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13.3: Teoría de Ramsey - Matemáticas


13.3: Teoría de Ramsey - Matemáticas

Paquetes

Esta es la documentación de la biblioteca estándar de Scala.

Esta es la documentación de la biblioteca estándar de Scala.

Estructura del paquete

El paquete scala contiene tipos básicos como Int, Float, Array u Option, a los que se puede acceder en todas las unidades de compilación de Scala sin ninguna calificación o importación explícita.

    y sus subpaquetes contienen el marco de colecciones de Scala
      - Estructuras de datos secuenciales inmutables como Vector, List, Range, HashMap o HashSet - Estructuras de datos secuenciales mutables como ArrayBuffer, StringBuilder, HashMap o HashSet - Estructuras de datos concurrentes y mutables como TrieMap

    Existen otros paquetes. Vea la lista completa a la derecha.

    Las partes adicionales de la biblioteca estándar se envían como bibliotecas independientes. Éstas incluyen:

      - API de reflexión de Scala (scala-reflect.jar) - Análisis, manipulación y serialización de XML (scala-xml.jar) - Colecciones paralelas (scala-parallel-collections.jar) - Combinadores de analizadores (scala-parser-combinators.jar) - Un envoltorio conveniente alrededor del marco de GUI de Java llamado Swing (scala-swing.jar)

    Importaciones automáticas

    Los identificadores en el paquete scala y el objeto scala.Predef siempre están dentro del alcance de forma predeterminada.

    Algunos de estos identificadores son alias de tipo que se proporcionan como accesos directos a clases de uso común. Por ejemplo, List es un alias de scala.collection.immutable.List.

    Otros alias se refieren a clases proporcionadas por la plataforma subyacente. Por ejemplo, en la JVM, String es un alias de java.lang.String.

    Tipos principales de Scala. Siempre están disponibles sin una importación explícita.

    Este objeto de paquete contiene primitivas para programación simultánea y paralela.

    Este objeto de paquete contiene primitivas para programación simultánea y paralela.

    Guía

    En http://docs.scala-lang.org/overviews/core/futures.html se puede encontrar una guía más detallada de Futuros y promesas, que incluye discusiones y ejemplos.

    Importaciones Comunes

    Cuando trabaje con Futures, a menudo encontrará que es conveniente importar todo el paquete concurrente:

    Cuando se usan cosas como Future s, a menudo se requiere tener un ExecutionContext implícito en el alcance. Los consejos generales para estos implícitos son los siguientes.

    Si el código en cuestión es una definición de clase o método y no hay ningún ExecutionContext disponible, solicite uno al llamador agregando una lista de parámetros implícitos:

    Esto permite al autor de la llamada del método, o al creador de la instancia de la clase, decidir qué ExecutionContext debe usarse.

    Para el uso y la experimentación típicos de REPL, a menudo se desea importar el ExecutionContext global.

    Especificación de duraciones

    Las operaciones a menudo requieren que se especifique una duración. Hay disponible un DSL de duración para facilitar la definición de estos:

    Uso de futuros para computación sin bloqueo

    El uso básico de futuros es fácil con el método de fábrica en Future, que ejecuta una función proporcionada de forma asincrónica, devolviéndole un resultado futuro de esa función sin bloquear el hilo actual. Para crear el futuro, necesitará que se proporcione un ExecutionContext implícito o explícito:

    Evite el bloqueo

    Aunque el bloqueo es posible para esperar resultados (con una duración de tiempo de espera obligatoria):

    y aunque a veces es necesario hacerlo, en particular con fines de prueba, en general se desaconseja el bloqueo cuando se trabaja con Futuros y concurrencia para evitar posibles puntos muertos y mejorar el rendimiento. En su lugar, use devoluciones de llamada o combinadores para permanecer en el dominio futuro:

    El objeto de paquete scala.math contiene métodos para realizar operaciones numéricas básicas como funciones elementales exponenciales, logarítmicas, raíz y trigonométricas.

    El objeto de paquete scala.math contiene métodos para realizar operaciones numéricas básicas como funciones elementales exponenciales, logarítmicas, raíz y trigonométricas.

    Todos los métodos se reenvían a java.lang.Math a menos que se indique lo contrario.

    El objeto de paquete scala.sys contiene métodos para leer y alterar aspectos centrales de la máquina virtual, así como del mundo exterior.

    El objeto de paquete scala.sys contiene métodos para leer y alterar aspectos centrales de la máquina virtual, así como del mundo exterior.


    13.3: Teoría de Ramsey - Matemáticas

    13. Educación a distancia
    PDF

    13.1 Introducción
    13.2 Historia de la educación a distancia
    13.3 Teoría de la educación a distancia
    13.4 Tecnologías de aprendizaje a distancia
    13.5 Direcciones futuras y tecnologías emergentes
    13.6 Investigación relacionada con los medios de comunicación en la educación a distancia
    13.7 Asuntos internacionales
    13.8 Resumen y recomendaciones
    Referencias

