Artículos

6.3: El teorema de la función inversa - Matemáticas


6.3: El teorema de la función inversa - Matemáticas

Teorema de la función inversa para funciones de Lipschitz

Recientemente, mientras deambulaba por los pasillos del Departamento de Matemáticas, escuché a uno de los estudiantes graduados explicar la Teorema de la función inversa a algunos estudiantes de primer año. En un nivel no riguroso, el teorema de función inversa es uno de los resultados más accesibles (o & ldquoobvious & rdquo) en cálculo elemental: si la gráfica de una función y = F(X) tiene una pendiente bien definida y distinta de cero (derivada) s en algún momento X0, luego

  1. deberíamos poder escribir X como una función de y, es decir. X = F & menos1 (y) por y cerca F(X0),
  2. y, además, la pendiente de la función inversa F & menos1 en F(X0) debe ser 1 & frasls.

La "prueba visual" de esta afirmación equivale a esbozar la gráfica de F, observando que la gráfica de F & minus1 (si la función inversa existe) es la gráfica de F con el X y y ejes intercambiados, y por lo tanto si la pendiente de F es aproximadamente & Deltay & frasl&DeltaX entonces la pendiente de F & minus1 es aproximadamente & DeltaX & frasl&Deltay, es decir, el recíproco del de F.

Recuerda que la derivada de una función F: ℝ norte & rarr ℝ metro es el rectangular metro &veces norte matriz de derivadas parciales

siempre que existan todas estas derivadas parciales. Con esta notación, un enunciado más cuidadoso del teorema de la función inversa es que si F: ℝ norte & rarr ℝ norte es continuamente diferenciable en un vecindario de X0 y la plaza norte &veces norte matriz de derivadas parciales DF(X0) es invertible, entonces existen barrios U de X0 y V de F(X0) y una función continuamente diferenciable gramo: V & rarr ℝ norte (llamado a inverso local por F) tal que

  • para cada tu &es en U, gramo(F(tu)) = tu, y
  • para cada v &es en V, F(gramo(v)) = v.

Una pregunta interesante es si realmente se necesita una diferenciación continua de F. Por ejemplo, el teorema de Rademacher & # 8217 dice que siempre que F satisface un Condición de Lipschitz de la forma

por alguna constante C & ge 0 se sigue que F es diferenciable en casi todas partes en ℝ norte con derivada que tiene norma como máximo C. ¿Es esto suficiente? Resulta, cortesía de un teorema de F. H. Clarke, que el Teorema de la función inversa es válido para las funciones de Lipschitz siempre que se adopte la interpretación generalizada correcta de la derivada de F.

El (valor establecido) derivada generalizada DF(X0) de F: ℝ norte & rarr ℝ metro a X0 se define como el casco convexo del conjunto de todas las matrices METRO & isin ℝ metro&vecesnorte que surgen como limite

para alguna secuenciaXk) en ℝ norte de puntos de diferenciabilidad de F que converge a X0. Uno puede demostrar que, cuando F satisface una condición de Lipschitz en un vecindario de X0, DF(X0) es un subconjunto convexo, compacto y no vacío de ℝ metro&vecesnorte . La derivada generalizada DF(X0) se dice que es de rango máximo si cada METRO & isin DF(X0) tiene rango máximo (es decir, tiene rango (METRO) = min (metro, norte)).

  • para cada tu &es en U, gramo(F(tu)) = tu, y
  • para cada v &es en V, F(gramo(v)) = v.

Es muy importante tener en cuenta la condición de rango máximo en el Teorema de función inversa de Clarke: necesitamos cada matriz METRO en la derivada generalizada no es singular. Entonces, por ejemplo, la función de valor absoluto en la línea real ℝ no no satisfacer las hipótesis del teorema de Clarke & # 8217 en X = 0, aunque es Lipschitz con constante de Lipschitz 1, ya que su derivada generalizada en 0 es

que contiene la matriz derivada no invertible [0]. No es de extrañar que el teorema de la función inversa no pueda aplicarse aquí, ya que la función de valor absoluto no es inyectiva en cualquier vecindad de 0: ambos +&delta y & menos&delta mapa a +&delta. Por otro lado, la función F definido por

tiene derivada generalizada en 0 dada por

que es de rango máximo. El inverso de Lipschitz local (de hecho, global) de esta función F es, como era de esperar,


6.3: El teorema de la función inversa - Matemáticas

Geometría diferencial elemental de texto, Andrew Pressley (Springer). Los estudiantes de Cornell tienen acceso electrónico gratuito a este libro de texto.

