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4.2: El teorema del valor medio - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Explica el significado del teorema de Rolle.
  • Describe la importancia del teorema del valor medio.
  • Enuncie tres consecuencias importantes del teorema del valor medio.

La Teorema del valor medio es uno de los teoremas más importantes del cálculo. Analizamos algunas de sus implicaciones al final de esta sección. Primero, comencemos con un caso especial del teorema del valor medio, llamado teorema de Rolle.

Teorema de Rolle

Informalmente Teorema de Rolle establece que si las salidas de una función diferenciable (f ) son iguales en los puntos finales de un intervalo, entonces debe haber un punto interior (c ) donde (f '(c) = 0 ). La figura ( PageIndex {1} ) ilustra este teorema.

Teorema de Rolle

Sea (f ) una función continua sobre el intervalo cerrado ([a, b] ) y diferenciable sobre el intervalo abierto ((a, b) ) tal que (f (a) = f (b ) ). Entonces existe al menos un (c∈ (a, b) ) tal que (f '(c) = 0. )

Prueba

Sea (k = f (a) = f (b). ) Consideramos tres casos:

  1. (f (x) = k ) para todo (x∈ (a, b). )
  2. Existe (x∈ (a, b) ) tal que (f (x)> k. )
  3. Existe (x∈ (a, b) ) tal que (f (x)

Caso 1: Si (f (x) = 0 ) para todo (x∈ (a, b) ), entonces (f '(x) = 0 ) para todo (x∈ (a, b). )

Caso 2: Dado que (f ) es una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado ([a, b] ), según el teorema del valor extremo, tiene un máximo absoluto. Además, dado que hay un punto (x∈ (a, b) ) tal que (f (x)> k ), el máximo absoluto es mayor que (k ). Por lo tanto, el máximo absoluto no ocurre en ninguno de los dos extremos. Como resultado, el máximo absoluto debe ocurrir en un punto interior (c∈ (a, b) ). Debido a que (f ) tiene un máximo en un punto interior (c ), y (f ) es diferenciable en (c ), por el teorema de Fermat, (f '(c) = 0. )

Caso 3: El caso cuando existe un punto (x∈ (a, b) ) tal que (f (x)

Un punto importante sobre el teorema de Rolle es que la diferenciabilidad de la función (f ) es crítica. Si (f ) no es diferenciable, incluso en un solo punto, es posible que el resultado no se mantenga. Por ejemplo, la función (f (x) = | x | −1 ) es continua sobre ([- 1,1] ) y (f (−1) = 0 = f (1) ), pero (f '(c) ≠ 0 ) para cualquier (c∈ (−1,1) ) como se muestra en la siguiente figura.

Consideremos ahora funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Rolle y calculemos explícitamente los puntos c donde (f '(c) = 0. )

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Uso del teorema de Rolle

Para cada una de las siguientes funciones, verifique que la función satisfaga los criterios establecidos en el teorema de Rolle y encuentre todos los valores (c ) en el intervalo dado donde (f '(c) = 0. )

  1. (f (x) = x ^ 2 + 2x ) sobre ([- 2,0] )
  2. (f (x) = x ^ 3−4x ) sobre ([- 2,2] )

Solución

Dado que (f ) es un polinomio, es continuo y diferenciable en todas partes. Además, (f (−2) = 0 = f (0). ) Por lo tanto, (f ) satisface los criterios del teorema de Rolle. Concluimos que existe al menos un valor (c∈ (−2,0) ) tal que (f '(c) = 0 ). Como (f '(x) = 2x + 2 = 2 (x + 1), ) vemos que (f' (c) = 2 (c + 1) = 0 ) implica (c = −1 ) como se muestra en el siguiente gráfico.

B. Como en la parte a. (f ) es un polinomio y, por tanto, es continuo y diferenciable en todas partes. Además, (f (−2) = 0 = f (2). ) Dicho esto, (f ) satisface los criterios del teorema de Rolle. Al diferenciar, encontramos que (f '(x) = 3x ^ 2−4. ) Por lo tanto, (f' (c) = 0 ) cuando (x = ± frac {2} { sqrt {3 }} ). Ambos puntos están en el intervalo ([- 2,2] ) y, por lo tanto, ambos puntos satisfacen la conclusión del teorema de Rolle como se muestra en la siguiente gráfica.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Verifica que la función (f (x) = 2x ^ 2−8x + 6 ) definida en el intervalo ([1,3] ) satisface las condiciones del teorema de Rolle. Encuentra todos los puntos (c ) garantizados por el teorema de Rolle.

Insinuación

Encuentra todos los valores (c ), donde (f '(c) = 0 ).

