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6.3: Sumas y diferencias de factores de cubos - Matemáticas


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Si comprobamos si alguno de los términos es un cubo,

podemos ver que ambos términos son cubos perfectos. La fórmula de la diferencia de cubos dice. a ^ 3-b ^ 3. siempre se factoriza como

Ya que en este caso. a = c. y . b = 2b ^ 4. obtenemos

Sabemos que estamos lidiando con la diferencia de cubos, porque tenemos dos cubos perfectos separados por resta.

Si comprobamos si alguno de los términos es un cubo,

podemos ver que ambos términos son cubos perfectos. La fórmula de la diferencia de cubos dice. a ^ 3-b ^ 3. siempre se factoriza como

La variable . una. será la raíz cúbica del primer término y la variable. B. será la raíz cúbica del segundo término. Entonces

Podemos verificar nuestro trabajo distribuyendo cada término en el factor binomial sobre cada término en el factor trinomial.


6.3 Factor de productos especiales

Hemos visto que algunos binomios y trinomios son el resultado de productos especiales: cuadrar binomios y multiplicar conjugados. Si aprende a reconocer este tipo de polinomios, puede utilizar los patrones de productos especiales para factorizarlos mucho más rápidamente.

Factorizar trinomios cuadrados perfectos

Algunos trinomios son cuadrados perfectos. Son el resultado de multiplicar un binomio por sí mismo. Elevamos al cuadrado un binomio usando el patrón Binomial Squares en un capítulo anterior.

En este capítulo, comenzará con un trinomio cuadrado perfecto y lo factorizará en sus factores primos.

Aquí está el patrón, el reverso del patrón de cuadrados binomiales.

Patrón de trinomios cuadrados perfectos

Si a y B son números reales

Para hacer uso de este patrón, debes reconocer que un trinomio dado se ajusta a él. Verifique primero para ver si el coeficiente principal es un cuadrado perfecto, un 2. a 2. Luego, verifica que el último término sea un cuadrado perfecto, b 2. b 2. Luego, marque el término medio: ¿es el producto 2 a b? 2 a b? Si todo va bien, puede escribir fácilmente los factores.

Ejemplo 6.23

Cómo factorizar trinomios cuadrados perfectos

Solución

El signo del término medio determina qué patrón usaremos. Cuando el término medio es negativo, usamos el patrón a 2 - 2 a b + b 2, a 2 - 2 a b + b 2, que se factoriza en (a - b) 2. (a - b) 2.

Los pasos se resumen aquí.

Cómo

Factoriza trinomios cuadrados perfectos.

Paso 1. ¿Se ajusta el trinomio al patrón? a 2 + 2 a b + b 2 a 2 - 2 a b + b 2 ¿Es el primer término un cuadrado perfecto? (a) 2 (a) 2 Escríbalo como un cuadrado. ¿Es el último término un cuadrado perfecto? (a) 2 (b) 2 (a) 2 (b) 2 Escríbalo como un cuadrado. Compruebe el término medio. ¿Es 2 a b? (a) 2 ↘ 2 · a · b ↙ (b) 2 (a) 2 ↘ 2 · a · b ↙ (b) 2 Paso 2. Escribe el cuadrado del binomio. (a + b) 2 (a - b) 2 Paso 3. Verifica multiplicando. Paso 1. ¿Se ajusta el trinomio al patrón? a 2 + 2 a b + b 2 a 2 - 2 a b + b 2 ¿Es el primer término un cuadrado perfecto? (a) 2 (a) 2 Escríbalo como un cuadrado. ¿Es el último término un cuadrado perfecto? (a) 2 (b) 2 (a) 2 (b) 2 Escríbalo como un cuadrado. Compruebe el término medio. ¿Es 2 a b? (a) 2 ↘ 2 · a · b ↙ (b) 2 (a) 2 ↘ 2 · a · b ↙ (b) 2 Paso 2. Escribe el cuadrado del binomio. (a + b) 2 (a - b) 2 Paso 3. Verifica multiplicando.

Trabajaremos uno ahora donde el término medio es negativo.

Ejemplo 6.24

Solución

El primer y último término son cuadrados. Vea si el término medio se ajusta al patrón de un trinomio cuadrado perfecto. El término medio es negativo, por lo que el cuadrado binomial sería (a - b) 2. (a - b) 2.

El siguiente ejemplo será un trinomio cuadrado perfecto con dos variables.