    13.3 TEORÍA DE LA EDUCACIÓN A DISTANCIA

    El desarrollo de nuevas tecnologías ha promovido un asombroso crecimiento en la educación a distancia, tanto en el número de estudiantes que se matriculan como en el número de universidades que incorporan la educación a distancia a su plan de estudios (Garrison, 1990). Si bien la aplicación de la tecnología moderna puede dar glamour a la educación a distancia, la literatura en el campo revela un marco conceptual fragmentado que carece tanto de fundamento teórico como de investigación programática. Sin una base sólida en la investigación y la teoría, la educación a distancia ha luchado por el reconocimiento de la comunidad académica tradicional. La educación a distancia ha sido descrita por algunos (Garrison, 1990 Hayes, 1990) como una mezcolanza de ideas y prácticas tomadas de los entornos tradicionales del aula e impuestas a los estudiantes que por casualidad están separados físicamente de un instructor. A medida que la educación a distancia lucha por identificar los marcos teóricos apropiados, los problemas de implementación también se vuelven importantes. Estos problemas involucran al alumno, al instructor y a la tecnología. Debido a la naturaleza misma de la educación a distancia como instrucción centrada en el alumno, los educadores a distancia deben avanzar para investigar cómo el alumno, el instructor y la tecnología colaboran para generar conocimiento.

    Tradicionalmente, tanto los constructos teóricos como los estudios de investigación en educación a distancia se han considerado en el contexto de una empresa educativa que estaba completamente separada del modelo de instrucción clásico estándar, basado en el aula. En parte para justificar y en parte para explicar el fenómeno, teóricos como Holmberg, Keegan y Rumble exploraron los supuestos subyacentes de qué es lo que hace que la educación a distancia sea diferente de la educación tradicional. Con una visión temprana de lo que significaba ser un alumno no tradicional, estos pioneros de la educación a distancia definieron al alumno a distancia como aquel que está físicamente separado del maestro (Rumble, 1986), tiene una experiencia de aprendizaje planificada y guiada (Holmberg, 1986). y participa en una forma estructurada de dos vías de educación a distancia que es distinta de la forma tradicional de instrucción en el aula (Keegan, 1988). Para justificar la importancia de este tipo de educación no tradicional, los primeros enfoques teóricos intentaron definir los atributos importantes y únicos de la educación a distancia.

    Keegan (1986) identifica tres enfoques históricos para el desarrollo de una teoría de la educación a distancia. Las teorías de autonomía e independencia de las décadas de 1960 y 1970, argumentadas por Wedemeyer (1977) y Moore (1973), reflejan el componente esencial de la independencia del alumno. El trabajo de Otto Peter (1971) sobre una teoría de la industrialización en la década de 1960 refleja el intento de ver el campo de la educación a distancia como una forma industrializada de enseñanza y aprendizaje. El tercer enfoque integra las teorías de interacción y comunicación formuladas por Badth (1982, 1987) y Daniel y Marquis (1979). Utilizando el modelo postindustrial, Keegan presenta estos tres enfoques para el estudio y desarrollo de la disciplina académica de la educación a distancia. Es este concepto de aprendizaje industrializado, abierto y no tradicional lo que, dice Keegan, cambiará la práctica de la educación.

    Wedemeyer (1981) identifica los elementos esenciales del aprendizaje independiente como una mayor responsabilidad del estudiante, una instrucción ampliamente disponible, una combinación eficaz de medios y métodos, la adaptación a las diferencias individuales y una amplia variedad de tiempos de inicio, finalización y aprendizaje. Holmberg (1989) pide fundamentos para la construcción de teorías en torno a los conceptos de independencia, aprendizaje y enseñanza:

    El aprendizaje significativo, que ancla la nueva materia de aprendizaje en las estructuras cognitivas, no el aprendizaje de memoria, es el centro de interés. Se entiende que enseñar significa facilitar el aprendizaje. La individualización de la enseñanza y el aprendizaje, el fomento del pensamiento crítico y la autonomía de gran alcance del estudiante se integran con esta visión del aprendizaje y la enseñanza (Holmberg, 1989, p. 161).

    Holmberg resume su enfoque teórico afirmando que:

    La educación a distancia es un concepto que cubre las actividades de aprendizaje-enseñanza en los dominios cognitivo y / o psicomotor y afectivo de un alumno individual y una organización de apoyo. Se caracteriza por una comunicación no contigua y puede realizarse en cualquier lugar y en cualquier momento, lo que la hace atractiva para adultos con compromisos profesionales y sociales (Holmberg, 1989, p. 168).

    Garrison y Shale (1987) incluyen en sus criterios esenciales para la formulación de una teoría de la educación a distancia los elementos de la comunicación no contigua, la comunicación interactiva bidireccional y el uso de la tecnología para mediar la necesaria comunicación bidireccional.

    13.3.1 Construcciones teóricas

    Recientemente, una gama más amplia de nociones teóricas ha proporcionado una comprensión más rica del alumno a distancia. Cuatro de estos conceptos son distancia transaccional, interacción, control del alumno y presencia social.

    13.3.1.1. Distancia transaccional. El concepto de "distancia transaccional" de Moore (1990) abarca la distancia que, dice, existe en todas las relaciones educativas. Esta distancia está determinada por la cantidad de diálogo que se produce entre el alumno y el instructor, y la cantidad de estructura que existe en el diseño del curso. La mayor distancia transaccional ocurre cuando un programa educativo tiene más estructura y menos diálogo alumno-maestro, como se puede encontrar en algunos cursos tradicionales de educación a distancia. La educación ofrece un continuo de transacciones desde menos distante, donde hay mayor interacción y menos estructura, hasta más distante, donde puede haber menos interacción y más estructura. Este continuo desdibuja las distinciones entre los programas convencionales y a distancia debido a la variedad de transacciones que ocurren entre profesores y alumnos en ambos entornos. Por tanto, la distancia no está determinada por la geografía, sino por la relación entre diálogo y estructura.

