Artículos

4.3: Triángulos de Isoseles - Matemáticas


Un triángulo con dos lados iguales se llama isósceles; el lado restante se llama base.

Teorema ( PageIndex {1} )

Suponga que ( triangle ABC ) es un triángulo isósceles con la base ([AB] ). Luego

( Measuredangle ABC equiv - Measuredangle BAC. )

Además, lo contrario se cumple si ( triangle ABC ) no es degenerado.

La siguiente prueba se debe a Pappus de Alejandría.

Prueba

Tenga en cuenta que

(CA = CB ), (CB = CA ), ( ángulo de medida ACB equiv - ángulo de medida BCA ).

Por Axiom IV,

( triángulo CAB cong triángulo CBA. )

Aplicando el teorema sobre los signos de los ángulos de los triángulos (Teorema 3.3.1) Y nuevamente el Axioma IV, obtenemos que

( Measuredangle BAC equiv - Measuredangle ABC. )

Para probar lo contrario, asumimos que ( Measuredangle CAB equiv - Measuredangle CBA ). Por condición ASA (Teorema 4.2.1), ( triangle CAB cong triangle CBA ). Por lo tanto, (CA = CB ).

Un triángulo con tres lados iguales se llama equilátero.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Sea ( triangle ABC ) un triángulo equilátero. Muestra esa

( Measuredangle ABC = Measuredangle BCA = Measuredangle CAB. )

Insinuación

Aplicar el teorema 4.3.1 dos veces


Figura ( PageIndex <1> )

Tasha va a navegar con su padre en el viejo barco de su padre. La vela parece un triángulo. Todos los lados de la vela tienen diferentes longitudes. Tasha quiere clasificar el triángulo pero no está segura de cómo nombrarlo. Dadas las longitudes de los lados del triángulo, ¿cómo puede Tasha clasificar el triángulo?

En este concepto, aprenderá a clasificar triángulos por la longitud de sus lados.


Teorema del triángulo isósceles

En un triángulo isósceles, si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a esos lados son congruentes. Por el contrario, si los dos ángulos de un triángulo son congruentes, los lados correspondientes también son congruentes. Entonces podemos decir que ∠ABC = ∠ACB, y AB = AC en la figura dada:

Ahora, también sabemos que en un triángulo isósceles, la altitud desde el ángulo del vértice (perpendicular) biseca la base y el ángulo del vértice. Entonces, podemos decir que ∠BAD = ∠DAC y BD = DC. Con esta información, podemos decir que ΔADB y ΔCDB son congruentes.


Solución

Las líneas de simetría de los cuatro triángulos se indican en la siguiente imagen:

Una línea de simetría para un triángulo debe pasar por un vértice. Los dos lados que se encuentran en ese vértice deben tener la misma longitud para que haya una línea de simetría. Cuando los dos lados que se encuentran en un vértice tienen la misma longitud, la línea de simetría que pasa por ese vértice pasa por el punto medio del lado opuesto. Para el triángulo con longitudes de lado 4,4,3, la única posibilidad es doblar para que los dos lados de longitud 4 se alineen, de modo que la línea de simetría pase por el vértice donde se encuentran esos dos lados. Para el triángulo cuyos lados tienen una longitud de 3, un pliegue adecuado a través de cualquier vértice puede servir como una línea de simetría, por lo que hay tres líneas posibles. El triángulo con longitudes de lados 2, 4, 5 no puede tener líneas de simetría ya que las longitudes de los lados son todas diferentes. Finalmente, el triángulo con lados de longitud 3,5,5 tiene una línea de simetría que pasa por el vértice donde se encuentran los dos lados de longitud 5.

Para ver por qué no hay otras líneas de simetría para estos triángulos, tenga en cuenta que una línea de simetría debe pasar por un vértice del triángulo: si una línea corta el triángulo en dos polígonos pero no pasa por un vértice, entonces uno de esos polígonos es un triángulo y el otro es un cuadrilátero. Una vez que se ha elegido un vértice del triángulo, solo hay una línea de simetría posible para el triángulo que pasa por ese vértice, a saber, la que pasa por el punto medio del lado opuesto.


El número total de elementos de $ S $ es $ 27 $.

Ahora sabemos que el área de un triángulo con lados $ a, b, c $ es

Digamos que $ x = (b + c-a) $ $ y = (a + c-b) $ $ z = (a + b-c) $.

Ahora, como $ a, b, c $ son los lados de un triángulo, podemos decir $ x & gt0 $, $ y & gt0 $, $ z & gt0 $.

Entonces podemos decir $ frac <2> = c $, $ frac <2> = un $, $ frac <2> = b $

Ahora podemos escribir $ sqrt xy sqrt xz sqrt yz leq frac <2> frac <2> frac<2> $ [Aplicando A.M $ geq $ G> M]

$ Flecha derecha (b + c-a) (a + c-b) (a + b-c) leq abc $

[Podemos hacerlo porque $ (b + c-a) (a + c-b) (a + b-c) & gt0 $ y $ abc & gt0 $]

Si $ a = b = c $ entonces ocurre la igualdad. .

Ahora podemos decir que para un triángulo en particular con lados de longitudes $ m, n, p $ y $ m geq n geq p $, el área del triángulo con lados de longitud $ m $ siempre será mayor que el área de el triángulo con lados de longitudes $ m, n, p $.