Este curso ofrece un estudio riguroso y sistemático de la geometría de líneas y curvas en el espacio euclidiano tridimensional y establece el marco para un estudio más avanzado de la geometría diferencial. Los temas incluirán: curvatura de curvas espaciales, superficies regulares y sus parametrizaciones, la primera y segunda formas fundamentales, el mapa de Gauss, curvatura gaussiana y media de superficies, orientabilidad de superficies, mapas conformales e isometrías. Específicamente, cubriremos: capítulos 1-4, selección del capítulo 5, 6.1-6.3, 7.1-7.4, 8.1-8.2, 9.1-9.2, 9.4, 10.1-10.2, 13.1-13.4. El material de los capítulos 1 y 2 se cubrirá rápidamente, ya que la mayoría es una revisión del material del cálculo multivariable. Los estudiantes serán evaluados tanto en su capacidad para hacer cálculos relacionados con el material como para construir pruebas relacionadas con los conceptos que se estudian.

Programa de estudios y programa revisados ​​Aviso (14/3) El programa y el programa de estudios del curso se revisarán en espera de la orientación de la administración. Los enlaces que siguen son solo para registro histórico: -> Haga clic aquí para obtener un programa de estudios más detallado. Haga clic aquí para ver el programa tentativo día a día para el semestre.


El teorema de la función inversa

El siguiente teorema nos dice cuándo una transformación de clase $ C ^ 1 $ tiene un local inversa de la clase $ C ^ 1 $.

Teorema 1: el teorema de la función inversa Sea $ U $ y $ V $ conjuntos abiertos en $ R ^ n $, y suponga que $ bff: U to V $ es un mapeo de la clase $ C ^ 1 $.

Suponga que $ bfa en U $ es un punto tal que beginetiqueta D bff ( bfa) mbox , end y sea $ bfb: = bff ( bfa) $. Entonces existen conjuntos abiertos $ M subconjunto U $ y $ N subconjunto V $ tales que

  • $ bfa en M $ y $ bfb en N $,
  • $ bff $ es uno a uno de $ M $ sobre $ N $ (por lo tanto invertible), y
  • la función inversa $ bff ^ <-1>: N a M $ es de clase $ C ^ 1 $.

Además, si $ bfx en M $ y $ bfy = bff ( bfx) en N $, entonces begin D ( bff ^ <-1>) ( bfy) = [D bff ( bfx)] ^ <-1>. etiquetafinal En particular, $ D ( bff ^ <-1>) ( bfb) = [D bff ( bfa)] ^ <-1> $.

Observaciones. Muchas cosas que hemos dicho en la sección 3.1 sobre el teorema de la función implícita también se aplican, con algunas modificaciones, al teorema de la función inversa. Por ejemplo:

  • Se puede entender que el teorema de la función inversa proporciona información sobre la capacidad de solución de un sistema de $ n $ ecuaciones no lineales en $ n $ incógnitas. Dice: supongamos que se nos da $ bff: U a V $ y $ bfy en V $, y queremos encontrar $ bfx $ resolviendo $ bff ( bfx) = bfy. $ Esto es a menudo un imposible problema para resolver a mano. Incluso puede resultar muy difícil saber si existe alguna solución. El teorema de la función inversa dice: si sabemos que $ bff ( bfa) = bfb $, entonces para $ bfy $ cerca de $ bfb $, la solubilidad del no lineal El sistema se puede establecer considerando un más fácil pregunta sobre álgebra lineal (es decir, si la matriz $ D bff ( bfa) $ es invertible).

Para transformaciones importantes y vistas con frecuencia, a menudo hay fórmulas explícitas para la inversa, por lo que el Teorema de la función inversa, que garantiza la existencia de una inversa sin decirnos qué es, puede no parecer muy útil en estas situaciones.

