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12.4E: Ejercicios para la sección 12.4 - Matemáticas


Determinación de la longitud del arco

En las preguntas 1 a 6, encuentre la longitud del arco de la curva en el intervalo dado.

1) ( vecs r (t) = t ^ 2 , hat { mathbf {i}} + (2t ^ 2 + 1) , hat { mathbf {j}}, quad 1≤t ≤3 )

Respuesta:
(8 sqrt {5} ) unidades

2) ( vecs r (t) = t ^ 2 , hat { mathbf {i}} + 14t , hat { mathbf {j}}, quad 0≤t≤7 ). Esta parte del gráfico se muestra aquí:

3) ( vecs r (t) = ⟨t ^ 2 + 1,4t ^ 3 + 3⟩, quad −1≤t≤0 )

Respuesta:
( frac {1} {54} (37 ^ {3/2} −1) ) unidades

4) ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩, quad 0≤t≤π ). Esta parte del gráfico se muestra aquí:

5) ( vecs r (t) = ⟨e ^ {- t cos t}, e ^ {- t sin t}⟩ ) en el intervalo ([0, frac {π} {2} ] ). Aquí está la parte del gráfico en el intervalo indicado:

6)

7) Encuentra la longitud de una vuelta de la hélice dada por ( vecs r (t) = frac {1} {2} cos t , hat { mathbf {i}} + frac {1} {2} sin t , hat { mathbf {j}} + sqrt { frac {3} {4}} t , hat { mathbf {k}} ).

Respuesta:
Unidades de longitud (= 2π )

8) Encuentra la longitud del arco de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = - t , hat { mathbf {i}} + 4t , hat { mathbf {j}} + 3t , hat { mathbf {k}} ) sobre ([0,1] ).

9) Una partícula viaja en un círculo con la ecuación de movimiento ( vecs r (t) = 3 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf { j}} +0 , hat { mathbf {k}} ). Calcula la distancia recorrida alrededor del círculo por la partícula.

Respuesta:
(6π ) unidades

10) Configura una integral para encontrar la circunferencia de la elipse con la ecuación ( vecs r (t) = cos t , hat { mathbf {i}} + 2 sin t , hat { mathbf {j}} + 0 , hat { mathbf {k}} ).

11) Encuentra la longitud de la curva ( vecs r (t) = ⟨ sqrt {2} t, e ^ t, e ^ {- t}⟩ ) sobre el intervalo (0≤t≤1 ) . El gráfico se muestra aquí:

Respuesta:
( left (e− frac {1} {e} right) ) unidades

12) Encuentra la longitud de la curva ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩ ) para (t∈ [−10,10] ).

Vectores unitarios tangentes y vectores unitarios normales

13) La función de posición de una partícula es ( vecs r (t) = a cos (ωt) , hat { mathbf {i}} + b sin (ωt) , hat { mathbf { j}} ). Encuentre el vector unitario tangente y el vector normal unitario en (t = 0 ).

Solución:
( vecs r '(t) = -aω sin (ωt) , hat { mathbf {i}} + bω cos (ωt) , hat { mathbf {j}} )
( | vecs r '(t) | = sqrt {a ^ 2 ω ^ 2 sin ^ 2 (ωt) + b ^ 2ω ^ 2 cos ^ 2 (ωt)} )
( vecs T (t) = dfrac { vecs r '(t)} { | vecs r' (t) |} = dfrac {-aω sin (ωt) , hat { mathbf {i}} + bω cos (ωt) , hat { mathbf {j}}} { sqrt {a ^ 2 ω ^ 2 sin ^ 2 (ωt) + b ^ 2ω ^ 2 cos ^ 2 (ωt)}} )
( vecs T (0) = dfrac {bω , hat { mathbf {j}}} { sqrt {(bω) ^ 2}} = dfrac {bω , hat { mathbf {j }}} {| bω |} )
Si (bω> 0, ; vecs T (0) = hat { mathbf {j}}, ) y si (bω <0, ; T (0) = - hat { mathbf { j}} )
Respuesta:
Si (bω> 0, ; vecs T (0) = hat { mathbf {j}}, ) y si (bω <0, ; vecs T (0) = - hat { mathbf {j}} )
Si (a> 0, ; vecs N (0) = - hat { mathbf {i}}, ) y si (a <0, ; vecs N (0) = hat { mathbf {i}} )

14) Dado ( vecs r (t) = a cos (ωt) , hat { mathbf {i}} + b sin (ωt) , hat { mathbf {j}} ), encuentra el vector binormal ( vecs B (0) ).

15) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), determina el vector unitario tangente ( vecs T (t) ).

Respuesta:
( begin {align *} vecs T (t) & = ⟨ frac {2} { sqrt {6}}, , frac { cos t− sin t} { sqrt {6}} , , frac { cos t + sin t} { sqrt {6}}⟩ [4pt]
& = ⟨ Frac { sqrt {6}} {3}, , frac { sqrt {6}} {6} ( cos t− sin t), , frac { sqrt {6} } {6} ( cos t + sin t)⟩ end {align *} )

16) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), encuentre el vector tangente unitario ( vecs T (t) ) evaluado en (t = 0 ), ( vecs T (0) ).

17) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), determina el vector normal unitario ( vecs N (t) ).

Respuesta:
( vecs N (t) = ⟨0, , - frac { sqrt {2}} {2} ( sin t + cos t), , frac { sqrt {2}} {2 } ( cos t- sin t)⟩ )

18) Dado ( vecs r (t) = ⟨2e ^ t, e ^ t cos t, e ^ t sin t⟩ ), encuentre el vector normal unitario ( vecs N (t) ) evaluado en (t = 0 ), ( vecs N (0) ).

Respuesta:
( vecs N (0) = ⟨0, ; - frac { sqrt {2}} {2}, ; frac { sqrt {2}} {2}⟩ )

19) Dado ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 2 , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k }} ), encuentre el vector unitario tangente ( vecs T (t) ). El gráfico se muestra aquí:

Respuesta:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {4t ^ 2 + 2}} <1,2t, 1> )

20) Encuentre el vector tangente unitario ( vecs T (t) ) y el vector normal unitario ( vecs N (t) ) en (t = 0 ) para la curva plana ( vecs r (t ) = ⟨T ^ 3−4t, 5t ^ 2−2⟩ ). El gráfico se muestra aquí:

21) Encuentra el vector tangente unitario ( vecs T (t) ) para ( vecs r (t) = 3t , hat { mathbf {i}} + 5t ^ 2 , hat { mathbf {j}} + 2t , hat { mathbf {k}} ).

Respuesta:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {100t ^ 2 + 13}} (3 , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j} } +2 , hat { mathbf {k}}) )

22) Encuentra el vector normal principal a la curva ( vecs r (t) = ⟨6 cos t, 6 sin t⟩ ) en el punto determinado por (t = frac {π} {3} ).

23) Encuentra ( vecs T (t) ) para la curva ( vecs r (t) = (t ^ 3−4t) , hat { mathbf {i}} + (5t ^ 2−2 ) , hat { mathbf {j}} ).

Respuesta:
( vecs T (t) = frac {1} { sqrt {9t ^ 4 + 76t ^ 2 + 16}} ([3t ^ 2−4] , hat { mathbf {i}} + 10t , hat { mathbf {j}}) )

24) Encuentra ( vecs N (t) ) para la curva ( vecs r (t) = (t ^ 3−4t) , hat { mathbf {i}} + (5t ^ 2−2 ) , hat { mathbf {j}} ).

25) Encuentra el vector tangente unitario ( vecs T (t) ) para ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, , 5t, , 2 cos t⟩ ).

Respuesta:
( vecs T (t) = ⟨ frac {2 sqrt {29}} {29} cos t, , frac {5 sqrt {29}} {29}, , - frac {2 sqrt {29}} {29} sin t⟩ )

26) Encuentra el vector normal unitario ( vecs N (t) ) para ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, , 5t, , 2 cos t⟩ ).

Respuesta:
( vecs N (t) = ⟨− sin t, 0, - cos t⟩ )

Parametrizaciones de la longitud del arco

27) Encuentra la función de longitud de arco ( vecs s (t) ) para el segmento de línea dado por ( vecs r (t) = ⟨3−3t, , 4t⟩ ). Luego escriba la parametrización de la longitud del arco de (r ) con (s ) como parámetro.