Entonces podemos decir que $ A $ asumirá que es máximo cuando $ a = b = c = 6 $. Como todos los puntos de $ S $ son $ (x, y, z) $ donde $ 1 leq x, y, z leq 6 $.

$ max _ <(a, b, c) in S> frac <1> <4> sqrt <(a + b + c) (b + ca) (a + cb) (a + bc)> = frac <1> <4> sqrt <(6 + 6 + 6) 6.6.6> = 9 sqrt3 $.
Entonces, solo tendremos un punto en el conjunto de puntos de muestra $ S $, $ (6, 6, 6) $, para los cuales el triángulo será de área máxima.

la probabilidad de que el triángulo sea de área máxima dado que es un triángulo isósceles, es $ frac <1> <27> $.


¿Cómo se obtiene?

Esto se puede calcular a partir del teorema de Pitágoras. Los lados a, b / 2 y h Forme un triángulo rectángulo. Los lados b / 2 y h son las piernas y a la hipotenusa.

La altitud h correspondiente a la base se obtiene mediante los siguientes cálculos:

La altura (altitud) (h) estarán:

Se aplica que área es la mitad de la multiplicación de base (B) por altura (h):

La fórmulade área del triángulo isósceles.

Descarga esto calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elija los datos iniciales e introdúzcalos en el cuadro superior izquierdo. Para obtener resultados, presione ENTER.

Nota. Cortesía del autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla, España.


Creando un triángulo basado en números de Fibonacci

No se pueden usar tres números sucesivos en la serie de Fibonacci para crear un triángulo rectángulo. Marty Stange, sin embargo, contribuyó con la siguiente relación en enero de 2007: Cada serie sucesiva de cuatro números de Fibonacci se puede usar para crear un triángulo rectángulo, con la base y la hipotenusa determinadas por el segundo y tercer número, y el otro lado es el cuadrado. raíz del producto del primero y cuarto números. La siguiente tabla muestra cómo funciona esta relación:


Contenido

La terminología para categorizar triángulos tiene más de dos mil años, habiendo sido definida en la primera página de los Elementos de Euclides. Los nombres utilizados para la clasificación moderna son una transliteración directa del griego de Euclides o sus traducciones latinas.

Por longitudes de lados

El matemático griego antiguo Euclides definió tres tipos de triángulos según la longitud de sus lados: [2] [3]

Griego: τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς, iluminado. 'De figuras trilaterales, un isopleuron triángulo [equilátero] es aquel que tiene sus tres lados iguales, un isósceles el que tiene dos de sus lados iguales, y un escaleno lo que tiene sus tres lados desiguales. [4]

  • Un triángulo equilátero (Griego: ἰσόπλευρον, romanizado:isópleuron, iluminado.'lados iguales') tiene tres lados de la misma longitud. Un triángulo equilátero también es un polígono regular con todos los ángulos que miden 60 °. [5]
  • Un triángulo isósceles (Griego: ἰσοσκελὲς, romanizado:isoskelés, iluminado.'piernas iguales') tiene dos lados de igual longitud. [nota 1] [6] Un triángulo isósceles también tiene dos ángulos de la misma medida, es decir, los ángulos opuestos a los dos lados de la misma longitud. Este hecho es el contenido del teorema del triángulo isósceles, conocido por Euclides. Algunos matemáticos definen un triángulo isósceles para tener exactamente dos lados iguales, mientras que otros definen un triángulo isósceles como uno con por lo menos dos lados iguales. [6] La última definición haría que todos los triángulos equiláteros fueran triángulos isósceles. El triángulo rectángulo 45–45–90, que aparece en el mosaico cuadrado de tetrakis, es isósceles.
  • A triángulo escaleno (Griego: σκαληνὸν, romanizado:skalinón, iluminado.'desigual') tiene todos sus lados de diferentes longitudes. [7] De manera equivalente, tiene todos los ángulos de diferente medida.

Las marcas de trama, también llamadas marcas de graduación, se utilizan en diagramas de triángulos y otras figuras geométricas para identificar lados de igual longitud. [1] Un lado se puede marcar con un patrón de "garrapatas", segmentos de línea cortos en forma de marcas de conteo, dos lados tienen la misma longitud si ambos están marcados con el mismo patrón. En un triángulo, el patrón no suele tener más de 3 tics. Un triángulo equilátero tiene el mismo patrón en los 3 lados, un triángulo isósceles tiene el mismo patrón en solo 2 lados y un triángulo escaleno tiene diferentes patrones en todos los lados, ya que ningún lado es igual.

De manera similar, los patrones de 1, 2 o 3 arcos concéntricos dentro de los ángulos se utilizan para indicar ángulos iguales: un triángulo equilátero tiene el mismo patrón en los 3 ángulos, un triángulo isósceles tiene el mismo patrón en solo 2 ángulos y un triángulo escaleno tiene diferentes patrones en todos los ángulos, ya que ningún ángulo es igual.

Por ángulos internos

Los triángulos también se pueden clasificar según sus ángulos internos, medidos aquí en grados.