Por ejemplo, este es el caso de la transformación $ bff: U a V $ que define coordenadas polares, ver eqref y eqref sobre. Para los $ U $ y $ V $ que hemos elegido, podemos escribir $ (r, theta) = bff ^ <-1> (x, y) $ --- es decir, podemos escribir $ r $ y $ theta $ como funciones de $ x $ y $ y $, de una manera que invierte $ bff: U a V $ --- de la siguiente manera: beginetiqueta r = sqrt mbox (x, y) in V, qquad theta = begin <- pi + tan ^ <-1> (y / x)> & amp mbox x 0 < frac pi 2> & amp mbox x = 0 mbox y & gt0 < pi + tan ^ <-1> (y / x)> & amp mbox x 0 end final (Esta fórmula complicada sería mucho más simple si hubiéramos elegido $ U = <(r, theta): r & gt0, | theta | & lt pi / 2 > $ y $ V = <(x, y): x & gt0 > $. Entonces podemos escribir $ theta = tan ^ <-1> (y / x) $. Esto se hace a menudo, pero cubre solo la mitad del plano $ xy $.)

La fórmula anterior se puede encontrar mediante consideraciones elementales, sin utilizar el Teorema de la función inversa. ¿Es innecesario aquí el teorema de la función inversa?

No completamente. La fórmula anterior es complicada, y es difícil ver, mirando la fórmula, si $ theta $ es una función diferenciable de $ (x, y) $ en los puntos donde $ x = 0 $, y si es así, qué son $ parcial_x theta $ y $ parcial_y theta $. La forma más fácil de entender esto es usando el Teorema de la función inversa, en lugar de tratar de calcular derivadas parciales directamente, comenzando con la fórmula complicada para $ theta (x, y) $.


Algunos aspectos de las teorías diferenciales Dedicados respetuosamente a la memoria de Serge Lang

József Szilasi, Rezsó L. Lovas, en Handbook of Global Analysis, 2008

Observación 2.10

Mantenemos las hipótesis y notaciones del Lema.

El mapa lineal continuo F′(pag) : VW introducido en 2.9 (1) se dice que es el derivado de F a pag. Tenga en cuenta que el símbolo F′(t) tiene un doble significado si F : IW es un C 1 -curva: por 2,1 (2) F‘(t) ∈ W, mientras que por 2.9 (1) F′(t) ∈ ℒ (ℝ, W). Afortunadamente, este abuso de la notación no conduce a ningún conflicto grave ya que los espacios vectoriales W y ℒ (5ℝ, W) se puede identificar canónicamente mediante el isomorfismo lineal

En el Lema 2.9 hemos enumerado sólo los hechos más elementales relacionados con la diferenciación Michal-Bastiani. Es un problema más sutil, por ejemplo, obtener teoremas de función inversa (o implícita) en este contexto (o en un contexto más general). La idea de generalización del clásico teorema de la función inversa para las asignaciones entre algunos tipos de espacios de Fréchet se debe a John Nash. El teorema de la función inversa de Nash & # x27 jugó un papel importante en su famoso artículo sobre incrustaciones isométricas de variedades de Riemann [30]. Fue F. Sergeraert quien estableció el teorema explícitamente en términos de una categoría de mapas entre espacios de Fréchet [34]. En la formulación de Moser & # x27s [28] el teorema se convirtió en un teorema abstracto en el análisis funcional de amplia aplicabilidad. Hamilton [14], Kuranishi [19], Zehnder [37] y más recientemente Leslie [22] y Ma [24] han dado más generalizaciones. En la referencia [10], inspirada en los resultados de Hiltunen & # x27s [16], Glockner demuestra teoremas de funciones implícitas para asignaciones definidas en espacios vectoriales topológicos sobre campos valorados. En particular, en los casos reales y complejos, obtiene teoremas de funciones implícitas para mapeos de espacios vectoriales topológicos no necesariamente localmente convexos a espacios de Banach.

Para enfatizar que los resultados del cálculo en espacios de Banach no se pueden trasplantar al marco más amplio de los espacios vectoriales topológicos en general, finalmente mencionamos una patología bastante típica: la unicidad y existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias no están garantizadas más allá de los espacios de Banach. Para una ilustración simple de este fenómeno en los espacios de Fréchet, ver [13, 5.6.1].

