Contempla el poder de los exponentes

    Es posible que haya visto pequeños números flotando arriba y a la derecha de otros números y variables, como en la expresión X 3. ¿Qué está haciendo ese pequeño 3 ahí arriba? ¿Parasailing? ¿Es pequeño debido a la escala, tal vez porque en realidad es tan grande como el sol de la Tierra, pero solo se ve desde cientos de miles de millas de distancia? No, ese pequeño se llama exponente o energía de X en la expresión, y de hecho tiene una muy energíapapel pleno en el álgebra.

    Predicar con el ejemplo

    En la expresión exponencial y 4, 4 es el exponente y y es el base.

    Las mejores cosas vienen en frascos pequeños

    El papel de un exponente es ahorrarle tiempo y limpiar la forma en que se escriben las expresiones. Básicamente, un exponente es una forma abreviada de indicar multiplicación repetida.

    En el lenguaje del álgebra, X3 (leer "X a la tercera potencia ") significa"X multiplicado por sí mismo tres veces ", o X X X. Para encontrar el valor de los números reales elevados a exponentes, simplemente multiplique el número grande adjunto al exponente (llamado base) por sí solo el número de veces indicado.

    Ejemplo 2: Evalúa las expresiones exponenciales.

    • (a) 4 3
    • Solución: En esta expresión, 4 es la base y 3 es el exponente. Para encontrar la respuesta, multiplique 4 por sí mismo 3 veces:
    • 4 4 4 = 16 4 = 64
    • Por lo tanto, 4 3 = 64.
    • (b) (-2) 5
    • Solución: En este caso, la base es -2, por lo que debe multiplicarse por sí mismo 5 veces. No se preocupe por los signos negativos. Simplemente ve de izquierda a derecha y multiplica dos números a la vez. Comience con (-2) (-2) para obtener 4 y luego multiplique ese resultado por el siguiente -2, y ese resultado por el siguiente -2 hasta que haya terminado.
    • (-2)(-2)(-2)(-2)(-2) = 4(-2)(-2)(-2) = -8(-2)(-2) = 16(-2) = -32
    Punto crítico

    Dos exponentes tienen nombres especiales. Todo lo elevado a la segunda potencia se dice que es al cuadrado (5 2 puede leerse "5 al cuadrado"), y cualquier valor elevado a la tercera potencia se dice que es cubicado (x 3 se puede leer "x al cubo").

    Tienes problemas

    Problema 2: Evalúa la expresión: (-3) 4.

    Reglas exponenciales

    Una vez que escribe algo en forma exponencial, hay reglas muy específicas que debe seguir para simplificar expresiones. Aquí están las cinco reglas más importantes, cada una con una breve explicación:

    • Regla 1: XaXB = Xa + B . Si se multiplican expresiones exponenciales con la misma base, el resultado es la base común elevada a la suma de los poderes.
    • Regla 2: X a X B = Xa-b . Si está dividiendo expresiones exponenciales con la misma base, el resultado es la base común elevada a la diferencia de los dos poderes.
    • z 7 z 4 = z 7-4 = z 3 (-5) 10 (-5) 9 = (-5) 1 = -5
    Punto crítico

    Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual al número original (X 1 = X) entonces, si no hay poder escrito, se entiende que es 1 (7 = 7 1). Además, cualquier cosa (excepto 0) elevada a la potencia 0 es igual a 1 (x 0 = 1, 12 0 = 1). La expresión 0 0 funciona de manera un poco diferente, pero no se ocupa de eso hasta el cálculo.

