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7.1: Multiplicar expresiones racionales - Matemáticas


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Multiplicar expresiones racionales y álgebra de noveno grado # 8211

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7.1: Multiplicar expresiones racionales - Matemáticas

Ecuaciones

Cuando nos enfrentamos a una ecuación racional, nos encontramos con dos dificultades. La primera dificultad que enfrentamos es que estamos tratando con ecuaciones con expresiones de complicación en denominadores. En segundo lugar, nos enfrentamos a la posibilidad de lo que se conoce como soluciones extrañas, es decir, falsas soluciones que aparecen. En este artículo trataremos ambas dificultades.

Intentemos resolver (a ) en la siguiente ecuación:

( Grande frac <> <<2+ 18a + 28 >> ​​+ Large frac <1> << 2+ 18a + 28 >> ​​= Grande frac <1> <<+ 9a + 14 >> )

Deberíamos intentar multiplicar ambos lados de la ecuación por algunas expresiones o números que eliminarían nuestros denominadores. ¿Pero que? Si hacemos algo de factorización, la respuesta será más clara:

( Grande frac <> <<2+ 18a + 28 >> ​​+ Large frac <1> << 2+ 18a + 28 >> ​​= Grande frac <1> <<+ 9a + 14 >> )

( Grande frac <> << 2 izquierda (<+ 9a + 14> right) >> + Large frac <1> << 2 left (<+ 9a + 14> right) >> = Large frac <1> <<+ 9a + 14 >> )

Con suerte, puede ver que los tres términos de esta ecuación contienen la expresión ( + 9a + 14 ). Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por esa expresión, haremos algunas cancelaciones importantes en nuestros denominadores.

( Grande frac <> << 2 izquierda (<+ 9a + 14> right) >> + Large frac <1> << 2 left (<+ 9a + 14> right) >> = Large frac <1> <<+ 9a + 14 >> )

¡Guau! Esa operación realmente limpió la ecuación. ¡Limpiemos un poco más multiplicando ambos lados por 2, y luego despejando (a ) !. Tenemos

( left (2 right) left (< Large frac <> <2> + Large frac <1> <2>> right) = left (1 right) left (2 right) )

Aquí debemos tener cuidado. Cuando multiplicamos ambos lados de una ecuación por una expresión que contiene variables, debemos verificar extraño, o falsas, soluciones. El razonamiento detrás de esto tiene que ver con el hecho de que la división entre 0 no está definida. Puede investigar más para aprender sobre soluciones extrañas si lo desea. Pero todo se reduce a que debemos verificar la solución que obtuvimos en nuestra ecuación original. Tenemos

( Large frac << 4 - 3 >> << 2 << left (4 right)> ^ 2> + 18 left (4 right) + 28 >> ​​+ Large frac <1> << 2 << left (4 right)> ^ 2> + 18 left (4 right) + 28 >> ​​= Large frac <1> <<< 4 ^ 2> + 9 left (4 derecha) + 14 >> )

La solución se comprueba. Por lo tanto, (a = 4 ) es una solución a nuestra ecuación original. Veamos otro ejemplo. Queremos resolver (p ) en

Primero multiplica ambos lados por (p - 5 )

Nuevamente, busque soluciones extrañas

( Grande frac <8> <7> = 1 + Grande frac <1> <7> )

La solución se comprueba. Entonces (p = 12 ) es una solución a la ecuación original.

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Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales


Tenga en cuenta que hacemos un seguimiento de los valores de $ x $ que harían que el cálculo no estuviera definido en cualquier paso.

(Opcional) Algunos instructores le pedirán que amplíe el numerador y los denominadores cuando sea posible.

Nota: La respuesta debe incluir las restricciones que encontramos en el Paso 3.

Problema 2

Factoriza los numeradores y denominadores.

Escribe el producto como una sola fracción.

Problema 3

Factoriza los numeradores y denominadores.

Reescribe el producto como una sola fracción.

Problema 4

Factoriza los numeradores y denominadores.

Reescribe el producto como una sola fracción.

Problema 5

Factoriza los numeradores y denominadores.

Tenga en cuenta que nuestra respuesta final deberá restringir los valores de $ x $ para que $ x neq -5, 0 $.

Reescribe la división como un producto con el recíproco de la segunda expresión.

Tenga en cuenta que ahora también debemos asegurarnos de que nuestra respuesta restrinja $ x $, por lo que $ x neq -2, 2 $.