Ejemplo 6.25

Factoriza: 36 x 2 + 84 x y + 49 y 2. 36 x 2 + 84 x y + 49 y 2.

Solución

Pruebe cada término para verificar el patrón.
Factor.
Compruébelo multiplicando.

(6 x + 7 y) 2 (6 x) 2 + 2 · 6 x · 7 y + (7 y) 2 36 x 2 + 84 xy + 49 y 2 ✓ (6 x + 7 y) 2 (6 x) 2 + 2 · 6 x · 7 y + (7 y) 2 36 x 2 + 84 xy + 49 y 2 ✓

Factoriza: 49 x 2 + 84 x y + 36 y 2. 49 x 2 + 84 x y + 36 y 2.

Factor: 64 m 2 + 112 m n + 49 n 2. 64 m 2 + 112 m norte + 49 norte 2.

Recuerde que el primer paso para factorizar es buscar un factor común máximo. Los trinomios cuadrados perfectos pueden tener un MCD en los tres términos y deben factorizarse primero. Y, a veces, una vez que se ha factorizado el MCD, reconocerá un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo 6.26

Factoriza: 100 x 2 y - 80 x y + 16 y. 100 x 2 y - 80 x y + 16 y.

Solución

Recuerde: mantenga el factor 4y en el producto final.

Cheque:

4 y (5 x - 2) 2 4 y [(5 x) 2 - 2 · 5 x · 2 + 2 2] 4 y (25 x 2 - 20 x + 4) 100 x 2 y - 80 xy + 16 y ✓ 4 y (5 x - 2) 2 4 y [(5 x) 2 - 2 · 5 x · 2 + 2 2] 4 y (25 x 2 - 20 x + 4) 100 x 2 y - 80 xy + 16 y ✓

Factoriza: 8 x 2 y - 24 x y + 18 y. 8 x 2 y - 24 x y + 18 y.

Factoriza: 27 p 2 q + 90 p q + 75 q. 27 p 2 q + 90 p q + 75 q.

Factorizar diferencias de cuadrados

El otro producto especial que vio en el capítulo anterior fue el patrón Producto de conjugados. Usaste esto para multiplicar dos binomios que eran conjugados. Aquí tienes un ejemplo:

Una diferencia de factores cuadrados a un producto de conjugados.

Patrón de diferencia de cuadrados

Si a y B son números reales,

Recuerde, "diferencia" se refiere a la resta. Entonces, para usar este patrón debes asegurarte de tener un binomio en el que se resten dos cuadrados.

Ejemplo 6.27

Cómo factorizar un binomio usando la diferencia de cuadrados

Solución

Cómo

Factorizar diferencias de cuadrados.

Paso 1. ¿Se ajusta el binomio al patrón? a 2 - b 2 ¿Es esto una diferencia? ____ - ____ ¿Son el primer y último término cuadrados perfectos? Paso 2. Escríbalos como cuadrados. (a) 2 - (b) 2 Paso 3. Escribe el producto de conjugados. (a - b) (a + b) Paso 4. Verifica multiplicando. Paso 1. ¿Se ajusta el binomio al patrón? a 2 - b 2 ¿Es esto una diferencia? ____ - ____ ¿Son el primer y último término cuadrados perfectos? Paso 2. Escríbalos como cuadrados. (a) 2 - (b) 2 Paso 3. Escribe el producto de conjugados. (a - b) (a + b) Paso 4. Verifica multiplicando.

Es importante recordar que las sumas de cuadrados no se factorizan en un producto de binomios. No hay factores binomiales que se multipliquen para obtener una suma de cuadrados. Después de eliminar cualquier MCD, la expresión a 2 + b 2 a 2 + b 2 es primo.

El siguiente ejemplo muestra variables en ambos términos.

Ejemplo 6.28

Solución

Como siempre, primero debe buscar un factor común siempre que tenga una expresión para factorizar. A veces, un factor común puede "disfrazar" la diferencia de cuadrados y no reconocerás los cuadrados perfectos hasta que factorices el MCD.

Además, para factorizar completamente el binomio en el siguiente ejemplo, factorizaremos una diferencia de cuadrados dos veces.

Ejemplo 6.29

Factoriza: 48 x 4 y 2 - 243 y 2. 48 x 4 y 2 - 243 y 2.

Solución

Factoriza: 7 a 4 c 2-7 b 4 c 2. 7 a 4 c 2-7 b 4 c 2.