    Saba y Shearer (Saba & amp Shearer, 1994) llevan el concepto de distancia transaccional un paso más allá al proponer un modelo de dinámica de sistemas para examinar la relación entre el diálogo y la estructura en la distancia transaccional. En su estudio, Saba y Shearer concluyen que a medida que aumentan el control y el diálogo del alumno, la distancia transaccional disminuye. No es la ubicación lo que determina el efecto de la instrucción, sino la cantidad de transacciones entre el alumno y el instructor. Este concepto tiene implicaciones tanto para las aulas tradicionales como para las distantes. El uso de sistemas de telecomunicaciones integrados puede permitir una mayor variedad de transacciones, mejorando así el diálogo para minimizar la distancia transaccional.

    13.3.1.2. Interacción. Un segundo constructo teórico de reciente interés para los educadores a distancia, y que ha recibido mucha atención en la literatura teórica, es el de la interacción. Moore (1989) analiza tres tipos de interacción esenciales en la educación a distancia. La interacción alumno-instructor es ese componente de su modelo que proporciona motivación, retroalimentación y diálogo entre el maestro y el alumno. La interacción alumno-contenido es el método mediante el cual los alumnos obtienen información intelectual del material. La interacción alumno-alumno es el intercambio de información, ideas y diálogo que se produce entre los alumnos sobre el curso, ya sea de forma estructurada o no estructurada. El concepto de interacción es fundamental para la eficacia de los programas de educación a distancia, así como de los tradicionales. Hillman, Hills y Gunawardena (1994) han llevado la idea de interacción un paso más allá y han añadido un cuarto componente al modelo de interacción alumno-interfaz. Señalan que la interacción entre el alumno y la tecnología que imparte la instrucción es un componente crítico del modelo, que hasta ahora ha estado ausente en la literatura. Proponen un nuevo paradigma que incluye comprender el uso de la interfaz en todas las transacciones. Los estudiantes que no tienen las habilidades básicas requeridas para usar un medio de comunicación pasan una cantidad excesiva de tiempo aprendiendo a interactuar con la tecnología y tienen menos tiempo para aprender la lección. Por esta razón, los diseñadores instruccionales deben incluir interacciones de la interfaz del alumno que le permitan tener interacciones exitosas con la tecnología mediadora.

    13.3.1.3. Control. Un tercer concepto teórico que recibe atención en la literatura sobre educación a distancia es el de independencia y control del alumno. Los estudios que examinan el locus de control (Altmann & amp Arambasich, 1982 Rotter, 1989) concluyen que los estudiantes que perciben que su éxito académico es el resultado de sus propios logros personales tienen un locus de control interno y es más probable que persistan en su educación. Los estudiantes con un locus de control externo sienten que su éxito, o la falta de él, se debe en gran parte a eventos como la suerte o el destino fuera de su control. Por lo tanto, es más probable que los externos se conviertan en desertores. Los factores de control que influyen en la tasa de abandono escolar han sido motivo de preocupación para los educadores a distancia en su búsqueda de criterios para predecir la finalización satisfactoria del curso. Baynton (1992) desarrolló un modelo para examinar el concepto de control tal como se define por independencia, competencia y apoyo. Ella nota que el control es más que independencia. Requiere encontrar un equilibrio entre tres factores: la independencia del alumno (la oportunidad de tomar decisiones), la competencia (habilidad y destreza) y el apoyo (tanto humano como material). El análisis factorial de Baynton confirma la importancia de estos tres factores y sugiere otros factores que pueden afectar el concepto de control y que deberían examinarse para representar con precisión la compleja interacción entre profesor y alumno en el entorno de aprendizaje a distancia.

    13.3.1.4. Contexto social. Por último, el contexto social en el que se desarrolla la educación a distancia se perfila como un área importante de investigación. Los teóricos están examinando cómo el entorno social afecta la motivación, las actitudes, la enseñanza y el aprendizaje. Existe una noción generalizada de que la tecnología es culturalmente neutral y puede usarse fácilmente en una variedad de entornos. Sin embargo, los medios, materiales y servicios a menudo se transfieren de manera inapropiada sin que se preste atención al entorno social oa la cultura local receptora (Mclsaac, 1993). Las actividades de aprendizaje basadas en la tecnología se utilizan con frecuencia sin prestar atención al impacto en el entorno social local. La comunicación mediada por computadora intenta reducir los patrones de discriminación proporcionando igualdad de interacción social entre los participantes que pueden ser anónimos en términos de género, raza y características físicas. Sin embargo, existe evidencia de que el factor de igualdad social puede no extenderse, por ejemplo, a los participantes que no son buenos escritores pero que deben comunicarse principalmente en un formato basado en texto (Gunawardena, 1993). Es particularmente importante examinar los factores sociales en entornos de aprendizaje a distancia donde el proceso de comunicación está mediado y donde se crean climas sociales que son muy diferentes de los entornos tradicionales. Feenberg y Bellman (1990) proponen un modelo de factor social para examinar entornos de redes informáticas que crean entornos sociales electrónicos especializados para estudiantes y colaboradores que trabajan en grupos.