Reescribe el producto como una sola fracción.

Tenga en cuenta que las otras restricciones que identificamos ($ x neq -2 $ y $ x neq 0 $) todavía están implícitas en la expresión misma.


Para multiplicar expresiones racionales, aplicamos los siguientes pasos:

  • Factoriza completamente los denominadores y numeradores de ambas fracciones.
  • Cancela los términos comunes en el numerador y el denominador.
  • Ahora vuelva a escribir los términos restantes tanto en el numerador como en el denominador.

Usa las identidades algebraicas a continuación para ayudarte a factorizar los polinomios:

  • (a² & # 8211 b²) = (a + b) (a & # 8211 b)
  • (x² & # 8211 4²) = (x + 4) (x & # 8211 4)
  • (x² & # 8211 2²) = (x + 2) (x & # 8211 2)
  • (a³ + b³) = (a + b) (a² & # 8211 a b + b²)

Simplificar (x² & # 8211 2x) / (x + 2) * (3 x + 6) / (x & # 8211 2)

Cancele los términos comunes en numeradores y denominadores de ambas fracciones para obtener

Resolver [(x 2 - 3x - 4) / (x 2 - x -2)] * [(x 2 - 4) / (x 2 - + x -20)]

Primero, factoriza los numeradores y denominadores de ambas fracciones.

[(x - 4) (x + 1) / (x + 1) (x - 2)] * [(x + 2) (x - 2) / (x - 4) (x + 5)]

Cancele los términos comunes y vuelva a escribir los términos restantes

Multiplicar [(12x - 4x 2) / (x 2 + x - 12)] * [(x 2 + 2x & # 8211 8) / x 3 - 4x)]

Factoriza las expresiones racionales.

⟹ [-4x (x - 3) / (x - 3) (x + 4)] * [(x - 2) (x + 4) / x (x + 2) (x - 2)]

Reduzca las fracciones cancelando los términos comunes en los numeradores y denominadores para obtener

Multiplicar [(2x 2 + x - 6) / (3x 2-8x - 3)] * [(x 2-7x + 12) / (2x 2-7x - 4)]

⟹ [(2x - 3) (x + 2) / (3x + 1) (x - 3)] * [(x - 30 (x - 4) / (2x + 1) (x - 4)]

Cancele los términos comunes en los numeradores y denominadores y vuelva a escribir los términos restantes.

Simplificar [(x² & # 8211 81) / (x² & # 8211 4)] * [(x² + 6 x + 8) / (x² & # 8211 5 x & # 8211 36)]

Factoriza los numeradores y denominadores de cada fracción.

⟹ [(x + 9) (x - 9) / (x + 2) (x & # 8211 2)] * [(x + 2) (x + 4) / (x & # 8211 9) (x + 4 )]

Al cancelar términos comunes, obtenemos

Simplificar [(x² & # 8211 3 x & # 8211 10) / (x² & # 8211 x & # 8211 20)] * [(x² & # 8211 2 x + 4) / (x³ + 8)]

Factoriza (x³ + 8) usando la identidad algebraica (a³ + b³) = (a + b) (a² & # 8211 a b + b²).

[(x² & # 8211 3 x & # 8211 10) / (x² & # 8211 x & # 8211 20)] * [(x² & # 8211 2 x + 4) / (x³ + 8)] = [(x & # 8211 5) (x + 2) / (x & # 8211 5) (x + 4)] * [(x² & # 8211 2 x + 4) / (x + 2) (x² & # 8211 2 x + 4 )]

Ahora, cancele los términos comunes para obtener

Simplificar [(x + 7) / (x² + 14 x + 49)] * [(x² + 8x + 7) / (x + 1)]

= [(x + 7) / (x + 7) (x + 7)] * [(x + 1) (x + 7) / (x + 1)]

Al cancelar términos comunes, obtenemos la respuesta como

Utilice la identidad algebraica (a² & # 8211 b²) = (a + b) (a & # 8211 b) para factorizar (x² & # 8211 16) y (x² & # 8211 4).

También aplique la identidad (a³ + b³) = (a + b) (a² & # 8211 a b + b²) al factor (x³ + 64).