Discutimos brevemente la relación entre el concepto de diferenciabilidad Michal-Bastiani y el concepto clásico de diferenciabilidad de Fréchet para mapeos entre espacios de Banach. Recuerde que un mapa continuo de un subconjunto abierto U de un espacio de Banach V en un espacio de Banach W se llama continuamente Fréchet diferenciable o FC 1, si para todos pag ∈ U existe un mapa lineal continuo (necesariamente único) F′(pag) : VW tal que

y el mapa F′: U → ℒ (V, W), pagF′(pag) es continuo (con respecto a la norma del operador en ℒ (V, W)). Inductivamente, definimos F ser - estar FC k (k ≥ 2) si F' es FC k-1. Ahora puede demostrarse que cada FC k -mapa es C k (en el sentido de Michal-Bastiani), y cada C k+1 -mapa entre subconjuntos abiertos de espacios de Banach es FC k , por lo que los dos conceptos coinciden en el C ∞ caso. Para una prueba, nos referimos a [26] o [11].

Como un enfoque igualmente importante para el cálculo de dimensión infinita que no es de Banach, tenemos que mencionar el llamado cálculo conveniente elaborado en detalle por A. Kriegl y P. W. Michor [18]. Dejar V y W ser espacios vectoriales localmente convexos y U ⊂ V un subconjunto abierto. Un mapeo F : U → W se ha dicho convenientemente suave Si F ∘ γ: IW es una curva suave para cada curva suave γ: I → U. Según la regla de la cadena 2.9 (3), está claro que si un mapeo es suave Michal-Bastiani, entonces también es convenientemente suave. Lo contrario de esta afirmación es definitivamente falso: un mapeo convenientemente suave ni siquiera necesita ser continuo. Sin embargo, si V es un espacio de Fréchet, entonces f : U → W es convenientemente suave si y solo si es Michal — Bastiani suave. Para una demostración esquemática, véase [31, II, 2.10].


6.3: El teorema de la función inversa - Matemáticas

Estas a punto de borra tu trabajo en esta actividad. ¿Seguro que quieres hacer esto?

Versión actualizada disponible

Hay un Versión actualizada de esta actividad. Si actualiza a la versión más reciente de esta actividad, se borrará su progreso actual en esta actividad. Independientemente, se mantendrá su registro de finalización. ¿Cómo te gustaría proceder?

Editor de expresiones matemáticas

Hasta ahora, solo nos hemos ocupado de ejemplos abstractos. Veamos si podemos basar esto en un contexto de la vida real.

Para encontrar la función inversa, primero tenga en cuenta que Ahora escriba el lado izquierdo de la ecuación y resuelva.

También lo es la función inversa de, que convierte una medida Fahrenheit en una medida Celsius.

Finalmente, podríamos verificar nuestro trabajo nuevamente usando la definición de funciones inversas. Ya lo hemos garantizado desde que resolvimos en nuestro cálculo. Por otro lado,

Hemos examinado varias funciones para determinar sus funciones inversas, pero aún hay más en esta historia. No todas las funciones tienen una inversa, por lo que debemos aprender a verificar esta situación.

Mire de nuevo la última pregunta. Si dos entradas diferentes para una función tienen la misma salida, no hay esperanza de que esa función tenga una función inversa. ¿Por qué? Esto se debe a que la función inversa también debe ser una función, y una función solo puede tener una salida para cada entrada. Más específicamente, tenemos la siguiente definición.

  • Dado que las palabras pueden tener más de una definición, “relacionar las palabras con su definición en un diccionario” no es una función.
  • Dado que el corredor corre hacia adelante en el camino recto, cada tiempo corresponde a una posición, y cada posición corresponde a un tiempo. Entonces esto da una función uno a uno.
  • Dado que cada persona solo tiene una fecha de nacimiento, "relacionar a las personas con su fecha de nacimiento" es una función. Sin embargo, muchas personas tienen la misma fecha de nacimiento, por lo que esta función no es uno a uno.
  • Dado que las madres pueden tener más (o menos) de un hijo, "relacionar a las madres con sus hijos" no es una función.

Puede recordar que un gráfico da como función de si cada línea vertical cruza el gráfico como máximo una vez, y lo llamamos el prueba de línea vertical. De manera similar, una función es uno a uno si cada línea horizontal cruza la gráfica como máximo una vez, y a esto lo llamamos el prueba de línea horizontal.