    Un factor social particularmente significativo para los educadores a distancia es la presencia social, el grado en que una persona se siente "socialmente presente" en una situación mediada. La noción es que la presencia social es inherente al medio en sí, y las tecnologías ofrecen a los participantes distintos grados de "presencia social" (Short, Williams & amp Christie, 1976). Hackman y Walker (1990), al estudiar a los estudiantes en una clase de televisión interactiva, encontraron que las señales que se les daban a los estudiantes, como los gestos alentadores, las sonrisas y el elogio, eran factores sociales que aumentaban tanto la satisfacción de los estudiantes como su percepción del aprendizaje. Construcciones como la presencia social, la inmediatez y la intimidad son factores sociales que merecen una mayor investigación.

    13.3.2 Hacia una base teórica

    Aunque ha habido numerosos intentos de formular una base teórica para el campo, la educación a distancia estadounidense sigue siendo "caótica y confusa". No existe una política nacional, ni nada que se acerque a un consenso entre los educadores sobre el valor, la metodología o incluso el concepto de educación a distancia ”(Moore, 1993). Shale (1990) pide a los teóricos y profesionales que dejen de enfatizar los puntos de diferencia entre la educación a distancia y la educación tradicional, y en su lugar identifiquen problemas educativos comunes. La educación a distancia es, después de todo, simplemente educación a distancia con marcos comunes, preocupaciones conceptuales comunes y preguntas de investigación similares relacionadas con el proceso social de enseñanza y aprendizaje. Muchos educadores a distancia están comenzando a reclamar un modelo teórico basado en la epistemología constructivista (Jegede, 1991). Los avances tecnológicos ya han comenzado a difuminar la distinción entre entornos educativos tradicionales y a distancia. Los calificadores de tiempo y lugar ya no son únicos. La necesidad de probar suposiciones e hipótesis sobre cómo y bajo qué condiciones los individuos aprenden mejor conduce a preguntas de investigación sobre el aprendizaje, la enseñanza, el diseño de cursos y el papel de la tecnología en el proceso educativo. Como es tradicional, la educación integra el uso de tecnologías multimedia interactivas para mejorar el aprendizaje individual, el rol del maestro cambia de fuente de conocimiento a facilitador de conocimiento. A medida que las redes estén disponibles en las escuelas y los hogares para alentar a las personas a convertirse en sus propios navegantes del conocimiento, la estructura de la educación cambiará y la necesidad de teorías separadas para la educación a distancia se fusionará con los fundamentos teóricos de la corriente principal de la educación.

    Más del 35% de la literatura revisada informó la necesidad de desarrollar un marco teórico central en el que se pueda basar el desarrollo futuro de la educación a distancia. Si bien numerosos artículos de revistas y presentaciones de conferencias discutieron la falta de un marco teórico en el campo, la mayor parte del trabajo fue más descriptivo que orientado a la investigación. Sin embargo, varios escritores han contribuido a la formulación de la teoría.

    Verduin y Clark (1991) ofrecen una justificación al sugerir que la confusión sobre la terminología de la educación a distancia puede ser la culpable. En respuesta a este vacío teórico, Gibson (1990) sugiere tomar prestada una teoría de las disciplinas existentes. Miller (1989) coincide al sugerir que "es importante que el estudio de la educación a distancia se base en el trabajo realizado en otras disciplinas" (p. 15). Boyd y Apps (1980) luchan con la idea de tomar prestada una teoría, ya que ven que el tema importante es el desarrollo de una estructura, función, propósito y meta claramente definidos para la educación a distancia. "Debemos preguntarnos qué suposiciones erróneas podemos estar aceptando cuando tomamos prestado de disciplinas establecidas para definir la educación a distancia" (págs. 2-3). Además, tomar prestado extensamente de otros campos para definir y resolver problemas permite que el campo defina el campo prestado (Gibson, 1990). En un esfuerzo por definir teóricamente el campo de la educación a distancia, la literatura avanza tres estrategias. Deshler y Hagen (1989) abogan por un enfoque multidisciplinario e interdisciplinario que da como resultado una diversidad de perspectivas. Advierten que cualquier cosa que no sea este enfoque puede "producir una teoría que adolece de una visión estrecha, incompleta, disciplinaria y restringida". a una visión predominante de la realidad '' (p. 163).

    Hayes (1990), quien apoya el trabajo de Knowles (1984) y Brookfield (1986), propugna un segundo enfoque. Hayes enfatiza que el desarrollo teórico relativo al aprendizaje de adultos debe ser distinto del aprendizaje de los jóvenes. Si bien las experiencias pasadas pueden ocasionalmente interferir con la apertura de un adulto a nuevas experiencias de aprendizaje, la mayoría de la literatura ve la experiencia como un recurso para el nuevo aprendizaje. Knowles (1984), por ejemplo, apoya una base andragógica, centrada en el alumno, en su creencia de que "los adultos recurren a experiencias previas para probar la validez de nueva información" (p. 44). Sophason y Prescott (1988) han propuesto una tercera estrategia para el desarrollo de la teoría desde una perspectiva internacional. Advierten que ciertas líneas de cuestionamiento son más apropiadas en algunos países que en otros, por lo que la teoría que emana "puede tener un sesgo particular" (p. 17). Sin duda, una estrategia de análisis comparativo estaría influenciada por prejuicios culturales y barreras lingüísticas (Pratt, 1989). Pratt indica además que comprender las diferentes creencias relacionadas con la cultura acerca de la naturaleza del individuo y la sociedad puede ser fundamental para definir las teorías de educación a distancia adecuadas. Pratt aclara su creencia a través de una descripción de cómo las diferencias en las tradiciones históricas y filosofías de las sociedades pueden contribuir a diferentes orientaciones hacia la autoexpresión y las interacciones sociales dentro de los entornos educativos.