Respuesta:
Función de longitud de arco: (s (t) = 5t ); La parametrización de la longitud del arco de ( vecs r (t) ): ( vecs r (s) = (3− frac {3s} {5}) , hat { mathbf {i}} + frac {4s} {5} , hat { mathbf {j}} )

28) Parametrizar la hélice ( vecs r (t) = cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ) usando el parámetro de longitud de arco (s ), de (t = 0 ).

29) Parametrice la curva usando el parámetro de longitud de arco (s ), en el punto en el que (t = 0 ) para ( vecs r (t) = e ^ t sin t , hat { mathbf {i}} + e ^ t cos t , hat { mathbf {j}} )

Respuesta:
( vecs r (s) = (1+ frac {s} { sqrt {2}}) sin ( ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})) , sombrero { mathbf {i}} + (1+ frac {s} { sqrt {2}}) cos [ ln (1+ frac {s} { sqrt {2}})] , sombrero { mathbf {j}} )

Curvatura y círculo osculante

30) Encuentra la curvatura de la curva ( vecs r (t) = 5 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} ) en (t = π / 3 ). (Nota: El gráfico es una elipse).

31) Encuentre la coordenada (x ) - en la que la curvatura de la curva (y = 1 / x ) es un valor máximo.

Respuesta:
El valor máximo de la curvatura ocurre en (x = 1 ).

32) Encuentra la curvatura de la curva ( vecs r (t) = 5 cos t , hat { mathbf {i}} + 5 sin t , hat { mathbf {j}} ) . ¿Depende la curvatura del parámetro (t )?

33) Encuentra la curvatura (κ ) para la curva (y = x− frac {1} {4} x ^ 2 ) en el punto (x = 2 ).

Respuesta:
( frac {1} {2} )

34) Encuentra la curvatura (κ ) de la curva (y = frac {1} {3} x ^ 3 ) en el punto (x = 1 ).

35) Encuentra la curvatura (κ ) de la curva ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + 6t ^ 2 , hat { mathbf {j}} + 4t , hat { mathbf {k}} ). El gráfico se muestra aquí:

Respuesta:
(κ≈ dfrac {49.477} {(17 + 144t ^ 2) ^ {3/2}} )

36) Encuentra la curvatura de ( vecs r (t) = ⟨2 sin t, 5t, 2 cos t⟩ ).

37) Encuentra la curvatura de ( vecs r (t) = sqrt {2} t , hat { mathbf {i}} + e ^ t , hat { mathbf {j}} + e ^ {−t} , hat { mathbf {k}} ) en el punto (P (0,1,1) ).

Respuesta:
( frac {1} {2 sqrt {2}} )

38) ¿En qué punto la curva (y = e ^ x ) tiene una curvatura máxima?

39) ¿Qué sucede con la curvatura como (x → ∞ ) para la curva (y = e ^ x )?

Respuesta:
La curvatura se acerca a cero.

40) Encuentre el punto de máxima curvatura en la curva (y = ln x ).

41) Encuentre las ecuaciones del plano normal y el plano osculador de la curva ( vecs r (t) = ⟨2 sin (3t), t, 2 cos (3t)⟩ ) en el punto ((0 , π, −2) ).

Respuesta:
(y = 6x + π ) y (x + 6y = 6π )

42) Encuentra las ecuaciones de los círculos osculantes de la elipse (4y ^ 2 + 9x ^ 2 = 36 ) en los puntos ((2,0) ) y ((0,3) ).

43) Encuentra la ecuación para el plano osculador en el punto (t = π / 4 ) en la curva ( vecs r (t) = cos (2t) , hat { mathbf {i}} + sin (2t) , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ).

Respuesta:
(x + 2z = frac {π} {2} )

44) Encuentra el radio de curvatura de (6y = x ^ 3 ) en el punto ((2, frac {4} {3}). )

45) Encuentra la curvatura en cada punto ((x, y) ) de la hipérbola ( vecs r (t) = ⟨a cosh (t), b sinh (t)⟩ ).

Respuesta:
( dfrac {a ^ 4b ^ 4} {(b ^ 4x ^ 2 + a ^ 4y ^ 2) ^ {3/2}} )

46) Calcula la curvatura de la hélice circular ( vecs r (t) = r sin (t) , hat { mathbf {i}} + r cos (t) , hat { mathbf { j}} + t , hat { mathbf {k}} ).

47) Encuentra el radio de curvatura de (y = ln (x + 1) ) en el punto ((2, ln 3) ).

Respuesta:
( frac {10 sqrt {10}} {3} )

48) Encuentra el radio de curvatura de la hipérbola (xy = 1 ) en el punto ((1,1) ).

Una partícula se mueve a lo largo de la curva plana (C ) descrita por ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 2 , hat { mathbf {j}} ). Utilice esta parametrización para responder las preguntas 49 a 51.

49) Encuentra la longitud de la curva en el intervalo ([0,2] ).

Respuesta:
( frac {1} {4} big [4 sqrt {17} + ln left (4+ sqrt {17} right) big] text {unidades} approx 4.64678 text {unidades } )

50) Encuentre la curvatura de la curva plana en (t = 0,1,2 ).

51) Describe la curvatura como t aumenta de (t = 0 ) a (t = 2 ).

Respuesta:
La curvatura está disminuyendo durante este intervalo.

La superficie de una taza grande se forma girando la gráfica de la función (y = 0.25x ^ {1.6} ) desde (x = 0 ) a (x = 5 ) alrededor de (y ) -eje (medido en centímetros).

52) [T] Usa la tecnología para graficar la superficie.

53) Encuentra la curvatura (κ ) de la curva generadora en función de (x ).

Respuesta:
(κ = dfrac {30} {x ^ {2/5} left (25 + 4x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} )

Tenga en cuenta que inicialmente su respuesta puede ser:
( dfrac {6} {25x ^ {2/5} left (1+ frac {4} {25} x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} )

Podemos simplificarlo de la siguiente manera:
( begin {align *} dfrac {6} {25x ^ {2/5} left (1+ frac {4} {25} x ^ {6/5} right) ^ {3/2} } & = dfrac {6} {25x ^ {2/5} big [ frac {1} {25} left (25 + 4x ^ {6/5} right) big] ^ {3/2 }} [4pt]
& = dfrac {6} {25x ^ {2/5} left ( frac {1} {25} right) ^ {3/2} big [25 + 4x ^ {6/5} big] ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {6} { frac {25} {125} x ^ {2/5} big [25 + 4x ^ {6/5} big] ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {30} {x ^ {2/5} left (25 + 4x ^ {6/5} right) ^ {3/2}} end {align *} )

54) [T] Utilice la tecnología para graficar la función de curvatura.


Programación COMP 280 y mdash

Para cada clase, debe haber leído las lecturas de ese día y escrito un breve ensayo.

Libro de texto: Todas las lecturas provienen de Discrete Mathematics and Its Applications (sexta edición) por Kenneth Rosen, (McGraw Hill, ISBN 0072880082). Cubriremos la mayor parte del material de este libro, que tiene muchos ejercicios, soluciones y material complementario en línea.

