Artículos

1.1: Conjuntos de números reales y el plano cartesiano de coordenadas - Matemáticas


Conjuntos de números

Si bien a los autores no les gustaría nada más que profundizar rápida y profundamente en la pura emoción que es Precálculo, la experiencia nos ha enseñado que un breve repaso sobre algunas nociones básicas es bienvenido, si no completamente necesario, en esta etapa. Con ese fin, presentamos un breve resumen de la 'teoría de conjuntos' y parte del vocabulario asociado y las notaciones que usamos en el texto. Como todos los buenos libros de matemáticas, comenzamos con una definición.

Definición 1.1: Conjunto

Un conjunto es una colección bien definida de objetos que se denominan "elementos" del conjunto. Aquí, 'bien definido' significa que es posible determinar si algo pertenece a la colección o no, sin prejuicios.

Por ejemplo, la colección de letras que componen la palabra "smolko" está bien definida y es un conjunto, pero la colección de los peores profesores de matemáticas del mundo es no bien definido, por lo que no es un conjunto (para un ejemplo más sugerente, considere la colección de todas las cosas que no se contienen a sí mismas; esto conduce a la famosa paradoja de Russell). En general, hay tres formas de describir conjuntos. Ellos son

Formas de describir conjuntos

  1. El método verbal: Usa una oración para definir un conjunto.
  2. El método de la lista: Comience con una llave izquierda ' ( {)', enumere cada elemento del conjunto sólo una vez y luego terminar con una llave derecha ' (} )'.
  3. El método Set-Builder: Una combinación de los métodos verbales y de lista utilizando una "variable ficticia" como (x ).

Por ejemplo, sea (S ) el conjunto descrito verbalmente como el conjunto de letras que componen la palabra "smolko". descripción de la lista de (S ) sería ( left {s, m, o, l, k right } ). Tenga en cuenta que enumeramos 'o' solo una vez, aunque aparece dos veces en "smolko". Además, el pedido de los elementos no importa, por lo que ( left {k, l, m, o, s right } ) también es una descripción de lista de (S ). A constructor de conjuntos descripción de (S ) es:

[ {x , | , x , text {es una letra de la palabra "smolko".} } ]

La forma de leer esto es: 'El conjunto de elementos (x ) tal que (x ) es una letra de la palabra "smolko '' '. En cada uno de los casos anteriores, podemos usar el conocido signo igual' (= ) 'y escribir

[S = left {s, m, o, l, k, o right } ]

o

[S = {x , | , x text {es una letra de la palabra "smolko ''} }. ]

Claramente, (m ) está en (S ) y (q ) no está en (S ). Expresamos estos sentimientos matemáticamente escribiendo (m en S ) y (q notin S ). A lo largo de su educación matemática, se ha encontrado con varios conjuntos de números famosos. Se enumeran a continuación.

Conjuntos de números

  1. El conjunto vacío: ( conjunto vacío = {} = {x , | , x neq x } ). Este es el conjunto sin elementos. Como el número ' (0 )', juega un papel vital en matemáticas (... que, lamentablemente, no exploraremos en este texto de Precálculo).
  2. Los números naturales: ( mathbb N = {1, 2, 3, ldots } ) Los puntos de puntos suspensivos aquí indican que los números naturales contienen (1 ), (2 ), (3 ), ' Etcétera'.
  3. Los números enteros: ( mathbb W = {0, 1, 2, ldots } )
  4. Los enteros: ( mathbb Z = { ldots, -1, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ldots } )
  5. Los números racionales: ( mathbb Q = left { frac {a} {b} , | , a in mathbb Z , mbox {y} , b in mathbb Z right } ). ProporciónLos números finales son las ( underline {ratio} ) s de los enteros (¡siempre que el denominador no sea cero!) Resulta que es otra forma de describir los números racionales (Sección 9.2). es: [ mathbb Q = {x , | , x , text {posee una representación decimal repetida o final.} } ]
  6. Los números reales: ( mathbb R = {x , | , x , text {posee una representación decimal.} } )
  7. Los números irracionales: ( mathbb P = {x , | , x , text {es un número real no racional.} } ) Dicho de otra manera, una irEl número racional es un decimal que no se repite ni termina (el ejemplo clásico es el número ( pi ); vea la Sección 10.1), pero números como ( sqrt {2} ) y (0.101001000100001 ldots ) ​​son otros buenos representantes.}
  8. Los números complejos: ( mathbb C = {a + bi , | , a ), (b in mathbb R ) y (i = sqrt {-1} )} } ) A pesar de su importancia, los números complejos juegan sólo un papel menor en el texto (aparecen primero en la Sección 3.4 y regresan en la Sección 11.7).

Es importante tener en cuenta que todo número natural es un número entero, que, a su vez, es un número entero. Cada entero es un número racional (tome (b = 1 ) en la definición anterior para (Q )) y los números racionales son todos números reales, ya que poseen representaciones decimales (es decir, división larga) Si tomamos (b = 0 ) en la definición anterior de ( mathbb C ), vemos que todo número real es un número complejo. En este sentido, los conjuntos ( mathbb N ), ( mathbb W ), ( mathbb Z ), ( mathbb Q ), ( mathbb R ) y ( mathbb C ) están 'anidados' como muñecas Matryoshka.

Figura ( PageIndex {1} ): Anidamiento de matrioskas abiertas. (CC BY-SA 3.0; BrokenSphere).

En su mayor parte, este libro de texto se centra en conjuntos cuyos elementos provienen de los números reales ( mathbb R ). Recuerde que podemos visualizar ( mathbb R ) como una línea. Los segmentos de esta línea se denominan intervalos de números. A continuación se muestra un resumen de los llamados notación de intervalos asociado con conjuntos de números dados. Para intervalos con extremos finitos, enumeramos el extremo izquierdo y luego el extremo derecho. Usamos corchetes, ' ([)' o ' (] )', si el punto final está incluido en el intervalo y usamos un punto completo o 'cerrado' para indicar la pertenencia al intervalo. De lo contrario, usamos paréntesis, ' (()' o ' () )' y un círculo 'abierto' para indicar que el punto final no es parte del conjunto. Si el intervalo no tiene extremos finitos, usamos los símbolos (- infty ) para indicar que el intervalo se extiende indefinidamente hacia la izquierda y ( infty ) para indicar que el intervalo se extiende indefinidamente hacia la derecha. Dado que el infinito es un concepto y no un número, siempre usamos paréntesis cuando usamos estos símbolos en notación de intervalo, y usamos una flecha apropiada para indicar que el intervalo se extiende indefinidamente en una (o ambas) direcciones.

Notación de intervalos

Sean (a ) y (b ) números reales con (a

Conjunto de números reales Notación de intervalosRegión en la recta numérica real
( {x , | , a ((a, b) )
( {x , | , a leq x ([a, b) )
( {x , | , a leq x ((a, b] )
( {x , | , a leq x ([a, b] )
( {x , | , a ((- infty, b) )
( {x , | , x leq b } ) ((- infty, b] )
( {x , | , a leq x leq b } ) ((a, infty) )
( {x , | , x geq a } ) ([a, infty) )
( mathbb R ) ((- infty, infty) )

A menudo tendremos ocasión de combinar conjuntos. Hay dos formas básicas de combinar conjuntos: ( textbf {intersection} ) y ( textbf {union} ). Definimos ambos conceptos a continuación.

Definición 1.2: Intersección y Unión

Suponga que (A ) y (B ) son dos conjuntos.

