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2.2: El límite de una función


Objetivos de aprendizaje

  • Usando la notación correcta, describe el límite de una función.
  • Utilice una tabla de valores para estimar el límite de una función o para identificar cuándo no existe el límite.
  • Utilice una gráfica para estimar el límite de una función o para identificar cuándo no existe el límite.
  • Defina límites unilaterales y proporcione ejemplos.
  • Explique la relación entre límites unilaterales y bilaterales.
  • Usando la notación correcta, describe un límite infinito.
  • Defina una asíntota vertical.

El concepto de límite o proceso limitante, esencial para la comprensión del cálculo, existe desde hace miles de años. De hecho, los primeros matemáticos utilizaron un proceso de limitación para obtener cada vez mejores aproximaciones de áreas de círculos. Sin embargo, la definición formal de límite, tal como la conocemos y entendemos hoy, no apareció hasta finales del siglo XIX. Por lo tanto, comenzamos nuestra búsqueda para comprender los límites, como lo hicieron nuestros antepasados ​​matemáticos, utilizando un enfoque intuitivo. Al final de este capítulo, armados con una comprensión conceptual de los límites, examinamos la definición formal de un límite.

Comenzamos nuestra exploración de límites observando las gráficas de las funciones.

  • (f (x) = dfrac {x ^ 2−4} {x − 2} ),
  • (g (x) = dfrac {| x − 2 |} {x − 2} ), y
  • (h (x) = dfrac {1} {(x − 2) ^ 2} ),

que se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ). En particular, centremos nuestra atención en el comportamiento de cada gráfico en y alrededor de (x = 2 ).

Cada una de las tres funciones no está definida en (x = 2 ), pero si hacemos esta afirmación y ninguna otra, damos una imagen muy incompleta de cómo se comporta cada función en la vecindad de (x = 2 ). Para expresar el comportamiento de cada gráfico en la vecindad de (2 ) de manera más completa, necesitamos introducir el concepto de límite.

Definición intuitiva de un límite

Primero echemos un vistazo más de cerca a cómo se comporta la función (f (x) = (x ^ 2−4) / (x − 2) ) alrededor de (x = 2 ) en la Figura ( PageIndex {1} ). A medida que los valores de (x ) se acercan a (2 ) desde cualquier lado de (2 ), los valores de (y = f (x) ) se acercan a (4 ). Matemáticamente, decimos que el límite de (f (x) ) cuando (x ) se acerca a (2 ) es (4 ). Simbólicamente, expresamos este límite como

( Displaystyle lim_ {x to 2} f (x) = 4 ).

A partir de esta breve mirada informal a un límite, comencemos a desarrollar un definición intuitiva del límite. Podemos pensar en el límite de una función en un número a como el único número real (L ) al que se acercan los valores funcionales cuando los valores (x ) - se acercan a a, siempre que dicho número real (L ) existe. Expresado con más cuidado, tenemos la siguiente definición:

Definición (intuitiva): límite

Sea (f (x) ) una función definida en todos los valores en un intervalo abierto que contenga (a ), con la posible excepción de a sí mismo, y sea (L ) un número real. Si todos los valores de la función (f (x) ) se acercan al número real (L ) cuando los valores de (x (≠ a) ) se acercan al número a, entonces decimos que el límite de ( f (x) ) cuando (x ) se acerca a (a ) es (L ). (Más conciso, a medida que (x ) se acerca a (a ), (f (x) ) se acerca y permanece cerca de (L )). Simbólicamente, expresamos esta idea como

[ lim_ {x to a} f (x) = L. label {límite} ]

Podemos estimar límites construyendo tablas de valores funcionales y mirando sus gráficos. Este proceso se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

Estrategia de resolución de problemas: evaluación de un límite mediante una tabla de valores funcionales

1. Para evaluar ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) ), comenzamos completando una tabla de valores funcionales. Debemos elegir dos conjuntos de valores (x ), un conjunto de valores que se acerquen a (a ) y menores que (a ), y otro conjunto de valores que se acerquen a (a ) y mayores que (a ). Table ( PageIndex {1} ) demuestra cómo podrían verse sus tablas.