    Aunque estas tres estrategias para el avance de una base teórica para la educación a distancia se repiten en la literatura actual, Ely (1992) prevé un obstáculo en la progresión teórica. “Lo que parece ser necesario es una comprensión clara de la educación a distancia. Esto incluye la audiencia, el entorno y las metodologías de presentación & quot (p. 43). Loesch y Foley (1988) coinciden y piden más investigación en esta área en su afirmación de que sólo cuando se disponga de una comprensión clara de la educación a distancia se pueden desarrollar preguntas concisas que puedan conducir al establecimiento de la teoría. Evans y Nation (1992) aportan algunos de los comentarios más reflexivos y perspicaces sobre la construcción de teorías cuando sugieren que examinemos contextos sociales e históricos más amplios en nuestros esfuerzos por extender visiones previamente estrechas de las teorías en la educación abierta y a distancia. Nos instan a avanzar hacia la deconstrucción del industrialismo instruccional de la educación a distancia, y hacia la construcción de un enfoque crítico que, combinado con una integración de teorías de las humanidades y las ciencias sociales, pueda enriquecer la construcción teórica en nuestro campo.

    Aunque no ha habido un marco teórico central para guiar la investigación en educación a distancia, ha habido una serie de estudios importantes que han examinado las interacciones de las tecnologías con el aprendizaje, el diseño de cursos y la instrucción. Debido al uso intensivo de la tecnología en la educación a distancia, conviene examinar su papel en este contexto.


    Actualizado el 3 de agosto de 2001
    Copyright y copia 2001
    La Asociación de Tecnología y Comunicaciones Educativas

    AECT
    1800 North Stonelake Drive, Suite 2
    Bloomington, IN 47404


    Las cosas anti-woo [editar]

    Para presenciar la teoría de Ramsey en pleno efecto, un estudio de caso es ilustrativo.

    En 2010, ese fino bastión del periodismo británico objetivo, el Correo diario & # 91note 1 & # 93, publicó un artículo titulado "Cómo un navegador por satélite prehistórico impidió que nuestros antepasados ​​se perdieran en Gran Bretaña" & # 911 & # 93. El artículo presentó una investigación que analizó la ubicación de 1.500 monumentos prehistóricos y encontró que todos estaban en una cuadrícula de triángulos isósceles, cada uno apuntando al siguiente. Según el investigador Tom Brooks, "Estos patrones sólo podrían haber sido obra de topógrafos y planificadores muy inteligentes, lo que cuestiona todas las afirmaciones anteriores sobre el origen de las matemáticas".

    No hay duda de que Brooks sí encontró las líneas de cuadrícula "misteriosas". Desafortunadamente, lo hizo omitiendo la gran mayoría de los sitios, eligiendo solo los pocos que se alinearon. Matt Parker, de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Londres, determinó posteriormente que había 561 375 500 posibles "triángulos de líneas ley" diferentes utilizando los 1500 monumentos como base y que no había ningún lugar en el que se pudiera pararse en todas las Islas Británicas que estuviera a más de 58 metros desde una intersección de línea ley.

    Parker luego pasó a "probar" la misma teoría sobre un sistema de navegación prehistórico utilizando la ubicación de los supermercados Woolworths & # 912 & # 93. Justificó su investigación sobre la base de que, "si analizáramos los sitios, podríamos aprender más sobre cómo era la vida en 2008 y cómo esta gente compraba accesorios de cocina baratos y CD con descuento".

    La teoría de Ramsey dice que tal "orden aparente" no sólo es probable, sino que a medida que aumenta el número de elementos miembros, este "orden aparente" se vuelve realmente inevitable. Es importante señalar que de todas las permutaciones totales, las que aparecen ordenadas solo representarán una proporción minúscula. Por tanto, un aspecto clave de los argumentos de cortejo que explotan la teoría de Ramsey es el hecho de que la gran mayoría de los datos se ignoran a favor del pequeño conjunto que cumple con el "orden aparente" que se quería.


    Estudiante universitario de matemáticas empuja la frontera de la teoría de grafos

    Ashwin Sah se encuentra en el parque AmberGlen, cerca de su ciudad natal de Portland, Oregon, donde ha pasado tiempo durante la pandemia.

    Kevin Hartnett

    El 19 de mayo, Ashwin Sah publicó el mejor resultado de su historia en una de las preguntas más importantes de la combinatoria. Fue un momento que podría haber requerido una copa de celebración, solo que Sah no tenía la edad suficiente para pedir una.

