Artículos

7.2: Gráficas de las funciones seno y coseno - Matemáticas


Habilidades para desarrollar

  • Grafica las variaciones de (y = sin (x) ) y (y = cos (x) ).
  • Utilice cambios de fase de las curvas de seno y coseno.

La luz blanca, como la luz del sol, en realidad no es blanca en absoluto. En cambio, es una composición de todos los colores del arco iris en forma de ondas. Los colores individuales se pueden ver solo cuando la luz blanca pasa a través de un prisma óptico que separa las ondas de acuerdo con sus longitudes de onda para formar un arco iris.

Figura ( PageIndex {1} ): La luz se puede separar en colores debido a sus propiedades onduladas. (crédito: "wonderferret" / Flickr)

Las ondas de luz se pueden representar gráficamente mediante la función seno. En el Capítulo 6 sobre Funciones trigonométricas, examinamos funciones trigonométricas como la función seno. En esta sección, interpretaremos y crearemos gráficas de funciones seno y coseno. Se le pide que resuelva problemas relacionados con gráficas de seno y coseno en WeBWorK en la tarea titulada "Capítulo 6.5".

Graficar funciones de seno y coseno

Recuerda que las funciones seno y coseno relacionan valores numéricos reales con las coordenadas (x ) - y (y ) - de un punto en el círculo unitario. ¿Cómo se ven en una gráfica en un plano de coordenadas? Comencemos con la función seno. Para graficar (y = sin (x) ), observe que estamos haciendo un cambio en el significado de las variables (x ) y (y ) del significado del Capítulo 6. La variable (x ) se convierte en el símbolo que representa el valor de entrada de la función seno, por lo que (x ) ahora representa un ángulo en la posición estándar; mientras que (y ) representa la salida, que es la coordenada vertical de un punto en el círculo unitario. Podemos crear una tabla de valores y usarlos para dibujar un gráfico. La tabla ( PageIndex {1} ) enumera algunos de los valores de la función seno en un círculo unitario. Tenga en cuenta que los valores de (x ) - se enumeran en orden creciente: (0 < frac { pi} {6} < frac { pi} {4} < frac { pi} {3} < frac { pi} {2} < frac {2 pi} {3} < frac {3 pi} {4} < frac {5 pi} {6} < pi ).

Tabla ( PageIndex {1} )
(X)(0) ( frac { pi} {6} ) ( frac { pi} {4} ) ( frac { pi} {3} ) ( frac { pi} {2} ) ( dfrac {2 pi} {3} ) ( dfrac {3 pi} {4} ) ( dfrac {5 pi} {6} )(Pi)
( sin (x) )

(0)

( frac {1} {2} )

( frac { sqrt {2}} {2} )

( frac { sqrt {3}} {2} )

(1)

( dfrac { sqrt {3}} {2} )

( dfrac { sqrt {2}} {2} )

( dfrac {1} {2} )

(0)

El gráfico de seno es un gráfico continuo y uniforme. Trazar los puntos de la tabla (teniendo cuidado de mantener una escala constante a lo largo del eje (x ) -) y continuar a lo largo del X-eje a (x = 2 pi ) da la forma de la función seno. Vea la Figura ( PageIndex {2} ).

Figura ( PageIndex {2} ): La función seno

Observe cómo los valores del seno son positivos entre (0 ) y ( pi ), que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes I y II del círculo unitario, y los valores del seno son negativos entre ( pi ) y (2 pi ), que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes III y IV del círculo unitario. Vea la Figura ( PageIndex {3} ).

Figura ( PageIndex {3} ): Trazar valores de la función seno

Ahora echemos un vistazo similar al función coseno. Nuevamente, podemos crear una tabla de valores y usarlos para dibujar un gráfico. Esta vez, (x ) nuevamente representa un ángulo, pero la salida (y ) representa la coordenada horizontal de un punto en el círculo unitario. La tabla ( PageIndex {2} ) enumera algunos de los valores de la función coseno en un círculo unitario.

Tabla ( PageIndex {2} )
(X)(0) ( frac { pi} {6} ) ( frac { pi} {4} ) ( frac { pi} {3} ) ( frac { pi} {2} ) ( frac {2 pi} {3} ) ( dfrac {3 pi} {4} ) ( dfrac {5 pi} {6} )(Pi)

( cos (x) )

(1)

( frac { sqrt {3}} {2} )

( frac { sqrt {2}} {2} )

( dfrac {1} {2} )

(0)

(- dfrac {1} {2} )

(- dfrac { sqrt {2}} {2} )

(- dfrac { sqrt {3}} {2} )

(-1)

Al igual que con la función seno, podemos trazar puntos para crear una gráfica de la función coseno como en la Figura ( PageIndex {4} ).

Figura ( PageIndex {4} ): La función coseno

Debido a que podemos evaluar el seno y el coseno de cualquier número real, ambas funciones están definidas para todos los números reales. Al pensar en los valores de seno y coseno como coordenadas de puntos en un círculo unitario, queda claro que el rango de ambas funciones debe ser el intervalo ([−1,1] ).

En ambas gráficas, la forma de la gráfica se repite después de (2 pi ), lo que significa que las funciones son periódico con un período de (2 pi ). A función periódica es una función para la cual un desplazamiento horizontal, (P ), da como resultado una función igual a la función original: (f (x + P) = f (x) ) para todos los valores de (x ) en el dominio de (f ) . Cuando esto ocurre, llamamos al desplazamiento horizontal más pequeño (P ) (con (P> 0 )) el período de la función. La figura ( PageIndex {5} ) muestra varios períodos de las funciones seno y coseno. Cualquier parte de la gráfica que se muestra en un período ([x, x + P] ) se llama ciclo. La gráfica de una función periódica siempre debe incluir al menos un ciclo completo.

Figura ( PageIndex {5} )

Mirar nuevamente las funciones seno y coseno en una gráfica centrada en el eje (y ) ayuda a revelar las simetrías. Como podemos ver en la Figura ( PageIndex {6} ), la función seno es simétrica con respecto al origen. Recuerde de la sección 6.4 Las otras funciones trigonométricas que la función seno es una función impar porque ( sin (−x) = - sin space x ). Ahora podemos ver claramente esta propiedad en el gráfico.

Figura ( PageIndex {6} ): Simetría impar de la función seno

La figura ( PageIndex {7} ) muestra que la función coseno es simétrica a lo largo del eje (y ). Determinamos en la sección 6.4 que la función coseno es una función par. Ahora podemos ver en la gráfica que ( cos (−x) = cos space x ).

Figura ( PageIndex {7} ): Incluso simetría de la función coseno

  • Son funciones fluidas y continuas.
  • Son funciones periódicas con un período de (2 pi ).
  • El dominio de cada función es ((- infty, infty) ) y el rango es ([−1,1] ).
  • La gráfica de (y = sin space x ) es simétrica con respecto al origen, porque es una función impar.
  • La gráfica de (y = cos space x ) es simétrica a lo largo del eje (y ) -, porque es una función par.

Investigación de funciones sinusoidales

Como podemos ver, las funciones seno y coseno tienen un período y rango regulares. Si observamos las olas del océano o las ondas en un estanque, veremos que se asemejan a las funciones seno o coseno. Sin embargo, no son necesariamente idénticos. Algunos son más altos o más largos que otros. Una función que tiene la misma forma general que una función seno o coseno se conoce como función sinusoidal. Las formas generales de funciones sinusoidales son

[y = A sin (Bx − C) + D nonumber ]

y

[y = A cos (Bx − C) + D nonumber ]

Usando las identidades ( sin (-x) = - sin (x) ) y ( cos (-x) = cos (x) ), siempre podemos reescribir una función sinusoidal en una forma equivalente donde el coeficiente de (x ) es un número positivo (por ejemplo, ( sin (-3x) = - sin (3x) )); por lo tanto, solo consideraremos el caso donde (B> 0 ).

Determinación del período de funciones sinusoidales

Al observar las formas de las funciones sinusoidales, podemos ver que son transformaciones de las funciones seno y coseno. Podemos usar lo que sabemos sobre transformaciones para determinar el período. Es posible que desee revisar la Sección 3.6 antes de continuar con esta sección.

Por ahora, dejaremos (C = 0 ) y (D = 0 ). En la fórmula general, (B ) está relacionado con el período por (P = dfrac {2 pi} {B} ). Si (B> 1 ), entonces el período es menor que (2 pi ) y la función sufre una compresión horizontal, mientras que si (0

Figura ( PageIndex {8} )

( PageIndex {1} )

Determina el período de la función (g (x) = cos ( frac {x} {3}) ).