Tabla ( PageIndex {1} )
(X) (f (x) )(X) (f (x) )
(a-0.1 ) (f (a-0.1) ) (a + 0,1 ) (f (a + 0.1) )
(a-0.01 ) (f (a-0.01) ) (a + 0,001 ) (f (a + 0.001) )
(a-0.001 ) (f (a-0.001) ) (a + 0.0001 ) (f (a + 0.001) )
(a-0.0001 ) (f (a-0.0001) ) (a + 0,00001 ) (f (a + 0.0001) )
Utilice valores adicionales según sea necesario.Utilice valores adicionales según sea necesario.

2. A continuación, observemos los valores en cada una de las columnas (f (x) ) y determinemos si los valores parecen acercarse a un valor único a medida que avanzamos en cada columna. En nuestras columnas, miramos la secuencia (f (a − 0.1) ), (f (a − 0.01) ), (f (a − 0.001) ), (f (a − 0.0001) ), y así sucesivamente, y (f (a + 0.1), ; f (a + 0.01), ; f (a + 0.001), ; f (a + 0.0001) ), y así sucesivamente. (Nota: aunque hemos elegido (x ) - valores (a ± 0.1, ; a ± 0.01, ; a ± 0.001, ; a ± 0.0001 ), y así sucesivamente, y estos valores probablemente serán funcionan casi siempre, en muy raras ocasiones es posible que necesitemos modificar nuestras opciones).

3. Si ambas columnas se acercan a un valor (y ) común (L ), indicamos ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = L ). Podemos utilizar la siguiente estrategia para confirmar el resultado obtenido de la tabla o como método alternativo para estimar un límite.

4. Usando una calculadora gráfica o software de computadora que nos permita funciones gráficas, podemos graficar la función (f (x) ), asegurándonos de que los valores funcionales de (f (x) ) para (x ) - los valores cercanos a están en nuestra ventana. Podemos usar la función de rastreo para movernos a lo largo del gráfico de la función y observar la lectura del valor (y ) a medida que los valores (x ) - se acercan a a. Si los valores de (y ) se acercan a (L ) como nuestros valores de (x ) - se acercan a (a ) desde ambas direcciones, entonces ( displaystyle lim_ {x to a} f (x ) = L ). Es posible que necesitemos hacer zoom en nuestro gráfico y repetir este proceso varias veces.

Aplicamos esta estrategia de resolución de problemas para calcular un límite en los ejemplos ( PageIndex {1A} ) y ( PageIndex {1B} ).

Ejemplo ( PageIndex {1A} ): Evaluación de un límite usando una tabla de valores funcionales

Evalúa ( displaystyle lim_ {x to 0} frac { sin x} {x} ) usando una tabla de valores funcionales.

Solución

Hemos calculado los valores de (f (x) = dfrac { sin x} {x} ) para los valores de (x ) enumerados en la Tabla ( PageIndex {2} ).

Tabla ( PageIndex {2} )
(X) ( frac { sin x} {x} )(X) ( frac { sin x} {x} )
-0.10.9983341664680.10.998334166468
-0.010.9999833334170.010.999983333417
-0.0010.9999998333330.0010.999999833333
-0.00010.9999999983330.00010.999999998333

Nota: Los valores en esta tabla se obtuvieron usando una calculadora y usando todos los lugares dados en la salida de la calculadora.

A medida que leemos cada columna ( dfrac { sin x} {x} ), vemos que los valores en cada columna parecen acercarse a uno. Por lo tanto, es bastante razonable concluir que ( displaystyle lim_ {x to0} frac { sin x} {x} = 1 ). Una gráfica generada por calculadora o computadora de (f (x) = dfrac { sin x} {x} ) sería similar a la que se muestra en la Figura ( PageIndex {2} ), y confirma nuestra estimar.

Ejemplo ( PageIndex {1B} ): Evaluación de un límite usando una tabla de valores funcionales

Evalúa ( displaystyle lim_ {x to4} frac { sqrt {x} −2} {x − 4} ) usando una tabla de valores funcionales.

Solución

Como antes, usamos una tabla — en este caso, Table ( PageIndex {3} ) - para listar los valores de la función para los valores dados de (x ).