El siguiente ejemplo tiene un polinomio con 4 términos. Hasta ahora, cuando esto ocurrió, agrupamos los términos de dos en dos y factorizamos a partir de ahí. Aquí notaremos que los primeros tres términos forman un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo 6.30

Solución

Observe que los primeros tres términos forman un trinomio cuadrado perfecto.

Factoriza agrupando los primeros tres términos.
Utilice el patrón trinomial cuadrado perfecto.
¿Es esta una diferencia de cuadrados? Si.
Sí, escríbalos como cuadrados.
Factorizar como el producto de conjugados.

Es posible que desee reescribir la solución como (x - y - 3) (x + y - 3). (x - y - 3) (x + y - 3).

Factoriza: x 2 - 10 x + 25 - y 2. x 2 - 10 x + 25 - y 2.

Factoriza: x 2 + 6 x + 9 - 4 y 2. x 2 + 6 x + 9 - 4 y 2.

Factorizar sumas y diferencias de cubos

Hay otro patrón especial para factorizar, uno que no usamos cuando multiplicamos polinomios. Este es el patrón para la suma y la diferencia de cubos. Primero escribiremos estas fórmulas y luego las comprobaremos mediante la multiplicación.

Comprobaremos el primer patrón y te dejamos el segundo.

Patrón de suma y diferencia de cubos

Los dos patrones se ven muy similares, ¿no es así? Pero observe los signos en los factores. El signo del factor binomial coincide con el signo del binomio original. Y el signo del término medio del factor trinomial es el opuesto al signo del binomio original. Si reconoce el patrón de los signos, puede que le ayude a memorizar los patrones.

El factor trinomial en la suma y la diferencia del patrón de cubos no se puede factorizar.

Será muy útil si aprende a reconocer los cubos de los números enteros del 1 al 10, al igual que ha aprendido a reconocer los cuadrados. Hemos enumerado los cubos de los números enteros del 1 al 10 en la tabla 6.1.

Ejemplo 6.31

Cómo factorizar la suma o diferencia de cubos

Solución

Cómo

Factoriza la suma o diferencia de cubos.

  1. Paso 1. ¿Se ajusta el binomio al patrón de suma o diferencia de cubos?
    ¿Es una suma o una diferencia?
    ¿El primer y el último término son cubos perfectos?
  2. Paso 2. Escríbalos como cubos.
  3. Paso 3. Use el patrón de suma o diferencia de cubos.
  4. Paso 4. Simplifique entre paréntesis.
  5. Paso 5. Verifique multiplicando los factores.

Ejemplo 6.32

Solución

Este binomio es una diferencia. El primero y el ultimo
los términos son cubos perfectos.
Escribe los términos como cubos.
Usa el patrón de diferencia de cubos.
Simplificar.
Compruébelo multiplicando. Te dejamos el cheque.

En el siguiente ejemplo, primero factorizamos el MCD. Entonces podemos reconocer la suma de cubos.

Ejemplo 6.33

Solución

Factoriza el factor común.
Este binomio es una suma El primero y el último
los términos son cubos perfectos.
Escribe los términos como cubos.
Usa el patrón de suma de cubos.
Simplificar.

Para comprobarlo, puede que le resulte más fácil multiplicar primero la suma de los factores de los cubos y luego multiplicar ese producto por 6 y. 6 años Te dejamos la multiplicación.

El primer término del siguiente ejemplo es un binomio al cubo.

Ejemplo 6.34

Solución

Este binomio es una diferencia. El primero y
los últimos términos son cubos perfectos.
Escribe los términos como cubos.
Usa el patrón de diferencia de cubos.
Simplificar.
Compruébelo multiplicando. Te dejamos el cheque.

Medios de comunicación

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la factorización de productos especiales.

Sección 6.3 Ejercicios

La práctica hace la perfección

Factorizar trinomios cuadrados perfectos

En los siguientes ejercicios, factoriza completamente usando el patrón de trinomios cuadrados perfectos.

75 u 4-30 u 3 v + 3 u 2 v 2 75 u 4-30 u 3 v + 3 u 2 v 2

90 p 4 + 300 p 3 q + 250 p 2 q 2 90 p 4 + 300 p 3 q + 250 p 2 q 2

Factorizar diferencias de cuadrados

En los siguientes ejercicios, factoriza completamente usando el patrón de diferencia de cuadrados, si es posible.