Respuesta

(6 pi )

Determinación de la amplitud

Nuevamente, dejaremos (C = 0 ) y (D = 0 ), por ahora. Pasemos a la variable (A ) para analizar cómo se relaciona con la amplitud, o la mayor distancia del descanso. ( vert A vert ) representa el factor de estiramiento vertical y nos dice la amplitud. Los máximos locales estarán a una distancia (| A | ) por encima de la vertical línea media del gráfico, que es la recta (x = D ); desde (D = 0 ), la línea media es la X-eje. Los mínimos locales estarán a la misma distancia por debajo de la línea media. Si (| A |> 1 ), la función se estira. Por ejemplo, la amplitud de (f (x) = 4 sin x ) es cuatro veces la amplitud de

(f (x) = sin x )

Si (| A | <1 ), la función se comprime. La figura ( PageIndex {9} ) compara varias funciones sinusoidales con diferentes amplitudes. Observe que el período sigue siendo (2 pi ).

Figura ( PageIndex {9} )

  • (y = A sin (Bx) )
  • (y = A cos (Bx) )

La amplitud es ( vert A vert ), y la altura vertical por encima y por debajo de la línea media es (| A | ). Además, observe en la Figura ( PageIndex {9} ) que

[| A | = amplitud = dfrac {1} {2} vert mbox {máximo - mínimo} vert nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Identificación de la amplitud de una función seno o coseno

¿Cuál es la amplitud de la función sinusoidal (f (x) = - 4 sin (x) )? ¿La función está estirada o comprimida verticalmente?

Solución

Comencemos comparando la función con la forma simplificada (y = A sin (Bx) ).

En la función dada, (A = −4 ), entonces la amplitud es (| A | = | −4 | = 4 ). La función se estira.

Análisis

El valor negativo de (A ) da como resultado una reflexión a lo largo del eje (x ) de la función seno, como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ).

Figura ( PageIndex {10} )

( PageIndex {2} )

¿Cuál es la amplitud de la función sinusoidal (f (x) = frac {1} {2} sin (x) )? ¿La función está estirada o comprimida verticalmente?

Respuesta

( frac {1} {2} ); comprimido

Analizar gráficas de variaciones de (y = sin space x ) y (y = cos space x )

Ahora que entendemos cómo se relacionan (A ) y (B ) con la ecuación de forma general para las funciones seno y coseno, exploraremos las variables (C ) y (D ). Recuerde la forma general:

[y = A sin (Bx-C) + D qquad text {y} qquad y = A cos (Bx-C) + D nonumber ]

que se puede escribir de forma equivalente como

[y = A sin left (B left (x- dfrac {C} {B} right) right) + D qquad text {y} qquad y = A cos left (B left (x- dfrac {C} {B} right) right) + D nonumber ]

El valor ( frac {C} {B} ) para una función sinusoidal es el desplazamiento horizontal de la función básica seno o coseno, que se llama cambio de fase. Si (C> 0 ), la gráfica se desplaza hacia la derecha. Si (C <0 ), la gráfica se desplaza hacia la izquierda. Cuanto mayor sea el valor de ( frac {| C |} {B} ), más se desplazará la gráfica. La figura ( PageIndex {11} ) muestra que la gráfica de (f (x) = sin (x− pi) ) se desplaza hacia la derecha en ( pi ) unidades, que es un desplazamiento mayor de lo que vemos en la gráfica de (f (x) = sin left (x− frac { pi} {4} right) ), que se desplaza hacia la derecha en ( frac { pi} {4} ) unidades. Un cambio de fase de ( dfrac {C (1 + 2 pi n)} {B} ), donde (n in mathbb {Z} ), da como resultado el mismo gráfico que un cambio de fase de ( dfrac {C} {B} ). Si puedes demostrar que esto es cierto, llévaselo a tu profesor; ella te dará crédito adicional.

Figura ( PageIndex {11} )

Mientras que (C ) se relaciona con un desplazamiento horizontal, (D ) indica un desplazamiento vertical de la gráfica de las funciones del kit de herramientas (y = sin x ) y (y = cos x ). Vea la Figura ( PageIndex {12} ). La función (y = sin (x) + D ) tiene su línea media en (y = D ).

Figura ( PageIndex {12} )

Cualquier valor de (D ) que no sea cero desplaza la gráfica hacia arriba o hacia abajo. La figura ( PageIndex {13} ) compara (f (x) = sin x ) con (f (x) = sin x + 2 ), que se desplaza (2 ) unidades hacia arriba en un gráfico.

Figura ( PageIndex {13} )

( PageIndex {3} )

Determine la dirección y la magnitud del cambio de fase para (f (x) = 3 cos left (x− frac { pi} {2} right) ).

Respuesta

Cambio de fase: ( frac { pi} {2} ); dirección: derecha

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Identificación del desplazamiento vertical de una función

Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento vertical para (f (x) = cos (x) −3 ).

Solución

Comencemos comparando la ecuación con la forma general (y = A cos (Bx − C) + D ).

En la ecuación dada, (D = −3 ) entonces el desplazamiento es (3 ) unidades hacia abajo.

( PageIndex {4} )

Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento vertical para (f (x) = 3 sin (x) +2 ).

Respuesta

(2 ) unidades arriba

Dada una función sinusoidal en la forma (f (x) = A sin (Bx − C) + D ), identifica la línea media, la amplitud, el período y el cambio de fase

  1. Determine la amplitud como (| A | ).
  2. Determine el período como (P = frac {2 pi} {B} ).
  3. Determine el cambio de fase como ( frac {C} {B} ).
  4. Determine la línea media como (y = D ).

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Identificar las variaciones de una función sinusoidal a partir de su ecuación

Determine la línea media, la amplitud, el período y el desplazamiento de fase de la función (y = 3 sin (2x) +1 ).

Solución

Comencemos comparando la ecuación con la forma general (y = A sin (Bx − C) + D ).

(A = 3 ), entonces la amplitud es (| A | = 3 ).

Luego, (B = 2 ), entonces el período es (P = dfrac {2 pi} {B} = dfrac {2 pi} {2} = pi ).

No hay una constante agregada entre paréntesis, por lo que (C = 0 ) y el cambio de fase es ( dfrac {C} {B} = dfrac {0} {2} = 0 ).

Finalmente, (D = 1 ), entonces la línea media es (y = 1 ).

Análisis

Al inspeccionar la gráfica, podemos determinar que el período es ( pi ), la línea media es (y = 1 ) y la amplitud es (3 ). Vea la Figura ( PageIndex {14} ).

Figura ( PageIndex {14} )

( PageIndex {5} )

Determine la línea media, la amplitud, el período y el cambio de fase de la función (y = frac {1} {2} cos left ( frac {x} {3} - frac { pi} {3} derecho)).

Respuesta

línea media: (y = 0 ); amplitud: (| A | = frac {1} {2} ); período: (P = frac {2 pi} {B} = 6π ); cambio de fase: ( frac {C} {B} = pi ) - ver Figura ( PageIndex {15} )


Figura ( PageIndex {15} )

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Identificación de la ecuación para una función sinusoidal a partir de un gráfico

Determine una fórmula para la función coseno en la Figura ( PageIndex {16} ).

Figura ( PageIndex {16} )

Solución

Para determinar la ecuación, necesitamos identificar cada valor en la forma general de una función sinusoidal.

(y = A sin (Bx − C) + D )

(y = A cos (Bx − C) + D )

El gráfico podría representar una función de seno o coseno que está desplazada y / o reflejada. Cuando (x = 0 ), la gráfica tiene un punto extremo, ((0,0) ). Dado que la función coseno tiene un punto extremo para (x = 0 ), escribamos nuestra ecuación en términos de una función coseno, de modo que podamos tomar (C = 0 ). Dado que el punto extremo es un mínimo, a diferencia de la función del kit de herramientas ( cos x ) que tiene un valor máximo en (x = 0 ), podemos deducir que (A <0 ), por lo que la gráfica tiene reflejado verticalmente.

Empecemos por la línea media. Podemos ver que la gráfica sube y baja a la misma distancia por encima y por debajo de (y = 0.5 ). Este valor, que es la línea media, es (D ) en la ecuación, entonces (D = 0.5 ).

La mayor distancia por encima y por debajo de la línea media es la amplitud. Los máximos son (0,5 ) unidades por encima de la línea media y los mínimos son (0,5 ) unidades por debajo de la línea media. Entonces (| A | = 0.5 ). Otra forma en que podríamos haber determinado la amplitud es reconociendo que la diferencia entre la altura de los máximos y mínimos locales es (1 ), entonces (| A | = frac {1} {2} mbox {o} 0.5 ). Además, antes del desplazamiento vertical, la gráfica se refleja en el eje (x ) - de modo que (A = −0,5 ).

La gráfica no se estira ni se comprime horizontalmente, por lo que (B = 1 ); y la gráfica no se desplaza horizontalmente, entonces (C = 0 ).