    La prueba se unió a una larga lista de resultados matemáticos que Sah, quien cumplió 21 años en noviembre, publicó mientras era estudiante en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (publicó esta nueva prueba justo después de graduarse). Es una rara demostración de precocidad incluso en un campo que celebra el genio juvenil.

    "Ha trabajado lo suficiente como estudiante para obtener un puesto de profesor", dijo David Conlon del Instituto de Tecnología de California.

    La prueba de mayo se centró en una característica importante de la combinatoria llamada números de Ramsey, que cuantifican qué tan grande puede llegar a ser un gráfico (una colección de puntos, o vértices, conectados por bordes) antes de que necesariamente contenga un cierto tipo de subestructura.

    Por ejemplo, imagina que tienes seis vértices, cada uno conectado a cada uno de los otros vértices por aristas. Ahora colorea cada uno de los 15 bordes totales en rojo o azul. No importa cómo apliques los colores, es inevitable que termines con tres vértices que están conectados entre sí por bordes del mismo color (conocido como "camarilla"). Sin embargo, no ocurre lo mismo si comienza con cinco vértices (para los cuales es posible colorear sin crear una camarilla). Como resultado, los matemáticos dicen que el número de Ramsey para dos colores y una camarilla de tamaño 3 es 6, lo que significa que necesita al menos seis vértices para garantizar que exista la camarilla.

    A medida que crece el tamaño de la camarilla que está buscando, se vuelve muy difícil calcular los números exactos de Ramsey. En cambio, los matemáticos intentan concentrarse en ellos garantizando que el número de Ramsey para una camarilla de algún tamaño arbitrario es mayor que algún número (el "límite inferior") y menor que otro (el "límite superior").

    Paul Erdős y George Szekeres iniciaron el estudio de los límites superior e inferior para los números de Ramsey en la década de 1930. Desde entonces, los matemáticos han progresado relativamente poco en cualquiera de los dos, aunque Quanta recientemente cubrió una nueva prueba innovadora que estableció el mejor límite inferior para algunos números de Ramsey.


    Una explicación más matemática

    La respuesta que acabamos de encontrar se llama Número de Ramsey. En los términos simplistas del problema del partido [. ]

    La respuesta que acabamos de encontrar se llama Número de Ramsey. En los términos simplistas del problema del partido, un número de Ramsey R(Minnesota) es el número mínimo de personas que debe invitar para que al menos metro las personas serán amigos en común o al menos norte la gente será desconocida en común. En el caso anterior, probamos que 6 es el número de Ramsey cuando desea que al menos 3 personas sean conocidos o extraños mutuos. En otras palabras, R(3,3) = 6.

    Dado que R (3,3) = 6, podemos ser específicos y decir que v ≥ 6.

    Como veremos más adelante, existe un número de Ramsey para todos los gráficos completos; existe un R(3,4), R(4,4), etc.


    Math 497A - Introducción a la teoría de Ramsey

    Blog del curso: En http://massramsey2011.wordpress.com se publicarán enlaces a material complementario, sugerencias sobre problemas con las tareas, etc.

    Contenido

    El curso cubrirá algunos resultados centrales de la teoría de Ramsey. El paradigma básico de la teoría de Ramsey es que si una estructura es lo suficientemente grande, tendrá subestructuras muy regulares de cierto tamaño. Ilustraremos este principio mediante una serie de resultados de la teoría de grafos, la teoría de números y la geometría combinatoria. En el camino, nos encontraremos con un fenómeno típico de la teoría de Ramsey: lo suficientemente grande a menudo significa De Verdad grande. Investigaremos este fenómeno y veremos que tiene algunas consecuencias interesantes sobre los fundamentos de las matemáticas.

    Notas de lectura

    Lectura recomendada

    • Graham, Rothschild y Spencer - Teoría de Ramsey, 1990
    • Nesetril - Teoría de Ramsey, en: Manual de combinatoria, 1995

    Tarea

    Se asignarán tareas a cada lunes y será vence en clase el lunes siguiente en la clase. Se calificará la tarea y se eliminarán las dos puntuaciones más bajas. No se aceptarán tareas tardías. Habrá sin excepción a esta regla. Por supuesto, puede suceder que no puedas entregar la tarea porque estás enfermo o por alguna otra razón válida. Es por eso que se eliminarán las dos puntuaciones más bajas.


    Tarea 1, vence el 29 de agosto de 2011 (Soluciones)
    Tarea 2, vencida 7 de septiembre, 2011 (Soluciones)
    Tarea 3, hasta el 12 de septiembre de 2011 (Soluciones)
    Tarea 4, hasta el 19 de septiembre de 2011 (Soluciones)
    Tarea 5, hasta el 26 de septiembre de 2011 (Soluciones)
    Tarea 6, hasta el 3 de octubre de 2011 (Soluciones)
    Tarea 7, hasta el 24 de octubre de 2011
    Tarea 8, hasta el 31 de octubre de 2011
    Tarea 9, vence el 7 de noviembre de 2011
    Tarea 10, hasta el 14 de noviembre de 2011 (Soluciones)
    Tarea 11, hasta el 5 de diciembre de 2011

    Proyecto de investigación

    Cada participante debe completar un proyecto de investigación sobre un tema específico. Por lo general, esto incluirá la lectura de artículos de investigación originales. Como parte del examen final, cada participante hará una representación de 20 minutos sobre su proyecto. Además, los participantes deben preparar un informe escrito de 5 a 10 páginas.