Tabla ( PageIndex {3} )
(X) ( frac { sqrt {x} −2} {x − 4} )(X) ( frac { sqrt {x} −2} {x − 4} )
3.90.2515823418694.10.248456731317
3.990.250156445624.010.24984394501
3.9990.2500156274.0010.249984377
3.99990.2500015634.00010.249998438
3.999990.250000164.000010.24999984

Después de inspeccionar esta tabla, vemos que los valores funcionales menores que 4 parecen estar disminuyendo hacia 0.25 mientras que los valores funcionales mayores que 4 parecen estar aumentando hacia 0.25. Concluimos que ( displaystyle lim_ {x to4} frac { sqrt {x} −2} {x − 4} = 0.25 ). Confirmamos esta estimación usando la gráfica de (f (x) = dfrac { sqrt {x} −2} {x − 4} ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Estima ( displaystyle lim_ {x to 1} frac { frac {1} {x} −1} {x − 1} ) usando una tabla de valores funcionales. Utilice un gráfico para confirmar su estimación.

Insinuación

Utilice 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999 y 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001, 1.00001 como valores de la tabla.

Respuesta

[ lim_ {x to1} frac { frac {1} {x} −1} {x − 1} = - 1 nonumber ]

En este punto, vemos en los Ejemplos ( PageIndex {1A} ) y ( PageIndex {1b} ) que puede ser tan fácil, si no más fácil, estimar un límite de una función inspeccionando su gráfica como es estimar el límite usando una tabla de valores funcionales. En el Ejemplo ( PageIndex {2} ), evaluamos un límite exclusivamente mirando un gráfico en lugar de usar una tabla de valores funcionales.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluar un límite usando un gráfico

Para (g (x) ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ), evalúa ( displaystyle lim_ {x to − 1} g (x) ).

Solución:

A pesar del hecho de que (g (−1) = 4 ), cuando los valores de (x ) - se acercan a (- 1 ) desde cualquier lado, los valores de (g (x) ) se acercan a (3 ). Por lo tanto, ( displaystyle lim_ {x to − 1} g (x) = 3 ). Tenga en cuenta que podemos determinar este límite sin siquiera conocer la expresión algebraica de la función.

Basado en el Ejemplo ( PageIndex {2} ), hacemos la siguiente observación: Es posible que el límite de una función exista en un punto, y que la función esté definida en este punto, pero el límite de la función y el valor de la función en el punto pueden ser diferentes.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Usa la gráfica de (h (x) ) en la Figura ( PageIndex {5} ) para evaluar ( displaystyle lim_ {x to 2} h (x) ), si es posible.

Insinuación

¿A qué valor (y ) se acerca la función cuando los valores (x ) se acercan a (2 )?

Solución

( Displaystyle lim_ {x to 2} h (x) = - 1. )

Mirar una tabla de valores funcionales o mirar el gráfico de una función nos proporciona información útil sobre el valor del límite de una función en un punto dado. Sin embargo, estas técnicas se basan demasiado en conjeturas. Eventualmente, necesitamos desarrollar métodos alternativos para evaluar los límites. Estos nuevos métodos son de naturaleza más algebraica y los exploramos en la siguiente sección; sin embargo, en este punto presentamos dos límites especiales que son fundamentales para las técnicas futuras.

Dos límites importantes

Sea (a ) un número real y (c ) una constante.

  1. ( Displaystyle lim_ {x to a} x = a )
  2. ( Displaystyle lim_ {x to a} c = c )

Podemos hacer las siguientes observaciones sobre estos dos límites.

  1. Para el primer límite, observe que cuando (x ) se acerca a (a ), también lo hace (f (x) ), porque (f (x) = x ). En consecuencia, ( displaystyle lim_ {x to a} x = a ).
  2. Para el segundo límite, considere Table ( PageIndex {4} ).
Tabla ( PageIndex {4} )
(X) (f (x) = c )(X) (f (x) = c )
(a-0.1 )(C) (a + 0,1 )(C)
(a-0.01 )(C) (a + 0.01 )(C)
(a-0.001 )(C) (a + 0,001 )(C)
(a-0.0001 )(C) (a + 0.0001 )(C)

Observe que para todos los valores de (x ) (independientemente de si se acercan a (a )), los valores (f (x) ) permanecen constantes en (c ). No tenemos más remedio que concluir ( displaystyle lim_ {x to a} c = c ).

La existencia de un límite

Al considerar el límite en el siguiente ejemplo, tenga en cuenta que para que exista el límite de una función en un punto, los valores funcionales deben acercarse a un único valor de número real en ese punto. Si los valores funcionales no se acercan a un solo valor, entonces el límite no existe.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): evaluar un límite que no existe

Evalúa ( displaystyle lim_ {x to 0} sin (1 / x) ) usando una tabla de valores.