Poniendo todo esto junto

(g (x) = - 0.5 cos (x) +0.5 )

( PageIndex {6} )

Determine una fórmula para la función seno en la Figura ( PageIndex {17} ).

Figura ( PageIndex {17} )

Respuesta

(f (x) = sin (x) +2 )

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Identificación de la ecuación para una función sinusoidal a partir de un gráfico

Determine una ecuación para la función sinusoidal en la Figura ( PageIndex {18} ).

Figura ( PageIndex {18} )

Solución

Con el valor más alto en (1 ) y el valor más bajo en (- 5 ), la línea media estará a medio camino entre en (- 2 ). Entonces (D = −2 ).

La distancia desde la línea media al valor más alto o más bajo da una amplitud de (| A | = 3 ).

El período del gráfico es (6 ), que se puede medir desde el pico en (x = 1 ) hasta el siguiente pico en (x = 7 ), o desde la distancia entre los puntos más bajos. Por lo tanto, (P = dfrac {2 pi} {B} = 6 ). Usando el valor positivo de (B ), encontramos que

[ begin {align *} B & = dfrac {2 pi} {P} & = dfrac {2 pi} {6} & = dfrac { pi} {3} end { alinear*}]

Hasta ahora, nuestra ecuación es (y = pm 3 sin left ( dfrac { pi} {3} x − C right) −2 ) o (y = pm 3 cos left ( dfrac { pi} {3} x − C right) −2. ) Para la forma y el desplazamiento, tenemos más de una opción. Podríamos escribir esto como cualquiera de los siguientes:

  • un coseno positivo o negativo desplazado hacia la izquierda o hacia la derecha
  • un seno positivo o negativo desplazado hacia la izquierda o hacia la derecha

Si bien cualquiera de estos sería correcto, elegiremos usar una función coseno positiva. El desplazamiento es un valor entero de 1 unidad a la derecha. Entonces ( dfrac {C} {B} = 1 ), o ( dfrac {C} { frac { pi} {3}} = 1 ), o (C = dfrac { pi } {3} ). Nuestra función se convierte

[y = 3 cos left ( frac { pi} {3} x- dfrac { pi} {3} right) -2. sin número]

( PageIndex {7} )

Escriba una fórmula para la función graficada en la Figura ( PageIndex {19} ).

Figura ( PageIndex {19} )

Respuesta

dos posibilidades: (y = 4 sin left ( dfrac { pi} {5} x + dfrac {3 pi} {10} right) +4 ) o (y = 4 cos left ( dfrac { pi} {5} x- dfrac {7 pi} {10} right) +4 )

Graficar variaciones de (y = sin space x ) y (y = cos space x )

Hemos aprendido sobre los tipos de variaciones de las funciones seno y coseno y usamos esa información para escribir ecuaciones a partir de gráficas. Ahora usaremos la misma información para crear gráficos a partir de ecuaciones.

Para empezar, en lugar de centrarse en las ecuaciones de forma general

(y = A sin (Bx-C) + D text {y} y = A cos (Bx-C) + D )

dejaremos (C = 0 ) y (D = 0 ) y trabajaremos con una forma simplificada de las ecuaciones. Como sabemos que ( sin (-x) = - sin (x) ) y ( cos (-x) = cos (x) ), siempre podemos escribir (B ) como número positivo, con (A ) positivo o negativo, según sea necesario.

Dada la función (y = A sin (Bx) ), dibuja un ciclo de su gráfica.

  1. Identifica la amplitud, (| A | ).
  2. Identifique el período, (P = dfrac {2 pi} {B} ).
  3. Comience en el origen, con la función aumentando hacia la derecha si (A ) es positivo, o disminuyendo hacia la derecha si (A ) es negativo.
  4. En (x = dfrac { pi} {2 B} ) hay un máximo local para (A> 0 ) con (y = A ) o un mínimo para (A <0 ), con (y = -A ).
  5. La curva vuelve al eje (x ) - en (x = dfrac { pi} {B} ).
  6. Hay un mínimo local para (A> 0 ) (o un máximo para (A <0 )) en (x = dfrac {3 pi} {2 B} ) con (y = - A ) (o (y = A )).
  7. La curva vuelve de nuevo al eje (x ) - en (x = dfrac {2 pi} {B} ).

Dada la función (y = A cos (Bx) ), dibuja un ciclo de su gráfica.

  1. Identifica la amplitud, (| A | ).
  2. Identifique el período, (P = dfrac {2 pi} {B} ).
  3. Empiece en (x = 0 ), con (y = A ) y la función disminuyendo hacia la derecha si (A ) es positiva, o (y = -A ) y la función aumentando hacia la derecha si (A ) es negativo. Hay un máximo local para (A> 0 ) o un mínimo para (A <0 ).
  4. La curva vuelve al eje (x ) - en (x = dfrac { pi} {2 B} ).
  5. Hay un mínimo local para (A> 0 ) (o un máximo para (A <0 )) en (x = dfrac { pi} {B} ) con (y = -A ) (o (y = A )).
  6. La curva vuelve de nuevo al eje (x ) - en (x = dfrac {3 pi} {2 B} ).
  7. Hay un máximo local para (A> 0 ) o un mínimo para (A <0 ) en (x = dfrac {2 pi} {B} ).

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Graficar una función e identificar la amplitud y el período

Dibuja una gráfica de (f (x) = - 2 sin left ( dfrac { pi x} {2} right) ).

Solución

Comencemos comparando la ecuación con la forma (y = A sin (Bx) ).

  • Paso 1. Podemos ver en la ecuación que (A = −2 ), por lo que la amplitud es 2.

    (| A | = 2 )

  • Paso 2. La ecuación muestra que (B = dfrac { pi} {2} ), por lo que el período es

    [ begin {align *} P & = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} {2}} & = 2 pi cdot dfrac {2} { pi} & = 4 end {align *} ]

  • Paso 3. Como (A ) es negativo, la gráfica desciende a medida que nos movemos hacia la derecha del origen.
  • Paso 4. Las intersecciones en (x ) - están al comienzo de un período, (x = 0 ), en (x = 2 ) (a la mitad del ciclo) y al final de un ciclo en (x = 4 ).

Los cuartos de puntos incluyen el mínimo en (x = 1 ) y el máximo en (x = 3 ). Un mínimo local ocurrirá (2 ) unidades por debajo de la línea media en (x = 1 ), y un máximo local ocurrirá en (2 ) unidades por encima de la línea media en (x = 3 ). La figura ( PageIndex {20} ) muestra el gráfico de la función. Tenga en cuenta que al hacer que (B ) sea igual a un múltiplo de ( pi ), la escala del eje (x ) - ha cambiado a unidades enteras.

Figura ( PageIndex {20} )

( PageIndex {8} )

Dibuja una gráfica de (g (x) = - 0.8 cos (2x) ). Determine la línea media, la amplitud, el período y el cambio de fase.

Respuesta

Figura ( PageIndex {20} )

línea media: (y = 0 ); amplitud: (| A | = 0.8 ); período: (P = dfrac {2 pi} {B} = pi ); cambio de fase: ( dfrac {C} {B} = 0 ), o ninguno

Dada una función sinusoidal con un desplazamiento de fase y un desplazamiento vertical, dibuje su gráfico

  1. Expresa la función en la forma general (y = A sin (Bx − C) + D ) o (y = A cos (Bx − C) + D ).
  2. Identifica la amplitud, (| A | ).
  3. Identifica el período, (P = frac {2 pi} {B} ).
  4. Identifique el cambio de fase, ( frac {C} {B} ).
  5. Dibuja la gráfica de (f (x) = A sin (Bx) ) desplazada hacia la derecha o hacia la izquierda en ( frac {C} {B} ) y hacia arriba o hacia abajo en (D ).

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Graficar una sinusoide transformada

Dibuja una gráfica de (f (x) = 3 sin left ( dfrac { pi x} {4} - dfrac { pi} {4} right) ).

Solución

  • Paso 1. La función ya está escrita en forma general: (f (x) = 3 sin left ( dfrac { pi x} {4} - dfrac { pi} {4} right) ). (C = dfrac { pi} {4} ) y (D = 0 ). Esta gráfica tendrá la forma de una función seno, comenzando en algún lugar a lo largo de la línea media ( (y = 0 )) y aumentando hacia la derecha, ya que (A> 0 ).
  • Paso 2. (| A | = | 3 | = 3 ). La amplitud es (3 ).
  • Paso 3. Dado que (B = dfrac { pi} {4} ), determinamos el período de la siguiente manera.

    [ begin {align *} P & = dfrac {2 pi} {B} & = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} {4}} & = 2 pi cdot dfrac {4} { pi} & = 8 end {align *} ]

    El período es (8 ).