  • A triángulo rectángulo (o triángulo rectángulo, anteriormente llamado triángulo rectángulo) tiene uno de sus ángulos interiores que mide 90 ° (un ángulo recto). El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa, el lado más largo del triángulo. Los otros dos lados se llaman piernas o cateti[8] (singular: cateto) del triángulo. Los triángulos rectángulos obedecen al teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa: a 2 + B 2 = C 2, donde a y B son las longitudes de las piernas y C es la longitud de la hipotenusa. Los triángulos rectángulos especiales son triángulos rectángulos con propiedades adicionales que facilitan los cálculos que los involucran. Uno de los dos más famosos es el triángulo rectángulo 3–4–5, donde 3 2 + 4 2 = 5 2. En esta situación, 3, 4 y 5 son un triple pitagórico. El otro es un triángulo isósceles que tiene 2 ángulos que miden 45 grados (triángulo 45-45-90).
    • Los triángulos que no tienen un ángulo de 90 ° se llaman triángulos oblicuos.

    Un triángulo que tiene dos ángulos con la misma medida también tiene dos lados con la misma longitud y, por lo tanto, es un triángulo isósceles. De ello se deduce que en un triángulo donde todos los ángulos tienen la misma medida, los tres lados tienen la misma longitud y, por lo tanto, es equilátero.

    Se supone que los triángulos son figuras planas bidimensionales, a menos que el contexto indique lo contrario (consulte Triángulos no planos, a continuación). En tratamientos rigurosos, un triángulo se denomina 2-simplex (ver también Polytope). Euclides presentó hechos elementales sobre triángulos en los libros 1 a 4 de su Elementos, escrito alrededor del 300 a. C.

    La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo en el espacio euclidiano es siempre 180 grados. [9] [3] Este hecho es equivalente al postulado paralelo de Euclides. Esto permite determinar la medida del tercer ángulo de cualquier triángulo, dada la medida de dos ángulos. Un Angulo exterior de un triángulo es un ángulo que es un par lineal (y por lo tanto suplementario) a un ángulo interior. La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores que no son adyacentes a él, este es el teorema del ángulo exterior. La suma de las medidas de los tres ángulos exteriores (uno para cada vértice) de cualquier triángulo es 360 grados. [nota 2]

    Similitud y congruencia

    Se dice que dos triángulos son similar, si cada ángulo de un triángulo tiene la misma medida que el ángulo correspondiente en el otro triángulo. Los lados correspondientes de triángulos similares tienen longitudes que están en la misma proporción, y esta propiedad también es suficiente para establecer similitudes.

    Algunos teoremas básicos sobre triángulos semejantes son:

      un par de ángulos internos de dos triángulos tienen la misma medida que el otro, y otro par también tiene la misma medida que el otro, los triángulos son similares.
  • Si y solo si un par de lados correspondientes de dos triángulos están en la misma proporción que otro par de lados correspondientes, y sus ángulos incluidos tienen la misma medida, entonces los triángulos son similares. (La Angulo incluido para dos lados cualesquiera de un polígono es el ángulo interno entre esos dos lados).
  • Si y solo si tres pares de lados correspondientes de dos triángulos están todos en la misma proporción, entonces los triángulos son similares. [nota 3]
  • Dos triángulos que son congruentes tienen exactamente el mismo tamaño y forma: [nota 4] todos los pares de ángulos interiores correspondientes son iguales en medida, y todos los pares de lados correspondientes tienen la misma longitud. (Esto es un total de seis igualdades, pero tres suelen ser suficientes para demostrar la congruencia).

    Algunas condiciones individualmente necesarias y suficientes para que un par de triángulos sea congruente son:

    • Postulado SAS: Dos lados de un triángulo tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos incluidos tienen la misma medida.
    • ASA: Dos ángulos interiores y el lado incluido en un triángulo tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que los del otro triángulo. (La lado incluido para un par de ángulos es el lado que les es común).
    • SSS: Cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que el lado correspondiente del otro triángulo.
    • AAS: Dos ángulos y un lado correspondiente (no incluido) en un triángulo tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que los del otro triángulo. (Esto a veces se denomina AAcorrS y luego incluye ASA arriba.)

    Algunas condiciones individuales suficientes son:

    • Teorema de hipotenusa-cateto (HL): La hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo tienen la misma longitud que los de otro triángulo rectángulo. Esto también se llama RHS (ángulo recto, hipotenusa, lado).
    • Teorema de hipotenusa-ángulo: la hipotenusa y un ángulo agudo en un triángulo rectángulo tienen la misma longitud y medida, respectivamente, que los del otro triángulo rectángulo. Este es solo un caso particular del teorema de AAS.

    Una condición importante es:

    • Condición de lado-lado-ángulo (o ángulo-lado-lado): si dos lados y un ángulo no incluido correspondiente de un triángulo tienen la misma longitud y medida, respectivamente, que los de otro triángulo, entonces esto es no suficiente para demostrar la congruencia, pero si el ángulo dado es opuesto al lado más largo de los dos lados, entonces los triángulos son congruentes. El teorema hipotenusa-pierna es un caso particular de este criterio. La condición Side-Side-Angle no garantiza por sí misma que los triángulos sean congruentes porque un triángulo podría tener un ángulo obtuso y el otro un ángulo agudo.

    Usando triángulos rectángulos y el concepto de semejanza, se pueden definir las funciones trigonométricas seno y coseno. Estas son funciones de un ángulo que se investigan en trigonometría.