Como hemos comentado, solo podemos encontrar la inversa de una función cuando es uno a uno. Si una función no es uno a uno, pero aún queremos una inversa, debemos restringir el dominio. Veamos qué significa esto en nuestros siguientes ejemplos.

Esta idea de restringir el dominio es fundamental para comprender funciones como.

Dado que el dominio de es, sabemos que es positivo. Esto significa que podemos sacar la raíz cuadrada de cada lado de la ecuación para encontrar que

Para su placer visual le damos un gráfico de y. Tenga en cuenta que la gráfica de es la imagen de después de pasar la línea.


En la siguiente figura, la curva azul es la gráfica de la función y = x 2 - 4 x + 3 y = x ^ 2 - 4x + 3 y = x 2 - 4 x + 3, y la línea negra es y = xy = xy = x. Dibuja la gráfica de la inversa de la curva azul.

imagen

1) Dado que ambos ejes están dibujados a la misma escala, podemos simplemente doblar la gráfica sobre y = x y = x y = x para obtener la parte roja.

imagen

2) Ahora trazamos el resto de la gráfica para obtener la gráfica completa de la inversa.

imagen

3) La curva roja es la inversa de la curva azul. Tenga en cuenta que las curvas son reflejos entre sí sobre la línea y = x y = x y = x. ¡Hemos encontrado gráficamente la inversa de la función!


Función inversa, programa inverso y teorema inverso en programación matemática

Primero, nuestro principal resultado es el teorema inverso en los problemas de programación matemática, donde las funciones objetivas y de restricción satisfacen la "separabilidad" y la "estricta monotonicidad" en la programación dinámica. En segundo lugar, las funciones inversas a tales funciones se definen de nuevo y se especifican sus propiedades y formas explícitas. La definición de función inversa es una extensión secuencialmente paramétrica de la definición habitual de función inversa. En tercer lugar, se muestra que una operación inversa conmuta con operaciones duales e inversas siempre que se cumplan los teoremas duales e inversos, respectivamente. Finalmente, tres programas principales multicrestricción, junto con sus inversos, incluyendo un programa principal lineal junto con sus inversos, duales e inversos-duales, cinco programas principales de restricción simple junto con sus inversos, inversos e inversos inversos, y tres Los programas principales incondicionales con sus inversos se resuelven analíticamente mediante aplicaciones del teorema inverso.


¿Qué se entiende por teorema de la función inversa en geometría algebraica?

Escuché varias veces que el teorema de la función inversa falla en geometría algebraica. Ahora me doy cuenta de que esto me confunde bastante. Esta pregunta tiene dos partes. La primera parte pide la formulación correcta de los teoremas sintéticos de la función inversa. El segundo pide aclaraciones e intuiciones sobre el trabajo de Penon.

Las referencias detalladas serían muy apreciadas: solo conozco los dos textos de Kock, el libro de Lavedhomme y las notas de Kostecki sobre los ODS y estos no discuten estas cosas, y no conozco la literatura de geometría algebraica lo suficientemente bien como para encontrar estas cosas.

¡Disculpas si todo esto es demasiado elemental!

En Geometría sintética de colectores, Kock escribe que el teorema de la función inversa nos lleva "de la invertibilidad infinitesimal a la invertibilidad local", lo que suena moralmente correcto.

  1. Para la "invertibilidad local" sólo puedo pensar en una interpretación: $ f $ étale en un punto $ x $ implica un $ U ni x $ abierto tal que $ f | _U $ es un isomorfismo.
  2. Para la "invertibilidad infinitesimal" puedo pensar en dos opciones:
    • (2a) la propiedad de elevación única habitual contra vecindarios infinitesimales
    • (2b) el diferencial $ operatorname_x ! f $ es un isomorfismo en todos los puntos.

Iré con la segunda opción tratando de hacer paralelo a la geometría diferencial clásica.

Siguiendo las palabras de Kock, ¿tengo razón al llamar a la siguiente condición "un teorema de función inversa"?

Condición IFT1. (2b) $ implica $ (1).

¿O es esta la idea completamente equivocada?