  • Paso 4. Dado que (C = dfrac { pi} {4} ), el cambio de fase es

    [ dfrac {C} {B} = dfrac { dfrac { pi} {4}} { dfrac { pi} {4}} = 1 nonumber ].

    El cambio de fase es (1 ) unidad a la derecha.

  • Paso 5. La figura ( PageIndex {22} ) muestra el gráfico de la función.

Figura ( PageIndex {22} ): Una sinusoide estirada horizontalmente, estirada verticalmente y desplazada horizontalmente

( PageIndex {9} )

Dibuja una gráfica de (g (x) = - 2 cos left ( dfrac { pi} {3} x + dfrac { pi} {6} right) ). Determine la línea media, la amplitud, el período y el cambio de fase.

Respuesta

Figura ( PageIndex {23} )

línea media: (y = 0 ); amplitud: (| A | = 2 ); período: (P = dfrac {2 pi} {B} = 6 ); cambio de fase: ( dfrac {C} {B} = - dfrac {1} {2} )

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Identificación de las propiedades de una función sinusoidal

Dado (y = −2 cos left ( dfrac { pi} {2} x + pi right) +3 ), determine la amplitud, el período, el desplazamiento de fase y el desplazamiento horizontal. Luego grafica la función.

Solución

Comience comparando la ecuación con la forma general.

(y = A cos (Bx − C) + D )

  • Paso 1. La función ya está escrita en forma general.
  • Paso 2. Dado que (A = −2 ), la amplitud es (| A | = 2 ). La gráfica de la función coseno se ha reflejado sobre el eje (x ) -.
  • Paso 3. (B = dfrac { pi} {2} ), entonces el período es (P = dfrac {2 pi} {B} = dfrac {2 pi} { dfrac { pi} { 2}} = 2 pi⋅ dfrac {2} { pi} = 4 ). El período es 4.
  • Paso 4. (C = - pi ), entonces calculamos el cambio de fase como ( dfrac {C} {B} = - dfrac { pi} { dfrac { pi} {2}} = - pi ⋅ dfrac {2} { pi} = - 2 ). El cambio de fase es (- 2 ).
  • Paso 5. (D = 3 ), entonces la línea media es (y = 3 ), y el desplazamiento vertical es hacia arriba (3 ).

La figura ( PageIndex {24} ) muestra dos ciclos de la gráfica de la función.

Figura ( PageIndex {24} )

Usar transformaciones de funciones seno y coseno

Podemos utilizar las transformaciones de funciones seno y coseno en numerosas aplicaciones. Como se menciona en la Sección 5.2, movimiento circular se puede modelar utilizando la función seno o coseno.

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Encontrar el componente vertical de movimiento circular

Un punto gira alrededor de un círculo de radio (3 ) centrado en el origen. Dibuja una gráfica de la coordenada (y ) del punto en función del ángulo de rotación.

Solución

Recuerde de la Sección 5.4 que, para un punto en un círculo de radio (r ), la coordenada (y ) - del punto es (y = r sin (x) ), entonces en este caso, obtenemos la ecuación (y (x) = 3 sin (x) ). La constante (3 ) provoca un estiramiento vertical de los valores (y ) de la función por un factor de (3 ), que podemos ver en el gráfico de la Figura ( PageIndex {25} ).

Figura ( PageIndex {25} )

Análisis

Observe que el período de la función sigue siendo (2 pi ); a medida que viajamos alrededor del círculo, regresamos al punto ((3,0) ) para (x = 2 pi, 4 pi, 6 pi, ) .... Porque las salidas de la gráfica ahora oscilará entre (- 3 ) y (3 ), la amplitud de la onda sinusoidal es (3 ).

Ejemplo ( PageIndex {12} ): Encontrar el componente vertical de movimiento circular

Un círculo de radio (3 ) pies se monta con su centro (4 ) pies del suelo. El punto más cercano al suelo está etiquetado como (P ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {26} ). Dibuje un gráfico de la altura sobre el suelo del punto (P ) a medida que se gira el círculo; luego encuentre una función que dé la altura en términos del ángulo de rotación.

Figura ( PageIndex {26} )

Solución

Al dibujar la altura, notamos que comenzará (1 ) pies sobre el suelo, luego aumentará hasta (7 ) pies sobre el suelo y continuará oscilando (3 ) pies por encima y por debajo del valor central de (4 ) pies, como se muestra en la Figura ( PageIndex {27} ).

Figura ( PageIndex {27} )

Aunque podríamos usar una transformación de la función seno o coseno, comenzamos por buscar características que hagan que una función sea más fácil de usar que la otra. Usemos una función coseno porque comienza en el valor más alto o más bajo, mientras que un función seno comienza en el valor medio. Un coseno estándar comienza en el valor más alto y este gráfico comienza en el valor más bajo, por lo que necesitamos incorporar una reflexión vertical.

En segundo lugar, vemos que la gráfica oscila (3 ) unidades por encima y por debajo del centro, mientras que un coseno básico tiene una amplitud de (1 ), por lo que esta gráfica se ha estirado verticalmente en (3 ), como en el último ejemplo.

Finalmente, para mover el centro del círculo hasta una altura de (4 ), la gráfica se ha desplazado verticalmente hacia arriba en (4 ). Juntando estas transformaciones, encontramos que

(y = −3 cos (x) +4 )

( PageIndex {10} )

Se adjunta un peso a un resorte que luego se cuelga de una tabla, como se muestra en la Figura ( PageIndex {28} ). A medida que el resorte oscila hacia arriba y hacia abajo, la posición (y ) del peso en relación con la tabla varía de (- 1 ) pulg. (En el momento (x = 0 )) a (- 7 ) pulg. (en el momento (x = π )) debajo del tablero. Suponga que la posición de (y ) se da como una función sinusoidal de (x ). Dibuje una gráfica de la función y luego encuentre una función coseno que dé la posición (y ) en términos de (x ).

Figura ( PageIndex {28} )

Respuesta

(y = 3 cos (x) −4 )

Figura ( PageIndex {29} )

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Determinación de la altura de un ciclista en una noria

El London Eye es una enorme noria con un diámetro de (135 ) metros ( (443 ) pies). Completa una rotación cada (30 ) minutos. Los pasajeros abordan en el punto más bajo desde una plataforma (2 ) metros sobre el suelo. Exprese la altura de un ciclista sobre el suelo en función del tiempo en minutos.

Solución

Con un diámetro de (135 ) m, la rueda tiene un radio de (67.5 ) m. La altura oscilará con amplitud (67,5 ) m por encima y por debajo del centro.

Los pasajeros suben a (2 ) m sobre el nivel del suelo, por lo que el centro de la rueda debe estar ubicado (67,5 + 2 = 69,5 ) m sobre el nivel del suelo. La línea media de la oscilación estará en (69.5 ) m.

La rueda tarda (30 ) minutos en completar (1 ) revolución, por lo que la altura oscilará con un período de (30 ) minutos.

Por último, debido a que el ciclista sube al punto más bajo, la altura comenzará en el valor más pequeño y aumentará, siguiendo la forma de una curva de coseno reflejada verticalmente.

  • Amplitud: (67.5 ), entonces (A = 67.5 )
  • Línea media: (69.5 ), entonces (D = 69.5 )
  • Período: (30 ), entonces (B = dfrac {2 pi} {30} = dfrac { pi} {15} )
  • Forma: (- cos (t) )

Una ecuación para la altura del ciclista sería

(y = −67.5 cos left ( dfrac { pi} {15} t right) +69.5 )

donde (t ) está en minutos y (y ) se mide en metros.

Ecuaciones clave

Funciones sinusoidales

(f (x) = A sin (Bx − C) + D )

(f (x) = A cos (Bx − C) + D )

Conceptos clave

  • Las funciones periódicas se repiten después de un valor dado. El valor más pequeño es el período. Las funciones básicas de seno y coseno tienen un período de (2 pi ).
  • La función ( sin x ) es impar, por lo que su gráfica es simétrica con respecto al origen. La función ( cos x ) es par, por lo que su gráfica es simétrica con respecto a y-eje.
  • La gráfica de una función sinusoidal tiene la misma forma general que una función seno o coseno.
  • En la fórmula general para una función sinusoidal, el período es (P = dfrac {2 pi} {| B |} ). Vea Ejemplo ( PageIndex {1} ).
  • En la fórmula general para una función sinusoidal, (| A | ) representa la amplitud. Si (| A |> 1 ), la función se estira, mientras que si (| A | <1 ), la función se comprime. Vea Ejemplo ( PageIndex {2} ).
  • El valor ( dfrac {C} {B} ) en la fórmula general para una función sinusoidal indica el cambio de fase. Vea Ejemplo ( PageIndex {3} ).
  • El valor (D ) en la fórmula general para una función sinusoidal indica el desplazamiento vertical desde la línea media. Vea Ejemplo ( PageIndex {4} ).
  • Las combinaciones de variaciones de funciones sinusoidales se pueden detectar a partir de una ecuación. Vea Ejemplo ( PageIndex {5} ).
  • La ecuación para una función sinusoidal se puede determinar a partir de un gráfico. Vea Ejemplo ( PageIndex {6} ) y Ejemplo ( PageIndex {7} ).
  • Se puede representar una función sinusoidal identificando su amplitud, período, desplazamiento de fase y desplazamiento horizontal. Consulte Ejemplo ( PageIndex {8} ), Ejemplo ( PageIndex {9} ) y Ejemplo ( PageIndex {10} ).
  • Las funciones sinusoidales se pueden utilizar para resolver problemas del mundo real. Consulte Ejemplo ( PageIndex {11} ), Ejemplo ( PageIndex {12} ) y Ejemplo ( PageIndex {13} ).