Fecha Trabajo para este día Lectura obligatoria para este día
de Rosen 6th ed.
Notas de la clase de este día Otro
T 12 de ene. Administración, matemáticas discretas, pruebas, sumas, primas,
Mié 14 ene Sección 4.1 & mdash skip Ejemplo 10
Apéndice A-1 y mdash página A-5 únicamente
Inducción débil, algoritmo de Neville, ejemplos de algoritmo de Neville El motor de diferencia de Babbage
Mar 19 ene Sección 4.2 Inducción fuerte
Jue 21 ene Tarea 1
Solucion 1
Crédito adicional 1
Sección 4.3 & mdash omita el teorema 1 y los ejemplos 10,11,13
Sección 4.4 & mdash omitir Ejemplos 3, 4, 8, 9, Lema 1 y Teorema 1
Recursividad Secuencias de enteros
Mar 26 ene Sección 4.5 y mdash páginas 326-327 solamente
Sección 3.1 y clasificación por omisión de mdash
Recursión, algoritmo de Neville, recursividad a imágenes y fractales mdash
Mié 28 ene Tarea 2
Solucion 2
Crédito adicional 2
Sección 3.2
Sección 3.3 & mdash skip Ejemplo 5
Inducción estructural
T 2 de febrero Sección 9.1
Sección 9.2
Sección 9.3 & mdash solo desnatar los isomorfismos de gráficos
Complejidad, Tramas que ilustran la complejidad, Indecidibilidad
Mié 4 feb Tarea 3
Solución 3
Crédito adicional 3
Sección 9.4 & mdash solo recorre las rutas e isomorfismo
Sección 9.5
Gráficos Planaridad
T 9 de febrero
Mié 11 feb Examen 1
Solución de examen 1
Árboles
T 16 de febrero Sección 9.6
Sección 9.7
Sección 9.8
Árboles, curvas B & eacutezier
Mié 18 feb Tarea 4
Solución 4
Crédito adicional 4
Sección 10.1
Sección 10.2
Sección 10.3
Lógica
T 23 de febrero Sección 1.1
Sección 1.2
Lógica, Conjuntos
Mié 25 feb Tarea 5
Solución 5
Crédito adicional 5
Sección 1.3
Sección 1.4
Sección 1.5 y mdash solo desnatar
Conjuntos Álgebra en el país de las maravillas
Mar 9 Sección 2.1
Sección 2.2
Relaciones
Mié 11 mar Tarea 6
Solución 6
Crédito adicional 6
Sección 2.3 & mdash skip funciones de piso y techo
Sección 2.4 y cardinalidad solo mdash
Relaciones
Mar 16 Sección 8.1
Sección 8.2
Sección 8.3
Combinatoria
Mié 18 mar Tarea 7
Solucion 7
Crédito adicional 7
Sección 8.4 & mdash omiten las matrices cero-uno y el algoritmo de Warshall
Sección 8.5
Sección 8.6
Combinatoria
Mar 23 Combinatoria, Probabilidad
Mié 25 mar Examen 2
Solución de examen 2
Probabilidad, Monte Carlo Algunos avances sobre probabilidades condicionales
Mar 30 Sección 5.1
Sección 5.2
Sección 5.3
Probabilidad
Mié 31 mar Tarea 8
Solución 8
Crédito adicional 8
Sección 5.4
Sección 5.5
Sección 7.5
Sección 7.6
No hay clase, pero debe entregar la tarea y el ensayo. Tenga en cuenta la fecha límite inusual, el día antes del descanso.
Mar 6 abr Sección 6.1
Sección 6.2
Probabilidad
Mié 8 abr Tarea 9
Solución 9
Crédito adicional 9
Sección 6.3
Sección 6.4
Recurrencias
T abr 13 Sección 7.1
Sección 7.2
Recurrencias
Mié 15 abr Tarea 10
Solución 10
Crédito adicional 10
Sección 7.3
Sección 7.4
Recurrencias, autómatas finitos (sin notas en línea)
Mar 20 abr Sección 12.3
Sección 12.4
Autómatas finitos (sin notas en línea)
Mié 22 abr Tarea 11
Solución 11
Crédito adicional 11
Sección 12.5 Autómatas finitos (sin notas en línea)
T 4 de mayo Examen 3

Tenga en cuenta que solo se puede acceder a las soluciones publicadas desde el dominio rice.edu. Para acceder a ellos desde fuera del campus, usa VPN en la red Rice.

Algunos buenos libros y sitios web relacionados

Las siguientes son algunas buenas fuentes complementarias. Además, hay muchos otros libros de texto sobre matemáticas y lógica discretas.


12.4E: Ejercicios para la sección 12.4 - Matemáticas

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Los artículos de Editor's Choice se basan en las recomendaciones de los editores científicos de las revistas de MDPI de todo el mundo. Los editores seleccionan una pequeña cantidad de artículos publicados recientemente en la revista que creen que serán particularmente interesantes para los autores o importantes en este campo. El objetivo es proporcionar una instantánea de algunos de los trabajos más interesantes publicados en las diversas áreas de investigación de la revista.


Hojas de trabajo de polígono

Desde el segundo grado hasta la escuela secundaria, las hojas de trabajo de Polygon que se muestran aquí son un paquete completo que comprende innumerables habilidades. La estrategia paso a paso ayuda a familiarizar a los principiantes con los polígonos utilizando ejercicios en PDF como identificar, colorear y cortar y pegar actividades, seguidas de clasificar y nombrar polígonos, lo que los lleva a temas más importantes como encontrar el área, determinar el perímetro, encontrar el interior y ángulos exteriores y la suma de ángulos interiores, resolución de expresiones algebraicas y mucho más. ¡Aproveche algunas de estas hojas de trabajo de forma gratuita!

Navegue por los gráficos de polígonos que se muestran aquí para obtener un conocimiento profundo de los tipos de polígonos. Aprenda a identificar los polígonos y obtenga una imagen clara del interior, los ángulos exteriores y también la suma de los ángulos interiores.

No puede haber una mejor manera de introducir polígonos que lo que más les gusta a los niños: ¡colorear! Indique a los niños que sigan la clave de color proporcionada para identificar polígonos como triángulos, cuadriláteros, pentágonos y más. Pruebe la comprensión con las preguntas que siguen.

Averigüe cuáles de las formas ilustradas en este grupo de hojas de trabajo en PDF para los grados 3 y 4 son polígonos. Observe los polígonos con atención, verifique si hay figuras cerradas sin curvas y establezca cuáles de las formas son polígonos.

Recorta las formas, clasifícalas como 'polígonos' y 'no polígonos' y pégalas en las columnas apropiadas del gráfico t. Esta interesante actividad ayuda a los niños de segundo y tercer grado a identificar polígonos.

Distinguir entre los tipos de polígonos como regular, irregular, cóncavo, convexo, simple y complejo. Cuente el número de lados y nombre los polígonos que aparecen en estas hojas de trabajo de clasificación de polígonos.

Acceda a este conjunto de hojas de trabajo con archivos PDF sobre cómo encontrar el perímetro de polígonos regulares e irregulares con dimensiones enteras y decimales. Calcula la longitud del lado y también resuelve expresiones algebraicas.

Explore este lote de hojas de trabajo de áreas imprimibles de polígonos, ideal para estudiantes de sexto grado hasta la escuela secundaria para determinar el área de polígonos regulares e irregulares utilizando las longitudes de los lados, apotema y circunradio dados. Practica encontrar la apotema también.

Afine sus habilidades usando los ángulos en las hojas de trabajo de polígonos con habilidades para encontrar la suma de ángulos interiores de polígonos regulares e irregulares, encontrar la medida de cada ángulo interior y exterior y mucho más.


12.4E: Ejercicios para la sección 12.4 - Matemáticas

Para los problemas del 1 al 12, encuentre todas las soluciones de la ecuación dada. Si no hay solución para la ecuación, explique claramente por qué.

  1. (12 - 4 << bf> ^ <7 + 3 , x >> = 7 ) Solución
  2. (1 = 10 - 3 << bf>^<> - 2 , z >> ) Solución
  3. (2t - t << bf> ^ <6 , t - 1 >> = 0 ) Solución
  4. (4x + 1 = left (<12x + 3> right) << bf>^ <- 2 >> ) Solución
  5. (2 << bf> ^ <3 , y + 8 >> - 11 << bf> ^ <5 - 10 , y >> = 0 ) Solución
  6. (14 << bf> ^ <6 - x >> + << bf> ^ <12x - 7 >> = 0 ) Solución
  7. ( displaystyle 1 - 8 ln left (< frac << 2x - 1 >> <7>> right) = 14 ) Solución
  8. ( ln left ( right) = 1 + ln left (<3y + 2> right) ) Solución
  9. ( log left (w right) + log left ( right) = 2 ) Solución
  10. (2 log left (z right) - log left (<7z - 1> right) = 0 ) Solución
  11. (16 = <17^> + 11 ) Solución
  12. (<2 ^ <3 - 8w >> - 7 = 11 ) Solución

Interés compuesto. Si ponemos (P ) dólares en una cuenta que devenga intereses a una tasa de (r ) (escrito como decimal en lugar del porcentaje estándar) durante (t ) años, entonces,

    si el interés se capitaliza (m ) veces al año tendremos, [A = P < left (<1 + frac> derecha) ^>]

  1. Tenemos $ 10,000 para invertir durante 44 meses. ¿Cuánto dinero tendremos si ponemos el dinero en una cuenta que tiene una tasa de interés anual del 5,5% y el interés está compuesto?
    1. trimestral
    2. mensual
    3. continuamente
    1. trimestral
    2. mensual
    3. continuamente

    Crecimiento / decadencia exponencial. Se pueden modelar muchas cantidades en el mundo (al menos por un corto tiempo) mediante la ecuación de crecimiento / decaimiento exponencial.