    Triángulos rectángulos

    Un teorema central es el teorema de Pitágoras, que establece en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Si la hipotenusa tiene longitud C, y las piernas tienen longitudes a y B, entonces el teorema establece que

    Lo contrario es cierto: si las longitudes de los lados de un triángulo satisfacen la ecuación anterior, entonces el triángulo tiene un ángulo recto del lado opuesto C.

    Algunos otros datos sobre los triángulos rectángulos:

    • Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.
    • Si los catetos de un triángulo rectángulo tienen la misma longitud, entonces los ángulos opuestos a esos catetos tienen la misma medida. Dado que estos ángulos son complementarios, se deduce que cada uno mide 45 grados. Según el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa es la longitud de un cateto multiplicado por √ 2.
    • En un triángulo rectángulo con ángulos agudos que miden 30 y 60 grados, la hipotenusa es el doble de la longitud del lado más corto y el lado más largo es igual a la longitud del lado más corto multiplicado por √ 3:

    Para todos los triángulos, los ángulos y los lados están relacionados por la ley de los cosenos y la ley de los senos (también llamada regla del coseno y regla del seno).

    Condición en los lados

    La desigualdad del triángulo establece que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor o igual que la longitud del tercer lado. Esa suma puede ser igual a la longitud del tercer lado solo en el caso de un triángulo degenerado, uno con vértices colineales. No es posible que esa suma sea menor que la longitud del tercer lado. Un triángulo con tres longitudes de lados positivas dadas existe si y solo si esas longitudes de lados satisfacen la desigualdad del triángulo.

    Condiciones en los ángulos

    Tres ángulos dados forman un triángulo no degenerado (y de hecho una infinitud de ellos) si y solo si se cumplen ambas condiciones: (a) cada uno de los ángulos es positivo, y (b) los ángulos suman 180 °. Si se permiten triángulos degenerados, se permiten ángulos de 0 °.

    Condiciones trigonométricas

    Tres ángulos positivos α, β, y γ, cada uno de ellos menor a 180 °, son los ángulos de un triángulo si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

    la última igualdad se aplica solo si ninguno de los ángulos es de 90 ° (por lo que el valor de la función tangente es siempre finito).

    Hay miles de construcciones diferentes que encuentran un punto especial asociado con (y a menudo dentro) de un triángulo, satisfaciendo alguna propiedad única: consulte el artículo Enciclopedia de centros de triángulos para obtener un catálogo de ellas. A menudo se construyen encontrando tres líneas asociadas de manera simétrica con los tres lados (o vértices) y luego probando que las tres líneas se encuentran en un solo punto: una herramienta importante para probar la existencia de estas es el teorema de Ceva, que da criterio para determinar cuándo tres de estas líneas son concurrentes. De manera similar, las líneas asociadas con un triángulo a menudo se construyen probando que tres puntos construidos simétricamente son colineales: aquí el teorema de Menelao proporciona un criterio general útil. En esta sección se explican solo algunas de las construcciones más comunes.

    Una bisectriz perpendicular de un lado de un triángulo es una línea recta que pasa por el punto medio del lado y es perpendicular a él, es decir, forma un ángulo recto con él. Las tres bisectrices perpendiculares se encuentran en un solo punto, el circuncentro del triángulo, generalmente denotado por O este punto es el centro de la circunferencia, el círculo que pasa por los tres vértices. El diámetro de este círculo, llamado Circundiámetro, se puede encontrar en la ley de los senos indicada anteriormente. El radio de la circunferencia se llama circunradio.

    El teorema de Tales implica que si el circuncentro está ubicado en un lado del triángulo, entonces el ángulo opuesto es recto. Si el circuncentro está ubicado dentro del triángulo, entonces el triángulo es agudo si el circuncentro está ubicado fuera del triángulo, entonces el triángulo es obtuso.

    La altitud de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice y es perpendicular (es decir, forma un ángulo recto con) el lado opuesto. Este lado opuesto se llama base de la altitud, y el punto donde la altitud se cruza con la base (o su extensión) se llama pie de la altitud. La longitud de la altitud es la distancia entre la base y el vértice. Las tres altitudes se cruzan en un solo punto, llamado ortocentro del triángulo, generalmente denotado por H. El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es agudo.

    La bisectriz de un ángulo de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice que corta el ángulo correspondiente por la mitad. Las tres bisectrices se cruzan en un solo punto, el incentro, generalmente denotado por I, el centro del círculo del triángulo. El círculo es el círculo que se encuentra dentro del triángulo y toca los tres lados. Su radio se llama inradius. Hay otros tres círculos importantes, los excirculos se encuentran fuera del triángulo y tocan un lado, así como las extensiones de los otros dos. Los centros de los círculos internos y externos forman un sistema ortocéntrico.

    La mediana de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto, y divide el triángulo en dos áreas iguales. Las tres medianas se cruzan en un solo punto, el centroide del triángulo o el baricentro geométrico, generalmente denotado por GRAMO. El centroide de un objeto triangular rígido (cortado de una hoja delgada de densidad uniforme) es también su centro de masa: el objeto puede equilibrarse sobre su centroide en un campo gravitacional uniforme. El centroide corta cada mediana en la proporción 2: 1, es decir, la distancia entre un vértice y el centroide es el doble de la distancia entre el centroide y el punto medio del lado opuesto.