Factorizar sumas y diferencias de cubos

En los siguientes ejercicios, factoriza completamente usando las sumas y diferencias del patrón de cubos, si es posible.

Práctica Mixta

En los siguientes ejercicios, factoriza completamente.

Ejercicios de escritura

¿Por qué fue importante practicar el uso del patrón de cuadrados binomiales en el capítulo sobre multiplicación de polinomios?

¿Cómo reconoces el patrón de cuadrados binomiales?

Autochequeo

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  • Utilice la siguiente información para generar una cita. Recomendamos utilizar una herramienta de citas como esta.
    • Autores: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Álgebra intermedia 2e
    • Fecha de publicación: 6 de mayo de 2020
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/6-3-factor-special-products

    © 21 de enero de 2021 OpenStax. El contenido de los libros de texto producido por OpenStax tiene una licencia Creative Commons Attribution License 4.0. El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no están sujetos a la licencia Creative Commons y no pueden reproducirse sin el consentimiento previo y expreso por escrito de Rice University.


    Suma de cubos

    Para nuestra aplicación aquí, un binomio puede ser la suma de cubos si:

    • Cada término es un número al cubo
    • Cada término es positivo
    • La operación en el binomio es suma

    En otras palabras, la suma de cubos es un polinomio donde a y B son positivos, en la forma:

    Antes de aprender el patrón de factorización, asegurémonos de que podemos identificar las partes. Si las partes se identifican fácilmente, la factorización no es más que introducir valores en una fórmula. ¿Listo?

    En el ejemplo 1, a = X y B = 1. En el segundo ejemplo, a = 2X 2 y B = 3.

    Así es como funciona la fórmula:

    Realicemos la multiplicación en el lado derecho de la ecuación anterior para verificar que esta es la factorización correcta.


    Factorizar diferencias de cubos


    En la página sobre la suma de cubos mostramos que $ a ^ 3 + b ^ 3 = a ^ 2 - ab + b ^ 2 $. Podemos usar esta fórmula para encontrar una factorización para $ a ^ 3 - b ^ 3 $.

    Comenzamos escribiendo $ a ^ 3 - b ^ 3 $ como $ a ^ 3 + (-b) ^ 3 $ y luego usamos el patrón de suma de cubos.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = a ^ 3 + (-b) ^ 3 & = left (a + (-b) right) left (a ^ 2 + a (-b) + (- b) ^ 2 right) & = (a - b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2) end $

    También podríamos determinar la validez de la fórmula usando los mismos métodos que establecimos en la lección de suma de cubos.

    Explicación de la fórmula: método directo

    Podemos verificar la fórmula de factorización expandiendo el resultado y viendo que se simplifica al original, como sigue.

    $ begin blue <(ab)> (a ^ 2 + ab + b ^ 2) & = a ^ 2 blue <(ab)> + ab blue <(ab)> + b ^ 2 blue <(ab)> & = a ^ 3 - a ^ 2b + a ^ 2b - ab ^ 2 + ab ^ 2 - b ^ 3 & = a ^ 3 blue <- a ^ 2b + a ^ 2b> , , red <- ab ^ 2 + ab ^ 2> - b ^ 3 & = a ^ 3 + blue 0 + red 0 - b ^ 3 & = a ^ 3 - b ^ 3 end $

    Explicación de la fórmula --- Método de división

    Otra forma de confirmar la fórmula es encontrar una solución a $ a ^ 3 - b ^ 3 = 0 $, y luego usar la división para encontrar la forma factorizada.

    Encuentre una solución para $ a ^ 3 - b ^ 3 = 0 $.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = 0 a ^ 3 & = b ^ 3 sqrt [3] & = sqrt [3] a & = b end $

    Una de las soluciones es $ a = b $. Sumar $ b $ a ambos lados de esta ecuación nos da $ a - b = 0 $, lo que significa que $ (a - b) $ es un factor de $ a ^ 3 - b ^ 3 $.

    Encuentra el otro factor de $ a ^ 3 - b ^ 3 $ usando la división polinomial.

    Dado que $ a - b $ se divide uniformemente en $ a ^ 3 - b ^ 3 $, sabemos

    Calculadora de diferencia de cubos

    Ejemplo

    Muestre que $ x ^ 3 - 27 $ se factoriza en $ (x - 3) (x ^ 2 + 3x + 9) $.

    Muestre que expandir $ (x - 3) (x ^ 2 + 3x + 9) $ da como resultado $ x ^ 3 - 27 $.