    Si (k ) es positivo, obtendremos un crecimiento exponencial y si (k ) es negativo, obtendremos una disminución exponencial.


    12.4E: Ejercicios para la sección 12.4 - Matemáticas

    En esta sección veremos cómo el conocimiento de algunos gráficos bastante simples puede ayudarnos a graficar algunos gráficos más complicados. En conjunto, los métodos que veremos en esta sección se denominan transformaciones.

    Desplazamientos verticales

    La primera transformación que veremos es un cambio vertical.

    Dada la gráfica de (f left (x right) ) la gráfica de (g left (x right) = f left (x right) + c ) será la gráfica de (f left (x right) ) desplazado hacia arriba en (c ) unidades si (c ) es positivo y / o hacia abajo en (c ) unidades si (c ) es negativo.

    Entonces, si podemos graficar (f left (x right) ) obtener la gráfica de (g left (x right) ) es bastante fácil. Echemos un vistazo a un par de ejemplos.

    Lo primero que debe hacer aquí es graficar la función sin la constante, que en este punto debería ser bastante simple para usted. Luego, cambie en consecuencia.

    En este caso, primero necesitamos graficar () (la línea punteada en el gráfico de abajo) y luego levántela y muévala hacia arriba en 3. En términos de coordenadas, esto significará sumar 3 en todas las coordenadas (y ) de los puntos en ().

    Aquí está el boceto de este.

    Bien, en este caso vamos a desplazar el gráfico de ( sqrt x ) (la línea punteada en el gráfico de abajo) hacia abajo en 5. Nuevamente, desde el punto de vista de las coordenadas, esto significa que restamos 5 del (y ) coordenadas de puntos en ( sqrt x ).

    Por lo tanto, los cambios verticales no son tan malos si primero podemos graficar la función "base". Tenga en cuenta también que si no está seguro de creer en las gráficas del conjunto de ejemplos anterior, todo lo que necesita hacer es insertar un par de valores de (x ) en la función y verificar que sean de hecho las gráficas correctas. .

    Desplazamientos horizontales

    Estos también son bastante simples, aunque hay un punto en el que debemos tener cuidado.

    Dado el gráfico de (f left (x right) ) el gráfico de (g left (x right) = f left ( right) ) será la gráfica de (f left (x right) ) desplazada a la izquierda en (c ) unidades si (c ) es positivo y / o derecha en (c ) unidades si (c ) es negativo.

    Ahora, debemos tener cuidado aquí. Una (c ) positiva desplaza una gráfica en la dirección negativa y una (c ) negativa desplaza una gráfica en la dirección positiva. Son exactamente opuestos a los cambios verticales y es fácil invertirlos y cambiarlos incorrectamente si no tenemos cuidado.

    Bien, con estos primero tenemos que identificar la función "base". Esa es la función que se está cambiando. En este caso, parece que estamos cambiando (f left (x right) = ). Entonces podemos ver eso,

    En este caso (c = 2 ) y entonces vamos a desplazar la gráfica de (f left (x right) = ) (la línea de puntos en el gráfico de abajo) y muévala 2 unidades hacia la izquierda. Esto significará restar 2 de las coordenadas (x ) de todos los puntos en (f left (x right) = ).

    Aquí está el gráfico de este problema.

    En este caso, parece que la función base es ( sqrt x ) y también se ve como (c = - 4 ), por lo que cambiaremos la gráfica de ( sqrt x ) (la línea de puntos en el gráfico siguiente) a la derecha en 4 unidades. En términos de coordenadas, esto significará que vamos a sumar 4 en la coordenada (x ) de todos los puntos en ( sqrt x ).

    Aquí está el esquema de esta función.

    Desplazamientos verticales y horizontales

    Ahora también podemos combinar los dos cambios que acabamos de analizar en un solo problema. Si conocemos la gráfica de (f left (x right) ) la gráfica de (g left (x right) = f left ( right) + k ) será la gráfica de (f left (x right) ) desplazada hacia la izquierda o hacia la derecha en (c ) unidades dependiendo del signo de (c ) y hacia arriba o hacia abajo por (k ) unidades dependiendo del signo de (k ).

    Echemos un vistazo a un par de ejemplos.

    En esta parte parece que la función base es () y parece que lo desplazará hacia la derecha en 2 (desde (c = - 2 )) y hacia arriba en 4 (desde (k = 4 )). Aquí está el esquema de esta función.

    Para esta parte, estaremos desplazando ( left | x right | ) hacia la izquierda en 3 (desde (c = 3 )) y hacia abajo 5 (desde (k = - 5 )). Aquí está el esquema de esta función.

    Reflexiones

    El conjunto final de transformaciones que veremos en esta sección no son cambios, sino que se denominan reflejos y hay dos de ellos.

    Reflexión sobre el eje (x )

    Dada la gráfica de (f left (x right) ) entonces la gráfica de (g left (x right) = - f left (x right) ) es la gráfica de (f izquierda (x derecha) ) reflejado sobre el eje (x ) -. Esto significa que los signos en todas las coordenadas (y ) se cambian al signo opuesto.

    Reflexión sobre el eje (y )

    Dada la gráfica de (f left (x right) ) entonces la gráfica de (g left (x right) = f left (<- x> right) ) es la gráfica de ( f left (x right) ) reflejado sobre el eje (y ). Esto significa que los signos en todas las coordenadas (x ) se cambian al signo opuesto.

    A continuación se muestra un ejemplo de cada uno.

    Según la ubicación del signo menos (es decir. está fuera del cuadrado y NO dentro del cuadrado, o (< left (<- x> right) ^ 2> )) parece que estaremos reflejando () sobre el eje (x ) -. Entonces, nuevamente, lo que significa que todo lo que hacemos es cambiar el signo en todas las coordenadas (y ).

    Aquí está el bosquejo de este gráfico.

    Ahora, con este, primero abordemos el signo menos debajo de la raíz cuadrada en términos más generales. Sabemos que no podemos extraer las raíces cuadradas de números negativos, sin embargo, la presencia de ese signo menos no necesariamente causa problemas. No podremos insertar valores positivos de (x ) en la función ya que eso daría raíces cuadradas de números negativos. Sin embargo, si (x ) fuera negativo, entonces el negativo de un número negativo es positivo y está bien. Por ejemplo,

    [h left (<- 4> right) = sqrt <- left (<- 4> right)> = sqrt 4 = 2 ]

    Por lo tanto, no se preocupe por ese signo menos.

    Ahora, abordemos la reflexión aquí. Dado que el signo menos está debajo de la raíz cuadrada en lugar de delante de ella, estamos haciendo una reflexión sobre el eje (y ). Esto significa que tendremos que cambiar todos los signos de los puntos en ( sqrt x ).

    Tenga en cuenta también que esto se sincroniza con nuestra discusión sobre este signo menos al comienzo de esta parte.

    Aquí está el gráfico de esta función.