    Los puntos medios de los tres lados y los pies de las tres altitudes se encuentran en un solo círculo, el círculo de nueve puntos del triángulo. Los tres puntos restantes para los que se nombra son los puntos medios de la porción de altitud entre los vértices y el ortocentro. El radio del círculo de nueve puntos es la mitad del de la circunferencia. Toca el círculo (en el punto de Feuerbach) y los tres círculos.

    El ortocentro (punto azul), el centro del círculo de nueve puntos (rojo), el centroide (naranja) y el circuncentro (verde) se encuentran en una sola línea, conocida como línea de Euler (línea roja). El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el punto medio entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad que entre el centroide y el ortocentro.

    El centro del círculo no se encuentra en general en la línea de Euler.

    Si se refleja una mediana en la bisectriz del ángulo que pasa por el mismo vértice, se obtiene un simmediano. Los tres symmedians se cruzan en un solo punto, el punto symmedian del triángulo.

    Existen varios métodos estándar para calcular la longitud de un lado o la medida de un ángulo. Ciertos métodos son adecuados para calcular valores en un triángulo rectángulo.Pueden ser necesarios métodos más complejos en otras situaciones.

    Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

    En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente se pueden usar para encontrar ángulos desconocidos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo se conocen de la siguiente manera:

    • La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o definido como el lado más largo de un triángulo rectángulo, en este caso h.
    • La lado opuesto es el lado opuesto al ángulo que nos interesa, en este caso a.
    • La lado adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo que nos interesa y el ángulo recto, de ahí su nombre. En este caso, el lado adyacente es B.

    Seno, coseno y tangente

    La seno de un ángulo es la razón entre la longitud del lado opuesto y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

    Esta relación no depende del triángulo rectángulo elegido, siempre que contenga el ángulo A, ya que todos esos triángulos son similares.

    La coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

    La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del lado opuesto y la longitud del lado adyacente. En nuestro caso

    El acrónimo "SOH-CAH-TOA" es un mnemónico útil para estas proporciones.

    Funciones inversas

    Las funciones trigonométricas inversas se pueden usar para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo con la longitud de dos lados cualesquiera.

    Arcsin se puede utilizar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado opuesto y la longitud de la hipotenusa.

    Arccos se puede utilizar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.

    Arctan se puede utilizar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado opuesto y la longitud del lado adyacente.

    En los cursos de introducción a la geometría y la trigonometría, la notación sen −1, cos −1, etc., se usa a menudo en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación arcsin, arccos, etc. es estándar en matemáticas superiores donde la las funciones comúnmente se elevan a potencias, ya que esto evita la confusión entre el inverso multiplicativo y el inverso compositivo.

    Reglas de seno, coseno y tangente

    La ley de los senos, o regla del seno, [12] establece que la razón entre la longitud de un lado y el seno de su ángulo opuesto correspondiente es constante, es decir

    Esta razón es igual al diámetro del círculo circunscrito del triángulo dado. Otra interpretación de este teorema es que todo triángulo con ángulos α, β y γ es similar a un triángulo con longitudes de lado iguales a sin α, sin β y sin γ. Este triángulo se puede construir construyendo primero un círculo de diámetro 1 e inscribiendo en él dos de los ángulos del triángulo. La longitud de los lados de ese triángulo será sin α, sin β y sin γ. El lado cuya longitud es sin α es opuesto al ángulo cuya medida es α, etc.

    La ley de los cosenos, o regla del coseno, conecta la longitud de un lado desconocido de un triángulo con la longitud de los otros lados y el ángulo opuesto al lado desconocido. [12] Según la ley:

    Para un triángulo con longitud de lados a, B, C y ángulos de α, β, γ respectivamente, dadas dos longitudes conocidas de un triángulo a y B, y el ángulo entre los dos lados conocidos γ (o el ángulo opuesto al lado desconocido C), para calcular el tercer lado C, se puede utilizar la siguiente fórmula:

    Si se conocen las longitudes de los tres lados de cualquier triángulo, se pueden calcular los tres ángulos:

    La ley de las tangentes, o regla de la tangente, se puede utilizar para encontrar un lado o un ángulo cuando se conocen dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. Afirma que: [13]

    Solución de triángulos

    La "solución de triángulos" es el principal problema trigonométrico: encontrar las características faltantes de un triángulo (tres ángulos, las longitudes de los tres lados, etc.) cuando se dan al menos tres de estas características. El triángulo se puede ubicar en un plano o en una esfera. Este problema a menudo ocurre en varias aplicaciones trigonométricas, como geodesia, astronomía, construcción, navegación, etc.

    Calculando el área T de un triángulo es un problema elemental que se encuentra a menudo en muchas situaciones diferentes. La fórmula más conocida y sencilla es:

    dónde B es la longitud de la base del triángulo, y h es la altura o altitud del triángulo. El término "base" denota cualquier lado, y "altura" denota la longitud de una perpendicular desde el vértice opuesto a la base hasta la línea que contiene la base. En 499 EC Aryabhata, usó este método ilustrado en el Aryabhatiya (sección 2.6). [14]

    Aunque simple, esta fórmula solo es útil si la altura se puede encontrar fácilmente, lo que no siempre es el caso. Por ejemplo, el topógrafo de un campo triangular puede encontrar relativamente fácil medir la longitud de cada lado, pero relativamente difícil construir una 'altura'. En la práctica, se pueden utilizar varios métodos, dependiendo de lo que se sepa sobre el triángulo. La siguiente es una selección de fórmulas de uso frecuente para el área de un triángulo. [15]

    Usando trigonometría

    La altura de un triángulo se puede encontrar mediante la aplicación de trigonometría.