    Haré disponible una lista de posibles proyectos en octubre. Sin embargo, agradezco las sugerencias de los estudiantes. Entonces, mire a su alrededor, lea un poco, tal vez encuentre un tema que le interese particularmente.

    Exámenes

    Habrá una mitad de período: Lunes, 10 de octubre, 10: 10-12.
    Hoja de preparación de mitad de período (5 de octubre de 2011)
    Este examen será un exámenes a libro cerrado. ¡Sin hojas de trucos! Trae libros azules.


    El examen final será, según la tradición de MASS, un examen oral individual de 1 hora para cada participante.

    Política de calificación

    The final grade will take into account the homework scores, the midterm, the research project, and the final oral exam.

    Academic Integrity

    Collaboration: Collaboration among students to solve homework assignments is welcome. This is a good way to learn mathematics. So is the consultation of other sources such as other textbooks. Sin embargo, every student has to hand in his/her own set of solutions, and if you use other people's work or ideas you have to indicate the source in your solutions.
    (In any case, complete and correct homework receives full credit.)

    However, from time to time there will be "controlled" problems, in which every student should work out his/her own solutions.


    On-Line Ramsey Theory (2004)

    Definitions: Builder and Painter play a game on graphs. In each round, Builder adds an edge (infinitely many vertices are available), and Painter colors it red or blue. Builder wins by forcing Painter to produce a monochromatic copy of a fixed graph GRAMO. Painter wins by forever avoiding that.

    Fondo: The game is closely related to graph Ramsey theory. Ramsey's Theorem guarantees that when norte is sufficiently large, every red/blue coloring of the complete graph Knorte contains a monochromatic copy of G). The least such norte is the Ramsey number R(G).

    Without restrictions on the graph Builder presents, Builder thus wins by presenting a sufficiently large complete graph. Hence the rules of the game also specify a graph family H such that after every move the graph that has been built must lie in H. We specify a particular on-line Ramsey game as (GRAMO,H). es unavoidable on F if Builder wins (F,G) otherwise G es avoidable on F. A family F es self- unavoidable if Builder wins (F,G) for every G &isin F. !-->

    1. Builder wins (GRAMO,H) when GRAMO is a forest and H is the family of all forests. (This has an easy proof by induction.)
    2. Builder wins (GRAMO,H) when GRAMO es k-colorable and H is the family of all k-colorable graphs. (This is much more difficult and uses the bipartite version of Ramsey's Theorem.)
    3. Painter wins (C3,H) when H is the family of outerplanar graphs.
    4. Builder wins (C3,H) when H is the family of 2-degenerate planar graphs.
    5. Builder wins (GRAMO,H) when H is the family of planar graphs and GRAMO consists of a single cycle plus any set of chords incident to a single vertex.

    Conjecture 1: Cuándo H is the family of planar graphs, Builder wins (GRAMO,H) if and only if GRAMO is outerplanar. (It is unknown whether Builder can win on this family for any graph GRAMO that is not outerplanar, and it is not known whether Painter can win it for any GRAMO that is outerplanar.)

    Problem 2: Given a monotone graph parameter &rho, let Hk=. Dejar f(k) be the minimum metro such that Builder wins (GRAMO,Hmetro) whenever G&isinHk. For which graph parameters is it true that f(k) is finite for all k? Determine f(k) for some values of k for some parameter &rho. In particular, is F a bounded function when &rho is "degeneracy".

    Comments: Monotonicity for &rho is the property that Hk&subHk+1 para todos k. Theorem 2 from [GHK] shows that f(k)=k when the parameter is "chromatic number". Theorem 1 from [GHK] shows that f(1)=1 when the parameter is "degeneracy". In general, can Builder force any k-degenerate graph when playing k-degenerate graphs? This scenario also has been studied for &rho= "number of edges" in [GKP] and for &rho= in the 2007 REGS group (see below).

    Definición: We use osr(G) to denote the on-line (size) Ramsey number of a graph GRAMO, defined to be the minimum metro such that Builder can force GRAMO by playing in the class of graphs with at most metro edges. Simply put, osr(G) is the number of edges Builder may need to play to force Painter to make a monochromatic copy of GRAMO when there is no restriction on the edges to be played (other than how many there are.)

    Comments: In ordinary Ramsey theory, the size Ramsey number of a graph GRAMO is the minimum number of edges in a graph H such that every 2-edge-coloring of H contains a monochromatic copy of GRAMO. Clearly osr(G) (defined in [GKP] without putting "size" in the term) is bounded by the size Ramsey number of GRAMO. Beck [B] gave a relatively easy proof that osr(Kpagp)&ge½R(Kpag).

    Pregunta 3: Es osr(Kpag) subquadratic in R(Kpag)?

    Pregunta 4: Does osr(G) &ge R(G)/2 hold for all GRAMO? For what graphs is osr(G) linear in R(G)? For which graphs can osr(G) be computed?

    Comments: Question 3 may be hard, while progress on parts of Question 4 may be easy. Tenga en cuenta que osr(K1,m)=2m-1. [GKP] studied this parameter for paths, trees, and some other graphs. They proved for example that osr(Pnorte)&le 4n-7, with exact values up to PAG6, but also that osr(G) can be quadratic in the number of vertices when GRAMO is a tree.