    Descripción

    Características

    • Abordar todos los aspectos del nuevo programa de estudios de Matemáticas del PD: análisis y enfoques NM a través de un paquete de libros de curso en línea mejorado, compuesto por un libro de texto impreso a todo color y un libro de texto en línea, que incluye extensas notas para el profesor
    • Asegúrese de que los alumnos estén preparados para abordar cada tema con hojas de trabajo específicas de 'Conocimientos previos', vinculadas a los resúmenes y ejercicios de 'Antes de comenzar' al comienzo de cada capítulo.
    • Entregue una cobertura en profundidad de todos los temas a través de explicaciones claras y soluciones trabajadas, ejemplos animados animados, ejercicios diferenciados y hojas de trabajo, con respuestas proporcionadas.
    • Adoptar un enfoque basado en conceptos con lentes conceptuales y microconceptos entretejidos en cada capítulo, además de investigaciones ricas que integran preguntas fácticas y conceptuales, lo que lleva a una comprensión conceptual significativa y específica del contenido.
    • Profundizar la comprensión matemática a través de tareas basadas en indagaciones que se relacionan con el contenido de cada capítulo, características de 'mentalidad internacional', enlaces regulares a la Teoría del Conocimiento y actividades que se enfocan en las habilidades de ATL
    • Apoyar a los estudiantes en el desarrollo de un conjunto de herramientas matemáticas, como lo requiere el nuevo programa de estudios, con actividades de modelado e investigación presentadas en cada capítulo, incluidas sugerencias para la reflexión y sugerencias para estudios adicionales.
    • Prepare minuciosamente a los alumnos para la evaluación del IB a través de una cobertura en profundidad del contenido del curso, descripciones generales de todos los requisitos, preguntas y trabajos de práctica al estilo de los exámenes, y un capítulo completo que respalda la nueva exploración matemática (IA).
    • Incluye soporte para los modelos de calculadora de pantalla gráfica más populares
    • Este Libro de curso en línea estará disponible en Oxford Education Bookshelf hasta 2029. El acceso se facilita mediante un código único, que se envía por correo. El código debe estar vinculado a una dirección de correo electrónico, creando una cuenta de usuario.
    • El acceso se puede transferir una vez a un nuevo usuario, una vez que el usuario inicial ya no requiera acceso. Deberá ponerse en contacto con su asesor educativo local para organizar esto.

    Un primer vistazo a la teoría de la probabilidad rigurosa

    Este libro de texto de probabilidad para graduados fue publicado originalmente por World Scientific Publishing Co. en 2000 (ediciones posteriores 2003, 2005, 2006), con una segunda edición publicada en 2006 (ediciones posteriores 2007, 2009, 2010, 2011, 2013). Se puede pedir por 33 dólares estadounidenses (¡barato!) Directamente al editor o, por ejemplo, a través de amazon.ca o amazon.com o amazon.co.uk o indigo.ca o Kindle. (Aparentemente, es algo así como un éxito de ventas).

    A continuación se muestran algunas reseñas y el prefacio y el prefacio y el índice de la segunda edición. Consulte también la errata en PDF / posdata (o la primera edición erratas en PDF / posdata).

    ALGUNAS OPINIONES

    DESDE el anuncio del editor:

    DE Reseñas de matemáticas:

    Este libro es una introducción a la teoría de la probabilidad utilizando la teoría de la medida. Proporciona pruebas matemáticamente completas de todos los resultados introductorios esenciales de la teoría de la probabilidad y la medida.

    El libro está dividido en quince secciones y dos apéndices. Las primeras seis secciones contienen el núcleo esencial de la teoría de la probabilidad de la teoría de la medida: sigma-álgebras construcción de medidas de probabilidad variables aleatorias valores esperados desigualdades y leyes de grandes números y distribuciones de variables aleatorias. Las dos secciones siguientes presentan aspectos dinámicos de los modelos de probabilidad: los procesos estocásticos se introducen utilizando juegos de azar como ejemplo motivador y las cadenas de Markov discretas se discuten con cierto detalle. La siguiente sección complementa los resultados con un toque de teoría de la medida discutiendo y probando resultados como el teorema de la convergencia dominada y el teorema de Fubini. Las secciones 10 a 14 contienen una colección de temas adicionales que incluyen convergencia débil, funciones características (junto con una prueba del teorema del límite central), descomposición de las leyes de probabilidad, probabilidad y expectativa condicional y martingalas. La sección final proporciona un aperitivo para otros temas en el tema de procesos y aplicaciones estocásticos. Contiene material sobre cadenas de Markov en espacios de estado general, difusiones e integrales estocásticas y la fórmula de Black-Scholes. Los apéndices proporcionan antecedentes matemáticos y una guía para lecturas adicionales.

    Sin duda, el libro está bien situado para establecerse como una lectura fundamental en la probabilidad de la teoría de la medida. Sin embargo, un libro más completo y avanzado, como [P. Billingsley, Probability and Measure, Tercera edición, Wiley, Nueva York, 1995 MR 95k: 60001], podría ser necesaria como una fuente complementaria para los estudiantes graduados en matemáticas y estadística. Además, aunque el texto contiene una variedad de ejercicios excelentes, los estudiantes de economía, ciencias de la computación, ingeniería, etc., pueden encontrar beneficioso agregar ejemplos y ejercicios más aplicados.

    Encontré este pequeño libro una lectura deliciosa y una valiosa adición a la literatura existente.

    Revisado por R & uumldiger Kiesel

    DE Math Reviews (con respecto a la segunda edición):

    El lector obtendrá ideas básicas sobre la mayoría de los temas fundamentales de la teoría de la probabilidad de una manera detallada (en lo que respecta a las demostraciones), matemáticamente rigurosa y muy legible. [. ] El autor presenta una muy buena selección en tan solo 219 páginas. [. ]

    El capítulo 15 presenta una buena introducción heurística a las cadenas de Markov con espacio de estado general, procesos de Markov en tiempo continuo, movimiento browniano, difusiones e integrales estocásticas.

    Revisado por Dalibor Volny

    DE reseñas de clientes de amazon.com:

    Este es un maravilloso manual básico sobre la probabilidad de la teoría de la medida. Lo encontré un par de años después de tomar un curso basado en el famoso texto de Chung ("Un curso de teoría de problemas") y descubrí que era un libro excelente para revisión y corrección, es decir, me ayudó a obtener una mejor descripción general del material que ya había aprendido y me ayudó a aprender temas como, por ejemplo, la integrabilidad uniforme, que no se entendió demasiado bien la primera vez.

    According to the preface, the author prepared most of the book as supplemental class notes for the benefit of his students in a course whose main text was, if I recall correctly, Billingsley's excellent "Probability and Measure". The students were so enthusiastic about the usefulness of Professor Rosenthal's supplemental info that they insisted he publish it, despite his objection that the book wasn't original enough to warrant entry into an already crowded field. Well, the students made the right call: Rosenthal's clear and concise text will, I think, help almost any student learn measure-theoretic probability more efficiently. I'd also recommend it to folks who need a concise review of measure-theoretic probability.


    (5 stars) Best Probability book ever!
    July 10, 2006
    Reviewer: Thomas R. Fielden (Portland, OR USA)

    As a graduate student in mathematics I appreciate the rigorous and no nonsense treatment of the subject. I'm am using this text to study for my Ph.D. qualifying exam in statistics. It's explaining statistics in a language I understand.


    (5 stars) A gem.
    July 17, 2007
    Reviewer: M. Henri De Feraudy (France)

    This is my bedside book at the present time. It's compact, written with immense respect for the reader and even covers some financial applications.

    It's recalling the measure theory I learned as an undergraduate with the right style.

    So much better than some of the "Probabilty from dummies" I have put away.

    When I finish the book I hope to move on to some of the heavier books with a clear idea of where I am going.


    (5 stars) A delightful read and a great introduction.
    June 12, 2009
    Reviewer: A customer

    I took this book from the library during a course in measure-theoretic probability, and how lucky I was to come across it!

    A very well structured book, the choice of material (for an introduction) is excellent. As the title suggests, the book is rather rigorous (most results are with proofs, which helps understand the theory better), and at the same time the author does a good job at motivating the introduction of the mathematical concepts required to understand (rigorous) probability.

    The best part is that, for any mathematician, this book will also be a lot of fun to read!

    I would like to sincerely congratulate the author for making something this really good.

    FROM Willmott Forums:

    FROM amazon.com Graduate Probability Books Listmania:

    PREFACE TO THE FIRST EDITION

    This text is intended to answer that need. It provides an introduction to rigorous (i.e., mathematically precise) probability theory using measure theory. At the same time, I have tried to make it brief and to the point, and as accessible as possible. In particular, probabilistic language and perspective are used throughout, with necessary measure theory introduced only as needed.