  • La intersección de (A ) y (B ): (A cap B = {x , | , x en A , text {y} , , x en B } )
  • La unión de (A ) y (B ): (A cup B = {x , | , x en A , text {o} , , x en B , , text {(o ambos)} } )

Dicho de otra manera, la intersección de dos conjuntos es la superposición de los dos conjuntos, los elementos que los conjuntos tienen en común. La unión de dos conjuntos consiste en la totalidad de los elementos de cada uno de los conjuntos, reunidos (se anima al lector a que investigue los diagramas de Venn para obtener una interpretación geométrica agradable de estos conceptos). Por ejemplo, si (A = {1,2,3 } ) y (B = {2,4,6 } ), entonces (A cap B = {2 } ) y (A cup B = {1,2,3,4,6 } ). Si (A = [-5,3) ) y (B = (1, infty) ), entonces podemos encontrar (A cap B ) y (A cup B ) gráficamente. Para encontrar (A cap B ), sombreamos la superposición de los dos y obtenemos (A cap B = (1,3) ). Para encontrar (A cup B ), sombreamos cada uno de (A ) y (B ) y describimos la región sombreada resultante para encontrar (A cup B = [-5, infty) ) .

Si bien tanto la intersección como la unión son importantes, tenemos más ocasiones de usar la unión en este texto que la intersección, simplemente porque la mayoría de los conjuntos de números reales con los que trabajaremos son intervalos o son uniones de intervalos, como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Exprese los siguientes conjuntos de números utilizando notación de intervalo.

  1. ( {x , | , x leq -2 , , text {o} , , x geq 2 } )
  2. ( {x , | , x neq 3 } )
  3. ( {x , | , x neq pm 3 } )
  4. ( {x , | , -1

Solución

  1. La mejor manera de proceder aquí es graficar el conjunto de números en la recta numérica y obtener la respuesta de ella. La desigualdad (x leq -2 ) corresponde al intervalo ((- infty, -2] ) y la desigualdad (x geq 2 ) corresponde al intervalo ([2, infty) ). Como buscamos describir los números reales (x ) en uno de estos ( textit {o} ) el otro, tenemos ( {x , | , x leq -2 , , text {o} , , x geq 2 } = (- infty, -2] cup [2, infty) ).

  1. Para el conjunto ( {x , | , x neq 3 } ), sombreamos toda la recta numérica real excepto (x = 3 ), donde dejamos un círculo abierto. Esto divide la recta numérica real en dos intervalos, ((- infty, 3) ) y ((3, infty) ). Dado que los valores de (x ) podrían estar en cualquiera de estos intervalos ( textit {o} ) en el otro, tenemos que ( {x , | , x neq 3 } = ( - infty, 3) cup (3, infty) )

  1. Para el conjunto ( {x , | , x neq pm 3 } ), procedemos como antes y excluimos tanto (x = 3 ) como (x = -3 ) de nuestro conjunto . Esto divide la recta numérica en ( textit {tres} ) intervalos, ((- infty, -3) ), ((- 3,3) ) y ((3, infty) ). Dado que el conjunto describe números reales que provienen del primer, segundo ( textit {o} ) tercer intervalo, tenemos ( {x , | , x neq pm 3 } = (- infty , -3) cup (-3,3) cup (3, infty) ).

  1. Graficando el conjunto ( {x , | , -1

El plano cartesiano de coordenadas

Para visualizar la emoción pura que es Precálculo, necesitamos unir Álgebra y Geometría. En pocas palabras, debemos encontrar una manera de dibujar cosas algebraicas. Comencemos con posiblemente el mayor logro matemático de todos los tiempos: el Plano de coordenadas cartesianas. Imagina dos rectas de números reales que se cruzan en ángulo recto en (0 ) como se muestra a continuación.

La recta numérica horizontal se suele llamar eje (x ) -} mientras que la recta numérica vertical se suele llamar eje (y ) -}; Estas etiquetas pueden variar según el contexto de aplicación. Al igual que con la recta numérica habitual, imaginamos que estos ejes se extienden indefinidamente en ambas direcciones. Footnote {Por lo general, la extensión hacia el infinito se indica mediante flechas, pero aquí, las flechas se utilizan para indicar el dirección de valores crecientes de (x ) y (y ).}

Tener dos rectas numéricas nos permite ubicar las posiciones de puntos fuera de las rectas numéricas así como puntos en las rectas mismas.

Por ejemplo, considere el punto (P ) en la página siguiente. Para usar los números en los ejes para etiquetar este punto, imaginamos dejar caer una línea vertical desde el eje (x ) hasta (P ) y extender una línea horizontal desde el eje (y ) - hasta ( PAG). Este proceso a veces se llama 'proyectar' el punto (P ) al eje (x ) - (respectivamente (y ) -). Luego describimos el punto (P ) usando el par ordenado ((2, -4) ). El primer número del par ordenado se llama abscisa o (x ) - coordenada y la segunda se llama ordenada o (y ) - coordenada; de nuevo, los nombres de las coordenadas pueden variar según el contexto de la aplicación. Si, por ejemplo, el eje horizontal representa el tiempo, podríamos elegir llamarlo eje (t ). El primer número del par ordenado sería entonces la coordenada (t ) -.} Tomados en conjunto, el par ordenado ((2, -4) ) comprende el Coordenadas cartesianas del punto (P ) (también llamadas 'coordenadas rectangulares' de (P ); consulte la Sección 11.4 para obtener más detalles). En la práctica, la distinción entre un punto y sus coordenadas es borrosa; por ejemplo, a menudo hablamos del "punto ((2, -4) )". Podemos pensar en ((2, -4) ) como instrucciones sobre cómo llegar a (P ) desde el origen ((0, 0) ) moviendo (2 ) unidades hacia la derecha y (4 ) unidades hacia abajo. Observe que el orden en el par underline {ordenado} es importante (- ) si deseamos graficar el punto ((- 4,2) ), nos moveríamos hacia la izquierda (4 ) unidades de el origen y luego mover hacia arriba (2 ) unidades, como se muestra a continuación a la derecha.

Cuando hablamos del plano cartesiano de coordenadas, nos referimos al conjunto de todos los pares ordenados posibles ((x, y) ) ya que (x ) y (y ) toman valores de los números reales. A continuación se muestra un resumen de hechos importantes sobre las coordenadas cartesianas.

Datos importantes sobre el plano cartesiano de coordenadas

  • ((a, b) ) y ((c, d) ) representan el mismo punto en el plano si y solo si (a = c ) y (b = d ).
  • ((x, y) ) se encuentra en el eje (x ) - si y solo si (y = 0 ).
  • ((x, y) ) se encuentra en el eje (y ) - si y solo si (x = 0 ).
  • El origen es el punto ((0,0) ). Es el único punto común a ambos ejes.

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Grafica los siguientes puntos: (A (5,8) ), (B left (- frac {5} {2}, 3 right) ), (C (-5,8, -3) ), (D (4.5, -1) ), (E (5,0) ), (F (0,5) ), (G (-7,0) ), ( H (0, -9) ), (O (0,0) ).

Por cierto, la letra (O ) casi siempre está reservada para el origen.

Solución

Para trazar estos puntos, comenzamos en el origen y nos movemos hacia la derecha si la coordenada (x ) - es positiva; a la izquierda si es negativo. A continuación, nos movemos hacia arriba si la coordenada (y ) - es positiva o hacia abajo si es negativa. Si la coordenada (x ) - es (0 ), comenzamos en el origen y nos movemos a lo largo del eje (y ) - solamente. Si la coordenada (y ) es (0 ), nos movemos solo a lo largo del eje (x ).