= [(x + 4) (x - 4) /) / (x & # 8211 2)] * [(x + 2) (x & # 8211 2) / (x² & # 8211 4x + 16)]

Cancele los términos comunes para obtener

Simplificar [(x² & # 8211 9 y²) / (3 x & # 8211 3y)] * [(x² & # 8211 y²) / (x² + 4 x y + 3 y²)]

Aplicar la identidad algebraica (a²-b²) = (a + b) (a & # 8211 b) al factor (x²- (3y) ² y (x² & # 8211 y²)


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Multiplicar expresiones racionales



Una expresión racional es una fracción en la que el numerador o el denominador, o tanto el numerador como el denominador, son expresiones algebraicas.

Cuando se multiplican dos fracciones, multiplicamos los numeradores de las fracciones para formar el nuevo numerador y hacemos lo mismo con los denominadores. Lo mismo ocurre con las expresiones racionales. Si hay factores comunes tanto en el numerador como en el denominador de las dos expresiones racionales, entonces podemos cancelarlos antes de multiplicar.

Simplifica las siguientes expresiones:

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Matemáticas perfectas

En la expresión algebraica la variable no ocurre en la fracción o índice negativo. Al usar la calculadora de expresiones racionales, las variables que ocurren en la notación fraccionaria. La calculadora muestra el error error. mientras que en la expresión algebraica de multiplicar la calculadora se mencionará en el entero no puede aparecer ninguna fracción o variable negativa.

Por ejemplo 5x2- 3x +2 esta es la expresión algebraica
¿Una expresión racional de la forma A (x) * B (x) donde A (x) y B (x) son dos polinomios sobre el conjunto de números reales y QA (x)? 0 se llama expresión racional.
Por ejemplo, 2 / x ^ 2, ((x ^ 4 + x ^ 3 + x + 1)) / ((x + 5)), son expresiones racionales.

Calculadora de expresiones racionales al multiplicar expresiones racionales

Problema en calculadora de expresión racional En esta expresión, la variable solo está en el número entero, no en la forma de fracción.
1. Simplificar: (x2-x-6) / (x2 + 5x + 6)
= ((x ^ 2-x-6)) / ((x ^ 2 + 5x + 6))
= ((x-3) (x + 2)) / ((x + 2) (x + 3))
= ((x-3)) / ((x + 3))
Multiplicación de expresiones racionales
El producto de la expresión racional en la forma. La expresión resultante luego se reduce a su forma más baja. Si p (x) * g (x)
= (p (x)) / (q (x)) + (g (x)) / (h (x))
= (g (x)) / (h (x)) * (g (x)) / (h (x))
En esta expresión, la multiplicación en la expresión racional está en el estado de variable debe estar en los números enteros, no en la fracción. La calculadora de expresiones racionales de multiplicación se reduce a su forma más baja.


Multiplicar expresiones algebraicas

En estas lecciones, aprenderemos a multiplicar expresiones algebraicas.

El siguiente diagrama muestra algunas expansiones, que es útil recordar, al multiplicar dos expresiones algebraicas o binomios. Desplácese hacia abajo en la página para ver más ejemplos y soluciones sobre cómo expandir expresiones.

¿Cómo multiplicar un término y una expresión algebraica?

Primero consideraremos ejemplos de multiplicar un término y una expresión algebraica.

¿Cómo multiplicar dos expresiones algebraicas?

A continuación, también consideraremos la multiplicación de dos expresiones algebraicas: (a + b) (c + d)

Tal operación se llama y lsquoexpandiendo la expresión y rsquo.
Para expandir la expresión, multiplicamos cada término del primer par de corchetes por cada término del segundo par de corchetes.

b) (a + b) 2
= (a + b) (a + b) = a (a + b) + b (a + b)
= a 2 + ab + ab + b 2
= a 2 + 2ab + b 2

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Cómo: multiplicar expresiones racionales con signos opuestos

En este video, el instructor muestra cómo multiplicar y escribir expresiones racionales en términos mínimos. Lo primero que debe hacer es cancelar los factores comunes en el numerador y el denominador. Puede cancelar un término en la parte superior con un término en la parte inferior incluso si son diagonales siempre que uno esté en el numerador y el otro en el denominador. Después de la cancelación, si tiene un término en el numerador y un término idéntico en el denominador pero con signos opuestos, extraiga el signo negativo de uno de los términos, lo que hace que los términos del numerador y del denominador sean los mismos que ahora se pueden cancelar y el resto de la ecuación simplificada. Este video muestra cómo simplificar expresiones racionales cuando los términos en numerador y denominador difieren en signos.

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Ver el vídeo: Multiply Rational Expressions (Octubre 2021).