    (donde α es el ángulo interior en A, β es el ángulo interior en B, γ < displaystyle gamma> es el ángulo interior en C y C es la linea AB).

    y análogamente si el lado conocido es a o C.

    y análogamente si el lado conocido es B o C.

    Usando la fórmula de Heron

    La forma del triángulo está determinada por las longitudes de los lados. Por lo tanto, el área también se puede derivar de las longitudes de los lados. Por la fórmula de Heron:

    donde s = a + b + c 2 < displaystyle s = < tfrac <2> >> es el semiperímetro o la mitad del perímetro del triángulo.

    Otras tres formas equivalentes de escribir la fórmula de Heron son

    Usando vectores

    El área de un paralelogramo incrustado en un espacio euclidiano tridimensional se puede calcular usando vectores. Deje vectores AB y C.A. punto respectivamente desde A a B y de A a C. El área del paralelogramo ABDC es entonces

    que es la magnitud del producto cruzado de vectores AB y C.A.. El área del triángulo ABC es la mitad de esto,

    El area del triangulo A B C también se puede expresar en términos de productos escalares de la siguiente manera:

    En el espacio euclidiano bidimensional, expresando vector AB como un vector libre en el espacio cartesiano igual a (X1,y1) y C.A. como (X2,y2), esto se puede reescribir como:

    Usando coordenadas

    Si vértice A está ubicado en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas y las coordenadas de los otros dos vértices están dadas por B = (XB, yB) y C = (XC, yC), entonces el área se puede calcular como 1 ⁄ 2 veces el valor absoluto del determinante

    Para tres vértices generales, la ecuación es:

    Si los puntos se etiquetan secuencialmente en el sentido contrario a las agujas del reloj, las expresiones determinantes anteriores son positivas y los signos de valor absoluto se pueden omitir. [16] La fórmula anterior se conoce como la fórmula del cordón o la fórmula del topógrafo.

    Si ubicamos los vértices en el plano complejo y los denotamos en secuencia en sentido antihorario como a = XA + yAI , B = XB + yBI , y C = XC + yCI y denotan sus conjugados complejos como a ¯ < displaystyle < bar >>, b ¯ < displaystyle < bar >> y c ¯ < displaystyle < bar >>, luego la fórmula

    es equivalente a la fórmula de los cordones de los zapatos.

    En tres dimensiones, el área de un triángulo general A = (XA, yA, zA) , B = (XB, yB, zB) y C = (XC, yC, zC ) es la suma pitagórica de las áreas de las respectivas proyecciones en los tres planos principales (es decir, X = 0, y = 0 y z = 0):

    Usando integrales de línea

    El área dentro de cualquier curva cerrada, como un triángulo, está dada por la línea integral alrededor de la curva de la distancia algebraica o con signo de un punto en la curva desde una línea recta orientada arbitrariamente. L. Apunta a la derecha de L como orientados se toman a una distancia negativa de L, mientras que el peso de la integral se toma como el componente de la longitud del arco paralelo a L en lugar de la longitud del arco en sí.

    Este método es muy adecuado para calcular el área de un polígono arbitrario. Tomando L ser el X-eje, la línea integral entre vértices consecutivos (XI,yI) y (XI+1,yI+1) viene dada por la base multiplicada por la altura media, a saber (XI+1XI)(yI + yI+1) / 2. El signo del área es un indicador general de la dirección de recorrido, con un área negativa que indica recorrido en sentido antihorario. El área de un triángulo se cae como el caso de un polígono con tres lados.

    Si bien el método de la integral de línea tiene en común con otros métodos basados ​​en coordenadas la elección arbitraria de un sistema de coordenadas, a diferencia de los demás, no hace una elección arbitraria del vértice del triángulo como origen o del lado como base. Además, la elección del sistema de coordenadas definido por L se compromete a solo dos grados de libertad en lugar de los tres habituales, ya que el peso es una distancia local (p. ej. XI+1XI en el anterior) de donde el método no requiere elegir un eje normal a L.

    Cuando se trabaja en coordenadas polares no es necesario convertir a coordenadas cartesianas para usar la integración de línea, ya que la línea integral entre vértices consecutivos (rI, θI) y (rI+1, θI+1) de un polígono viene dado directamente por rIrI+1pecado (θI+1 - θI) / 2. Esto es válido para todos los valores de θ, con alguna disminución en la precisión numérica cuando | θ | es muchos órdenes de magnitud mayor que π. Con esta formulación, el área negativa indica un recorrido en el sentido de las agujas del reloj, lo que debe tenerse en cuenta al mezclar coordenadas polares y cartesianas. Al igual que la elección de y-eje ( X = 0) es irrelevante para la integración de líneas en coordenadas cartesianas, por lo que la elección del rumbo cero (θ = 0) es irrelevante aquí.