Respuesta

(c = 2 )

El teorema del valor medio y su significado

El teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio. En el teorema de Rolle, consideramos funciones diferenciables (f ) que son cero en los extremos. El teorema del valor medio generaliza el teorema de Rolle al considerar funciones que no son necesariamente cero en los extremos. En consecuencia, podemos ver el teorema del valor medio como una versión sesgada del teorema de Rolle (figura ( PageIndex {5} )). El teorema del valor medio establece que si (f ) es continuo en el intervalo cerrado ([a, b] ) y diferenciable en el intervalo abierto ((a, b) ), entonces existe un punto ( c∈ (a, b) ) tal que la recta tangente a la gráfica de (f ) en (c ) es paralela a la recta secante que conecta ((a, f (a)) ) y ((b, f (b)). )

Teorema del valor medio

Sea (f ) continuo en el intervalo cerrado ([a, b] ) y diferenciable en el intervalo abierto ((a, b) ). Entonces, existe al menos un punto (c∈ (a, b) ) tal que

[f '(c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a} ]

Prueba

La demostración se deriva del teorema de Rolle al introducir una función apropiada que satisface los criterios del teorema de Rolle. Considere la línea que conecta ((a, f (a)) ) y ((b, f (b)). ) Dado que la pendiente de esa línea es

[ frac {f (b) −f (a)} {b − a} ]

y la línea pasa por el punto ((a, f (a)), ) la ecuación de esa línea se puede escribir como

[y = frac {f (b) −f (a)} {b − a} (x − a) + f (a). ]

Sea (g (x) ) la diferencia vertical entre el punto ((x, f (x)) ) y el punto ((x, y) ) en esa línea. Por lo tanto,

[g (x) = f (x) - left [ frac {f (b) −f (a)} {b − a} (x − a) + f (a) right]. ]

Dado que la gráfica de (f ) interseca la recta secante cuando (x = a ) y (x = b ), vemos que (g (a) = 0 = g (b) ). Dado que (f ) es una función diferenciable sobre ((a, b) ), (g ) también es una función diferenciable sobre ((a, b) ). Además, dado que (f ) es continuo sobre ([a, b], , g ) también es continuo sobre ([a, b] ). Por tanto, (g ) satisface los criterios del teorema de Rolle. En consecuencia, existe un punto (c∈ (a, b) ) tal que (g '(c) = 0. ) Dado que

[g '(x) = f' (x) - frac {f (b) −f (a)} {b − a}, ]

vemos eso

[g '(c) = f' (c) - frac {f (b) −f (a)} {b − a}. ]

Dado que (g '(c) = 0, ) concluimos que

[f '(c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a}. ]

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo se puede aplicar el teorema del valor medio a la función (f (x) = sqrt {x} ) en el intervalo ([0,9] ). El método es el mismo para otras funciones, aunque a veces con consecuencias más interesantes.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Verificación de que se aplica el teorema del valor medio

Para (f (x) = sqrt {x} ) en el intervalo ([0,9] ), demuestre que (f ) satisface la hipótesis del Teorema del valor medio y, por lo tanto, existe al menos un valor (c∈ (0,9) ) tal que (f ′ (c) ) es igual a la pendiente de la línea que conecta ((0, f (0)) ) y ((9 , f (9)) ). Encuentre estos valores (c ) garantizados por el Teorema del valor medio.

Solución

Sabemos que (f (x) = sqrt {x} ) es continuo sobre ([0,9] ) y diferenciable sobre ((0,9). ) Por lo tanto, (f ) satisface las hipótesis del Teorema del valor medio, y debe existir al menos un valor (c∈ (0,9) ) tal que (f ′ (c) ) sea igual a la pendiente de la recta que conecta (( 0, f (0)) ) y ((9, f (9)) ) (Figura). Para determinar qué valor (es) de (c ) están garantizados, primero calcule la derivada de (f ). La derivada (f ′ (x) = frac {1} {(2 sqrt {x})} ). La pendiente de la recta que conecta ((0, f (0)) ) y ((9, f (9)) ) está dada por

[ frac {f (9) −f (0)} {9−0} = frac { sqrt {9} - sqrt {0}} {9−0} = frac {3} {9} = frac {1} {3}. sin número]

Queremos encontrar (c ) tal que (f ′ (c) = frac {1} {3} ). Es decir, queremos encontrar (c ) tal que

[ frac {1} {2 sqrt {c}} = frac {1} {3}. sin número]

Resolviendo esta ecuación para (c ), obtenemos (c = frac {9} {4} ). En este punto, la pendiente de la recta tangente es igual a la pendiente de la recta que une los puntos finales.