Los ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Están etiquetados con números romanos y avanzan en sentido antihorario alrededor del avión:

Por ejemplo, ((1,2) ) se encuentra en el cuadrante I, ((- 1,2) ) en el cuadrante II, ((- 1, -2) ) en el cuadrante III y ((1 , -2) ) en el cuadrante IV. Si un punto que no es el origen se encuentra en los ejes, normalmente nos referimos a ese punto como si se encuentra en el eje (x ) positivo o negativo (si (y = 0 )) o en el eje positivo o negativo (y ) - eje (si (x = 0 )). Por ejemplo, ((0,4) ) se encuentra en el eje (y ) positivo mientras que ((- 117,0) ) se encuentra en el eje (x ) negativo. Estos puntos no pertenecen a ninguno de los cuatro cuadrantes.

Uno de los conceptos más importantes de todas las matemáticas es simetría. Hay muchos tipos de simetría en matemáticas, pero tres de ellos se pueden discutir fácilmente usando coordenadas cartesianas.

Definición 1.3: Simetrías

Se dice que dos puntos ((a, b) ) y ((c, d) ) en el plano son

  • simétrico con respecto al eje (x ) -} si (a = c ) y (b = -d )
  • simétrico sobre el eje (y ) -} si (a = -c ) y (b = d )
  • simétrico con respecto al origen si (a = -c ) y (b = -d )

Esquemáticamente

En la figura anterior, (P ) y (S ) son simétricas con respecto al eje (x ) -, al igual que (Q ) y (R ); (P ) y (Q ) son simétricas con respecto al eje (y ) -, al igual que (R ) y (S ); y (P ) y (R ) son simétricas con respecto al origen, al igual que (Q ) y (S ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Sea (P ) el punto ((- 2,3) ). Encuentra los puntos que son simétricos a (P ) sobre:

  • (x ) - eje
  • (y ) - eje
  • origen

Comprueba tu respuesta trazando los puntos.

Solución

La figura después de Definition ( PageIndex {3} ) nos da una buena manera de pensar acerca de cómo encontrar puntos simétricos en términos de tomar los opuestos de las coordenadas (x ) - y / o (y ) - de (P (-2,3) ).

  1. Para encontrar el punto simétrico con respecto al eje (x ) -, reemplazamos la coordenada (y ) - con su opuesto para obtener ((- 2, -3) ).
  2. Para encontrar el punto simétrico con respecto al eje (y ) -, reemplazamos la coordenada (x ) - con su opuesto para obtener ((2,3) ).
  3. Para encontrar el punto simétrico con respecto al origen, reemplazamos las coordenadas (x ) - y (y ) - con sus opuestos para obtener ((2, -3) ).

Una forma de visualizar los procesos en el ejemplo anterior es con el concepto de reflexión. Si comenzamos con nuestro punto ((- 2,3) ) y pretendemos que el eje (x ) - es un espejo, entonces el reflejo de ((- 2,3) ) a través de (x ) - el eje estaría en ((- 2, -3) ). Si pretendemos que el eje (y ) - es un espejo, la reflexión de ((- 2,3) ) a través de ese eje sería ((2,3) ). Si reflexionamos sobre el eje (x ) - y luego el eje (y ) -, iríamos de ((- 2,3) ) a ((- 2, -3) ) entonces a ((2, -3) ), por lo que terminaríamos en el punto simétrico a ((- 2,3) ) con respecto al origen. Resumimos y generalizamos este proceso a continuación.

Reflexiones

Para reflejar un punto ((x, y) ) sobre:

  1. (x ) - eje, reemplace (y ) con (- y ).
  2. (y ) - eje, reemplace (x ) con (- x ).
  3. origen, reemplace (x ) con (- x ) y (y ) con (- y ).

Distancia en el avión

Otro concepto importante en geometría es la noción de longitud. Si vamos a unir álgebra y geometría usando el plano cartesiano, entonces necesitamos desarrollar una comprensión algebraica de lo que significa la distancia en el plano. Suponga que tenemos dos puntos, (P left (x_0, y_0 right) ) y (Q left (x_1, y_1 right), ) en el plano. Por la ( textbf {distancia} ) (d ) entre (P ) y (Q ), nos referimos a la longitud del segmento de línea que une (P ) con (Q ). (Recuerde, dados dos puntos distintos en el plano, hay una línea única que contiene ambos puntos). Nuestro objetivo ahora es crear una fórmula algebraica para calcular la distancia entre estos dos puntos. Considere la situación genérica a continuación a la izquierda.

Con un poco más de imaginación, podemos imaginar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene una longitud (d ) como se dibuja arriba a la derecha. En la última figura, vemos que las longitudes de los catetos del triángulo son ( left | x_1 - x_0 right | ) y ( left | y_1 - y_0 right | ) por lo que Teorema de pitágoras Nos da

[ left | x_1 - x_0 right | ^ 2 + left | y_1 - y_0 right | ^ 2 = d ^ 2 ]

[ left (x_1 - x_0 right) ^ 2 + left (y_1 - y_0 right) ^ 2 = d ^ 2 ]

(¿Recuerda por qué podemos reemplazar la notación de valor absoluto con paréntesis?) Al extraer la raíz cuadrada de ambos lados de la segunda ecuación y usar el hecho de que la distancia nunca es negativa, obtenemos

ecuación 1.1: La fórmula de la distancia

La distancia (d ) entre los puntos (P left (x_0, y_0 right) ) y (Q left (x_1, y_1 right) ) es:

[d = sqrt { left (x_1 - x_0 right) ^ 2 + left (y_1 - y_0 right) ^ 2} label {distanceformula} ]

No siempre es el caso que los puntos (P ) y (Q ) se presten para construir tal triángulo. Si los puntos (P ) y (Q ) están dispuestos vertical u horizontalmente, o describen exactamente el mismo punto, no podemos usar el argumento geométrico anterior para derivar la fórmula de la distancia. Se deja al lector en el Ejercicio ( ref {distanceothercases} ) verificar la Ecuación ( ref {distanceformula} ) para estos casos.

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Encuentra y simplifica la distancia entre (P (-2,3) ) y (Q (1, -3) ).

Solución

setlength { extrarowheight} {3pt}

[ begin {array} {rcl} d & = & sqrt { left (x_1 - x_0 right) ^ 2 + left (y_1 - y_0 right) ^ 2} & = & sqrt {( 1 - (- 2)) ^ 2 + (-3-3) ^ 2} & = & sqrt {9 + 36} & = & 3 sqrt {5} end {array} ]

Entonces la distancia es (3 sqrt {5} ).

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

Encuentra todos los puntos con (x ) - coordenada (1 ) que son (4 ) unidades desde el punto (((3,2) ).

Solución

Pronto veremos que los puntos que deseamos encontrar están en la recta (x = 1 ), pero por ahora los veremos como puntos de la forma ((1, y) ). Visualmente,

Requerimos que la distancia de ((3,2) ) a ((1, y) ) sea (4 ). La fórmula de la distancia, Ecuación ref {distanceformula}, produce

[ begin {array} {rclr} d & = & sqrt { left (x_1-x_0 right) ^ 2 + left (y_1-y_0 right) ^ 2} & 4 & = & sqrt {(1-3) ^ 2 + (y-2) ^ 2} & 4 & = & sqrt {4+ (y-2) ^ 2} & 4 ^ 2 & = & left ( sqrt {4+ (y-2) ^ 2} right) ^ 2 & mbox {cuadrar ambos lados} 16 & = & 4+ (y-2) ^ 2 & 12 & = & (y- 2) ^ 2 & (y-2) ^ 2 & = & 12 & y - 2 & = & pm sqrt {12} & mbox {extraer la raíz cuadrada} y-2 & = & pm 2 sqrt {3} & y & = & 2 pm 2 sqrt {3} & end {array} ]

Obtenemos dos respuestas: ((1, 2 + 2 sqrt {3}) ) y ((1, 2-2 sqrt {3}). ) Se anima al lector a pensar por qué hay dos respuestas.