Involucrar a los estudiantes: graficar las funciones seno y coseno

En mi clase culminante para futuros profesores de matemáticas de secundaria, les pido a mis alumnos que propongan ideas para atractivo sus alumnos con diferentes temas en el currículo de matemáticas de secundaria. En otras palabras, el objetivo de la tarea no era diseñar un plan de lección completo sobre este tema. En cambio, les pedí a mis estudiantes que pensaran en tres formas diferentes de hacer que sus estudiantes se interesen en el tema en primer lugar.

Planeo compartir algunas de las mejores de estas ideas en este blog (después de pedir permiso a mis estudiantes & # 8217, por supuesto).

Esta presentación de estudiante proviene de mi exalumna Jessica Bonney. Su tema, de Precálculo: graficar las funciones seno y coseno.

¿Cómo podrías, como profesor, crear una actividad o proyecto que involucre tu tema?

Una actividad divertida para que los estudiantes aprendan a graficar la función seno y coseno sería hacer que construyan la gráfica usando espaguetis e hilo. Los estudiantes comenzarían con un simple calentamiento para ayudarlos a recordar los diferentes valores de seno y coseno en el círculo unitario según el ángulo dado. Después del calentamiento, agrupaba a los estudiantes en grupos de dos y les pedía que crearan los gráficos, uno creaba el gráfico de seno y el otro creaba el gráfico de coseno. El primer paso en esta actividad sería que los estudiantes tomaran su hilo y lo enrollaran alrededor del círculo unitario, marcando cada ángulo significativo en el hilo con un marcador. A continuación, los estudiantes crearán el eje xey en su papel, haciendo el eje x a lo largo del centro del papel (etiquetándolo Θ) y el eje y aproximadamente a 1/3 del camino desde el extremo izquierdo del papel. papel (etiquetándolo como cosΘ o sinΘ). Luego colocan el hilo en el eje x, con el extremo en el origen, que representa 0 radianes, y usando las marcas que hicieron en el hilo marcarán y etiquetarán cada punto en el eje x. Volviendo al círculo unitario, los estudiantes medirán los ángulos principales del seno o del coseno con espaguetis. Esta parte se utiliza para ayudar a solidificar su comprensión de que los valores de xey corresponden al coseno y al seno. Después de medir y cortar los espaguetis, los estudiantes pegarán los espaguetis al ángulo correspondiente en el plano de coordenadas.Una vez que hayan terminado de pegar la pasta, los estudiantes tomarán un marcador y dibujarán la curva. Para finalizar la lección, les pido a los estudiantes que piensen, compartan, respondan la siguiente pregunta: ¿Por qué la curva de función es más ancha que el círculo unitario? Después, haría que los estudiantes compararan sus gráficos y demostraran cómo encontraron su gráfico.

¿Cómo se puede utilizar este tema en los futuros cursos de matemáticas o ciencias de sus alumnos?

Graficar las funciones seno y coseno es un tema que los estudiantes continuarán con ellos durante el resto de sus futuros cursos de ciencias y matemáticas. Para empezar, necesitarán saber cómo hacer esto para todas las clases de cálculo avanzado o trigonometría que tomarán en la escuela secundaria o incluso en la universidad. Un ejemplo de esto sería cuando los estudiantes aprendan a derivar las funciones y gráficas de tangente, cotangente, secante y cosecante. A continuación, los estudiantes utilizarán esto con mayor profundidad en sus futuros cursos de física. Podrán relacionar formas de onda y vibraciones con las de gráficos de seno y coseno específicos. Las vibraciones son gráficos con las ecuaciones. y = sin (t) o y = cos (t), y el tiempo necesario para una oscilación en el eje x se denomina período. Las formas de onda son gráficos con las ecuaciones y = sin (x) o y = cos (x), y la distancia necesaria para una oscilación a través del eje x se conoce como longitud de onda. Como puede ver, este tema en particular en el precálculo es una pieza importante para sentar las bases de sus futuros académicos y más allá.

¿Qué cosas interesantes puedes decir sobre las personas que contribuyeron al descubrimiento y / o desarrollo de este tema?

Para empezar, la palabra trigonometría proviene de la palabra griega Trignon que significa "triángulo", y metrón que significa "medir". Antes del siglo XVI, la trigonometría se usaba principalmente para calcular las partes no contabilizadas de un triángulo cuando se daban las otras partes. Cuando se trata de civilizaciones antiguas, los egipcios tenían una colección de 84 problemas de álgebra, aritmética y geometría llamados Papiro de Rhind. Esto mostró que los egipcios tenían algún conocimiento sobre el triángulo, casi como una "pre-trigonometría". No fue hasta los griegos que la trigonometría comenzó a tener sentido. Hipparchus fue el primero en construir una tabla de valores de funciones trigonométricas. La siguiente contribución clave a la trigonometría tal como la conocemos provino de la India. El autor de la Aryabhatiya usó palabras para "acorde" y "medio acorde" que luego se acortó a jya o jiva. Después de esto, los eruditos musulmanes tradujeron las palabras al árabe, que luego se tradujo al latín. Un ministro inglés, Edmund Gunter, utilizó por primera vez el término abreviado que conocemos, pecado, en 1624. En 1614, John Napier inventó los logaritmos, la principal contribución final de la trigonometría clásica.


Ejercicio y serie de trabajo en clase (Matemáticas-SS3): problemas sobre gráficas trigonométricas de coseno y seno

Problemas más difíciles en gráficas trigonométricas de coseno y seno

Para ver cómo se grafican las funciones seno y coseno, use una calculadora, una computadora o un conjunto de tablas de trigonometría para determinar los valores de las funciones seno y coseno para varias medidas de grado (o radianes) diferentes (consulte la Tabla 1) .

Luego, grafique estos valores y obtenga las gráficas básicas de la función seno y coseno.

Un período de la función (a) seno y (b) función coseno.

La función seno y la función coseno tienen períodos de 2π, por lo tanto, los patrones ilustrados en la Figura anterior se repiten continuamente a la izquierda y a la derecha.

Múltiples períodos de la función (a) seno y (b) función coseno.

Se pueden agregar varios términos y factores adicionales a las funciones seno y coseno, que modifican sus formas.

El término adicional A en la función y = A + pecado X permite un desplazamiento vertical en la gráfica de las funciones seno. Esto también es válido para la función coseno.

Ejemplos de varios cambios verticales de la función seno.

El factor adicional B en la función y = B pecado X permite para amplitud variación de la función seno. La amplitud, | B |, es la desviación máxima de la X‐Eje: es decir, la mitad de la diferencia entre los valores máximo y mínimo del gráfico. Esto también es válido para la función coseno.

Ejemplos de varias amplitudes de la función seno.

La combinación de estas cifras produce las funciones y = A + B pecado X y también y = A + B porque X. Estas dos funciones tienen mínimo y máximo valores definidos por las siguientes fórmulas. El valor máximo de la función es METRO = A + | B |. Este valor máximo ocurre siempre que el pecado X = 1 o cos X = 1. El valor mínimo de la función es metro = A - | B |. Este mínimo ocurre siempre que el pecado X = −1 o cos X = −1.

Ejemplo 1: Grafica la función y = 1 + 2 pecado X. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función?

El valor máximo es 1 + 2 = 3. El valor mínimo es 1 - 2 = −1.

Ejemplo 2: Grafica la función y = 4 + 3 pecado X. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función?

El valor máximo es 4 + 3 = 7. El valor mínimo es 4 - 3 = 1.

El factor adicional C en la función y = pecado Cx permite para período variación (duración del ciclo) de la función seno. (Esto también es válido para la función coseno). El período de la función y = pecado Cx es 2π / | C |. Por lo tanto, la función y = pecado 5 X tiene un período de 2π / 5. La figura 7 ilustra ejemplos adicionales.

Ejemplos de varias frecuencias de la (a) función seno y (b) función coseno.