Solución

La tabla ( PageIndex {5} ) enumera los valores de la función ( sin (1 / x) ) para los valores dados de (x ).

Tabla ( PageIndex {5} )
(X) ( sin (1 / x) )(X) ( sin (1 / x) )
-0.10.5440211108890.1−0.544021110889
-0.010.506365641110.01−0.50636564111
-0.001−0.82687954053120.0010.8268795405312
-0.00010.3056143888880.0001−0.305614388888
-0.00001−0.0357487979870.000010.035748797987
-0.0000010.3499935041870.000001−0.349993504187

Después de examinar la tabla de valores funcionales, podemos ver que los valores de (y ) no parecen acercarse a ningún valor único. Parece que el límite no existe. Antes de llegar a esta conclusión, adoptemos un enfoque más sistemático. Tome la siguiente secuencia de (x ) - valores que se acercan a (0 ):

[ frac {2} {π}, ; frac {2} {3π}, ; frac {2} {5π}, ; frac {2} {7π}, ; frac {2 } {9π}, ; frac {2} {11π}, ;…. Nonumber ]

Los valores correspondientes de (y ) - son

[1, ; - 1, ; 1, ; - 1, ; 1, ; - 1, ; .... nonumber ]

En este punto, podemos concluir que ( displaystyle lim_ {x to 0} sin (1 / x) ) no existe. (Los matemáticos suelen abreviar "no existe" como DNE. Por lo tanto, escribiríamos ( displaystyle lim_ {x to 0} sin (1 / x) ) DNE.) La gráfica de (f (x) = sin (1 / x) ) se muestra en la Figura ( PageIndex {6} ) y da una imagen más clara del comportamiento de ( sin (1 / x) ) como (x ) se acerca a (0 ). Puedes ver que ( sin (1 / x) ) oscila cada vez más violentamente entre (- 1 ) y (1 ) a medida que (x ) se acerca a (0 ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Usa una tabla de valores funcionales para evaluar ( displaystyle lim_ {x to 2} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} ), si es posible.

Insinuación

Use (x ) - valores 1.9, 1.99, 1.999, 1.9999, 1.9999 y 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.00001 en su tabla.

Respuesta

( displaystyle lim_ {x to 2} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} ) no existe.

Límites unilaterales

A veces, indicar que el límite de una función no existe en un punto no nos proporciona suficiente información sobre el comportamiento de la función en ese punto en particular. Para ver esto, ahora revisamos la función (g (x) = | x − 2 | / (x − 2) ) introducida al principio de la sección (ver Figura ( PageIndex {1} ) (b )). Como elegimos valores de (x ) cercanos a (2 ), (g (x) ) no se acerca a un solo valor, por lo que el límite cuando (x ) se acerca a (2 ) no existen, es decir, ( displaystyle lim_ {x to 2} g (x) ) DNE. Sin embargo, esta afirmación por sí sola no nos da una imagen completa del comportamiento de la función alrededor del valor (x ) (2 ). Para proporcionar una descripción más precisa, presentamos la idea de un límite unilateral. Para todos los valores a la izquierda de (2 ) (o el lado negativo de (2 )), (g (x) = - 1 ). Por lo tanto, cuando (x ) se acerca a (2 ) desde la izquierda, (g (x) ) se acerca a (- 1 ). Matemáticamente, decimos que el límite cuando (x ) se acerca a (2 ) desde la izquierda es (- 1 ). Simbólicamente, expresamos esta idea como

[ lim_ {x to 2 ^ -} g (x) = - 1. sin número]

De manera similar, cuando (x ) se acerca a (2 ) desde la derecha (o desde el lado positivo), (g (x) ) se acerca a (1 ). Simbólicamente, expresamos esta idea como

[ lim_ {x to 2 ^ +} g (x) = 1. nonumber ]

Ahora podemos presentar una definición informal de límites unilaterales.

Definición: límites unilaterales

Definimos dos tipos de límites unilaterales.