    • Regla 3: (Xa ) b = Xa b . Si una expresión exponencial se eleva a una potencia, multiplique los exponentes. Esto es diferente de la Regla 1, porque aquí hay una base elevada a dos potencias, y en la Regla 1, había dos bases elevadas a dos potencias.
    • (3 5 ) 6 = 3 5 6 = 3 30 (k 2 ) 0 = k 2 0 = k 0 = 1
    • Regla 4: (xy) a = Xayay ( X y) a = X a y a . Si un producto (problema de multiplicación) o cociente (problema de división) o cualquier combinación de este tipo se eleva a una potencia, entonces también lo es cada pieza individual dentro.
    • (5y) 2 = 5 2 y 2 = 25y 2 (x 2 y 3) 4 = (X 2 ) 4 (y 3 ) 4 = X 8 y 12
    • Regla 5: X-a = 1X -ay1X -a = Xa . Si algo se eleva a una potencia negativa, muévalo a la otra parte de la fracción (si está en el numerador, envíelo al denominador y viceversa) y cambie el exponente a su opuesto. Si la expresión contiene otros exponentes positivos, déjelos en paz.
    • La mayoría de los profesores consideran que las respuestas que contienen exponentes negativos no son simplificadas., así que asegúrese de eliminar los exponentes negativos de su respuesta final. Además, tenga en cuenta que elevar algo a la potencia -1 es equivalente a tomar su recíproco.

    La mayoría de las veces, tendrá que aplicar varias reglas durante el mismo problema, en sus intentos de simplificar.

    Ejemplo 3: Simplifica la expresión ( X 2 y -3 ) 2 (xy 2 ) 4 .

    Solución: Empiece por aplicar las Reglas 3 y 4 al numerador y al denominador.

    Ahora aplique la Regla 2, ya que tiene bases coincidentes en el numerador y denominador.

    Tienes problemas

    Problema 3: Simplifique la expresión (X 3 años) 5 (X -2 y 2) 3.

    Termine aplicando la Regla 5.

    Extraído de The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004 por W. Michael Kelley. Todos los derechos reservados, incluido el derecho de reproducción total o parcial en cualquier forma. Usado por acuerdo con Libros Alfa, miembro de Penguin Group (USA) Inc.


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    Simplifica la siguiente expresión:

    Las reglas de los exponentes me dicen que reste los exponentes. Pero supongamos que he vuelto a olvidar las reglas. El & quot 6 8 & quot significa que tengo ocho copias de 6 en la parte superior y el & quot 6 5 & quot significa que tengo cinco copias de 6 debajo.

    ¿Cuántos 6 adicionales tengo y dónde están? Tengo tres 6 extra y están arriba. Luego:

    A menos que las instrucciones también le indiquen & quotevaluate & quot, probablemente se espera que deje problemas de exponentes numéricos como este en forma de exponente. Sin embargo, si no está seguro, no dude en agregar & quot = 216 & quot, solo para estar seguro.

    Simplifica la siguiente expresión:

    ¿Cuántas copias extra de t que tengo y donde estan? Tengo dos copias adicionales, en la parte superior:

    Una vez que se sienta cómodo con el razonamiento & quothow many extras tengo y dónde están? & Quot, no necesitará escribir las cosas y cancelar los factores duplicados. Las respuestas empezarán a parecerle bastante obvias.

    Simplifica la siguiente expresión:

    Esta pregunta es un poco diferente, porque el mayor exponente está en el término del denominador. Pero el razonamiento básico es el mismo.

    ¿Cuántas copias adicionales de 5 tengo y dónde están? Tengo seis copias adicionales y están debajo:

    Nota: Si aplica la regla de resta, terminará con 5 3 & ndash9 = 5 & ndash6, que es matemáticamente correcto, pero es casi seguro que no es la respuesta que están buscando.

    Ya sea que te hayan enseñado o no sobre exponentes negativos, cuando dicen & quotsimplify & quot, quieren decir & quotsimplify la expresión para que no tenga ninguna potencia negativa o cero & quot. Algunos estudiantes intentarán solucionar este problema de signo menos cambiando arbitrariamente el signo para obtener mágicamente & quot 5 6 & quot en la parte superior (en lugar de debajo de un & quot 1 & quot), pero esto es incorrecto.

    Pasemos a las expresiones que son un poco más complejas.

    Simplifica la siguiente expresión:

    No debo olvidar que el & quot 5 & quot y el & quot 3 & quot son solo números. Dado que 3 no va uniformemente en 5, no puedo cancelar los números.

    Y no debo intentar restar los números, porque el 5 y el 3 en la fracción & quot & quot no son en absoluto lo mismo que el 5 y el 3 en la expresión racional & quot & quot. La parte numérica permanece como está.