El término adicional D en la función y = pecado (X + D) permite un cambio de fase (moviendo la gráfica hacia la izquierda o hacia la derecha) en la gráfica de las funciones seno. (Esto también es válido para la función coseno). El cambio de fase es | D |. Este es un número positivo. No importa si el desplazamiento es hacia la izquierda (si D es positivo) o hacia la derecha (si D es negativo). La función seno es impar y la función coseno es par. La función coseno se ve exactamente como la función seno, excepto que se desplaza π / 2 unidades hacia la izquierda. En otras palabras,

Ejemplos de varios cambios de fase de la función seno.

Ejemplo 3: ¿Cuál es la amplitud, período, desplazamiento de fase, valores máximo y mínimo de y = 3 + 2 pecado (3 X‐2), y = & # 8211 2 + ½ pecado (1/3 X + 2), y = 4 cos2π X?

Ejemplo 4: Dibuja la gráfica de y = cosπ X.

Porque porque X tiene un período de 2π, cosπ X tiene un período de 2.

Ejemplo 5: Dibuja la gráfica de y = 3 cos (2x + π / 2).

Porque porque X tiene un período de 2π, cos 2x tiene un período de π.

La gráfica de la función y = − F( X) se encuentra reflejando la gráfica de la función y = F( X) acerca de X-eje. Por lo tanto, Figura también puede representar la gráfica de y = −3 sin 2 X. específicamente,

Es importante comprender las relaciones entre las funciones seno y coseno y cómo los cambios de fase pueden alterar sus gráficos.


7.2: Gráficas de las funciones seno y coseno - Matemáticas

Graficar las funciones seno y coseno

· Determinar las coordenadas de puntos en el círculo unitario.

· Grafique la función coseno.

· Compara las gráficas de las funciones seno y coseno.

Sabes cómo graficar muchos tipos de funciones. Los gráficos son útiles porque pueden tomar información complicada y mostrarla de una manera simple y fácil de leer. Ahora aprenderá a graficar las funciones seno y coseno, y verá que las gráficas de la función seno y la función coseno son muy similares.

Valores de las funciones seno y coseno

Hemos visto un punto (X,y) en una gráfica de una función. La primera coordenada es la entrada o el valor de la variable y la segunda coordenada es la salida o el valor de la función.

Cada punto de la gráfica de la función seno tendrá la forma , y cada punto de la gráfica de la función coseno tendrá la forma . Es costumbre usar la letra griega theta, , como símbolo del ángulo. Graficar puntos en el formulario es como graficar puntos en la forma (X, y). A lo largo de X-eje que graficaremos , y a lo largo del y-eje graficaremos el valor de . Los gráficos que dibujaremos usarán valores de en radianes. Antes de dibujar las gráficas, será útil encontrar algunos valores de y y luego juntarlos en una mesa.

Repasemos las definiciones generales de estas funciones. Dado cualquier ángulo , dibuje en posición estándar junto con un círculo unitario. La lado terminal se cruzará con el círculo en algún punto , Como se muestra abajo.

El valor de ha sido definido como el X-coordinado de este punto, y el valor de ha sido definido como el y-coordinado de este punto.

Encuentra los valores de y por .

Puede resultarle útil convertir estos ángulos a grados. Los cuatro ángulos tienen un ángulo de referencia de 30 ° o radianes.

Usa la definición de triángulo rectángulo para encontrar el y por .

Grafica los cuatro ángulos en posición estándar. Las coordenadas del punto en el primer cuadrante se encontraron arriba. La X-coordinate es el valor de cos θ, y el y-coordinar es el valor del pecado θ. Los otros puntos son reflejos del primer punto sobre el X-eje, el y-eje, o ambos.

, , ,

Puede seguir un procedimiento similar para encontrar los valores de y por . Los cuatro ángulos tienen un ángulo de referencia de radianes o 45 °.

Usando el hecho de que le da las coordenadas del punto en el primer cuadrante. Dado que los otros puntos son reflejos de éste, las coordenadas tienen valores iguales o opuestos.

El siguiente diagrama se puede utilizar para encontrar los valores de y por . Tenga en cuenta que porque , cuando dibujas el ángulo en la posición estándar, terminas de nuevo en el X-eje. radianes o corresponde al mismo punto que 0 radianes, es decir .

Usar las coordenadas de los cuatro puntos te da:

Para familiarizarse más con las coordenadas de los puntos en el círculo unitario, intente el siguiente ejercicio interactivo:

Este es un subprograma de Java creado con GeoGebra de www.geogebra.org; parece que no tiene Java instalado, vaya a www.java.com

La gráfica de la función seno

Nuestro objetivo ahora es graficar la función . Cada punto del gráfico de esta función tendrá la forma con los valores de en radianes. El primer paso es reunir en una tabla todos los valores de que tu sabes. Para empezar usaremos valores de θ entre 0 ° y 180 ° .

(en grados)

(en radianes)

Cuando graficamos funciones, a menudo decimos graficar la función en un intervalo. Usamos la notación de intervalo para describir el intervalo. La notación de intervalo tiene la forma , lo que significa que el intervalo comienza en a y termina en B. En el ejemplo, la notación tiene el mismo significado que .

Grafica la función seno en el intervalo . Describe los valores de la función como va de 0 a .

Grafique todos los puntos de la última columna de la tabla anterior. Tenga en cuenta que y eso . Conecte los puntos con una curva suave.

Los valores aumentan de 0 a 1 y luego disminuyen de 1 a 0.

Tenga en cuenta que nuestra entrada es , la medida del ángulo en radianes, y que el eje horizontal está etiquetado , no X. A continuación, reuniremos todos los valores de que sabes por en una mesa.

(en grados)

(en radianes)

Simplemente puede trazar todos los puntos de la última columna y continuar el gráfico en el último ejemplo. Pero observe lo siguiente: los valores en la tercera columna (o y-coordenadas de los puntos) tienen los valores opuestos de los puntos que acabamos de graficar. Esto significa que en lugar de trazar puntos por encima del -eje, graficará puntos debajo del -eje. Además, las entradas y salidas están espaciadas de la misma manera para esta parte del gráfico que para la primera parte del gráfico. Entonces, en lugar de tener una "colina" que va de 0 a 1 y baja a 0, tendrá un "valle" que va de 0 a y luego hasta 0.

Hemos utilizado valores de θ de 0 a 2 π para dibujar la gráfica de la función seno. ¿Cómo se ve la gráfica si continuamos a la derecha de 2 π para , ¿cuál es una vez más alrededor del círculo unitario? En términos de grados, estos son ángulos entre 360 ​​° y 720 °. Regresemos y observemos uno de estos ángulos en la posición estándar con el círculo unitario. A continuación se muestra un ángulo de 400 °.

Porque , el ángulo recorre una rotación completa más otros 40 °, como lo muestra la flecha curva en el diagrama. Imagina que estás en (1, 0) y caminas alrededor del círculo una vez completa y luego caminas un poco más para terminar en (X, y). Este punto donde el lado terminal se cruza con el círculo unitario es el mismo punto que obtendría para un ángulo de 40 °. Todas las funciones trigonométricas para estos dos ángulos se calculan usando las coordenadas de este punto. Esto significa que , , , y lo mismo es cierto para las tres funciones recíprocas.

No hay nada especial en 400 °. Podrías dibujar otros ángulos mayores a 360 ° y encontrar resultados similares. Los resultados anteriores para seno y coseno se pueden reescribir como y . En general, es cierto que y , o, usando radianes:

Estas dos ecuaciones nos dicen que cuando damos la vuelta al círculo por segunda vez, obtendremos los mismos valores para como lo hicimos para y los mismos valores para como lo hicimos para . En otras palabras, si damos la vuelta al mismo círculo por segunda vez, en las mismas ubicaciones del círculo obtendremos los mismos valores para el y-coordinar y el X-coordinar que hicimos la primera vez alrededor del círculo.

Dibuja la gráfica de la función seno en el intervalo y encuentre el rango.

Porque los valores de la función seno entre y son los mismos que los valores entre 0 y , la forma del gráfico entre y es la misma que la forma del gráfico entre 0 y .

El rango es el conjunto de todas y-valores que puede tener la función, por lo que el rango de es .

El rango de es .

El mismo razonamiento que usamos anteriormente funciona para ángulos negativos. Por ejemplo, los ángulos y 135 ° se dibujan en posición estándar con el círculo unitario a continuación.

Porque ellos son ángulos coterminales, intersecan el círculo unitario en el mismo punto y, por lo tanto, tienen las mismas coordenadas. Por lo tanto, , y así sucesivamente para las otras funciones trigonométricas. Observe que podríamos reescribir la primera ecuación como . Igualmente, , o , es cierto para cualquier ángulo incluyendo ángulos negativos. La ecuacion nos dice que cada vez que damos una vuelta completa adicional alrededor del círculo obtenemos los mismos valores para el seno y el coseno que obtuvimos la primera vez alrededor del círculo.