Relacionado con encontrar la distancia entre dos puntos está el problema de encontrar la punto medio del segmento de línea que conecta dos puntos. Dados dos puntos, (P left (x_0, y_0 right) ) y (Q left (x_1, y_1 right) ), el ( textbf {midpoint} ) (M ) de (P ) y (Q ) se define como el punto en el segmento de línea que conecta (P ) y (Q ) cuya distancia de (P ) es igual a su distancia de (Q ).

Si pensamos en llegar a (M ) yendo 'a la mitad' y 'a la mitad' obtenemos la siguiente fórmula.

La fórmula del punto medio

El punto medio (M ) del segmento de línea que conecta (P left (x_0, y_0 right) ) y (Q left (x_1, y_1 right) ) es:

[M = left ( dfrac {x_0 + x_1} {2}, dfrac {y_0 + y_1} {2} right) label {midpointformula} ]

Si dejamos que (d ) denote la distancia entre (P ) y (Q ), lo dejamos como Ejercicio ( ref {verifymidpointformula} ) para mostrar que la distancia entre (P ) y (M ) es (d / 2 ) que es lo mismo que la distancia entre (M ) y (Q ). Esto es suficiente para mostrar que la Ecuación ( ref {midpointformula} ) da las coordenadas del punto medio.

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

Encuentra el punto medio del segmento de línea que conecta (P (-2,3) ) y (Q (1, -3) ).

Solución

[ begin {array} {rcl} M & = & left ( dfrac {x_0 + x_1} {2}, dfrac {y_0 + y_1} {2} right) & = & left ( dfrac {(- 2) +1} {2}, dfrac {3 + (- 3)} {2} right) = left (- dfrac {1} {2}, dfrac {0} {2 } right) & = & left (- dfrac {1} {2}, 0 right) end {array} ]

El punto medio es ( left (- frac {1} {2}, 0 right) ).

Cerramos con una aplicación más abstracta de la fórmula del punto medio. Revisaremos el siguiente ejemplo en el ejercicio ( ref {inversemidpointex2} ) en la sección 2.1.

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

Si (a neq b ), demuestre que la línea (y = x ) divide igualmente el segmento de línea con los extremos ((a, b) ) y ((b, a) ).

Solución

Para probar la afirmación, usamos la Ecuación ref {midpointformula} para encontrar el punto medio

[ begin {array} {rcl} M & = & left ( dfrac {a + b} {2}, dfrac {b + a} {2} right) & = & left ( dfrac {a + b} {2}, dfrac {a + b} {2} right) end {array} ]

Dado que las coordenadas (x ) y (y ) de este punto son las mismas, encontramos que el punto medio se encuentra en la línea (y = x ), como se requiere.


Sistema cartesiano

El sistema que hemos descrito para etiquetar puntos en un plano se conoce como Sistema cartesiano. Fue descrito por primera vez por un matemático francés llamado René Descartes en el siglo XVII. La palabra cartesiano se deriva de Descartes.

Hemos visto que se requieren dos rectas numéricas perpendiculares X e Y para el sistema cartesiano.

Las dos líneas X e Y tomadas juntas se denominan ejes del sistema. Tenga en cuenta que y ldquoejes y rdquo es una palabra plural. Si tenemos que referirnos a solo una de las dos rectas numéricas X o Y, tendremos que usar el singular eje.

El punto de intersección de los ejes es el cero del sistema cartesiano. Este punto generalmente se indicará con O.

Para especificar la posición de cualquier punto P en el plano, medimos la distancia X tenemos que viajar a lo largo de X, y luego la distancia y tenemos que viajar en paralelo a Y, para llegar de O a P. Las distancias pueden ser negativas. Por ejemplo, si tienes que viajar derecho, luego X será positivo. Del mismo modo, si tiene que viajar abajo en Y, entonces y será negativo.

Los dos números reales X y y tomado juntos describirá la posición de P de forma única. Podemos escribir esto de la siguiente manera: P & equiv (X, y) o P = (X, y). Por tanto, la ubicación de P se puede etiquetar de forma única con dos números reales.

Para diferentes posiciones de P, este par de números reales será diferente.

Considere la siguiente figura y vuelva a leer la discusión anterior una vez más con referencia a esto:

El par de números reales X y y que determinan unívocamente la posición de un punto P en el plano se denominan colectivamente como coordenadas de P.

El primer número real (en este caso, X) nos indica la distancia que tendremos que recorrer a lo largo de X para llegar a P. Nos referiremos a este número real como el X-coordinar o abscisa de P.

El segundo número real (en este caso, y) nos indica la distancia que tendremos que recorrer en paralelo a Y para llegar a P. Nos referiremos a este número real como el y-coordinar o ordenada de P.

La X-coordinar y y-la coordenada puede ser positiva, cero o negativa, dependiendo de la ubicación de P.

Los dos ejes (X e Y) dividen el plano en cuatro regiones, o cuadrantes. Están numerados de la siguiente manera:

En cada cuadrante, los signos de las coordenadas serán diferentes:

¿Puedes ver por qué esto es cierto? También notamos lo siguiente:

Los puntos en el eje X tienen un y-coordinada de 0.

Los puntos en el eje Y tienen un X-coordinada de 0.

La propiedad más poderosa del sistema cartesiano es que al usar esto, cualquier punto del plano puede etiquetarse de forma única:

Una dimensión. En una línea, los puntos se pueden etiquetar con un solo número real.

Dos dimensiones. En un plano, los puntos se pueden etiquetar mediante el sistema cartesiano utilizando dos números reales o coordenadas.

Suponga que se le pide que trace el punto P = (2,3) en el plano. ¿Como lo haras? Comenzando desde O (el origen), se moverá 2 unidades hacia la derecha, a lo largo del eje X, y luego 3 unidades hacia arriba, paralelo al eje Y. El punto al que llegue será el punto P:

Ahora, suponga que tiene que graficar Q ( - 3, - 2.5). Para llegar a Q (comenzando desde O), se moverá 3 unidades a la izquierda de O, y luego 2.5 unidades hacia abajo, paralelo al eje Y. El punto al que llegará será el punto Q (tenga en cuenta que Q está en el tercer cuadrante):

De esta forma, puede trazar cualquier punto del plano, dadas sus coordenadas.

Ejemplo 1: Trace los siguientes puntos en el plano cartesiano:

  1. A (1,3; 2,4)
  2. B ( - 2.7, 3.2)
  3. C ( - 1.1, - 3.6)
  4. D (4, - 2)

Solución: Observamos que A, B, C y D están respectivamente en el primer, segundo, tercer y cuarto cuadrantes:

Ejemplo 2: Se le dan una serie de puntos en el avión:

  1. A (1,4)
  2. B ( - 3, 5)
  3. C (2, - 5)
  4. D ( - 1, - 4)
  5. E (4, 4)
  6. F (1,0)
  7. G (0, - 3)

Responde las siguientes preguntas:

a) ¿Qué puntos se encuentran en el primer o en el tercer cuadrante?

b) ¿Qué puntos se encuentran en el segundo o el cuarto cuadrante?

c) ¿Qué puntos se encuentran en uno de los dos ejes?