    Para las variables, tengo dos copias extra de X en la parte superior, por lo que la respuesta es:

    Cualquiera de las respuestas resaltadas en violeta debería ser aceptable: la única diferencia está en el formato, significan lo mismo.

    Simplificar (& ndash46X 2 y 3 z) 0

    Esto es bastante simple: cualquier valor a la potencia cero es solo 1.

    Simplificar y ndash (46X 2 y 3 z) 0

    La porción entre paréntesis todavía se simplifica a 1, pero esta vez el & quot; menos & quot está delante del paréntesis, es decir, está fuera de la potencia, por lo que el exponente no lo toca. Entonces la respuesta en este caso es:

    Simplifica la siguiente expresión:

    Puedo cancelar el factor común de 5 en la parte numérica de la fracción:

    Ahora necesito mirar cada una de las variables. ¿Cuántos extra de cada uno tengo y dónde están? Tengo dos extra a está en la parte superior. Tengo uno extra B debajo. Y tengo el mismo número de C es superior e inferior, por lo que se cancelarán por completo. Esto me da:


    UNA REVISIÓN DE LOGARITMOS

    Antes de elegir un tema de la lista, repasemos lo que sabe acerca de la palabra & quotequivalent. & Quot Encontrará esta palabra en todos sus cursos de matemáticas. Según Webster, la palabra & quotequivalent & quot significa tener igual valor, igual cantidad, igual medida, igual área, igual longitud, etc.
    Por ejemplo, 1 yarda equivale a 3 pies porque ambos representan la misma medida. Verá la notación 1 yarda = 3 pies. Obviamente, el lado izquierdo del signo = no es idéntico al lado derecho. Los números y las palabras son diferentes. Sin embargo, el lado izquierdo es equivalente al lado derecho porque ambos lados denotan la misma longitud. En este caso, el signo = se usa para denotar equivalencia.
    Suponga que desea comprar un artículo, podría pagarlo con un billete de un dólar y 2 monedas de diez centavos, podría pagarlo con 12 monedas de diez centavos, podría pagarlo por cuatro monedas de veinticinco centavos y cuatro de cinco centavos, etc. pago en una pila separada, notará que no tienen el mismo aspecto. De hecho, no son idénticos. Sin embargo, son equivalentes porque todos los métodos de pago suman.

    El número 1 tiene muchas caras equivalentes:

    para nombrar unos pocos. El número 0 tiene muchas caras equivalentes:

    Los exponentes representan atajos en la multiplicación.

    Ejemplo 1: la expresión se puede escribir.

    Ejemplo 2: La expresión significa.

    Ejemplo 3: la expresión se puede escribir.

    Ejemplo 4: La expresión (-7) (- 7) (- 7) (- 7) se puede escribir.

    Preferiría escribir la expresión que escribir 8 mil veces. También puedes usar exponentes con variables.

    Ejemplo 5: La expresión (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) se escribe más convenientemente como.

    Si desea revisar las reglas para exponentes, haga clic en Reglas exponenciales.


    Explorando exponentes

    Dado que este es el comienzo de una nueva unidad, quiero averiguar qué saben los estudiantes sobre el vocabulario que acompaña a las expresiones. Les pediré que completen una hoja de inventario de calificación de vocabulario. Esta hoja tiene el vocabulario importante para esta unidad. Los estudiantes mirarán las palabras del vocabulario y tomarán una decisión sobre cuánto saben acerca de cada palabra. A medida que avanza en la unidad, pida a los estudiantes que vuelvan a visitar las palabras para ver si se han movido en la hoja de inventario. Los estudiantes deben colocar esto delante de las notas de esta unidad.

    Para ayudar a los estudiantes con esta escala de calificación, lea las palabras en voz alta mientras los estudiantes completan el inventario de cada palabra. Este inventario admite prácticas matemáticas 1 y 6. Los estudiantes deben explicar y preguntar “¿tiene sentido esto?”. Además, utilizar el vocabulario de forma precisa y precisa en sus comunicaciones.