Una aplicación que ayuda a ilustrar el teorema del valor medio involucra la velocidad. Por ejemplo, suponga que conducimos un automóvil durante 1 h por una carretera recta con una velocidad promedio de 45 mph. Sea (s (t) ) y (v (t) ) la posición y la velocidad del automóvil, respectivamente, para (0≤t≤1 ) h. Suponiendo que la función de posición (s (t) ) es diferenciable, podemos aplicar el Teorema del valor medio para concluir que, en algún momento (c∈ (0,1) ), la velocidad del automóvil fue exactamente

[v (c) = s ′ (c) = frac {s (1) −s (0)} {1−0} = 45 , mph. sin número]

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Teorema del valor medio y velocidad

Si se deja caer una roca desde una altura de 100 pies, su posición (t ) segundos después de caer hasta que golpea el suelo viene dada por la función (s (t) = - 16t ^ 2 + 100. )

  1. Determina cuánto tiempo pasa antes de que la piedra toque el suelo.
  2. Encuentre la velocidad promedio (v_ {avg} ) de la roca para cuando la roca se suelta y la roca golpea el suelo.
  3. Encuentre el tiempo (t ) garantizado por el Teorema del valor medio cuando la velocidad instantánea de la roca es (v_ {avg}. )

Solución

una. Cuando la roca golpea el suelo, su posición es (s (t) = 0 ). Resolviendo la ecuación (- 16t ^ 2 + 100 = 0 ) para (t ), encontramos que (t = ± frac {5} {2} sec ). Como solo estamos considerando (t≥0 ), la pelota golpeará el suelo ( frac {5} {2} ) seg después de que se deje caer.

B. La velocidad media viene dada por

[v_ {avg} = frac {s (5/2) −s (0)} {5 / 2−0} = frac {1−100} {5/2} = - 40 , text { ft / seg}. sin número]

C. La velocidad instantánea está dada por la derivada de la función de posición. Por lo tanto, necesitamos encontrar un tiempo (t ) tal que (v (t) = s ′ (t) = v_ {avg} = - 40 ) pies / seg. Dado que (s (t) ) es continua en el intervalo ([0,5 / 2] ) y diferenciable en el intervalo ((0,5 / 2), ) por el teorema del valor medio, hay garantizado para ser un punto (c∈ (0,5 / 2) ) tal que

[s ′ (c) = frac {s (5/2) −s (0)} {5 / 2−0} = - 40. sin número]

Tomando la derivada de la función de posición (s (t) ), encontramos que (s ′ (t) = - 32t. ) Por lo tanto, la ecuación se reduce a (s ′ (c) = - 32c = - 40. ) Resolviendo esta ecuación para (c ), tenemos (c = frac {5} {4} ). Por lo tanto, ( frac {5} {4} ) seg después de que se deja caer la roca, la velocidad instantánea es igual a la velocidad promedio de la roca durante su caída libre: (- 40 ) pies / seg.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Suponga que se deja caer una pelota desde una altura de 200 pies. Su posición en el tiempo (t ) es (s (t) = - 16t ^ 2 + 200. ) Encuentre el tiempo (t ) cuando la velocidad instantánea de la pelota es igual a su velocidad promedio.

Insinuación

Primero, determine cuánto tiempo tarda la pelota en golpear el suelo. Luego, calcule la velocidad promedio de la pelota desde el momento en que se deja caer hasta que golpea el suelo.

Respuesta

( frac {5} {2 sqrt {2}} ) seg

Corolarios del teorema del valor medio

Veamos ahora tres corolarios del teorema del valor medio. Estos resultados tienen consecuencias importantes, que usaremos en las próximas secciones.

En este punto, sabemos que la derivada de cualquier función constante es cero. El teorema del valor medio nos permite concluir que lo contrario también es cierto. En particular, si (f ′ (x) = 0 ) para todo (x ) en algún intervalo (I ), entonces (f (x) ) es constante en ese intervalo. Este resultado puede parecer intuitivamente obvio, pero tiene importantes implicaciones que no son obvias, y las discutiremos en breve.

Corolario 1: Funciones con derivada cero

Sea (f ) diferenciable en un intervalo (I ). Si (f ′ (x) = 0 ) para todo (x∈I ), entonces (f (x) = ) constante para todo (x∈I. )

Prueba

Dado que (f ) es diferenciable sobre (I ), (f ) debe ser continuo sobre (I ). Suponga que (f (x) ) no es constante para todo (x ) en (I ). Entonces existe (a, b∈I ), donde (a ≠ b ) y (f (a) ≠ f (b). ) Elija la notación para que (a

[ frac {f (b) −f (a)} {b − a} ≠ 0. sin número]

Dado que (f ) es una función diferenciable, según el Teorema del valor medio, existe (c∈ (a, b) ) tal que

[f ′ (c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a}. sin número]

Por lo tanto, existe (c∈I ) tal que (f ′ (c) ≠ 0 ), lo que contradice la suposición de que (f ′ (x) = 0 ) para todo (x∈I ) .

De Note, se deduce que si dos funciones tienen la misma derivada, difieren, como máximo, en una constante.

Corolario 2: Teorema de la diferencia constante

Si (f ) y (g ) son diferenciables en un intervalo (I ) y (f ′ (x) = g ′ (x) ) para todo (x∈I ), entonces (f (x) = g (x) + C ) para alguna constante (C ).