    $ begin azul <(x - 3)> (x ^ 2 + 3x + 9) & = x ^ 2 azul <(x - 3)> + 3x azul <(x - 3)> + 9 azul <(x - 3)> & = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 3x ^ 2 - 9x + 9x - 27 & = x ^ 3 - 27 end $

    Paso 1 (solución alternativa)

    Muestre que $ (x - 3) (x ^ 2 + 3x + 9) $ coincide con el patrón correcto para la fórmula.

    Como queremos factorizar $ x ^ 3 - 27 $, primero identificamos $ a $ y $ b $.

    Como $ a $ es la raíz cúbica del primer término, sabemos que $ a = sqrt [3] = x $.

    Asimismo, dado que $ b $ es la raíz cúbica del segundo término, sabemos que $ b = sqrt [3] <27> = 3 $.

    Anote la forma factorizada.

    $ begin a ^ 3 + b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) x ^ 3 - 27 & = ( blue x - red 3) ( blue x ^ 2 + blue x cdot red 3 + red 3 ^ 2) & = (x-3) (x ^ 2 + 3x + 9) end $


    Factorizar diferencias de cubosProblemas de práctica


    Como $ blue a $ es la raíz cúbica del primer término, $ blue a = sqrt [3] = azul x $.

    De manera similar, como $ red b $ es la raíz cúbica del segundo término, $ red b = sqrt [3] 8 = red 2 $.

    Anote la forma factorizada.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red + red ^ 2) x ^ 3 - 8 & = ( blue x - red 2) ( blue x ^ 2 + blue x cdot red <2> + red <2> ^ 2) & = (x - 2) (x ^ 2 + 2x + 4) end $

    Problema 2

    Como $ blue a $ es la raíz cúbica del primer término, $ blue a = sqrt [3] = azul x $.

    Asimismo, dado que $ red b $ es la raíz cúbica del segundo término, $ red b = sqrt [3] 1 = red 1 $.

    Anote la forma factorizada.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) x ^ 3 - 1 & = ( blue x - red 1) ( blue x ^ 2 + blue x cdot red 1 + red 1 ^ 2) & = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) end $

    Problema 3

    Como $ blue a $ es la raíz cúbica del primer término, $ blue a = sqrt [3] <27x ^ 3> = blue <3x> $.

    Asimismo, dado que $ red b $ es la raíz cúbica del segundo término, $ red b = sqrt [3] <64> = red 4 $.

    Anote la forma factorizada.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) 27x ^ 3 - 64 & = ( blue <3x> - rojo 4) [ azul <(3x)> ^ 2 + azul <(3x)> rojo <(4)> + rojo 4 ^ 2] & = (3x - 4) ( 9x ^ 2 + 12x + 16) end $

    $ 27x ^ 3-64 = (3x - 4) (9x ^ 2 + 12x + 16) $

    Problema 4

    Dado que $ a $ es la raíz cúbica del primer término, $ a = sqrt [3] <8x ^ 3> = 2x $.

    Del mismo modo, como $ b $ es la raíz cúbica del segundo término, $ b = sqrt [3] <125> = 5 $.

    Anote la forma factorizada.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) 8x ^ 3 - 125 & = ( blue <2x> - red 5) [ blue <(2x)> ^ 2 + blue <(2x)> red <(5)> + red 5 ^ 2] & = (2x - 5) ( 4x ^ 2 + 10x + 25) end $

    $ 8x ^ 3 - 125 = (2x - 5) (4x ^ 2 + 10x + 25) $

    Problema 5

    Dado que $ a $ es la raíz cúbica del primer término, $ a = sqrt [3] = x $.

    Asimismo, dado que $ b $ es la raíz cúbica del segundo término, $ b = sqrt [3] = y $.

    Anote la forma factorizada.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) x ^ 3 - y ^ 3 & = ( blue x - red y) ( blue x ^ 2 + blue x red y + red y ^ 2) end $

    Problema 6

    Dado que $ a $ es la raíz cúbica del primer término, $ a = sqrt [3] <216x ^ 3> = 6x $.

    Del mismo modo, como $ b $ es la raíz cúbica del segundo término, $ b = sqrt [3] <27y ^ 3> = 3y $.