    I have tried to strike an appropriate balance between rigorously covering the subject, and avoiding unnecessary detail. The text provides mathematically complete proofs of all of the essential introductory results of probability theory and measure theory. However, more advanced and specialised areas are ignored entirely or only briefly hinted at. For example, the text includes a complete proof of the classical Central Limit Theorem, including the necessary Continuity Theorem for characteristic functions. However, the Lindeberg Central Limit Theorem and Martingale Central Limit Theorem are only briefly sketched and are not proved. Similarly, all necessary facts from measure theory are proved before they are used. However, more abstract and advanced measure theory results are not included. Furthermore, the measure theory is almost always discussed purely in terms of probability, as opposed to being treated as a separate subject which must be mastered before probability theory can be studied.

    I hesitated to bring these notes to publication. There are many other books available which treat probability theory with measure theory, and some of them are excellent. For a partial list see Subsection B.3 on page 169. (Indeed, the book by Billingsley was the textbook from which I taught before I started writing these notes. While much has changed since then, the knowledgeable reader will still notice Billingsley's influence in the treatment of many topics herein. The Billingsley book remains one of the best sources for a complete, advanced, and technically precise treatment of probability theory with measure theory.) In terms of content, therefore, the current text adds very little indeed to what has already been written. It was only the reaction of certain students, who found the subject easier to learn from my notes than from longer, more advanced, and more all-inclusive books, that convinced me to go ahead and publish. The reader is urged to consult other books for further study and additional detail.

    There are also many books available (see Subsection B.2) which treat probability theory at the undergraduate, less rigorous level, without the use of general measure theory. Such texts provide intuitive notions of probabilities, random variables, etc., but without mathematical precision. In this text it will generally be assumed, for purposes of intuition, that the student has at least a passing familiarity with probability theory at this level. Indeed, Section 1 of the text attempts to link such intuition with the mathematical precision to come. However, mathematically speaking we will not require many results from undergraduate-level probability theory.

    Structure. The first six sections of this book could be considered to form a "core" of essential material. After learning them, the student will have a precise mathematical understanding of probabilities and sigma-algebras random variables, distributions, and expected values and inequalities and laws of large numbers. Sections 7 and 8 then diverge into the theory of gambling games and Markov chain theory. Section 9 provides a bridge to the more advanced topics of Sections 10 through 14, including weak convergence, characteristic functions, the Central Limit Theorem, Lebesgue Decomposition, conditioning, and martingales.

    The final section, Section 15, provides a wide-ranging and somewhat less rigorous introduction to the subject of general stochastic processes. It leads up to diffusions, Ito's Lemma, and finally a brief look at the famous Black-Sholes equation from mathematical finance. It is hoped that this final section will inspire readers to learn more about various aspects of stochastic processes.

    Appendix A contains basic facts from elementary mathematics. This appendix can be used for review and to gauge the book's level. In addition, the text makes frequent reference to Appendix A, especially in the earlier sections, to ease the transition to the required mathematical level for the subject. It is hoped that readers can use familiar topics from Appendix A as a springboard to less familiar topics in the text.

    Finally, Appendix B lists a variety of references, for background and for further reading.

    Exercises. The text contains a number of exercises. Those very closely related to textual material are inserted at the appropriate place. Additional exercises are found at the end of each section, in a separate subsection. I have tried to make the exercises thought provoking without being too difficult. Hints are provided where appropriate. Rather than always asking for computations or proofs, the exercises sometimes ask for explanations and/or examples, to hopefully clarify the subject matter in the student's mind.

    Prerequisites. As a prerequisite to reading this text, the student should have a solid background in basic undergraduate-level real analysis (no including measure theory). In particular, the mathematical background summarised in Appendix A should be very familiar. If it is not, then books such as those in Subsection B.1 should be studied first. It is also helpful, but not essential, to have seen some undergraduate-level probability theory at the level of the books in Subsection B.2.

    Further reading. For further reading beyond this text, the reader should examine the similar but more advanced books of Subsection B.3. To learn additional topics, the reader should consult the books on pure measure theory of Subsection B.4, and/or the advanced books on stochastic processes of Subsection B.5, and/or the books on mathematical finance of Subsection B.6. I would be content to learn only that this text has inspired students to look at more advanced treatments of the subject.

    Acknowledgements. I would like to thank several colleagues for encouraging me in this direction, in particular Mike Evans, Andrey Feuerverger, Keith Knight, Omiros Papaspiliopoulos, Jeremy Quastel, Nancy Reid, and Gareth Roberts. Most importantly, I would like to thank the many students who have studied these topics with me their questions, insights, and difficulties have been my main source of inspiration.

    Second Printing (2003). For the second printing, a number of minor errors have been corrected. Thanks to Tom Baird, Meng Du, Avery Fullerton, Longhai Li, Hadas Moshonov, Nataliya Portman, and Idan Regev for helping to find them.

    Third Printing (2005). A few more minor errors were corrected, with thanks to Samuel Hikspoors, Bin Li, Mahdi Lotfinezhad, Ben Reason, Jay Sheldon, and Zemei Yang.

    PREFACE TO THE SECOND EDITION

    • Many small additional topics have been added, and existing topics expanded. As a result, the second edition is over forty pages longer than the first.
    • Many new exercises have been added, and some of the existing exercises have been improved or "cleaned up". There are now about 275 exercises in total (as compared with 150 in the first edition), ranging in difficulty from quite easy to fairly challenging, many with hints provided.
    • Further details and explanations have been added in steps of proofs which previously caused confusion.
    • Several of the longer proofs are now broken up into a number of lemmas, to more easily keep track of the different steps involved, and to allow for the possibility of skipping the most technical bits while retaining the proof's overall structure.
    • A few proofs, which are required for mathematical completeness but which require advanced mathematics background and/or add little understanding, are now marked as "optional".
    • Various interesting, but technical and inessential, results are presented as remarks or footnotes, to add information and context without interrupting the text's flow.
    • The Extension Theorem now allows the original set function to be defined on a semialgebra rather than an algebra, thus simplifying its application and increasing understanding.
    • Many minor edits and rewrites were made throughout the book to improve the clarity, accuracy, and readability.

    Second Printing (2007). A few very minor corrections were made, with thanks to Joe Blitzstein and Emil Zeuthen.


    Math 216: Foundations of Algebraic Geometry

    There are several types of courses that can go under the name of “introduction to algebraic geometry”: complex geometry the theory of varieties a non-rigorous examples-based course algebraic geometry for number theorists (perhaps focusing on elliptic curves) and more. There is a place for each of these courses. This course will deal with schemes, and will attempt to be faster and more complete and rigorous than most, but with enough examples and calculations to help develop intuition for the machinery. Such a course is normally a “second course” in algebraic geometry, and in an ideal world, people would learn this material over many years. We do not live in an ideal world. To make things worse, I am experimenting with the material, and trying to see if a non-traditional presentation will make it possible to help people learn this material better, so this year’s course is only an approximation. (See aquí for an earlier version.)

    This course is for mathematicians intending to get near the boundary of current research, in algebraic geometry or a related part of mathematics. It is not intended for undergraduates or people in other fields for that, people should take Brian Conrad’s undergraduate class in winter 2012, or else wait for a later incarnation of Math 216 (which will vary in style over the years).

    In short, this not a course to take casually. But if you have the interest and time and energy, I will do my best to make this rewarding.

    Email list: Those who filled out the sign-up sheet or told me that they wanted to be on it are now on an email list, that I’ll use occasionally, to let you know about things like changed class times and problem set corrections. If you are on the list and want to be off it, or vice versa, please let me know.

    Time and place (spring quarter): 9:00-10:15 in 383-N on many Mondays, Wednesdays, and Fridays (see below for more).

    Office hours: Because of the nature of this class, I’d like to be as open as possible about office hours, and not have them restricted to a few hours per week. So if you would like to chat, please let me know, and I’ll be most likely happy to meet on a couple of days’ notice. I am almost always available to meet immediately after class. If people are shy about chatting, I may turn the third “class period” each week into office hours.