Prueba

Sea (h (x) = f (x) −g (x). ) Entonces, (h ′ (x) = f ′ (x) −g ′ (x) = 0 ) para todo (x ∈I. ) Según el Corolario 1, hay una constante (C ) tal que (h (x) = C ) para todo (x∈I ). Por lo tanto, (f (x) = g (x) + C ) para todo (x∈I. )

El tercer corolario del teorema del valor medio analiza cuándo una función aumenta y cuándo disminuye. Recuerde que una función (f ) aumenta sobre (I ) si (f (x_1) f (x_2) ) siempre que (x_1

Este hecho es importante porque significa que para una función dada (f ), si existe una función (F ) tal que (F ′ (x) = f (x) ); entonces, las únicas otras funciones que tienen una derivada igual a (f ) son (F (x) + C ) para alguna constante (C ). Discutiremos este resultado con más detalle más adelante en el capítulo.

Corolario 3: Funciones crecientes y decrecientes

Sea (f ) continuo en el intervalo cerrado ([a, b] ) y diferenciable en el intervalo abierto ((a, b) ).

  1. Si (f ′ (x)> 0 ) para todo (x∈ (a, b) ), entonces (f ) es una función creciente sobre ([a, b]. )
  2. Si (f ′ (x) <0 ) para todo (x∈ (a, b) ), entonces (f ) es una función decreciente sobre ([a, b]. )

Prueba

Demostraremos i .; la prueba de ii. es similar. Suponga que (f ) no es una función creciente en (I ). Entonces existen (a ) y (b ) en (I ) tal que (a

[f ′ (c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a}. sin número]

Como (f (a) ≥f (b) ), sabemos que (f (b) −f (a) ≤0 ). Además, (a 0. ) Concluimos que

[f ′ (c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a} ≤0. sin número]

Sin embargo, (f ′ (x)> 0 ) para todo (x∈I ). Esto es una contradicción y, por lo tanto, (f ) debe ser una función creciente sobre (I ).

Conceptos clave

  • Si (f ) es continuo sobre ([a, b] ) y diferenciable sobre ((a, b) ) y (f (a) = 0 = f (b) ), entonces existe un punto (c∈ (a, b) ) tal que (f ′ (c) = 0. ) Este es el teorema de Rolle.
  • Si (f ) es continuo sobre ([a, b] ) y diferenciable sobre ((a, b) ), entonces existe un punto (c∈ (a, b) ) tal que [f '(c) = frac {f (b) −f (a)} {b − a}. nonumber ] Este es el teorema del valor medio.
  • Si (f '(x) = 0 ) en un intervalo (I ), entonces (f ) es constante en (I ).
  • Si dos funciones diferenciables (f ) y (g ) satisfacen (f ′ (x) = g ′ (x) ) sobre (I ), entonces (f (x) = g (x) + C ) para alguna constante (C ).
  • Si (f ′ (x)> 0 ) en un intervalo (I ), entonces (f ) aumenta en (I ). Si (f ′ (x) <0 ) sobre (I ), entonces (f ) está disminuyendo sobre (I ).

Glosario

teorema del valor medio

si (f ) es continuo sobre ([a, b] ) y diferenciable sobre ((a, b) ), entonces existe (c∈ (a, b) ) tal que (f ′ (C) = frac {f (b) −f (a)} {b − a} )

teorema de rolle
si (f ) es continuo sobre ([a, b] ) y diferenciable sobre ((a, b) ), y si (f (a) = f (b) ), entonces existe (c∈ (a, b) ) tal que (f ′ (c) = 0 )

4.2 El teorema del valor medio

El teorema del valor medio afirma que si $ f $ es continuo en $ [a, b] $ y diferenciable en $ (a, b) $, entonces existe al menos un $ c en (a, b) $ tal que $ < Displaystyle f '(c) = frac> $. Podemos reformular la conclusión en términos gráficos de la siguiente manera. Debe haber una recta tangente a la gráfica de $ f $ que sea paralela a la secante a través de $ (a, f (a)) $ y $ (b, f (b)) $ con el punto de tangencia entre $ (a , (f (a)) $ y $ (b, f (b)) $. De manera equivalente, si en cada $ c en (a, b) $ construimos la recta que pasa por $ (c, f (c)) $ paralela a la secante a través de $ (a, f (a)) $ y $ (b, f (b)) $, entonces al menos una de estas líneas debe ser tangente a la gráfica de $ f $ en $ (c, f (c)) $.