    Fórmulas que se asemejan a la fórmula de Heron

    Tres fórmulas tienen la misma estructura que la fórmula de Heron pero se expresan en términos de diferentes variables. Primero, denotando las medianas desde los lados a, B, y C respectivamente como metroa, metroB, y metroC y su semi-sumametroa + metroB + metroC) / 2 como σ, tenemos [17]

    A continuación, denota las altitudes desde los lados. a, B, y C respectivamente como ha, hB, y hCy denota la semi-suma de los recíprocos de las altitudes como H = (h a - 1 + h b - 1 + h c - 1) / 2 < displaystyle H = (h_ ^ <-1> + h_^ <-1> + h_^ <-1>) / 2> tenemos [18]

    Y denota la semi-suma de los senos de los ángulos como S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 , we have [19]

    dónde D is the diameter of the circumcircle: D = a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ . >=< frac >=< frac >.>

    Using Pick's theorem

    See Pick's theorem for a technique for finding the area of any arbitrary lattice polygon (one drawn on a grid with vertically and horizontally adjacent lattice points at equal distances, and with vertices on lattice points).

    Other area formulas

    Numerous other area formulas exist, such as

    dónde r is the inradius, and s is the semiperimeter (in fact, this formula holds for todas tangential polygons), and [20] : Lemma 2

    where r a , r b , r c ,,r_> are the radii of the excircles tangent to sides a, b, c respectively.

    for circumdiameter D and [22]

    The area can also be expressed as [23]

    In 1885, Baker [24] gave a collection of over a hundred distinct area formulas for the triangle. These include:

    for circumradius (radius of the circumcircle) R, y

    Upper bound on the area

    The area T of any triangle with perimeter pag satisfies

    with equality holding if and only if the triangle is equilateral. [25] [26] : 657

    Other upper bounds on the area T are given by [27] : p.290

    both again holding if and only if the triangle is equilateral.

    Bisecting the area

    There are infinitely many lines that bisect the area of a triangle. [28] Three of them are the medians, which are the only area bisectors that go through the centroid. Three other area bisectors are parallel to the triangle's sides.

    Any line through a triangle that splits both the triangle's area and its perimeter in half goes through the triangle's incenter. There can be one, two, or three of these for any given triangle.

    The formulas in this section are true for all Euclidean triangles.

    Medians, angle bisectors, perpendicular side bisectors, and altitudes

    The medians and the sides are related by [29] : p.70

    and equivalently for metroB y metroC.

    For angle A opposite side a, the length of the internal angle bisector is given by [30]

    for semiperimeter s, where the bisector length is measured from the vertex to where it meets the opposite side.

    The interior perpendicular bisectors are given by

    The altitude from, for example, the side of length a es

    Circumradius and inradius

    The following formulas involve the circumradius R and the inradius r:

    dónde ha etc. are the altitudes to the subscripted sides [29] : p.79

    The product of two sides of a triangle equals the altitude to the third side times the diameter D of the circumcircle: [29] : p.64

    Adjacent triangles

    Suppose two adjacent but non-overlapping triangles share the same side of length F and share the same circumcircle, so that the side of length F is a chord of the circumcircle and the triangles have side lengths (a, B, F) and (C, D, F), with the two triangles together forming a cyclic quadrilateral with side lengths in sequence (a, B, C, D). Then [32] : 84

    Centroid

    Dejar GRAMO be the centroid of a triangle with vertices A, B, y C, and let PAG be any interior point. Then the distances between the points are related by [32] : 174

    The sum of the squares of the triangle's sides equals three times the sum of the squared distances of the centroid from the vertices:

    Dejar qa, qB, y qC be the distances from the centroid to the sides of lengths a, B, y C. Then [32] : 173

    Circumcenter, incenter, and orthocenter

    Carnot's theorem states that the sum of the distances from the circumcenter to the three sides equals the sum of the circumradius and the inradius. [29] : p.83 Here a segment's length is considered to be negative if and only if the segment lies entirely outside the triangle. This method is especially useful for deducing the properties of more abstract forms of triangles, such as the ones induced by Lie algebras, that otherwise have the same properties as usual triangles.

    Euler's theorem states that the distance D between the circumcenter and the incenter is given by [29] : p.85

    dónde R is the circumradius and r is the inradius. Thus for all triangles R ≥ 2r, with equality holding for equilateral triangles.

    If we denote that the orthocenter divides one altitude into segments of lengths tu y v, another altitude into segment lengths w y X, and the third altitude into segment lengths y y z, luego uv = wx = yz. [29] : p.94

    The distance from a side to the circumcenter equals half the distance from the opposite vertex to the orthocenter. [29] : p.99

    The sum of the squares of the distances from the vertices to the orthocenter H plus the sum of the squares of the sides equals twelve times the square of the circumradius: [29] : p.102

    Angles

    In addition to the law of sines, the law of cosines, the law of tangents, and the trigonometric existence conditions given earlier, for any triangle

    a = b cos ⁡ C + c cos ⁡ B , b = c cos ⁡ A + a cos ⁡ C , c = a cos ⁡ B + b cos ⁡ A .

    Morley's trisector theorem

    Morley's trisector theorem states that in any triangle, the three points of intersection of the adjacent angle trisectors form an equilateral triangle, called the Morley triangle.

    Conics

    As discussed above, every triangle has a unique inscribed circle (incircle) that is interior to the triangle and tangent to all three sides.

    Every triangle has a unique Steiner inellipse which is interior to the triangle and tangent at the midpoints of the sides. Marden's theorem shows how to find the foci of this ellipse. [34] This ellipse has the greatest area of any ellipse tangent to all three sides of the triangle.