Límite por la izquierda:

Sea (f (x) ) una función definida en todos los valores en un intervalo abierto de la forma ((z, a) ), y sea (L ) un número real. Si los valores de la función (f (x) ) se acercan al número real (L ) cuando los valores de (x ) (donde (x

[ lim_ {x to a ^ -} f (x) = L. ]

Límite desde la derecha:

Sea (f (x) ) una función definida en todos los valores en un intervalo abierto de la forma ((a, c) ), y sea (L ) un número real. Si los valores de la función (f (x) ) se acercan al número real (L ) cuando los valores de (x ) (donde (x> a )) se acercan al número (a ) , entonces decimos que (L ) es el límite de (f (x) ) cuando (x ) se acerca a (a ) por la derecha. Simbólicamente, expresamos esta idea como

[ lim_ {x to a ^ +} f (x) = L. ]

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Evaluación de límites unilaterales

Para la función (f (x) = begin {cases} x + 1, & text {if} x <2 x ^ 2−4, & text {if} x≥2 end {cases} ), evalúe cada uno de los siguientes límites.

  1. ( Displaystyle lim_ {x to 2 ^ -} f (x) )
  2. ( Displaystyle lim_ {x to 2 ^ +} f (x) )

Solución

Podemos volver a utilizar tablas de valores funcionales. Observe en la Tabla ( PageIndex {6} ) que para valores de (x ) menores que (2 ), usamos (f (x) = x + 1 ) y para valores de (x ) mayor que (2 ), usamos (f (x) = x ^ 2−4. )

Tabla ( PageIndex {6} )
(X) (f (x) = x + 1 )(X) (f (x) = x ^ 2-4 )
1.92.92.10.41
1.992.992.010.0401
1.9992.9992.0010.004001
1.99992.99992.00010.00040001
1.999992.999992.000010.0000400001

Con base en esta tabla, podemos concluir que a. ( displaystyle lim_ {x to 2 ^ -} f (x) = 3 ) y b. ( Displaystyle lim_ {x to 2 ^ +} f (x) = 0 ). Por lo tanto, el límite (bilateral) de (f (x) ) no existe en (x = 2 ). La figura ( PageIndex {7} ) muestra una gráfica de (f (x) ) y refuerza nuestra conclusión sobre estos límites.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Utilice una tabla de valores funcionales para estimar los siguientes límites, si es posible.

  1. ( Displaystyle lim_ {x → 2 ^ -} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} )
  2. ( Displaystyle lim_ {x → 2 ^ +} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} )
Insinuación

Usa (x ) - valores 1.9, 1.99, 1.999, 1.9999, 1.9999 para estimar ( displaystyle lim_ {x → 2 ^ -} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} ) .

Usa (x ) - valores 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.00001 para estimar ( displaystyle lim_ {x → 2 ^ +} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2}. )

(Estas tablas están disponibles en un problema de Checkpoint anterior).

Solución a

una. ( Displaystyle lim_ {x → 2 ^ -} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} = - 4 )

Solución b

( Displaystyle lim_ {x → 2 ^ +} frac {∣x ^ 2−4∣} {x − 2} = 4 )

Consideremos ahora la relación entre el límite de una función en un punto y los límites de derecha e izquierda en ese punto. Parece claro que si el límite de la derecha y el límite de la izquierda tienen un valor común, entonces ese valor común es el límite de la función en ese punto. Del mismo modo, si el límite de la izquierda y el límite de la derecha toman valores diferentes, el límite de la función no existe. Estas conclusiones se resumen en la Nota.

Relacionar límites de un lado y dos lados

Sea (f (x) ) una función definida en todos los valores en un intervalo abierto que contenga (a ), con la posible excepción de (a ) mismo, y sea (L ) un número real . Luego,

[ lim_ {x to a} f (x) = L ]

si y solo si ( displaystyle lim_ {x to a ^ -} f (x) = L ) y ( displaystyle lim_ {x to a ^ +} f (x) = L ).

Límites infinitos

Evaluar el límite de una función en un punto o evaluar el límite de una función de derecha a izquierda en un punto nos ayuda a caracterizar el comportamiento de una función en torno a un valor dado. Como veremos, también podemos describir el comportamiento de funciones que no tienen límites finitos.