    Definición: We use odr(G) to denote the on-line degree Ramsey number of a graph GRAMO, defined to be the minimum k such that Builder can force GRAMO by playing in the class Sk of graphs with maximum degree at most metro.

    1. odr(G)&le3 if and only if each component of GRAMO is a path or each component of GRAMO is a subgraph of K1,3.
    2. odr(G)&le2&Delta(G)-1 Cuándo GRAMO is a tree.
    3. odr(G)&ge&Delta(G)-1+maxuv&isinE(G)min
    4. odr(Cnorte)=4 Si norte is even or at least 689 or equal to 3, and it is always at most 5.
    5. odr(G)&le8 Si &Delta(G)&le2

    Pregunta 6: What is odr(C5)? Does odr(Cnorte) equal 4 para todos norte?

    Pregunta 7: Can odr(G) be bounded in terms of &Delta(G)? (This is a special case of Problem 3.)

    Comments: One could also consider games that are easier for Builder by enlarging the target H also to a family Builder wins by forcing a monochromatic copy of any graph in H. For example, on what families is <>3,C4> unavoidable? Other related problems were studied in [B] and [FKRRT].

    References:
    [B] Beck, J. Achievement games and the probabilistic method. Combinatorics, Paul Erd?? is eighty, Vol. 1, 51--78, Bolyai Soc. Matemáticas. Stud., J??os Bolyai Math. Soc., Budapest, 1993.
    [FKRRT] Friedgut, E. Kohayakawa, Y. R??l, V. Ruciński, A. Tetali, P. Ramsey games against a one-armed bandit. Special issue on Ramsey theory. Combin. Probab. Computación. 12 (2003), no. 5-6, 515--545.
    [GHK] Grytczuk, J. A. Hałuszczak, M. Kierstead, H. A. On-line Ramsey theory. Electron. J. Combin. 11 (2004), no. 1, Research Paper 57, 10 pp. Int. J. Math. Computación. Sci. 1 (2006), no. 1, 117--124.


    Chapter 33: Ramsey Theory

    Ramsey Theory in its entirety is too complicated to be explained within The Colossal Book of Mathematics mentioned in the book. However, Ramsey Theory can be applied much easier to a recreational view on graph-coloring theory games. The most famous Ramsey game is known as Sim, which was named after the mathematician Gustavus Simmons. Sim is directly related to the problem, “Prove that at a gathering of any six people, some three of them are either mutual acquaintances or complete strangers to each other.” This would be accomplished by being played on a complete graph with six separate points known as (K6), and having two different colors (ex. Blue & Red) to represent a mutual acquaintance connection (Blue) or complete strangers to each other (Red) between the six individuals. Players would then take alternate turns connecting a point with their respective color. The goal is to avoid completing a monochromatic triangle of your color (either blue or red). Therefore, the loser is the first person to connect 3 separate points of his or her own color. In Ramsey Theory talk, the purpose of this is to prove that it is impossible not to complete either sub graph of an entirely red triangle (K3) or entirely blue triangle (K3). Meaning, eventually you will complete an entirely red triangle or entirely blue triangle. In Ramsey Theory referring to actual numbers and graphs, the above problem can be expressed as R(3,3) = 6. In the notation, R represents Ramsey number, the first 3 for one of the colored triangles, the second 3 for the other colored triangle, and the 6 for representing the smallest number of points, which both a red or blue triangle is forced.


    These ideas of classical Ramsey numbers and theory can lead us to different games. There is the avoidance game or achievement game (known as Sim), and then there is an alternate game which leads to who can complete a larger amount of K3 monochromatic triangles or who can complete the least amount. Apart from the game R(3,3) = 6, other much more challenging Ramsey games can be played. When changing the values in R(r,s)= K norte , games get much more challenging. If the K 6 value is increased (ex. R(3,3) = 7) then there are now 7 points of which you play the game. If you were to increases K 3 value (ex. R(4,4) = 18) then it also increases the minimum amount to K 18 points, and changes the forced complete sub graph to a K 4 monochromatic tetrahedron. However, the jump from R(4,4) to R(5,5) is too complex to determine a K norte complete graph for R(5,5). Stefan Burr, a leading expert on Ramsey theory estimates that the K norte value will never be determined because it is too difficult to analyze.

    1 comment:

    I found this chapter to be rather difficult to understand, but you did a good job explaining the main point of the Ramsey Game and the how classical Ramsey numbers and theory can lead to different games. I think it would be fun to give Ramsey’s (K6) game a try, using the same two color method with six people, three mutual acquaintances and three complete strangers. Where it started to get confusing for me was at the part when the values of R(r,s)=Kn are increased and the graphs become more complex with more variations of Paths, Cycles, Starts and Wheels appearing.
    The part in Chapter 33 on Ramsey Theory that really interested me was the part on the General case of wheels. “The Ramsey number for the wheel of four points, the tetrahedron, is, as we have seen 18. The wheel of five points was shown to have a Ramsey number of 15 by Tim Moon, a Nigerian mathematician.” The six-point wheel’s Ramsey number in this sequence has yet to be solved, mathematicians estimate its number being between 17 and 20. The fact that this has theory has been around since 1950’s and we are still working on solving some of the wheel functions is fascinating to me.


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