Dibuja la gráfica de la función seno en el intervalo .

Porque es cierto tanto para ángulos negativos como para ángulos positivos, los valores de la función seno entre y 0 son los mismos que los valores de la función seno entre 0 y .

Por lo tanto, la forma del gráfico entre y 0 es la misma que la forma del gráfico entre 0 y .

Dado que la ecuación es cierto para cualquier ángulo, es una identidad. Podemos usar esta identidad para continuar la gráfica de la función seno en cualquier dirección. Este patrón de "colinas y valles" en un intervalo de longitud Continuará en ambas direcciones para siempre.

Cada vez que agregamos 2 π a un ángulo, digamos , obtendremos el mismo valor de función.

También puede usar la identidad anterior para simplificar los cálculos de la función seno al restar repetidamente desde el ángulo. Por ejemplo:

Cual es el valor de ?

A)

B)

C)

D)

A)

Correcto. Volver a escribir como . La representa haber dado dos vueltas al círculo. Usando la identidad para eliminar una revolución a la vez, obtenemos .

B)

Incorrecto. Quizás simplificó incorrectamente y pensó que esto era igual a . Usa la identidad simplificar . La respuesta correcta es .

C)

Incorrecto. Es posible que haya convertido incorrectamente de grados a radianes o haya confundido seno y coseno. Usa la identidad simplificar . Recuérdalo . La respuesta correcta es .

D)

Incorrecto. Es posible que haya simplificado incorrectamente y haya pensado que esto era igual a . Usa la identidad simplificar . La respuesta correcta es .

La gráfica de la función coseno

Ahora nuestro objetivo es graficar . Realizaremos el mismo procedimiento que hicimos para la función seno, y el resultado será similar.

Cada punto del gráfico de la función tendrá la forma con los valores de en radianes. El primer paso es reunir en una tabla todos los valores de que tu sabes. Para empezar usaremos valores de θ entre 0 ° y 180 ° .

(en grados)

(en radianes)


7.2: Gráficas de las funciones seno y coseno - Matemáticas

Hicimos una gran actividad para presentar el seno y el coseno del círculo unitario. Esta es una actividad estándar de las escuelas secundarias con las que trabajan mis estudiantes de GK12, pero ninguno de nuestros estudiantes la había visto.

La actividad. comienza con el círculo unitario y mide la longitud del arco con un trozo de cuerda. Esa cadena se establece como la variable independiente (eje x). Luego, mida los valores del coseno o del seno que se correspondan con la longitud de arco dada en el círculo unitario. Entonces, si está midiendo el coseno, comienza con el ángulo 0 y mide la longitud perpendicular desde el eje y hasta el círculo en el ángulo 0 y corta esa longitud en espaguetis y la coloca en el gráfico.

Al tener que mover físicamente los espaguetis del gráfico de círculo unitario al gráfico de coseno, los estudiantes obtienen una mejor intuición de dónde provienen estos valores como función. También resulta en una gran discusión sobre el hecho de que el eje x (como lo llaman) ahora está etiquetado como theta y el eje y ahora mide los valores x del círculo unitario que se usa para crear la función coseno. Suena confuso ahora, pero la interacción práctica y el trabajo en grupo realmente lo mantienen interactivo y atractivo.

Cuando repetí esta actividad con mis equipos de socios de GK12, condujo a una discusión aún mayor sobre las convenciones que usamos en nuestras aulas. Exijo a todos mis estudiantes que agreguen flechas al final de sus gráficos de funciones continuas.Esta no es una convención matemática que se usa necesariamente en matemáticas avanzadas, pero al requerir el uso de flechas, etiquetar el eje con los nombres correctos de variable y función, así como agregar el espaciado correcto para el eje, encuentro que puedo ver más malentendidos conceptuales de mis alumnos.

Antes, sin flechas, muchos estudiantes creían que f (x) = x ^ 2 solo pasaba de [-2,2] en el rango [0,4] porque eso es todo lo que han visto de ese gráfico. Requerir las flechas en estos gráficos (especialmente las funciones trigonométricas) ha ayudado a aclarar algunos de estos malentendidos. Otra idea que se presentó fue que los estudiantes escribieran una oración o dos en el borde de su trama para indicar qué sucede cuando la función se acerca al infinito. Me gusta esta idea y la probaré el próximo semestre.


Graficar curvas de seno y coseno

Como suelo incluir en la mayoría de mis publicaciones, no dude en hacer preguntas o dejar comentarios sobre cualquier material que publique, y haré todo lo posible para abordarlos. Recientemente recibí una solicitud para repasar cómo graficar curvas de seno y coseno.

Las funciones seno y coseno son FUNCIONES PERIÓDICAS, lo que significa que la función evaluará a un número repetido después de una longitud definida (período). Probablemente haya visto estos gráficos varias veces antes y no se haya dado cuenta de lo que eran. Los gráficos de seno y coseno son prácticamente idénticos, EXCEPTO que están ligeramente desplazados entre sí. o están "desfasados". Esta es una distinción importante que hacer, ya que confunde lo que, por supuesto, le dará la respuesta incorrecta.

La forma MÁS FÁCIL de recordar, o de trazar rápidamente el gráfico, es crear una tabla de valores. Trabajemos primero en la curva sinusoidal. El coseno uno funciona exactamente de la misma manera. La creación de esta tabla de valores será una buena revisión de cómo funcionan estas funciones trigonométricas. En esa nota, evaluaremos los valores de x que representan los ángulos de nuestros triángulos especiales, y luego continuaremos con más valores en los mismos intervalos. (Voy a representar la función de raíz cuadrada por "sq.rt.") Si lo desea, puede continuar haciendo la lista más larga si lo desea, pero creo que esto es suficiente para demostrar el gráfico.

Como probablemente pueda ver al mirar la lista de valores, los números parecen tener un patrón repetido. Si continúa agregando valores, comenzarán a repetirse nuevamente. Esencialmente, hemos dado un giro completo (360 grados), y por eso se repiten.

Entonces, tomando estos valores que tenemos y trazándolos en un gráfico, podemos ver cómo se ve una curva sinusoidal:

La curva del coseno se verá muy similar y puede deducirla exactamente de la misma manera. Como dije antes, se ven iguales pero están desfasados. La diferencia importante a recordar es que la curva del seno pasa por (0,0) y la curva del coseno pasa por (0,1), pero la 'periodicidad' es la misma. es decir, se repiten a los mismos intervalos regulares. Puede extender la curva en la dirección x negativa, o más en la dirección positiva.

Espero que eso explique lo que el póster original me pedía que revisara. Estas funciones, como cualquier otra función, también se pueden modificar agregando coeficientes, etc., de la misma manera que otras funciones que he revisado antes. Explicaré estos conceptos en una publicación futura. O por diversión, agregue un coeficiente al frente de la función seno (por ejemplo, A * sin (x)), o al valor x en sí (sin (2x)) y cree tablas de valores y compare los gráficos resultantes.


P: Usando rectángulos cuya altura está dada por el valor de la función en el punto medio del rectángulo.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Diferenciación implícita Realice los siguientes pasos. A. Utilice la diferenciación implícita para finddy / dx.

P: Son campos de pendiente y necesito ayuda pronto, tengo una imagen adjunta con el problema

R: Considere la ecuación diferencial dada dydx = 3x2y Use la separación del método de la variable para resolver th.

P: 2. Determine si la siguiente función es par, impar o ninguna. Justifica tu respuesta algebraica.

R: Condición de que una función sea par o impar si f (-x) = f (x) entonces se dice que la función es par y si f (.

P: Dada la gráfica de la derivada f & # x27 (x) que se muestra a continuación, exactamente cuántos puntos de inflexión tiene f (x) ha.

R: La gráfica de f & # x27 (x) se muestra en la figura. La gráfica de f & # x27 (x) tiene dos puntos en los que la tangente es paralela.

P: La distancia s a la que cae un objeto varía directamente con el cuadrado del tiempo t. Si cae un objeto.

A: Dado: La distancia s en la que cae un objeto varía directamente con el cuadrado del tiempo t.

P: Teorema de la comparación ¿Por qué la respuesta es cos (t) ≥ (√2) / 2. Multiplica por la longitud del intervalo para obtener.

R: Resuelva LHS por separado y luego compare

P: Encuentre la solución del siguiente problema de valor inicial. ν & # x27 (x) = 4x1 / 3 + 2x-1/3 ν (8) = 40, x & ampgt.

R: Dado: v & # x27x = 4x13 + 2x-13 v8 = 40 para encontrar la solución de un problema de valor inicial dado, integramos v & # x27x.