Solución: Los siete puntos se han representado a continuación, observe este gráfico con atención:

a) A y E se encuentran en el primer cuadrante y D se encuentra en el tercer cuadrante.

b) B se encuentra en el segundo cuadrante y C se encuentra en el cuarto cuadrante.

c) F se encuentra en el lado positivo del eje X y G se encuentra en el lado negativo del eje Y.

Ejemplo 3:Una persona lanza dos dados al mismo tiempo. Deje que los números que se muestran en Die - 1 y muere - 2 estar representado por X y y respectivamente. Después de cada tirada, el punto P (X, y) se traza en el plano. Trace todas las posiciones posibles de P y resalte aquellas posiciones para las que la suma de X y y es 8.

Solución: Tenga en cuenta que en cada dado, podemos tener 6 números (enteros del 1 al 6). Por lo tanto, si combina los números posibles de ambos dados, tiene 36 pares. Por ejemplo, hay seis pares con el número 3 en Die - 1:

En total, habrá 36 pares (indíquelos si no está seguro). Ahora, los pares para los que la suma de X y y es 8, son:

En la siguiente figura, se han representado los 36 pares totales y se han resaltado estos 5 pares:

Ejemplo 4: Trace cinco puntos en el plano cartesiano para los que las abscisas y las ordenadas son iguales.

Solución: Trazaremos los siguientes cinco puntos:

( - 2, - 2), ( - 1, - 1), (0, 0), (1,1), (2,2)

Tenga en cuenta un hecho interesante. Estos cinco puntos se encuentran en la misma línea recta:

De hecho, si va a tomar alguna punto en esta línea, su abscisa y ordenada resultarán ser iguales! Intentalo. ¿Puede justificar intuitivamente por qué debería ser así?


Suma de vectores

  • & lambdaa + b) = & lambdaa + & lambdaB (ley distributiva, para vectores)
  • (& lambda + y beta)a = & lambdaa + y betaB (ley distributiva para escalares)
  • 1 y middota = a
  • (& menos1) y middota = & menosa
  • 0 y middota = 0.

Generalizando ejemplos bien conocidos de vectores (velocidad y fuerza) en física e ingeniería, el matemático introdujo un objeto abstracto llamado vectores. Entonces, los vectores son objetos que se pueden sumar / restar y multiplicar por escalares. Se supone que estas dos operaciones (suma interna y multiplicación escalar externa) satisfacen las condiciones naturales descritas anteriormente. Se dice que un conjunto de vectores forma un espacio vectorial (también llamado espacio lineal), si algún vector de él se puede sumar / restar y multiplicar por escalares, sujeto a las propiedades regulares de suma y multiplicación. El viento, por ejemplo, tiene una velocidad y una dirección y, por lo tanto, se expresa convenientemente como un vector. Lo mismo puede decirse de los objetos en movimiento, el momento, las fuerzas, los campos electromagnéticos y el peso. (El peso es la fuerza producida por la aceleración de la gravedad que actúa sobre una masa).

Lo primero que debemos saber es cómo definir un vector para que quede claro para todos. Hoy más que nunca, las tecnologías de la información son una parte integral de nuestra vida cotidiana. Por eso necesitamos una herramienta para modelar vectores en computadoras. Una de las formas habituales de hacer esto es introducir un sistema de coordenadas, ya sea cartesiano o cualquier otro. En ingeniería, tradicionalmente usamos el sistema de coordenadas cartesianas que especifica cualquier punto con una cadena de dígitos. Cada coordenada mide una distancia desde un punto a sus proyecciones perpendiculares sobre los hiperplanos mutuamente perpendiculares.

Comencemos con nuestro conocido espacio tridimensional en el que el sistema de coordenadas cartesianas consiste en un triplete ordenado de líneas (los ejes) que pasan por un punto común (el origen), y son perpendiculares por pares; también incluye una orientación para cada uno. eje y una sola unidad de longitud para los tres ejes. A cada punto se le asignan distancias a tres planos mutuamente perpendiculares, llamados planos de coordenadas (de modo que el par X y y ejes definen el z-avión, X y z ejes definen el y-plano, etc.). La construcción inversa determina el punto dadas sus tres coordenadas. Cada par de ejes define un plano de coordenadas. Estos planos dividen el espacio en ocho trihedros, llamados octantes. Las coordenadas generalmente se escriben como tres números (o fórmulas algebraicas) entre paréntesis y separadas por comas, como en (-2.1,0.5,7). Por lo tanto, el origen tiene coordenadas (0,0,0) y los puntos unitarios en los tres ejes son (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1).

No existen nombres universales para las coordenadas en los tres ejes. Sin embargo, el eje horizontal se llama tradicionalmente abscisa tomado del nuevo latín (abreviatura de abscisa lineal, literalmente, "línea de corte"), y generalmente denotado por X. El siguiente eje se llama ordenada, que proviene del nuevo latín (linea), literalmente, línea aplicada de manera ordenada, generalmente la etiquetaremos por y. El último eje se llama aplicar y generalmente denotado por z. En consecuencia, los vectores unitarios se denotan por I (abscisa), j (ordenada), y k (aplicar), llamado la base. Una vez que se configuran las coordenadas rectangulares, cualquier vector se puede expandir a través de estos vectores unitarios. En el caso tridimensional, cada vector se puede expandir como (< bf v> = v_1 < bf i> + v_2 < bf j> + v_3 < bf k>, ) donde (v_1, v_2, v_3 ) se llaman las coordenadas del vector v. Las coordenadas siempre se especifican en relación con una base ordenada. Cuando se ha elegido una base, un vector se puede expandir con respecto a los vectores base y se puede identificar con un orden norte-tupla de norte números o coordenadas reales (o complejos). El conjunto de todos los números ordenados reales (o complejos) se denota por & reals n (o & Copf n). En general, un vector en un espacio dimensional infinito se identifica mediante una secuencia infinita de números. Los vectores de coordenadas de dimensión finita se pueden representar mediante un vector de columna (que suele ser el caso) o un vector de fila. Denotaremos los vectores de columna con letras minúsculas en negrita y los vectores de fila con letras minúsculas con una flecha superpuesta. Debido a la forma en que Wolfram Language usa listas para representar vectores, Mathematica does not distinguish column vectors from row vectors, unless the user specifies which one is defined. One can define vectors using Mathematica commands: List, Table, Array, or curly brackets.

In mathematics and applications, it is a custom to distinguish column vectors

The concept of a vector space (also a linear space) has been defined abstractly in mathematics. Historically, the first ideas leading to vector spaces can be traced back as far as the 17th century however, the idea crystallized with the work of the German mathematician Hermann Günther Grassmann (1809--1877), who published a paper in 1862. A vector space is a collection of objects called vectors, which may be added together and multiplied ("scaled") by numbers, called scalars, the result producing more vectors in this collection. Scalars are often taken to be real numbers, but there are also vector spaces with scalar multiplication by complex numbers, rational numbers, or generally scalars in any field. The operations of vector addition and scalar multiplication must satisfy certain requirements, called axioms (they can be found on the web page).


Vectors in Mathematica are built, manipulated and accessed similarly to matrices (see next section). However, as simple lists (“one-dimensional,” not “two-dimensional” such as matrices that look more tabular), they are easier to construct and manipulate. They will be enclosed in brackets ( [,] ) which allows us to distinguish a vector from a matrix with just one row, if we look carefully. The number of “slots” in a vector is not referred to in Mathematica as rows or columns, but rather by “size.”

In Mathematica, defining vectors and matrices is done by typing every row in curly brackets:

A column vector can be constructed from curly brackets shown here < >. A comma delineates each row. The output, however, may not look like a column vector. To fix this you must call //MatrixForm on your variable representation of a row vector.