    6.2: ¿Qué sucede con los exponentes cero y negativos? (15 minutos)

    Actividad

    Extiende la definición de exponentes no positivos a otras bases. El trabajo de esta actividad es paralelo al trabajo con la tabla de potencias de 10 de la lección anterior. Observe a los estudiantes que transfieren su comprensión de las potencias de 10, especialmente los exponentes no positivos, a expresiones exponenciales con bases distintas de 10.

    Lanzamiento

    Organice a los estudiantes en grupos de 2. Dígales que trabajen por su cuenta y luego compartan su razonamiento con su compañero después de que cada uno haya tenido la oportunidad de completar el problema. Anime a los estudiantes a buscar similitudes en el trabajo que ya han hecho con base 10. Dé a los estudiantes 10 minutos de tiempo de trabajo, seguidos de una discusión con toda la clase.

    Completa la tabla para mostrar lo que significa tener un exponente de cero o un exponente negativo.

    Expandir imagen

    Descripción: & ltp & gt Una tabla con dos filas. Primera fila, valor, 16, 4 espacios en blanco, fracción 1 sobre 2, tres espacios en blanco. Segunda fila, forma exponente, 2 elevado a la cuarta potencia, 8 espacios en blanco. Encima de la fila superior, las flechas apuntan columna a columna de derecha a izquierda, etiquetadas como tiempo 2. Debajo de la fila inferior, las flechas apuntan columna a columna, de izquierda a derecha, marcadas con el signo de interrogación. & Lt / p & gt

    1. A medida que avanza hacia la izquierda, cada número se multiplica por 2. ¿Cuál es el multiplicador a medida que avanza hacia la derecha?
    2. Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir (2 ^ < text -6> ) como una fracción.
    3. Escribe ( frac <1> <32> ) como una potencia de 2 con un solo exponente.
    4. ¿Cuál es el valor de (2 ^ 0 )?
    5. Del trabajo que has hecho con exponentes negativos, ¿cómo escribirías (5 ^ < text -3> ) como una fracción?
    6. ¿Cómo escribirías (3 ^ < text -4> ) como una fracción?

    Respuesta del estudiante

    Los maestros con una dirección de correo electrónico laboral válida pueden hacer clic aquí para registrarse o iniciar sesión para obtener acceso gratuito a Student Response.

    ¿Estás listo para más?

    Encuentra una expresión equivalente a ( left ( frac <2> <3> right) ^ < text-3> ) pero con exponentes positivos.

    Encuentra una expresión equivalente a ( left ( frac <4> <5> right) ^ < text-8> ) pero con exponentes positivos.

    ¿Qué patrones notas cuando comienzas con una fracción elevada a un exponente negativo y la reescribes usando un solo exponente positivo? Muestre o explique su razonamiento.

    Respuesta del estudiante

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    Síntesis de actividades

    La idea importante para esta actividad es que la misma lógica que usamos para analizar potencias de 10 se aplica también a otras bases. Los estudiantes trabajarán principalmente con bases que son números enteros y fracciones positivas.

    Aquí hay algunos ejemplos de preguntas para la discusión de toda la clase:

    • "¿Cómo se compara trabajar con potencias de 2 con trabajar con potencias de 10?" (Las propiedades se aplican de la misma manera, pero calcular el valor de los exponentes es más difícil).
    • "¿Qué sucede cuando usas las reglas de los exponentes cuando uno de los exponentes es 0?" (Las reglas se aplican de la misma manera. (2 ^ 0 = 1 ) de la misma manera que (10 ​​^ 0 = 1 ).)
    • "¿Cómo se compara (10 ​​^ < text- 3> ) con (2 ^ < text- 3> )?" (Ambos valores son positivos y menores que 1. Dado que (10 ​​^ < text- 3> ) tiene números mayores en el denominador, es menor que (2 ^ < text- 3> ).)

    Introducir nuevas presentaciones visuales (o actualizar las actuales) para ilustrar las reglas de exponentes para bases racionales positivas. Muéstrelos para que todos los vean en toda la unidad. Un ejemplo sería actualizar la regla (10 ​​^ n boldcdot 10 ^ m = 10 ^) con (x ^ n boldcdot x ^ m = x ^) con un ejemplo guía que usa una base distinta de 10.


    6.3.4: Expresiones exponenciales equivalentes - Matemáticas

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