La interacción de Sage en esta página le permite ingresar una expresión para $ f (x) $ y valores numéricos para $ a $ y $ b $. Traza $ f (x) $ en el intervalo $ [a, b] $ (en realidad, un intervalo ligeramente mayor) y la secante a través de $ (a, f (a)) $ y $ (b, f (b)) $ . La interacción también traza una línea paralela a esta secante a través de un punto $ (c, f (c)) $ donde puede controlar $ c $ usando el control deslizante $ r $. (El valor de $ r $ especifica la fracción de la distancia desde $ a $ a $ b $ para viajar desde $ a $ [hacia la derecha] para llegar a $ c $). Si $ f $, $ a $ y $ b $ satisface las hipótesis del teorema del valor medio, entonces debería haber al menos una posición del control deslizante que genere una tangente a la gráfica de $ f $. Si percibe la inevitabilidad del éxito (dentro de las limitaciones de nuestro modelo digitalizado), entonces tiene una comprensión intuitiva del teorema del valor medio.


4'2 El teorema del valor medio - Presentación de PowerPoint PPT

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82.6 RESUMEN

En esta unidad se han demostrado los teoremas de diferenciación del valor medio. En la sección 12.2, teorema de Rolle, se demuestra el tleorema fundamental del análisis real. De acuerdo con este teorema: si f: [a, b] -PR es una función, continua en [a, bj, derivable en] a, b [md f (a) = f (b), entonces hay al menos una punto c] a, b [tal que f '(c) = 0.' También se da el significado geométrico del teorema. Geométricamente, en la gráfica de la función f, hay al menos un punto entre los puntos finales, donde la tangente es paralela al eje x. Utilizando el teorema de Rolle, el teorema del valor medio de Lagrange se demuestra en la sección 12.3. Establece que si una función f: [a, b] - + R es continua en [a, h] y derivable en] a, b [, hay

es al menos un punto c en] a, b [tal que - f (b) - f (a) = f '(c). Una consecuencia irnportal de b - a el teorema es que sif es continua en [a, b] y derivable en] a, b [con ft (x) = 0 en] a, b [, entonces f es una función constante en [ a, b]. Otra deducción importante del teorema - ,, es que sif es continuo en [a, b] y derivable en] a, b [entonces (i) f es creciente o decreciente en [a, b] según fl (.x) 2 0, 'dx

] a, b [(ii) f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en [a, b] de acuerdo con f '(x) & ampgt 0,' d x € la, b [of '(x).: 0, V x

] a, b [. Aplicando estos resultados, se establecen algunas desigualdades en el análisis real. Con la ayuda del teorema de Rolle, el teorema de Cauchy se demuestra en la sección 12.4. Establece que si fyg son dos funciones tiom [a, b] a R tales que son continuas en [a, b], derivables en] a, b [y g '(x) + 0, V x

] a, b [, entonces existe al menos

un punto c en] a, b [tal que

f (b) - f (a) = - fl (c). El teorema del valor medio de Lagrange es g (b) - g (a) g '(c) caso particular del teorema del valor medio de Cauchy si elegimos la función g como g (x) = x' d x

[a, b]. En la sección 12.5 se da un teorema más general, conocido como teorema del valor medio generalizado. Ha visto que también se establece con la ayuda del Teorema de Rolle. De acuerdo con este teorema, si f, g, 11 son tres funciones de [a, h] a R tales que son continuas en 1% b] derivables en] a, b [, entonces existe en el punto de fuga ce] a, b [tal que

$ (x) = (segundo - a) f (x) - (segundo - x) f (a) - (x - a) f (b) - (segundo - a) (x T a) (x - b ) A donde la constante A debe determinarse de manera que + (c) = 0.- Esto implica (b - a) f (c) - (lj - c) f (a) - (c - a) f (b ) - (b - a) (c - a) (c - b) A = 0. (2) Se da que f & ampquot es continua en [a, b] lo que implica que f, f ', f & ampquot son continuas en [ a, bl. + (a) = + (b) = 0 y 4 es diferenciable en [a, b]. Entonces, C # J satisface todas las condiciones del teorema de Rolle en cada uno de los intervalos [a, c] y [c, b] Por lo tanto, existen dos números CI, c2 respectivamente en] a, c [y] c, b [tales que # (cr) = 0 y c #

'(cz) = 0. Nuevamente @ (x) = (b - a) fP (x) f (a) - f (b) - (b - a) [2x - (a + b)] J $ que es continua y derivable en [a, b] y en particular en [c ,, c2]. También

'(cI) = (b' (c2) = 0. Según el teorema de Rolle, L3 d E] c ,, c2 [tal que r #) & ampquot (d) = 0 Ahora @ '(x) = (b - a) fJ '(x) - (b - a). 2A 1 f (d) = (b - a) f & ampquot (d) - (b - a) 2A = 0 == s- A = -. F & ampquot (d) 2 (3) donde a & amplt cl & amplt d & amplt cz & amplt by el resultado se sigue de (2) y (3).

E 6) Aquí f (x) = cos X, x € [O, n / 2]. f es continua en [O, n / 2] y derivable en 10, n / 2 [.