    • The notes based on earlier versions of this class, and on many useful comments from people around the world, are available aquí. They will be updated throughout the year. I would very much like comments, suggestions, and corrections.
    • Johan de Jong’s stacks project has in my mind become essentially the universal reference for algebraic geometry, and becoming more so with every edit. It is free, comprehensive, well-written, philosophically well thought through, searchable, and (important for a reference) modular (when you look something up, you can read “around it” to understand the proof).
    • Other more “text-like” references: It may be useful having Hartshorne’s Algebraic Geometry, and possibly Mumford’s Red Book of Varieties and Schemes (the first edition is better, as Springer introduced errors into the second edition by retyping it). Mumford’s second edition is available online (with a Stanford account) from Springer.
    • For background on commutative algebra, I’d suggest consulting Eisenbud’s Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry or Atiyah and MacDonald’s Commutative Algebra.
    • For background on abstract nonsense, Weibel’s Introduction to Homological Algebra is good to have handy. Freyd’s Abelian Categories is available online (free and legally) aquí.

    You can wave your hands all you want, but it still won’t make you fly.
    Mark Kisin

    Unlike most advanced graduate courses, there will be homework. It is important — this material is very dense, and the only way to understand it is to grapple with it at close range. There will be a problem set most weeks. Your grade will depend on the problem sets.

    Fall quarter

    Monday, September 26: 2.1-2.3.7. Welcome what is algebraic geometry? about the course why you shouldn’t take this course categories, universal properties, localization, tensor product.

    Wednesday, September 28: office hours. This is a test to see if having a set time for office hours (as opposed to meeting by appointment) is useful for people.

    Friday, September 30: 2.3.8-2.6. Yoneda, (co)limits, adjoints, abelian categories. Problem set 1 out (based on Sept. 5 version of the notes due Fri. Oct. 7 updated Wed. Oct. 5, but not important enough a change to announce by email).

    Monday, October 3: office hours (and discussion of categories for those wanting more time with them).

    Wednesday, October 5: 3.1-3.4.F. (Pre)sheaves: example, definitions, section, restriction map, stalk, germ, identity, gluability, skyscraper, constant (pre)sheaf, pushforward, ringed space, O-module, morphisms of (pre)sheaves, sheaf Hom, presheaves form an abelian category, properties determined at the level of stalks.

    Revised notes posted at the usual place. (The change most likely to confuse you: the old exercise 3.4.C was a repeat and is removed, so the lettering of exercises in 3.4 has changed.)

    Friday, October 7: rest of chapter 3. Sheafification, sheaves of abelian groups (and O_X-modules) form an abelian category for “easy” reasons sheaves on a base of a topology inverse image sheaf. Problem set 1 due. Problem set 2 out (based on the Oct. 5 version of the notes due Fri. Oct. 14).

    Most of you have seen Spec A (and its Zariski topology), so any of you who don’t should brush up on that before next class.

    Wednesday, October 12: 4.1-4.5, the topological space Spec A.

    Friday, October 14: 4.6 – Theorem 5.1.2. Topological and Noetherian conditions I(.) the structure sheaf on the distinguished base of Spec A. Problem set 2 due. Problem set 3 out (based on the Oct. 5 version of the notes due Fri. Oct. 21).

    Caution: I will soon reorganize 4.6 to present the topological notions in a better order. This will result in the problems in this section being renamed.

    Wednesday, October 19: 5.1-5.4.3. Definition of schemes, and first examples.

    Friday, October 21: the rest of chapter 5. Examples of schemes, including the Proj construction. Problem set 3 due. Problem set 4 out (based on the Oct. 21 version of the notes due Fri. Oct. 28).

    Wednesday, October 26: 6.1-6.3. Properties of schemes: topological (including quasiseparatedness), reducedness and integrality, and affine-local properties (Noetherian schemes, finite type A-schemes, …).

    Friday, October 28: 6.4, 7.1-7.2. Normality and factoriality. Philosophy about morphisms of schemes and ringed spaces. Problem set 4 due. Problem set 5 out (based on the Oct. 21 version of the notes due Fri. Nov. 4).

    Wednesday, November 2: 6.5, 7.3. Associated points (Emerton-ized version) morphisms of locally ringed spaces and schemes.

    Friday, November 4: 7.3-7.5. Problem set 5 due. Problem set 6 out (based on the Oct. 30 version of the notes unimportant typos fixed Nov. 5 due Fri. Nov. 11).

    We won’t do 7.6 or 7.7 in class unless people vote to do so. But I’m happy to discuss it at length with anyone interested.

    Wednesday, November 9: 8.1-8.3. Algebraic facts: integral homomorphism/extension, lying over and going-up, Nakayama. Good properties of morphisms: open immersion, quasicompact, quasiseparated, affine, finite, integral, (locally) finite type, quasifinite, and possibly (locally) finite presentation.

    Friday, November 11: 8.4. Images of morphisms: Chevalley’s Theorem and the Fundamental Theorem of Elimination Theory. (Bold claim: the FTET is one of the top 10 theorems of the 19th century.) Problem set 6 due. Problem set 7 out (based on the Oct. 30 version of the notes due Fri. Nov. 18).

    Wednesday, November 16: 9.1, 9.2. Closed subschemes (and criterion in terms of affines). Locally closed embeddings/immersions. Fun projective geometry.

    Friday, November 18: 9.3, 8.1. Key fact: scheme-theoretic image of (is well-behaved if is quasicompact or is reduced). Scheme-theoretic closure, reduced subscheme structure on a closed subset, reduction of a scheme. Fibered products exist (and generalities on deep things going on behind the proof). Problem set 7 due. Problem set 8 out (based on the Oct. 30 version of the notes due Fri. Dec. 2).

    Wednesday, November 30: 10.2-10.5. Examples of fibered products (explicit computations Segre embedding). Interpretation as pullback (including fibers). Properties preserved by base change.

    Friday, December 2. 10.6-11.1. Normalization (including in a function field extension), (quasi)separatedness, and the cancellation theorem for properties of morphisms. Problem Set 8 due. Problem set 9 out (based on the Dec. 3 version of the notes due Fri. Dec. 9).

    Wednesday, December 7: 11.2-12.1. The reduced-to-separated theorem, and related ideas proper morphisms introduction to dimension and codimension.

    Friday, December 9: 12.2. Dimension = transcendence degree for varieties. Extended concluding example: lines on surfaces in P^3. Problem Set 9 due.

    Thursday, December 22: Problem set 10 out (based on the Dec. 20 version of the notes due Fri. Jan. 13).

    Winter quarter

    Most classes will be on Wednesdays and Fridays, but some will be on Mondays.

    Wednesday, January 11: 12.3. Hard facts in codimension 1 (Krull and Hartogs). Intuition for behavior of dimension of fibers. 12.3.

    Friday, January 13: 12.4. dimensions of fibers of morphisms. (Caution: The Jan. 14 version of 12.4 is not yet sufficiently edited.) Problem set 11 out (based on the Jan. 14 version of the notes due Fri. Jan. 20).

    Wednesday, January 18: 13.1-2. Zariski (co)tangent space, nonsingularity, smoothness over a field.

    Friday, January 20: 13.3-4. Nice but inessential facts about regular local rings discrete valuation rings.

    Monday, January 30: Problem set 11 due.

    Wednesday, February 1: 13.5, 14.1. Valuative criteria. Vector bundles and locally free sheaves.

    Friday, February 3: 14.2-14.6. Quasicoherent sheaves and how to think of them in terms of modules over rings characterization by distinguished inclusions of affines module-like constructions finiteness conditions on modules.

    Monday, February 6: 14.6, 14.7, 15.1: finite type and coherent sheaves, and the ways in which they are like (and not like) finite rank vector bundles the line bundles O(n) on projective space.

    Wednesday, February 8: 15.2: line bundles and Weil divisors. This is a much trickier topic than it seems!

    Friday, February 10: chapter 16. Quasicoherent sheaves on projective A-schemes. O(n) on Proj (finitely) globally generated (at a point) base points/locus, base-point-free, linear series Serre’s Theorem A (to be proved later).