    Anote la forma factorizada.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) 216x ^ 3 - 27y ^ 3 & = ( blue <6x> - red <3y>) [ blue <(6x)> ^ 2 + blue <(6x)> red <(3y)> + red <(3y)> ^ 2] & = (6x - 3y) (36x ^ 2 + 18xy + 9y ^ 2) & = 3 (2x - y) cdot 9 (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) & = 27 (2x - y) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) end $

    $ 216x ^ 3 - 27y ^ 3 = 27 (2x - y) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) $

    Problema 7

    Factoriza $ 8x ^ 6 - 125y ^ 9 $ como una diferencia de cubos.

    Dado que $ a $ es la raíz cúbica del primer término, $ a = sqrt [3] <8x ^ 6> = 2x ^ 2 $.

    Del mismo modo, como $ b $ es la raíz cúbica del segundo término, $ b = sqrt [3] <125y ^ 9> = 5y ^ 3 $.

    Anote la forma factorizada.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) 8x ^ 6 - 125y ^ 9 & = ( azul <2x ^ 2> - rojo <5y ^ 3>) [ azul <(2x ^ 2)> ^ 2 + azul <(2x ^ 2)> rojo <(5y ^ 3)> + rojo <(5y ^ 3)> ^ 2] & = (2x ^ 2 - 5y ^ 3) (4x ^ 4 + 10x ^ 2y ^ 3 + 25y ^ 6) end $

    $ 8x ^ 6 - 125y ^ 9 = (2x ^ 2 - 35 ^ 3) (4x ^ 4 + 10x ^ 2y ^ 3 + 25y ^ 6) $

    Problema 8

    Factoriza $ 64x ^ <9/2> - 343y ^ 6 $ como una diferencia de cubos.

    Dado que $ a $ es la raíz cúbica del primer término, $ a = sqrt [3] <64x ^ <3/2 >> = (64x ^ <3/2>) ^ <1/3> = 4x ^ < 1/2> $.

    Del mismo modo, como $ b $ es la raíz cúbica del segundo término, $ b = sqrt [3] <343y ^ <6/5 >> = (343y ^ 6) ^ <1/3> = 7y ^ 2 $.

    Anote la forma factorizada.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( azul a - rojo b) ( azul a ^ 2 + azul a rojo b + rojo b ^ 2) 64x ^ <3/2> - 343y ^ 6 & = left ( blue <4x ^ <1/2 >> - red <7y ^ 2> right) left [ blue < left (4x ^ <1/2> right)> ^ 2 + azul < left (4x ^ <1/2> right)> red < left (7y ^ 2 right)> + red < left (7y ^ 2 right)> ^ 2 right] & = left (4x ^ <1/2> - 7y ^ 2 right) left (16x + 28x ^ <1/2> y ^ 2 + 49y ^ 4 right) end $

    $ 64x ^ <3/2> - 343y ^ 6 = left (4x ^ <1/2> - 7y ^ 2 right) left (16x + 28x ^ <1/2> y ^ 2 + 49y ^ 4 derecha) $

    Problema 9

    Factoriza $ 5x ^ <12> - 135y ^ <30> $ como una diferencia de cubos.

    Factoriza el factor común.

    Como $ a $ es la raíz cúbica del primer término, $ a = sqrt [3]> = x ^ 4 $.

    Del mismo modo, como $ b $ es la raíz cúbica del segundo término, $ b = sqrt [3] <27y ^ <30>> = 3y ^ <10> $.

    Anote la forma factorizada.

    $ begin a ^ 3 - b ^ 3 & = ( blue a - red b) ( blue a ^ 2 + blue a red b + red b ^ 2) 5 left (x ^ <12> - 27y ^ <30> right) & = 5 left ( blue - red <3y ^ <10>> right) left [ blue < left (x ^ 4 right)> ^ 2 - blue < left (x ^ 4 right)> red < left (3y ^ <10> right)> + red < left (3y ^ <10> right)> ^ 2 right] & = 5 left (x ^ 4 - 3y ^ <10> right ) left (x ^ 8 - 3x ^ 4y ^ <10> + 9y ^ <20> right) end $

    $ 5x ^ <12> - 135y ^ <30> = 5 left (x ^ 4 - 3y ^ <10> right) left (x ^ 8 - 3x ^ 4y ^ <10> + 9y ^ <20> derecha) $


    Factorizar la suma o diferencia de cubos - Problema 3

    Carl enseñó matemáticas de nivel superior en varias escuelas y actualmente dirige su propia empresa de tutoría. ¡Apuesta a que nadie puede vencer su amor por las actividades intensivas al aire libre!