P: Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. (Por lo tanto, el diámetro de la s.


R: Haga clic para ver la respuesta

P: Pregunta: Dibuje la región de integración, invierta el orden de integración y luego evalúe ambos.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Determine un valor de la constante a para el que existe lim g (x) y establezca el valor del límite, si p.

A: La función por partes dada es gx = x2-4x si x≤-1ax3-9 si x & ampgt-1

A: Determine el dominio de la función z = f (x, y). Si z = fx, y entonces fx, y≥0 Para fx, y = x2 − yx2 − y≥0 − y≥ − x2−1 × -.

P: Los puntos de intersección de las gráficas de xy = 20 y x2 + y2 = 41 se unen para formar un rectángulo.

A: Dado: El punto de intersección de las gráficas de xy = 40 y x2 + y2 se unen para formar un rectan.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: 28. Encuentre el intervalo de convergencia (si lo hay) de la siguiente serie de potencias.

R: Haga clic para ver la respuesta

P: Encuentre el siguiente límite o indique que no existe. 8 8 9 + h 9 lim h

R: Primero tenemos que simplificar la expresión dada.

P: 28. Respuestas anteriores LarPCalc10 5.4.073. Encuentre todas las soluciones de la ecuación en el intervalo [0, 27).


Área entre las gráficas de seno y coseno

Descarga el video de iTunes U o del Archivo de Internet.

PROFESOR: Hola. Bienvenido de nuevo a la recitación. Hemos estado hablando de aplicaciones de integración, incluida la búsqueda de áreas entre curvas. Así que tengo aquí una pequeña y bonita región que me gusta. Creo que es algo lindo. Entonces, es la región entre y es igual al seno x e y es igual al coseno x. Y, ya sabes, esas dos curvas se cruzan una y otra vez. Se envuelven entre sí. Así que solo me interesa la región entre los dos puntos consecutivos donde se cruzan. Así que aquí, ya sabes, en pi sobre 4 tenemos seno x igual - seno pi sobre 4 es igual al coseno pi sobre 4. Y a 5 pi sobre 4 también son iguales de nuevo, ahí abajo en el tercer cuadrante.

Entonces, la pregunta es calcular el área de esta región que delimitan entre esos dos puntos. Entonces, ¿por qué no se toma un par de minutos, trabaja en eso, regresa y podemos trabajar juntos?

Bien, bienvenido de nuevo. Entonces, a partir de esta imagen, es bastante fácil ver cuál es la región de integración. Me refiero a cuáles serán los límites de x. Como dijimos, x tiene que ir a la izquierda, quiero decir, podrías ... lo siento, déjame empezar de nuevo. Podrías hacer dos puntos de intersección consecutivos que quieras, ¿verdad? El área es la misma en cualquier caso debido a la simetría de estas dos funciones. Tan bien. Pero los dos primeros que me resultan más fáciles de encontrar son este pi sobre 4 y este 5 * pi sobre 4. Así que voy a hacer esos dos. Si quisiera, podría haberlo hecho con un par diferente de puntos consecutivos. Pero, una vez que estamos de acuerdo en que estos dos primeros son los que voy a hacer, entonces es fácil. Sé que son pi sobre 4 y 5 * pi sobre 4. Así que ese es el intervalo en el que voy a integrar.

Y luego, lo que quiero hacer es ver esta región como cortada en muchos pequeños rectángulos. Y quiero integrar la altura de esos rectángulos para obtener el área de toda la región. Entonces, en este caso, la curva superior es y es igual al seno x y la curva inferior es y es igual al coseno de x. Entonces, la altura de un poco, ya sabes, si dibujo un pequeño rectángulo aquí, la altura de ese rectángulo será seno x menos coseno x. Su ancho es dx. Y luego los sumo todos integrando.

Entonces el área es solo la integral de pi sobre 4 a 5 * pi sobre 4 de seno x menos coseno x dx. Arriba menos abajo para obtener la altura. Si lo hicieras al revés si escribieras coseno menos seno, lo que obtendrías es exactamente el negativo del área. Entonces, está bien, de pi sobre 4 a 5, pi sobre 4.

Así que ahora, solo tenemos que integrar esto. Entonces integral de seno, la función cuya derivada es seno es menos coseno x. Y la función cuya derivada es coseno es seno. Entonces es menos seno x entre pi sobre 4, 5 * pi sobre 4. Y bien, ahora, solo tenemos que introducir los valores. Así que esto es igual a menos coseno 5 * pi sobre 4 menos seno 5 * pi sobre 4 menos menos coseno pi sobre 4 menos seno pi sobre 4. Y estoy seguro de que puedes averiguar por ti mismo que esto es igual a 2 veces el raíz cuadrada de 2 si no he estropeado nada terriblemente. Así que terminaré ahí.


Y = bronceado (X)

La última gráfica que haremos es de y = bronceado (X). Sin embargo, esto requiere comprender algo nuevo, una asíntota. Veamos el dominio de cada una de estas tres funciones para ver en qué se diferencian.

Lo que esto significa es que la salida para la función tan (90º) NO existe. No hay un número por cero que sea igual a uno. A la derecha hay una captura de pantalla de lo que sucede en la calculadora de una computadora cuando intenta encontrar el valor de la tangente de 90 grados. ¡Te gritan! Algunas calculadoras dirán DNE o DOMAIN ERROR.

La razón por la que podemos hacer que las gráficas de seno y coseno sean suaves y continuas es porque el dominio es ilimitado. No está consolidado en ninguna dirección, no tiene espacios ni valores faltantes. Echemos un vistazo a cómo se ve la tangente.

Una vez que entendemos por qué se ve de esta manera, en realidad es un gráfico muy fácil de construir. Para entenderlo, introduzcamos el nuevo concepto de asíntota. Por ahora, podemos pensar que una asíntota es un conjunto de valores faltantes (colineal). En el gráfico anterior, que está en radianes, observe que π / 2 y & # 8211 π / 2 no tienen salidas. (π / 2 es aproximadamente 1,6).

El gráfico de la izquierda (de GeoGebra.com) tiene líneas de puntos verticales que muestran las asíntotas. Una gráfica es una imagen de todas las soluciones y, en cierto modo, las asíntotas muestran lo que NO es la gráfica.

Otra característica clave de una asíntota es que a medida que la gráfica se va "al infinito", la distancia entre la curva de la gráfica y la asíntota se acerca a cero, pero nunca se tocan. Se acercan siendo paralelos con una distancia de cero. En el siguiente diagrama, verá dos imágenes, ambas exactamente con el mismo gráfico de y = bronceado (X), con los valores faltantes resaltados. Esto se hizo también graficando X = -90º, y X = 90º.

La primera imagen se aleja y puede ver que parece que la curva de la tangente toca la línea vertical. La segunda imagen se amplía y puede ver que la tangente todavía está curvada, pero se está acercando infinitamente a la línea vertical.

Estos valores perdidos y asíntotas hacen que la representación gráfica de la tangente sea completamente diferente a la del coseno y el seno. Sin embargo, de alguna manera es mucho más fácil. Veamos una tabla de características clave y luego analicemos algunos puntos en el gráfico (porque no puede simplemente leer las salidas del círculo unitario como puede hacerlo con el seno y el coseno).

Las otras entradas comunes son múltiplos de 30º y 60º. Si tienes que escribir respuestas exactas (valores irracionales), a menudo tendrás que escribir una fracción compuesta, multiplicar por el recíproco y luego racionalizar el denominador. Veamos cómo se ve esto.

Para esbozar una gráfica de y = bronceado (X), combinemos nuestras características clave y estos puntos. Aquí está el orden que a menudo es fácil de recordar y ejecutar.

  1. Coloque un punto en el origen.
  2. Dibuja tus asíntotas verticales.
  3. Coloque un punto en (-45º, -1) y un punto en (45º, 1)
    1. En este punto, parece que los puntos son lineales, así que agregue cuatro más, dos en cada lado.

    (¡Gracias a mathbits.com por hacer planos de coordenadas en blanco marcados para valores trigonométricos disponibles de forma gratuita para todos los usuarios!)

    Resumen: Es imperativo que comprenda los valores básicos de entrada / salida de seno y coseno. A partir de ellos, puede esbozar un gráfico incluso si olvida las características clave o las mezcla.

    Confundir el punto de partida para el seno y el coseno es increíblemente común.

    Es importante saber por qué el seno y el coseno comienzan así.

    Si conoce los valores del seno y el coseno, puede calcular la tangente. La gráfica de la tangente tiene un período más corto y la gráfica de la tangente también tiene asíntotas porque el dominio tiene espacios. Esas asíntotas, en cierto modo, llenan esos vacíos.


    Ver el vídeo: Calculus 30 Derivatives of Sine and Cosine Functions 2018 (Septiembre 2021).