Constructing a row vector is very similar to constructing a column vector, except two sets of curly brackets are used. Again the output does look like a row vector and so //MatrixForm must be called to put the row vector in the format that you more familiar with:


1.1: Sets of Real Numbers and the Cartesian Coordinate Plane - Mathematics

A number line can be used to represent a number or solution of an equation that only has one variable. It is sufficient to describe the solution of one-valued equations because they all are single-dimensional. But as the number of variables in an equation increases, it is not enough. For example when the number of variables in an equation becomes two, there will be pair of numbers as a solution. This is why the concept of the number line has to be extended. There should be 2 number lines now, but how will we show our solution on it?

So, instead of a line, let’s define a plane to plot the solutions now.

Cartesian Plane, Coordinates, and Lines

Cartesian Plane:

A Cartesian plane is defined by two perpendicular number lines, X and Y. It extends to infinity in both directions. It has a centre usually denoted by O.

The horizontal line is called X-axis while the vertical line is called Y-axis.

Cartesian Coordinates:

Cartesian Coordinates are used to mark the plane about a point. How far up/down or how far left/right it is.

This is called an “ordered pair” (a pair of numbers in a special order) and usually, the numbers are separated by a comma, and parentheses are put around the whole thing like (5,4).

Abscissa and Ordinate:

Question 1: How much is the distance of the point A (5,4) from the X- Axis?

Point A (5,4) on the XY Plane is lying in such a way that it is 5 Units away from the Y Axis and 4 Units away from the X Axis.

Therefore, Point A (5,4) is 4 Units of distance away from X Axis.

Question 2: How much the distance of the point B (54, 36) from Y-Axis?

Point B (54,36) is lying on the XY Plane. It is clear that point B is 54 units away from the Y Axis and 36 Units away from the X Axis.

Hence, Point B (54, 36) is 54 Units away from Y axis.

Linear Equation in two Variables

A linear equation in two variables can be expressed to be,


where A, B are not equal to zero.

These equations have more than one solution.

x = 2 and y = 2 satisfy this equation. Similarly, (0,3) is also a solution. There are infinitely many solutions like this. All the points satisfying this equation lie on a straight line. It means that the equations in two variables represent a line on the Cartesian plane.

All the points satisfying the equation x + 2y = 6 form a line.

A linear equation in two variables can also be written in slope-intercept form to make it easier to plot and interpret on the graph. The point where a line intersects the y-axis is called intercept. It can be found by putting x = 0 and finding out the “y” through the single variable equation. The angle made by line with the positive x-axis is called the slope.

Slope Intercept Form

Usually, a linear equation in two variables is written in this form as this is the easiest way to find the slope of the line representing the equation while drawing the graph for it.

The slope-intercept form is:

where ‘m’ is the slope of the line and ‘C’ is the intercept(point of intersection of the line with the y-axis).

Note: If the intercept ‘C’ is zero, then the equation of the lines becomes y = mx and it passes through origin.


Question: Plot the line 3x + 2y = 6 on graph.

This equation must be reduced into the slope intercept form so that we can draw this on graph.

3x + 2y = 6

2y = 6 – 3x

⇒ y= 3 – (3/2)x

⇒ y = -(3/2)x + 3

Now this equation can be plotted on graph.

Here, intercept ‘c’ = 3 and slope ‘m’ = -(3/2)

Point Slope Form:

It is used to describe the line when slope ‘m’ and one point of the line is available to us.

Intercept Form:

Used to describe the line when both x and y-axis intercept are available.

Two Point Form:

It is used when two points satisfying the equation of lines are available.

Equations of lines parallel to the x-axis or y-axis

To find the equations of the lines parallel to the x-axis or y-axis.

Let’s say there is a line XY that is parallel to the x-axis and is at a distance of 𔄝” from the x-axis. This means that all the points of the line are 5 units away from the x-axis. Thus, all the points on the line XY satisfy one condition i.e they are all 5 units away from the x-axis.

Let (x, y) be any point on the line XY, then it should satisfy, y = 5.

So, all the lines which are parallel to the x-axis will have a form of y = c where ‘c’ is the distance of the line from the x-axis.

Similarly, all the lines which are parallel to the y-axis will have a form of x = c, where ‘c’ is the distance of the line from the y-axis.

System of Linear Equations

A system of linear equations is formed when two or more linear equations work together. Since each equation represents a line on the Cartesian plane. Geometrically, finding out the solution to the system means finding out a point that satisfies both the lines i.e finding out the intersection of the lines.

Por ejemplo:

2x + y = 5

-x + y = 2

Now, one might think of finding some values of x and y such that both of these equations are satisfied. Such values may or may not exist. But if they exist, they are called solution of this system of linear equations.

Solving system of linear equations

Unique Solution: This kind of solution exists only when lines intersect at some point. There is only one solution and this only possible when the slopes of the two lines are different i.e m1 ≠ m2.

No Solution: This kind of solution exists only when lines are parallel. If they are parallel, they won’t have any point of intersection between them. So, for this case, m1 = m2.

Infinite Solution: When two lines coincide on each other in this case since the lines coincide, they are infinitely many common points that satisfy both the lines. So infinite solutions exist.

(From left to right) Unique Solution, No Solution, y Infinitely many Solutions.

Question 1: Find the intersection between two lines given below:

Such a system is solved using the substitution method.

x = 3 – y



Putting this value in the equation 1,

3(3 – y) + 4y = 12

9 – 3y + 4y = 12

y = 3

So, x = 0,

Thus, the solution is (0,3).

Question 2: Find the solution of the two lines.

Taking 3 common from the second Equations,

It will become: 3 (x + y) = 3 (5)

x + y = 5

This Equation is exactly equal to the first equation. Hence, we can conclude these two lines are Parallel with each other.

Therefore, the above mentioned system of equations has No Solution.


1.1: Sets of Real Numbers and the Cartesian Coordinate Plane - Mathematics

In a plane, we know that we need two mutually perpendicular lines to locate the position of a point. These lines are called coordinate axes of the plane and the plane are usually called the Cartesian plane. But in real life, we do not have such a plane. In real life, to locate objects we need some extra information that as height. So now we need three things to locate a point in real life — x, y, and its height which is usually denoted by z. These are called coordinates with respect to three-dimensional space.

Coordinate Axes and Coordinate Planes

In the figure, we can see three planes intersecting each other. These planes are mutually perpendicular to each other. Lines XOX’, Y’OY and Z’OZ represent the intersection of all the planes with each other. These lines are called the x-axis, y-axis, and z-axis respectively, and they make the 3D rectangular coordinate system.

Coordinate Planes

The planes XOY, YOZ, and ZOX are called XY-plane, YZ-plane, and ZX-plane respectively. The intersection of all the planes is called the origin. These planes divide the 3-D space into 8 octants.

Coordinates of a Point in Space

Any point in 3D space is assumed to have three coordinates denoting the values of x, y, and z coordinates. In the figure below, we are given a point A(x, y, z) located in space. We drop a perpendicular from A to the x-y plane to the point M. The length of AM gives us the value of coordinate z. In the figure, LM and OL give us the value of the y and x coordinate.

Thus, to any point that is present in the space, there exists an ordered triplet (x, y, z) which gives the position of that point in the space.

Coordinates of the origin are (0, 0, 0). A point on x-axis is of the form (x, 0, 0), same goes for the points on y-axis and z-axis.

Distance between Two Points

Let’s say we have two points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2) in the 3-D space. The formula for calculating the distance between two points in 3-D space is similar to Euclid’s formula for the distance we have studied for 2-D space. This formula is a slight modification over the original formula that was given by Euclid.