Según el Teorema del valor medio de Lagrange, existe un pt, c en 10, .rr / 2 [tal que

2 es decir, sin c = - n- 2 es decir, c = sin- '- E 10, n / 2 [. 7T E 7). Aquí f (x) = x '- 3x 2 + 2x Por lo tanto f' (x) = 3x 2 - 6x + 2

Deje q resuelva la ecuación ff (c) = f (b) - f (n) - - f (3) - f (O) b-a 3-0

-, & ampgt Dado que 0 no se encuentra en 10, 3 [, este valor de c se rechaza. Entonces, el valor requerido de c que se encuentra en 10, 3 [es c = 2.

E 8) Aplicar el teorema del valor medio de Lagrange a la función f, dada por f (x) = ax 2 + bx + d3 'E [m, n]. Obtendrá un c E In, n [satisfaciendo

f '(c) = f (n) - f (m) (Suponga: n & ampgt rn) n-m (an 2 i- bn + d) - (an 2 + bm + d)

  • 2ac yo- segundo = norte-metro = una (norte + metro) S segundo metro + norte
  • C =

lo que implica que en x = nl - + n 2, la tangente a la curva dada es panllel a la

cuerda que une los puntos cuyas abscisas son x = myx n.

E 9) Defina una función. 4, estableciendo .42 $ (x) = f (a i- hx) + f (a - hx) Y x E [0, I].

'Cuando x varía en [0, 11, a - hx varía en [a - h, a] y a t hx varía en. [a, a t h]. I 'Por lo tanto, Q, es continua en [0, 11 y derivable en 10, I [. Por el teorema del valor medio de Lagrange 3 8 (0 & amplt 8 & amplt 1) tal que

E 10) i) Considere F (x) = tan- 'x - (x - x 3/3), x 1 0. 1 x 4 F' (x) = --- - (1 - x2) = - I + x2 1 tx 2

3. es decir, tan- 'x & ampgt x - x3 / 3 para x & ampgt 0.

ii) Considere F (x) = e- & ampquot (1 - x) para x 1 0 y proceda como en (i). E 11) Las funciones dadas satisfacen la hipótesis de la teoría del valor medio de Cauchy. -:. '3 .. 8 E] - .rr / 2, O [tal que

que se encuentra claramente en 1-7r / 2,0 [.

. Por tanto, 2c = a -I b G = (a t b) / 2. lo que significa que c es la media aritmética de a & ampamp b. 'E 13) Encontramos c de

lo que da c = 6 6 = a q- & ampquot Por lo tanto, c es la media geométrica de ayb, - E 14) Encontramos c de


4.1 Ley débil de los números grandes

4.1.1 Teorema en inglés sencillo

Supongamos que tenemos una variable aleatoria (X ). A partir de (X ), podemos generar una secuencia de variables aleatorias (X_1, X_2. X_n ) que son extracciones independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) de (X ). Suponiendo que (n ) es finito, podemos realizar cálculos en esta secuencia de números aleatorios. Por ejemplo, podemos calcular la media de la secuencia ( bar_n = frac <1> sum ^ n_X_i ). Este valor es la media de la muestra; de una población mucho más amplia, hemos dibujado una secuencia finita de observaciones y calculado el promedio entre ellas. ¿Cómo sabemos que este parámetro muestral es significativo con respecto a la población y, por lo tanto, podemos hacer inferencias a partir de él?

WLLN establece que la media de una secuencia de i.i.d. las variables aleatorias convergen en probabilidad al valor esperado de la variable aleatoria ya que la longitud de esa secuencia tiende a infinito. Por "convergencia en probabilidad", nos referimos a la probabilidad de que la diferencia entre la media de la muestra y el valor esperado de la variable aleatoria tienda a cero.

En resumen, WLLN garantiza que con un tamaño de muestra suficientemente grande, la media de la muestra debe coincidir aproximadamente con el parámetro de población real. Claramente, este es un teorema poderoso para cualquier ejercicio estadístico: dado que (siempre) estamos limitados por una muestra finita, WLLN asegura que podemos inferir de los datos algo significativo sobre la población. Por ejemplo, a partir de una muestra suficientemente grande de votantes, podemos estimar el apoyo promedio a un candidato o partido.

Más formalmente, podemos declarar WLLN de la siguiente manera:

donde ( xrightarrow

) denota "convergencia en probabilidad".

4.1.2 Prueba

Para probar WLLN, usamos la Desigualdad de Chebyshev (CI). Más específicamente, primero tenemos que demostrar la Desigualdad de la media muestral de Chebyshev (CISM) y luego usar CISM para probar WLLN. Los siguientes pasos se basan en la prueba proporcionada en Aronow y Miller (2019).