    Factorizar trinomios. Entonces, detrás de mí, tengo una expresión de que estamos tratando de factorizar xa la novena menos la cantidad 5 menos ya la tercera. Tenemos a nuestra disposición dos ecuaciones potenciales diferentes. Podríamos tener la diferencia de cuadrados o la diferencia de cubos. Lo sé porque estamos restando, por lo tanto, tiene que ser una fórmula de diferencia.

    Entonces, mirándolo, primero 5 menos y al tercero, no hay forma de que se pueda escribir como un cuadrado, por lo tanto, sé que tengo que lidiar con una diferencia de cubos. Entonces, lo que tengo que hacer es volver primero a nuestra fórmula de diferencia de cubos. Entonces sé que a³ menos b³ se puede factorizar como un menos b, el primer signo está de acuerdo, a² más ab, el segundo signo es diferente más b².

    Entonces, el truco para este problema es averiguar qué es ay qué es b. Entonces, realmente no hay razón para multiplicar este 5 menos y al tercero porque realmente estamos buscando algo al cubo, así que realmente lo que podemos decir es que b es igual a 5 menos y. Estamos tratando con b³, ya tenemos algo al cubo, por lo que algo es nuestro b.

    La siguiente parte que debemos mirar es xa la novena y queremos escribir eso también como algo al cubo. Cuando se trata de exponentes, multiplicamos la potencia a una potencia, por lo que queremos averiguar qué debemos poner como nuestra potencia en orden cuando multiplicamos para obtener 9. 3 por 3 es 9, entonces nuestro x³ va para ser nuestro término. Desde aquí sabemos qué es a, esto es ay sabemos qué es b. Podemos simplemente sustituir eso en nuestra fórmula. Así que comenzamos con una, esta no es realmente la parte linda, pero lo hice para descubrir cuál era mi a. Bien, entonces a es x³, así que podemos conectarlo cada vez que veamos a. Esto es x³, a es x³, entonces x³ al cuadrado va a ser x elevado al sexto, entonces tenemos un más x³ allí.

    Luego, menos b de nuestro primer término, pero b es igual a 5 menos y, así que sustituyendo eso en, 5 menos y, póngalo un poco más cerca, 5 menos y, y luego, por último, más 5 menos y cantidad al cuadrado. Ahora, podríamos distribuir todo esto. Normalmente, la mayoría de los profesores están perfectamente bien dejándolo así. Sabes, podríamos distribuir nuestro signo negativo, multiplicar esto, FALLO esto, pero lo que realmente hemos hecho es la mayor parte del trabajo que consiste en averiguar cuál es nuestro a y b, averiguar el hecho de que tenemos un diferencia de cubos y luego conectando nuestras dos ayb en la ecuación para factorizar.


    Repaso matemático de la factorización de sumas o diferencias de cubos

    Descripción general

    Las sumas o diferencias de cubos se pueden factorizar de manera similar a otras ecuaciones cuadráticas. Siguen un patrón que es un poco más complejo que factorizar ecuaciones cuadráticas.

    Suma de cubos

    Una suma de cubos es una expresión como x 3 + a 3, donde ambos miembros de la expresión son cubos perfectos. Suponga que la expresión es 8y 3 + 27. El monomio 8y 3 es un cubo perfecto de 2y, porque (2y) 3 es igual a 8y 3. De manera similar, la constante 27 es un cubo perfecto de 3, porque 3 3 es igual a 27.

    Figura 1: La suma de cubos sigue el patrón x 3 + a 3.

    Diferencia de cubos

    Una diferencia de cubos es una expresión como x 3 & # 8211 a 3, donde ambos miembros de la expresión son cubos perfectos. Suponga que la expresión es 64x 3 - 125. El monomio 64x 3 es un cubo perfecto de 4x, porque (4x) 3 es igual a 64x 3. De manera similar, la constante 125 es un cubo perfecto de 5, porque 5 3 es 125. Un cubo perfecto puede ser un número real negativo, porque un número real negativo multiplicado por un número real negativo es positivo y un número positivo multiplicado por un número negativo es un número negativo.

    Figura 2: La diferencia de cubos sigue el patrón x 3 - a 3.