The distance between two points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2) is given by,

Plane

A plane is a 2-dimensional flat surface that extended infinitely far. It is a 3-dimensional analogous to a line 2-dimensions and a point in a one-dimensional space. It is hard to draw a plane, if we are writing something on paper, it is also a plane. We are writing on a plane. The figure below shows a plane in 3-d space.

Let’s say we have a plane, it intersects the x-axis at “a”, y-axis at “b” and the z-axis at “c”. Its equation is given by,

This is called intercept form of the equation of plane.

Problemas de muestra

Question 1: Let’s say we have a point on the x-axis, what is its y-coordinate and z-coordinate?

In the figure, the point lies on x-axis. It can be noticed that it’s coordinates for y and z are equal to zero.

Question 2: Fill in the blanks:

  1. X and Y axis together make _____ plane.
  2. All the coordinate planes divide the 3d space into _______ octants.

1. X and Y axis together make XY plane.

2. All the coordinates planes divide the 3-D space into eight octants.

Question 3: Calculate the distance between (0,0,0) and (5,4,3).

For the points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2)

Here, (x1, y1, z1) = (0,0,0) and (x2, y2, z2) = (5,,4,3). Let the distance be “l”

l =

=



=

=

= 5√2

Question 4: Calculate the distance between (0,0,0) and (1,2,3).

For the points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2)

Here, (x1, y1, z1) = (0,0,0) and (x2, y2, z2) = (1,2,3). Let the distance be “l”

l =

=



=

=

Question 5: Calculate the distance between (1,1,1) and (2,4,3).

For the points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2)

Here, (x1, y1, z1) = (1,1,1) and (x2, y2, z2) = (2,4,3). Let the distance be “l”

l =

=

=



=

Question 6: In the figure given below, find the equation of the plane.

We know the intercept form of an equation of a plane. Let’s say we have a plane, it intersects the x-axis at “a”, y-axis at “b” and the z-axis at “c”. It’s equation is given by,

Notice in the figure, a = 5, b = 4 and c = 3

So, the equation of the plane becomes,

=

=


1.1: Sets of Real Numbers and the Cartesian Coordinate Plane - Mathematics

  • The first number, X, is the horizontal position of the point from the origin. It is called the x-coordinate.
  • The second number, y, is the vertical position of the point from the origin. It is called the y-coordinate.

How to plot a value in a cartesian plane?

  • Quadrants I(+ve, +ve): Here both x, y values are positive i.e (x > 0, y > 0)
  • Quadrants II(-ve, +ve): Here x is negative value and y is positive value i.e (x < 0, y > 0)
  • Quadrants III(-ve, -ve): Here both x, y values are negative i.e (x < 0, y < 0)
  • Quadrants IV(+ve, -ve): Here x is positive value and y is negative value i.e (x > 0, y < 0)
  • Origin: The value where both the X-axis and Y-axis values are 0. This can be represented as O (0, 0) i.e Origin(0, 0).

Ejemplos de

After considering the value in X-axis and Y-axis plot them into the plane

Plot 2,3 in the plane where (2 > 0, 3 > 0). Thus they are in 1st quadrant. The plot is as the following:

Plot 2, -3 in the plane where (2 > 0, -3 < 0). Thus They are placed in the 4th quadrant. The plot is as the following:

Plot 2, 3 in the plane where (-2 < 0, -3 < 0). Thus they are in 3rd quadrant. The plot is as the following:

Plot -2, 3 in the plane where (-2 < 0, 3 > 0). Thus they are in the 2nd quadrant. The plot is as the following:

Plot 4, -4 in the plane where (4 > 0, -4 < 0). Thus they are in the 4th quadrant. The plot is as the following:


Lesson Coordinates and the Cartesian Plane

Units serve as guides to a particular content or subject area. Nested under units are lessons (in purple) and hands-on activities (in blue).

Note that not all lessons and activities will exist under a unit, and instead may exist as "standalone" curriculum.

Boletín TE

Students learn about the Cartesian plane

Resumen

Conexión de ingeniería

Many important engineering relationships are easily understood in the form of graphs. Graphing is essential to understanding the mathematics involved in all types of engineering. For example, civil engineers must understand graphing to be able to determine certain areas of stresses and strain within the building plans for bridges and other structures. In journal questions 1-5 (in the Assessment section), students consider the importance of creating visual representations of data, as well as possible data sources.

Objetivos de aprendizaje

After this lesson, students should be able to:

  • Describe the Cartesian plane and correctly label its parts.
  • Explain the source of the name "Cartesian."
  • Describe the naming convention for coordinates in the form (x, y).
  • Explain what a function is and how to tell if a set of coordinates is a function.
  • Determine the domain and range of a set of points.
  • Plot a set of data points.
  • Explain how understanding graphing will help with solving the challenge.

Estándares educativos

Cada EnseñarIngeniería la lección o actividad está correlacionada con uno o más estándares educativos de ciencia, tecnología, ingeniería o matemáticas (STEM) de K-12.

Todos los 100,000+ estándares STEM K-12 cubiertos en EnseñarIngeniería son recolectados, mantenidos y empaquetados por el Red de estándares de logros (ASN), un proyecto de D2L (www.achievementstandards.org).

En la ASN, los estándares están estructurados jerárquicamente: primero por fuente e.g., por estado dentro de la fuente por tipo e.g., ciencia o matemáticas dentro del tipo por subtipo, luego por grado, etc.

Estándares Estatales Básicos Comunes - Matemáticas
  • Use a pair of perpendicular number lines, called axes, to define a coordinate system, with the intersection of the lines (the origin) arranged to coincide with the 0 on each line and a given point in the plane located by using an ordered pair of numbers, called its coordinates. Understand that the first number indicates how far to travel from the origin in the direction of one axis, and the second number indicates how far to travel in the direction of the second axis, with the convention that the names of the two axes and the coordinates correspond (e.g., x-axis and x-coordinate, y-axis and y-coordinate). (Grade 5) More Details

¿Estás de acuerdo con esta alineación? ¡Gracias por tus comentarios!

¿Estás de acuerdo con esta alineación? ¡Gracias por tus comentarios!

¿Estás de acuerdo con esta alineación? ¡Gracias por tus comentarios!

¿Estás de acuerdo con esta alineación? ¡Gracias por tus comentarios!

¿Estás de acuerdo con esta alineación? ¡Gracias por tus comentarios!

¿Estás de acuerdo con esta alineación? ¡Gracias por tus comentarios!

¿Estás de acuerdo con esta alineación? ¡Gracias por tus comentarios!

Asociación Internacional de Educadores de Tecnología e Ingeniería - Tecnología

¿Estás de acuerdo con esta alineación? ¡Gracias por tus comentarios!

¿Estás de acuerdo con esta alineación? ¡Gracias por tus comentarios!

Hojas de trabajo y archivos adjuntos

More Curriculum Like This

Students explore the definition of a function by playing an interactive game called "Club Function." Through this activity students come to understand that one x-coordinate can only have one corresponding y-coordinate while y-coordinates can have many x-coordinates that correspond to it.

Students learn about the first attempts at machine learning and specifically about the perceptron model—a simplified model of a biological neuron.

Students learn about linear programming (also called linear optimization) to solve engineering design problems. They apply this information to solve two practice engineering design problems related to optimizing materials and cost by graphing inequalities, determining coordinates and equations from .

Conocimientos previos

Familiarity with the coordinate plane, coordinates and equations are helpful but not required.