Ahora dirigimos nuestra atención a (h (x) = 1 / (x − 2) ^ 2 ), la tercera y última función presentada al principio de esta sección (ver Figura ( PageIndex {1} ) ( C)). A partir de su gráfica, vemos que a medida que los valores de (x ) se acercan a (2 ), los valores de (h (x) = 1 / (x − 2) ^ 2 ) se hacen cada vez más grandes y, en de hecho, se vuelve infinito. Matemáticamente, decimos que el límite de (h (x) ) cuando (x ) se acerca a (2 ) es infinito positivo. Simbólicamente, expresamos esta idea como

[ lim_ {x a 2} h (x) = + ∞. sin número]

De manera más general, definimos límites infinitos como sigue:

Definiciones: límites infinitos

Definimos tres tipos de límites infinitos.

Límites infinitos desde la izquierda: Sea (f (x) ) una función definida en todos los valores en un intervalo abierto de la forma ((b, a) ).

I. Si los valores de (f (x) ) aumentan sin límite cuando los valores de (x ) (donde (x

ii. Si los valores de (f (x) ) disminuyen sin límite cuando los valores de (x ) (donde (x

Límites infinitos desde la derecha: Sea (f (x) ) una función definida en todos los valores en un intervalo abierto de la forma ((a, c) ).

I. Si los valores de (f (x) ) aumentan sin límite cuando los valores de (x ) (donde (x> a )) se acercan al número (a ), entonces decimos que el límite como (x ) se acerca a (a ) desde la izquierda es infinito positivo y escribimos [ lim_ {x a a ^ +} f (x) = + ∞. ]

ii. Si los valores de (f (x) ) disminuyen sin límite cuando los valores de (x ) (donde (x> a )) se acercan al número (a ), entonces decimos que el límite como (x ) se acerca a (a ) desde la izquierda es infinito negativo y escribimos [ lim_ {x a a ^ +} f (x) = - ∞. ]

Límite infinito de dos caras: Sea (f (x) ) definido para todo (x ≠ a ) en un intervalo abierto que contenga (a )

I. Si los valores de (f (x) ) aumentan sin límite cuando los valores de (x ) (donde (x ≠ a )) se acercan al número (a ), entonces decimos que el límite como (x ) se acerca a (a ) es infinito positivo y escribimos [ lim_ {x to a} f (x) = + ∞. ]

ii. Si los valores de (f (x) ) disminuyen sin límite cuando los valores de (x ) (donde (x ≠ a )) se acercan al número (a ), entonces decimos que el límite como (x ) se acerca a (a ) es infinito negativo y escribimos [ lim_ {x to a} f (x) = - ∞. ]

Es importante entender que cuando escribimos declaraciones como ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ) o ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = −∞ ) estamos describiendo el comportamiento de la función, tal como la acabamos de definir. No estamos afirmando que exista un límite. Para que exista el límite de una función (f (x) ) en (a ), debe acercarse a un número real (L ) a medida que (x ) se acerca a (a ). Dicho esto, si, por ejemplo, ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ), siempre escribimos ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ) en lugar de ( displaystyle lim_ {x to a} f (x) ) DNE.

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Reconocer un límite infinito

Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible. Usa una tabla de valores funcionales y grafica (f (x) = 1 / x ) para confirmar tu conclusión.

  1. ( Displaystyle lim_ {x to 0 ^ -} frac {1} {x} )
  2. ( Displaystyle lim_ {x to 0 ^ +} frac {1} {x} )
  3. ( Displaystyle lim_ {x to 0} frac {1} {x} )

Solución

Empiece por construir una tabla de valores funcionales.

Tabla ( PageIndex {7} )
(X) ( dfrac {1} {x} )(X) ( dfrac {1} {x} )
-0.1-100.110
-0.01-1000.01100
-0.001-10000.0011000
-0.0001-10,0000.000110,000
-0.00001-100,0000.00001100,000
-0.000001-1,000,0000.0000011,000,000

una. Los valores de (1 / x ) disminuyen sin límite cuando (x ) se acerca a (0 ) por la izquierda. Concluimos que

[ lim_ {x to 0 ^ -} frac {1} {x} = - ∞. nonumber ]

B. Los valores de (1 / x ) aumentan sin límite cuando (x ) se acerca a (0 ) por la derecha. Concluimos que

[ lim_ {x to 0 ^ +} frac {1} {x} = + ∞. sin número]

C. Desde ( displaystyle lim_ {x a 0 ^ -} frac {1} {x} = - ∞ ) y ( displaystyle lim_ {x a 0 ^ +} frac {1} {x } = + ∞ ) tienen valores diferentes, concluimos que

[ lim_ {x to 0} frac {1} {x} quad text {DNE.} nonumber ]

La gráfica de (f (x) = 1 / x ) en la Figura ( PageIndex {8} ) confirma estas conclusiones.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible. Usa una tabla de valores funcionales y grafica (f (x) = 1 / x ^ 2 ) para confirmar tu conclusión.