Prueba de la desigualdad de Chebyshev de la media muestral. Desigualdad de Chebyshev para la media muestral (CISM) establece que:

donde ( bar_n ) es la media muestral de una secuencia de (n ) extracciones independientes de una variable aleatoria (X ). Recuerde que CI establece que (P (| (X- mu) / sigma | geq k) leq frac <1>). Para ayudar a probar CISM, podemos reorganizar el lado izquierdo de la desigualdad multiplicando ambos lados de la desigualdad dentro de la función de probabilidad por ( sigma ), de modo que:

Entonces, finalmente, definamos (k & # 39 = frac< sigma> ). Por eso:

Esta prueba es razonablemente sencilla. El uso de nuestra definición de (k & # 39 ) nos permite reordenar la probabilidad dentro del CISM para que coincida con la forma de la Desigualdad de Chebyshev indicada anteriormente, lo que luego nos permite inferir los límites de la probabilidad. Luego reemplazamos (k & # 39 ) con ( frac< sigma> ), expanda y simplifique. El movimiento realizado entre la penúltima y la última línea se basa en el hecho de que la varianza de la media muestral es igual a la varianza en la variable aleatoria dividida por el tamaño de la muestra (n).

Aplicando CISM a la prueba WLLN. Dado que todas las probabilidades son no negativas y CISM, ahora podemos escribir:

Tenga en cuenta que para el primer y tercer término de esta desigualdad múltiple, cuando (n ) se acerca al infinito, ambos términos se acercan a 0. En el caso de la constante cero, esto es trivial. En el término final, observe que (var (X) ) denota la varianza inherente de la variable aleatoria y, por lo tanto, es constante a medida que (n ) aumenta. Por lo tanto, a medida que aumenta el denominador, el término converge a cero.

Dado que el término medio se encuentra entre estos dos límites, por definición sabemos que este término también debe converger a cero. Por lo tanto:

Por lo tanto, se prueba WLLN: para cualquier valor de (k ), la probabilidad de que la diferencia entre la media muestral y el valor esperado sea mayor o igual a (k ) converja en cero. Dado que el valor de (k ) es arbitrario, se puede establecer en algo infinitesimalmente pequeño, de modo que la media muestral y el valor esperado converjan en valor.


Cómo utilizar el teorema de Rolle & # 8217s

Pregunta de ejemplo: Utilice el teorema de Rolle & # 8217s para la siguiente función:
f (x) = x 2 & # 8211 5x + 4 para valores x [1, 4]

La función f (x) = x 2 & # 8211 5x + 4 [1, 4]. Gráfico generado con la calculadora gráfica HRW.


Paso 1: Descubra si la función es continua. Solo puede usar el teorema de Rolle & # 8217s para funciones continuas.

Esta función f (x) = x 2 & # 8211 5x + 4 es una función polinomial. Los polinomios son continuos para todos los valores de x. (Cómo comprobar la continuidad de una función).

Paso 2: Averigüe si la función es diferenciable. Si no es diferenciable, no puede utilizar el teorema de Rolle. la forma más fácil de averiguar si la función es diferenciable es simplemente tomar la derivada. Si puede tomar la derivada, entonces es diferenciable.
f & prima (x) = 2x & # 8211 5

Paso 3: Comprueba que la derivada sea continua., usando las mismas reglas que usó para el Paso 1.

Si la función derivada no es & # 8217t continua, puede & # 8217t usar el teorema de Rolle.

Paso 4: Reemplaza los valores de x dados en la fórmula dada para comprobar que los dos puntos tienen la misma altura (si no son & # 8217t, entonces Rolle & # 8217s no se aplica).

Ambos puntos f (1) yf (4) tienen la misma altura, por lo que se aplica Rolle & # 8217s.

Paso 5: Establezca la fórmula de la primera derivada (del paso 2) en cero para saber dónde la función & # 8217s pendiente es cero.

La función & # 8217s pendiente es cero en x = 2.5.


4.2: El teorema del valor medio - Matemáticas

El teorema del valor medio es una de las herramientas teóricas más importantes en cálculo. Establece que si f (x) está definida y es continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en (a, b), entonces hay al menos un número c en el intervalo (a, b) (es decir, a & lt c & lt b) tal que

El caso especial, cuando f (a) = f (b) se conoce como Teorema de Rolle. En este caso, tenemos f '(c) = 0. En otras palabras, existe un punto en el intervalo (a, b) que tiene una tangente horizontal. De hecho, el teorema del valor medio también se puede establecer en términos de pendientes. De hecho, el número

es la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f (b)). Entonces, la conclusión del Teorema del valor medio establece que existe un punto tal que la línea tangente es paralela a la línea que pasa por (a, f (a)) y (b, f (b)). (ver imagen)

Ejemplo. Sea, a = -1 y b = 1. Tenemos

Por otro lado, para cualquier, no igual a 0, tenemos

no tiene solución en c. Esto no contradice el teorema del valor medio, ya que f (x) ni siquiera es continua en [-1,1].