Introducción / Motivación

(In advance, make copies of the Work It Out Worksheet.Then prepare to shows students the 11-slide Linear Functions Presentation PowerPoint® file, which provides notes for them. The presentation is composed of three sections, delineated by three different slide background colors [blue, gray, gold]. The slides are "animated," so click the mouse [or space bar] to make the next items appear. Show slides 1-4 with the Introduction/Motivation section. Show slides 4-8 when presenting the Lesson Background information. Use slides 9-11 in conjunction with the associated activity, Club Function they are included in this lesson presentation as a teacher preview of the activity.)

(While showing slides 1-4, present the following information to students.)

Have you ever liked two things so much that you wanted to combine them to make one amazing thing? (Listen to student comments.) For example, think about peanuts and chocolate chips. Combined together, they can make peanut butter cookies with chocolate chips on top! Or what about the game of Slamball? It combines the fun of jumping on a trampoline with the rules of basketball. Both great ideas, and there are many more.

One interesting combination has to do with a French man who really liked math back in the 1600s. His name was Rene Descartes, and he liked both algebra and geometry, but back then people did not think those two topics were very much related. Decartes started looking for ways to combine them so that they could be used together for important applications. He came up with this neat way of taking numbers that belong in the realm of algebra and plotting them visually onto a geometric coordinate plane to show how they are related. This coordinate plane became known as the "Cartesian plane," named after him.

Several parts of the coordinate plane are important to understand before we can learn how to use it. In today's lesson, you will learn about it and how it is used.

(Hand out the worksheets and continue on to present students with the Lesson Background content.)

Lesson Background and Concepts for Teachers

While still showing slide 4 of the attached PPT file, cover the following information with students, as they make notes on the worksheet:

  • Take students through labeling the axes with "x" and "y," as well as adding arrows to the ends of each axis to show it goes on forever.
  • Talk about the Cartesian plane quadrants, having students label them "I, II, III and IV."
  • Point out which directions are positive (right on the x-axis and up on the y-axis) and which directions are negative (left on the x-axis and down on the y-axis), and have students mark out scales on each axis.
  • Point out the origin, the point (0,0).

While still showing slide 4, begin talking about coordinates: What does (0,0) mean? Students may say moving to 0 units to the left or right on the x-axis and moving 0 units up or down on the y-axis. Prompt them further to tell you which is x and which is y. Then tell them that we can generally write the format as (x,y), and have them fill that in on their worksheets.

Go through the process of plotting a couple of points with them. Depending on their level of familiarity with the topic, little prompting may be necessary. When they understand the concept, have them practice plotting the coordinates on the bottom of their worksheets. Then review the answers as a class and clarify any misconceptions. (This is a good stopping place for shorter class periods, as students can finish plotting points as homework.)

While showing slides 5 – 8, teach students the definition of a function. Use the slides to define relations, functions, domain, range, and linear functions. Have students do the practice problems on slide 8 and discuss their answers as a class.

For homework, assign students to complete the worksheet (if not done in class) and the Lesson 2 Practice Sheet Homework on the coordinate plane, function, domain and range.

Note: Slides 9 – 11 explain the Club Function game activity rules (only included here for teacher preview). Refer to the associated Club Function activity for detail and examples.

Associated Activities

Assessment

Practice: During the lesson (or as homework), have students complete the Work It Out Worksheet to practice plotting some coordinates on their own.

Journal Questions: At lesson end, have students create in their journals small graphs of the data points from the grand challenge data set. Graph the first 10 points. Create the appropriate scale and approximate the location of each point. Then have them write answers to the following questions.

  1. Do you see a trend forming?
  2. Draw a line approximating this trend.
  3. What did this graph tell you that you did not already know from looking at the data?
  4. Why is graphing a set of data important?
  5. Where do you think this data could have come from?

Homework: Assign students to complete the Lesson 2 Practice Sheet Homework on coordinate plane, functions, domain and range to give them practice determining whether a group of points is a function, and determining the domain and range of sets of points.

Copyright

Colaboradores

Supporting Program

Acknowledgements

The contents of this digital library curriculum were developed under National Science Foundation RET grant nos. 0338092 and 0742871. However, these contents do not necessarily represent the policies of the NSF, and you should not assume endorsement by the federal government.


Solved Examples on Cartesian Coordinates

William wants to throw a ball into a bucket which is placed on the coordinates (3, 10).

If William is standing on the coordinates (3, 5), how far will he have to throw the ball?

To calculate how far William will have to throw the ball, we need to calculate the distance between William and the bucket.

The x-coordinate of William's location and the bucket is 3

Thus, they are on a line parallel to the y-axis.

Hence, the distance between William and the bucket can be calculated as the difference of the y-coordinates of both the points.

Thus, William has to throw the ball (5) units away
Ejemplo 2

If point P ((3, 4)) and point Q ((5, 7-a)) lie on a line parallel to the x-axis, then what is the value of (a)?

We know that both the points P and Q lie on a line parallel to the x-axis, thus, their y-coordinates are the same.

( herefore) (a=3)
Ejemplo 3

Jacob and Ethan want to make a frame using the coordinates ((1, 2), (3, 2), (3, 0), (1, 0)).

Based on the coordinates, Jacob says that the frame will be a square while Ethan says that the frame will be a parallelogram.

Can you identify who is right?

We need to draw the above coordinates on a cartesian plane to check the shape they will form.

We can clearly see that the figure thus obtained is a square as all the four sides are equal and all the four interior angles are (90^).

( herefore) Jacob is right.
Ejemplo 4

The cartesian coordinate plane below represents a city map with 5 different locations.

Find the cartesian coordinates for each of these locations.

A - School B - Hospital C - Cinema hall D - Police department E - Zoo

School is situated at (1, 6)

Hospital is Situated at (3, 3)

Cinema Hall is situated at (-5, -4)

Police department is situated at (-2, 2)

If the four quadrants represent the following 4 states of the US:

1st Quadrant California
2nd Quadrant Florida
3rd Quadrant Texas
4th Quadrant Arizona

Can you identify in which state these points lie?
A (4, -2)
B (-3, -5)
C (1, 2)
D (-7, 1)
E (-2, -6)

Point C lies in California

In which quadrants do the points P, Q, R and S lie in?

If any of the points lie on the axes or if any of the coordinate value is zero, this is how we can represent those points:

Point P lies on the positive y-axis

Point Q lies on the positive x-axis

Point R lies on the negative y-axis

Point S lies on the negative x-axis


René Descartes (born March 31, 1596, La Haye, Touraine, France&mdashdied February 11, 1650, Stockholm, Sweden), a French mathematician, scientist, and philosopher.

René Descartes invented analytical geometry and introduced skepticism as an essential part of the scientific method. He is regarded as one of the greatest philosophers in history. His analytical geometry was a tremendous conceptual breakthrough, linking the previously separate fields of geometry and algebra.

René Descartes was a mathematician, philosopher, and scientist. He developed rules for deductive reasoning, developed a system for using letters as mathematical variables, and discovered how to plot points on a Cartesian plane.


Hot Topics

NC OCCUPATIONAL PREPARATION COURSES

The North Carolina Department of Public Instruction and the State Board of Education approved the new Employment Preparation courses. These new courses are effective for the 2021-2022 school year.

Questions and comments may be submitted to: [email protected]

NC EXTENDED CONTENT STANDARDS FOR ECONOMICS AND PERSONAL FINANCE

The North Carolina Department of Public Instruction and the State Board of Education approved the new extended content standards for Economic and Personal Finance for students with significant cognitive disabilities. The Extended Standards for Economic and Personal Finance in Social Studies are effective for the 2021-2022 school year.


Ver el vídeo: Conjunto de Números Reales (Octubre 2021).