  1. ( Displaystyle lim_ {x to 0 ^ -} frac {1} {x ^ 2} )
  2. ( Displaystyle lim_ {x to 0 ^ +} frac {1} {x ^ 2} )
  3. ( Displaystyle lim_ {x to 0} frac {1} {x ^ 2} )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Evalúe cada uno de los siguientes límites. Identifica las asíntotas verticales de la función (f (x) = dfrac {1} {(x − 2) ^ 3} ).

  1. ( Displaystyle lim_ {x → 2 ^ -} frac {1} {(x − 2) ^ 3} )
  2. ( Displaystyle lim_ {x → 2 ^ +} frac {1} {(x − 2) ^ 3} )
  3. ( Displaystyle lim_ {x → 2} frac {1} {(x − 2) ^ 3} )
Responde una

( Displaystyle lim_ {x → 2 ^ -} frac {1} {(x − 2) ^ 3} = - ∞ )

Respuesta b

( Displaystyle lim_ {x → 2 ^ +} frac {1} {(x − 2) ^ 3} = + ∞ )

Respuesta c

( Displaystyle lim_ {x → 2} frac {1} {(x − 2) ^ 3} ) DNE. La recta (x = 2 ) es la asíntota vertical de (f (x) = 1 / (x − 2) ^ 3. )

En el siguiente ejemplo ponemos nuestro conocimiento de varios tipos de límites para analizar el comportamiento de una función en varios puntos diferentes.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): comportamiento de una función en diferentes puntos

Utilice la gráfica de (f (x) ) en la Figura ( PageIndex {10} ) para determinar cada uno de los siguientes valores:

  1. ( Displaystyle lim_ {x to −4 ^ -} f (x) ); ( Displaystyle lim_ {x to −4 ^ +} f (x) ); ( Displaystyle lim_ {x → −4} f (x); ; f (−4) )
  2. ( Displaystyle lim_ {x to −2 ^ -} f (x )); ( Displaystyle lim_ {x to −2 ^ +} f (x) ); ( Displaystyle lim_ {x → −2} f (x); ; f (−2) )
  3. ( Displaystyle lim_ {x to 1 ^ -} f (x) ); ( Displaystyle lim_ {x to 1 ^ +} f (x) ); ( Displaystyle lim_ {x to 1} f (x); ; f (1) )
  4. ( Displaystyle lim_ {x to 3 ^ -} f (x) ); ( Displaystyle lim_ {x to 3 ^ +} f (x) ); ( Displaystyle lim_ {x to 3} f (x); ; f (3) )

Solución

Usando las definiciones anteriores y el gráfico como referencia, llegamos a los siguientes valores:

  1. ( Displaystyle lim_ {x to −4 ^ -} f (x) = 0 ); ( Displaystyle lim_ {x to −4 ^ +} f (x) = 0 ); ( Displaystyle lim_ {x to −4} f (x) = 0; ; f (−4) = 0 )
  2. ( Displaystyle lim_ {x to −2 ^ -} f (x) = 3 ); ( Displaystyle lim_ {x to −2 ^ +} f (x) = 3 ); ( displaystyle lim_ {x to −2} f (x) = 3; ; f (−2) ) no está definido
  3. ( Displaystyle lim_ {x to 1 ^ -} f (x) = 6 ); ( Displaystyle lim_ {x to 1 ^ +} f (x) = 3 ); ( Displaystyle lim_ {x to 1} f (x) ) DNE; (f (1) = 6 )
  4. ( Displaystyle lim_ {x to 3 ^ -} f (x) = - ∞ ); ( Displaystyle lim_ {x to 3 ^ +} f (x) = - ∞ ); ( Displaystyle lim_ {x to 3} f (x) = - ∞ ); (f (3) ) no está definido

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Evalúa ( displaystyle lim_ {x to 1} f (x) ) para (f (x) ) que se muestra aquí:

Insinuación

Compare el límite de la derecha con el límite de la izquierda.