    Factorizar la suma de cubos

    La suma de cubos x 3 + a 3 sigue un patrón especial. Un factor es (x + a), y el otro factor es un polinomio cuadrático que ya está en términos más simples, (x 2 - ax + a 2). Multiplicar (x + a) (x 2 - ax + a 2) es lo mismo que sumar x (x 2 & # 8211 ax + a 2) + a (x 2 - ax + a 2). El primer término es x 3 & # 8211 ax 2 + a 2 x, y el segundo término es ax 2 - a 2 x + a 3. Poniendo los términos juntos, la expresión completa es x 3 - ax 2 + a 2 x –a 2 x + a 3. Simplificado, la expresión es la suma de cubos x 3 + a 3. Suponga que la expresión es 8y 3 +27. Siguiendo el patrón, se puede factorizar como (2y + 3) (4y 2 & # 8211 6y + 9).

    Factorizar la diferencia de cubos

    La diferencia de cubos x 3 - un 3 también sigue un patrón especial. Un factor es (x & # 8211 a), y el otro factor es un polinomio cuadrático similar a la suma de cubos, también en términos más simples, (x 2 + ax + a 2). Multiplicar (x & # 8211 a) (x 2 + ax + a 2) es lo mismo que sumar x (x 2 + ax + a 2) - a (x 2 + ax + a 2). Simplificado, la expresión es la diferencia de cubos x 3 & # 8211 a 3. Suponga que la expresión es x 3 - 216. Siguiendo el patrón, se puede factorizar como (x & # 8211 6) (x 2 + 6x + 36). Eso es lo mismo que x (x 2 + 6x + 36) - 6 (x 2 + 6x + 36). Poniendo los términos juntos, la expresión completa es x 3 + 6x 2 + 36x & # 8211 6x 2 - 36x & # 8211216.

    Figura 3: El patrón para factorizar la suma de dos cubos o la diferencia de dos cubos.

    El acrónimo SOAP es una manera fácil de recordar la secuencia para la suma o diferencia de cubos. Si la expresión a factorizar es una suma de cubos x 3 + a 3, el primer factor (x + a) tiene el mismo signo que x 3 + a 3. La primera operación (x 2 & # 8211 ax) en el segundo factor (x 2 - ax + b 2) tiene el signo opuesto a x + a. La segunda operación en el segundo factor (ax + b 2) siempre es positiva. Si la expresión a factorizar es una diferencia de cubos x 3 - a 3, la secuencia también sigue a SOAP. El primer factor es (x & # 8211 a), el mismo signo. La primera operación (x 2 + ax) en el segundo factor (x 2 + ax + b 2) tiene el signo opuesto como (x & # 8211 a) y la segunda operación (ax + b 2) es siempre positiva. La prueba de factorizar la suma de cubos o la diferencia de cubos se explorará en clases de matemáticas universitarias más avanzadas.

    Figura 4: Un mnemónico para recordar el orden de los signos. (¡Incluso flota!)

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    En matemáticas, la suma de dos cubos aparece como un polinomio y tiene que simplificarse en algunos casos. Matemáticamente, es posible expresar la suma de dos cubos como producto de dos expresiones por factorización.

    Conocimiento requerido

    Para factorizar (o factorizar) la suma de dos cubos, debes aprender el siguiente concepto matemático.

    En matemáticas, la fórmula de la suma de dos cubos se escribe en forma algebraica de dos maneras.

    Pasos

    La factorización (o factorización) de una expresión que contiene dos cubos se puede realizar en dos sencillos pasos.

    1. Escribe cada término de la expresión en forma de cubo.
    2. Factoriza el polinomio como producto de dos expresiones usando la fórmula de suma de cubos.

    Ejemplo

    Paso & # 8211 1

    El polinomio dado $ 64x ^ 3 + 1 $ tiene dos términos, pero ambos no están completamente en forma de suma de dos cubos, pero se pueden expresar en forma de suma de dos cubos por exponenciación.

    Paso & # 8211 2

    Ahora, usa la fórmula de la suma de dos cubos para factorizarlo. Según $ a ^ 3 + b ^ 3 $ $ , = , $ $ (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2-ab) $.

    Por lo tanto, la expresión algebraica $ (4x) ^ 3 + 1 ^ 3 $ se factoriza como $ (4x + 1) (16x ^ 2 + 1-4x) $ matemáticamente por la suma de dos cubos.


    Ver el vídeo: Συμπλήρωσε τον αριθμό που λείπει Πρόσθεση. Μαθηματικά Β Δημοτικού (Octubre 2021).