    Monday, February 13: 17.1-3. Pullbacks of quasicoherent sheaves: three (sort-of) constructions (with much help from Daniel Litt).

    Wednesday, February 15: 17.3-17.5. Properties and applications of pullback of quasicoherent sheaves line bundles and maps to projective schemes the curve-to-projective extension theorem.

    Friday, February 17: 17.6. Very ample and ample line bundles (over a ring). We spent most of our time proving the equivalence of five definitions of ampleness (which includes Serre’s Theorem A), and this probably required more sustained effort than anything we’ve done so far. The essential things to remember: know the statements of (a), (a’), and (b), and do (or at least) read the important exercises.

    Monday, February 20: 18.1, 20.1. Relative Spec. Brief discussion of relative Proj (I “sort of” defined projective morphism, but left it for a later day.) Desired properties of cohomology, and applications thereof.

    Friday, February 24: 20.2. Construction of Cech cohomology (of quasicoherent sheaves on quasicompact separated A-schemes), and properties. Problem set 12 out (based on the Feb. 24 version of the notes due Mon. March 5).

    Wednesday, February 28:
    Problem set 13 out (based on the Feb. 25 version of the notes due Fri. March 9).

    Monday, March 5: 18.2-18.4. Relative Proj, projective morphisms, and applications to curves. Problem set 12 due.

    Wednesday, March 7: 20.3-20.4. Cohomology of line bundles on projective space. Applications: Riemann-Roch, degree of coherent sheaves on a curve, …

    Friday, March 9: 20.4-20.5. Serre duality (statement of one version), Hilbert polynomials and functions, genus. Problem set 13 due. Problem set 14 out (based on the Mar. 5 version of the notes due Fri. March 16).

    Monday, March 12: 20.6-21.1. Serre’s cohomological criterion for ampleness, Grothendieck’s coherence theorem, Chow’s lemma (proofs left to notes, as we won’t use them much). Higher pushforwards, and their properties. A criterion for a morphism to be a closed embedding.

    Wednesday, March 14: 21.2-4. Crucial generalities about curves curves of genus 0 hyperelliptic curves.

    Friday, March 16: 21.5-21.8.9: curves of genus 2, 3, and 1. Problem set 14 due.

    Spring Quarter

    Monday, April 2: 21.4 (new section), 21.10-21.11. Pappus’s Theorem and Pascal’s Theorem. Elliptic curves are group varieties. Fun counterexamples involving elliptic curves.

    Wednesday, April 4: 22.1-2. Intersection products, and intersection theory on a surface. Problem set 15 out (based on the April 4 version of the notes due Fri. April 13).

    Monday, April 9: 22.3, 20.4.9, 22.4. The Grothendieck group of coherent sheaves numerical equivalence -line bundles and the nef and ample cones Nakai’s criterion for ampleness.

    Wednesday, April 11: 22.4, 23.1, 23.2. Kleiman’s criterion for ampleness. Differentials: motivation, definition (in the affine case), and first properties. The relative cotangent and conormal sequences, and the conormal sheaf.

    Monday, April 16: 23.2-3: more differentials examples. Problem set 16 out (based on the April 13 version of the notes due Fri. April 27).

    Monday, April 23: 23.3-4: the Euler exact sequence using the (co)tangent bundle to understand smooth varieties.

    Wednesday, April 25: 23.5-24.4: Riemann-Hurwitz derived functors and spectral sequences derived functor cohomology of O-modules.

    Monday, April 30: 24.5, 25.1: Cech cohomology = derived functor cohomology (with the key step a clever argument of Martin Olsson) some advance perspective on flatness.

    Wednesday, May 2: 25.2-4: easier flatness facts flatness through Tor (cohomological interpretation of flatness) ideal-theoretic criteria for flatness. Problem set 17 out (based on the May 2 version of the notes due Fri. May 11).

    Friday, May 4: 25.5-6. Topological aspects of flatness: faithful flatness, going down for flat morphisms, openness, fiber dimension, flatness of relative dimension n, generic flatness. Local criteria for flatness, statements of the local slicing criterion and fibral flatness.

    Monday, May 7: 25.6.4-25.8.5. Proof of the local slicing criterion for flatness. Flatness implies constant Euler characteristic (with seemingly no Noetherian hypotheses), and consequences. Philosophy and statements of the Semicontinuity Theorem, Grauert’s Theorem, and the Cohomology and Base Change Theorem.

    Wednesday, May 9: 25.8-9. Cohomology and base change theorems: applications and proof.

    Wednesday, May 16: 25.9-10, 7.7, 17.7. Moduli spaces: the Hilbert scheme (facts, no proof) the Grassmannian degree d hypersurfaces are parametrized by a projective space. Problem set 18 out (based on the May 16 version of the notes due Fri. May 25).

    Friday, May 18: 30.1-30.4.2. Serre duality in various forms. Property of Ext and sheaf-Ext. Proof of “strong Serre duality” for projective space.

    Monday, May 21: 30. Serre duality continued. A better world (?) of working with complexes, and the derived category (Ext^a(A,B) x Ext^b(B,C) –> Ext^(A,C)) j^! for closed embeddings j (a right-adjoint to the exact functor j_*, which thus takes injectives to injectives).

    Wednesday, May 23: 30. Proof of various forms of Serre duality.

    Wednesday, May 30: 30, 26. The adjunction formula for the dualizing sheaf. For smooth varieties, the algebraic volume form is dualizing. Smooth, etale, unramified morphisms: definitions and first properties.

    Friday, June 1: 26. Harder properties of smooth (and etale) morphisms. Generic smoothness and the Kleiman-Bertini theorem. (And one last patch/simplification to our proof of Serre duality!)

    Monday, June 4: 26, 29.1-3. Bertini’s theorem and applications. The 27 lines on a smooth cubic surface (part 1).

    Wednesday, June 6: 29.3-4. The 27 lines on a cubic surface (part 2).


    Time Series

    A statistical time series is a sequence of random variables Xt, the index t en ZZ being referred to as ``time''. Thus a time series is a "discrete time stochastic process". Typically the variables are dependent and one aim is to predict the ``future'' given observations X1. Xn on the ``past''. Although the basic statistical concepts apply (such as likelihood, mean square errors, etc.) the dependence gives time series analysis a distinctive flavour. The models are concerned with specifying the time relations, and the probabilistic tools (e.g. the central limit theorem) must go beyond results for independent random variables.

    This course is an introduction for mathematics students to the theory of time series, including prediction theory, spectral (=Fourier) theory, and parameter estimation.

    Among the time series models we discuss are the classical ARMA processes, and the GARCH, which have become popular models for financial time series. We study the existence of stationary versions of these processes. If time allows we also treat the unit-root problem and co-integration. State space models include Markov processes and hidden Markov processes, with stochastic volatility processes as a special case, popular in finance. Filtering theory, in particular the famous Kalman filter, is an important topic for this processes. The extent of coverage of these topics changes from year to year.

    Within the context of nonparametric estimation we extend the central limit theorem to dependent ("mixing") random variables. To treat maximum likelihood we shall develop the martingale central limit theorem.

    Thus the course is a mixture of probability and statistics, with some Hilbert space theory coming in to develop the spectral theory and the prediction problem.

    Many of the procedures that we discuss are implemented in the statistical computer package R, and are easy to use. We recommend trying out these procedures, because they give additional insight that is hard to obtain from theory only. A hand-out on R is provided.

    We assume that the audience is familiar with measure theory, and basic concepts of statistics. Knowledge of measure-theoretic probability and stochastic convergence concepts (convergence in distribution and probability, Slutsky, Delta-method, CLT) is highly recommended. Knowledge of Hilbert spaces is convenient. We presume no knowledge of time series analysis.

    We provide full lecture notes. Two books that cover a part of the course are:

    • R Azencott, D Dacunha-Castelle, 1984, S'eries d'Observations Irr'eguli`eres, Masson, Paris.
    • PJ Brockwell, RA Davis, 1991, Time Series: Theory and Methods, Springer, New York.

    These books are a bit dated. (For instance, they do not treat GARCH models.) An expanded list of literature is provided with the lecture notes.