Respuesta

( displaystyle lim_ {x to 1} f (x) ) no existe

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Ecuación de Einstein

En la apertura del capítulo mencionamos brevemente cómo Albert Einstein demostró que existe un límite a la rapidez con que puede viajar cualquier objeto. Dada la ecuación de Einstein para la masa de un objeto en movimiento

[m = dfrac {m_0} { sqrt {1− frac {v ^ 2} {c ^ 2}}}, nonumber ]

¿Cuál es el valor de este límite?

Solución

Nuestro punto de partida es la ecuación de Einstein para la masa de un objeto en movimiento,

[m = dfrac {m_0} { sqrt {1− frac {v ^ 2} {c ^ 2}}}, nonumber ]

donde (m_0 ) es la masa del objeto en reposo, (v ) es su velocidad y (c ) es la velocidad de la luz. Para ver cómo cambia la masa a altas velocidades, podemos graficar la razón de masas (m / m_0 ) como una función de la razón de velocidades, (v / c ) (Figura ( PageIndex {13} )).

Podemos ver que cuando la relación de velocidades se acerca a 1, es decir, cuando la velocidad del objeto se acerca a la velocidad de la luz, la relación de masas aumenta sin límite. En otras palabras, la función tiene una asíntota vertical en (v / c = 1 ). Podemos probar algunos valores de esta relación para probar esta idea.

Tabla ( PageIndex {8} )
(v / c ) ( sqrt {1- frac {v ^ 2} {c ^ 2}} ) (m / m_o )
0.990.14117.089
0.9990.044722.37
0.99990.014170.7

Así, de acuerdo con la Tabla ( PageIndex {8} ) :, si un objeto con una masa de 100 kg viaja a 0.9999c, su masa se convierte en 7071 kg. Dado que ningún objeto puede tener una masa infinita, llegamos a la conclusión de que ningún objeto puede viajar a la velocidad de la luz o a una velocidad superior a la misma.

Conceptos clave

  • Se puede usar una tabla de valores o un gráfico para estimar un límite.
  • Si el límite de una función en un punto no existe, aún es posible que existan los límites de la izquierda y la derecha en ese punto.
  • Si los límites de una función de izquierda a derecha existen y son iguales, entonces el límite de la función es ese valor común.
  • Podemos usar límites para describir el comportamiento infinito de una función en un punto.

Ecuaciones clave

  • Definición intuitiva del límite

( Displaystyle lim_ {x to a} f (x) = L )

  • Dos límites importantes

( Displaystyle lim_ {x to a} x = a qquad lim_ {x to a} c = c )

  • Límites unilaterales

( Displaystyle lim_ {x to a ^ -} f (x) = L qquad lim_ {x to a ^ +} f (x) = L )

  • Límites infinitos desde la izquierda

( Displaystyle lim_ {x to a ^ -} f (x) = + ∞ qquad lim_ {x to a ^ -} f (x) = - ∞ )

  • Límites infinitos desde la derecha

( Displaystyle lim_ {x to a ^ +} f (x) = + ∞ qquad lim_ {x to a ^ +} f (x) = - ∞ )

  • Límites infinitos de dos caras

( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = + ∞ ): ( displaystyle lim_ {x to a ^ -} f (x) = + ∞ ) y ( displaystyle lim_ {x to a ^ +} f (x) = + ∞ )

( displaystyle lim_ {x to a} f (x) = - ∞ ): ( displaystyle lim_ {x to a ^ -} f (x) = - ∞ ) y ( displaystyle lim_ {x to a ^ +} f (x) = - ∞ )

Glosario

límite infinito
Una función tiene un límite infinito en un punto (a ) si aumenta o disminuye sin límite cuando se acerca a (a )
definición intuitiva del límite
Si todos los valores de la función (f (x) ) se acercan al número real (L ) cuando los valores de (x (≠ a) ) se acercan a a, (f (x) ) se acerca a L
límite unilateral
Un límite unilateral de una función es un límite tomado de la izquierda o de la derecha.
asíntota vertical
Una función tiene una asíntota vertical en (x = a ) si el límite cuando (x ) se acerca a (a ) desde la derecha o la izquierda es infinito


Ver el vídeo: Limites. Introducción y conceptos básicos (Octubre 2021).