Además, ¿la propiedad henseliana tiene que ver con la implicación (2a) $ implica $ (1)?

Lo pregunto por el siguiente extracto de la sección 2.3 de Modelos Néron, que, al menos para esquemas sobre campos, parece similar.

Sea $ R $ un anillo local con un máximo ideal $ mathfrak m $ y un campo de residuo $ k $. Sea $ S $ el esquema afín (local) de $ R $, y sea $ s $ el punto cerrado de $ S $. Desde un punto de vista geométrico, los anillos henselianos y estrictamente henselianos pueden introducirse mediante esquemas que satisfagan ciertos aspectos del teorema de la función inversa.

Definición 1. El esquema local $ S $ se llama Henseliano si cada mapa de étale $ X a S $ es un isomorfismo local en todos los puntos de $ X $ sobre $ s $ con extensión de campo de residuo trivial $ k (x) = k (s) $. Si, además, el campo de residuo $ k (s) $ se cierra separadamente, $ S $ se llama estrictamente henseliano.

Además, para un morfismo $ f: X a S $ para esquemas, $ f $ es suave en $ x $ si si es una proyección étale-localmente, es decir, hay un vecindario abierto $ U ni x $ tal que $ f | _U $ factores a través de un morfismo étale seguido de una proyección canónica de $ mathbb A_S ^ n $. Reemplazar smooth con étale parece un teorema de función implícita y creo que esto es precisamente lo que se entiende por propiedad henseliana sobre un campo. ¿Es esto correcto o se trata de alguna otra noción de "isomorfismo local" en el extracto anterior?

Este artículo de Penon formula un teorema sintético de la función inversa y además afirma que un morfismo de variedades equidimensionales es étale en varios sentidos equivalentes si satisface la definición sintética habitual - el cuadrado de abajo es un retroceso. $ require empezar TM @ & gt& gt & gt TN @VVV @VVV M @ & gt & gt& gt N end$

No leo francés y no puedo entender mucho el cuadrado de retroceso que describe, pero sé que solo involucra objetos infinitesimales. Por lo tanto, parece que el artículo de Penon no podría abordar la "invertibilidad local" en el sentido de vecindarios abiertos. Si es así, ¿de qué sirve el papel? Tenga en cuenta que su noción también se utiliza en este artículo de Marta Bunge.

Adicional. Aquí está la tesis de Penon. Nuevamente, por lo que puedo distinguir, no se mencionan los vecindarios en el contexto local.


Prueba del teorema de la función inversa

es decir, x es el único punto en B tal que f ⁢ (x) = y.

Por lo tanto, dado cualquier y ∈ B r ⁢ (f ⁢ (a)) podemos encontrar x ∈ B que resuelve f ⁢ (x) = y. Llamemos g: B r ⁢ (f ⁢ (a)) → B el mapeo que da esta solución, es decir

Sea V = B r ⁢ (f ⁢ (a)) y U = g ⁢ (V). Claramente f: U → V es uno a uno y la inversa de f es g. Tenemos que demostrar que U es un vecindario de a. Sin embargo, dado que f es continua en a, sabemos que existe una bola B δ ⁢ (a) tal que f ⁢ (B δ ⁢ (a)) ⊂ B r ⁢ (y 0) y, por lo tanto, tenemos B δ ⁢ (a) ⊂ U.

Ahora queremos estudiar la diferenciabilidad de g. Sea y ∈ V cualquier punto, tome w ∈ ℝ n y ϵ & gt 0 tan pequeños que y + ϵ ⁢ w ∈ V. Sea x = g ⁢ (y) y defina v ⁢ (ϵ) = g ⁢ (y + ϵ ⁢ w) - g ⁢ (y).

Primero que nada note que siendo

| T y ⁢ (x + v ⁢ (ϵ)) - T y ⁢ (x) | ≤ 1 2 ⁢ | v ⁢ (ϵ) |

1 2 | v (ϵ) ≥ | v (ϵ) - ϵ A ⋅ w | ≥ | v (ϵ) | - ϵ ∥ A ∥ ⋅ | w |

Por otro lado, sabemos que f es diferenciable en x, es decir, sabemos que para todo v se cumple


Ver el vídeo: DFQ - Section: Laplace Transform to Solve Initial Value Problems (Octubre 2021).