Observación. Está claro que la derivada de una función constante es 0. Pero puede preguntarse si una función con derivada cero es constante. La respuesta es sí. De hecho, sea f (x) una función diferenciable en un intervalo I, con f '(x) = 0, para cada. Entonces, para cualquier a y b en I, el teorema del valor medio implica

para algunos c entre ay b. Entonces nuestra suposición implica

Por tanto, f (b) = f (a) para cualquier a y b en I, lo que significa que f (x) es constante.


Ejemplo 1

Solución al ejemplo 1

La pendiente de la tangente en el punto (c, f (c)) está dada por
f '(x) donde f' es la primera derivada.
La pendiente de la secante que pasa por (1, f (1)) y (5, f (5)) está dada por
[f (5) - f (1)] / (5 - 1)
Para que la tangente sea paralela a la secante, su pendiente debe ser igual, por lo tanto
f '(c) = [f (5) - f (1)] / (5 - 1)
La función f es una función polinomial (cuadrática) y, por lo tanto, es continua y diferenciable del intervalo [1, 5] de ahí el teorema del valor medio predice que hay al menos un valor de x (= c) tal que la igualdad anterior es verdadera.
La pendiente de la tangente está dada por el valor de la primera derivada en x = c.
La primera derivada: f '(x) = - 2 x + 7
pendiente m 1 de la tangente a la curva en x = c es igual am 1 = f '(c) = - 2 c + 7
La pendiente m 2 de la secante a través de los puntos (1, f (1)) y (5, f (5)) está dada por
metro 2 = (f (5) - f (1)) / (5 - 1) = (4 - 0) / (4) = 1
metro 1 = m 2 da la ecuación
- 2 c + 7 = 1
c = 3
Verifique la respuesta gráficamente
El punto de tangencia en x = c está dado por (3, f (3)) = (3, 6)
Ecuación de la tangente:
y - 6 = (x - 3)
y = x + 3
En la figura 1 a continuación se muestran los gráficos de la función dada y el gráfico de la tangente a la curva de f. La tangente y la secante tienen pendientes iguales y, por lo tanto, son paralelas.

Figura 2. Teorema del valor medio utilizado en el ejemplo 1

Puede haber más de un valor de x (= c) que satisfaga el teorema del valor medio, consulte el ejemplo 2 a continuación.

Ejemplo 2

Solución al ejemplo 2

La función f es una función polinomial y, por lo tanto, es continua y diferenciable del intervalo [1, 3] y, por lo tanto, el teorema del valor medio predice que hay al menos un valor de x (= c) tal que la tangente a la curva de f en x = cy la secante son paralelas y por lo tanto sus pendientes son iguales.
pendiente de la tangente
La primera derivada: f '(x) = 3 x 2-10 x + 7
La pendiente m 1 de la tangente en x = c es igual am 1 = f '(c) = 3 c 2 - 10 c + 7
La pendiente m 2 de la secante a través de los puntos (0, f (0)) y (3, f (3))
metro 2 = (f (3) - f (0)) / (3 - 0) = (4 - 1) / (3 - 0) = 1
Para que la tangente a la curva en x = cy la secante a través de (0, f (0)) y (3, f (3)) sean paralelas, sus pendientes deben ser iguales.
3 c 2 - 10 c + 7 = 1
que puede estar escrito como
3 c 2 - 10 c + 6 = 0
Resuelve usando fórmulas cuadráticas para obtener dos soluciones.
C 1 = (5 - & # 87307) / 3 & # 8776 0,78 yc 2 = (5 + 𕔋) / 3 ≈ 2.55
Verifique la respuesta gráficamente
In figure 2 below are shown the graphs of the given function and the graph of the two tangents to the curve of f parallel to the secant through the points A(0 , f(0)) and B(3 , f(3)).

Figure 3. Mean Value Theorem used in example 2

More References and links


Mean Value Theorem

The following diagram shows the Mean Value Theorem. Scroll down the page for more examples and solutions on how to use the Mean Value Theorem.

What is the Mean Value Theorem?

Let f be a function that satisfies the following hypotheses:

  1. f is continuous on the closed interval [a, B]
  2. f is differentiable on the open interval (a, B)

Then there is a number c in (a, B) such that

How to use the Mean Value Theorem?

Dado f(X) = X 3 &ndash X, a = 0 and B = 2. Use the Mean Value Theorem to find c.

Since f is a polynomial, it is continuous and differentiable for all X, so it is certainly continuous on [0, 2] and differentiable on (0, 2).

By the Mean Value Theorem, there is a number c in (0, 2) such that

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A Simple Auxiliary Function for the Mean Value Theorem

Subject classification(s): Real Analysis | Analysis | Calculus | Lines | Analytic Geometry | Geometry and Topology
Applicable Course(s): 4.11 Advanced Calc I, II, & Real Analysis | 3.1 Mainstream Calculus I

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One-Variable Calculus | Theoretical Issues


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