    The Mandart inellipse of a triangle is the ellipse inscribed within the triangle tangent to its sides at the contact points of its excircles.

    For any ellipse inscribed in a triangle ABC, let the foci be PAG y Q. Then [35]

    Convex polygon

    Every convex polygon with area T can be inscribed in a triangle of area at most equal to 2T. Equality holds (exclusively) for a parallelogram. [36]

    Hexagon

    The Lemoine hexagon is a cyclic hexagon with vertices given by the six intersections of the sides of a triangle with the three lines that are parallel to the sides and that pass through its symmedian point. In either its simple form or its self-intersecting form, the Lemoine hexagon is interior to the triangle with two vertices on each side of the triangle.

    Squares

    Every acute triangle has three inscribed squares (squares in its interior such that all four of a square's vertices lie on a side of the triangle, so two of them lie on the same side and hence one side of the square coincides with part of a side of the triangle). In a right triangle two of the squares coincide and have a vertex at the triangle's right angle, so a right triangle has only two distinct inscribed squares. An obtuse triangle has only one inscribed square, with a side coinciding with part of the triangle's longest side. Within a given triangle, a longer common side is associated with a smaller inscribed square. If an inscribed square has side of length qa and the triangle has a side of length a, part of which side coincides with a side of the square, then qa, a, the altitude ha from the side a, and the triangle's area T are related according to [37] [38]

    The largest possible ratio of the area of the inscribed square to the area of the triangle is 1/2, which occurs when a 2 = 2T , q = a/2 , and the altitude of the triangle from the base of length a is equal to a. The smallest possible ratio of the side of one inscribed square to the side of another in the same non-obtuse triangle is 2 2 / 3 = 0.94. >/3=0.94. > [38] Both of these extreme cases occur for the isosceles right triangle.

    Triangles

    From an interior point in a reference triangle, the nearest points on the three sides serve as the vertices of the pedal triangle of that point. If the interior point is the circumcenter of the reference triangle, the vertices of the pedal triangle are the midpoints of the reference triangle's sides, and so the pedal triangle is called the midpoint triangle or medial triangle. The midpoint triangle subdivides the reference triangle into four congruent triangles which are similar to the reference triangle.

    The Gergonne triangle or intouch triangle of a reference triangle has its vertices at the three points of tangency of the reference triangle's sides with its incircle. The extouch triangle of a reference triangle has its vertices at the points of tangency of the reference triangle's excircles with its sides (not extended).

    The tangential triangle of a reference triangle (other than a right triangle) is the triangle whose sides are on the tangent lines to the reference triangle's circumcircle at its vertices.

    As mentioned above, every triangle has a unique circumcircle, a circle passing through all three vertices, whose center is the intersection of the perpendicular bisectors of the triangle's sides.

    Further, every triangle has a unique Steiner circumellipse, which passes through the triangle's vertices and has its center at the triangle's centroid. Of all ellipses going through the triangle's vertices, it has the smallest area.

    The Kiepert hyperbola is the unique conic which passes through the triangle's three vertices, its centroid, and its circumcenter.

    Of all triangles contained in a given convex polygon, there exists a triangle with maximal area whose vertices are all vertices of the given polygon. [39]

    One way to identify locations of points in (or outside) a triangle is to place the triangle in an arbitrary location and orientation in the Cartesian plane, and to use Cartesian coordinates. While convenient for many purposes, this approach has the disadvantage of all points' coordinate values being dependent on the arbitrary placement in the plane.

    Two systems avoid that feature, so that the coordinates of a point are not affected by moving the triangle, rotating it, or reflecting it as in a mirror, any of which give a congruent triangle, or even by rescaling it to give a similar triangle:

    A non-planar triangle is a triangle which is not contained in a (flat) plane. Some examples of non-planar triangles in non-Euclidean geometries are spherical triangles in spherical geometry and hyperbolic triangles in hyperbolic geometry.

    While the measures of the internal angles in planar triangles always sum to 180°, a hyperbolic triangle has measures of angles that sum to less than 180°, and a spherical triangle has measures of angles that sum to more than 180°. A hyperbolic triangle can be obtained by drawing on a negatively curved surface, such as a saddle surface, and a spherical triangle can be obtained by drawing on a positively curved surface such as a sphere. Thus, if one draws a giant triangle on the surface of the Earth, one will find that the sum of the measures of its angles is greater than 180° in fact it will be between 180° and 540°. [40] In particular it is possible to draw a triangle on a sphere such that the measure of each of its internal angles is equal to 90°, adding up to a total of 270°.

    Specifically, on a sphere the sum of the angles of a triangle is

    dónde F is the fraction of the sphere's area which is enclosed by the triangle. For example, suppose that we draw a triangle on the Earth's surface with vertices at the North Pole, at a point on the equator at 0° longitude, and a point on the equator at 90° West longitude. The great circle line between the latter two points is the equator, and the great circle line between either of those points and the North Pole is a line of longitude so there are right angles at the two points on the equator. Moreover, the angle at the North Pole is also 90° because the other two vertices differ by 90° of longitude. So the sum of the angles in this triangle is 90° + 90° + 90° = 270° . The triangle encloses 1/4 of the northern hemisphere (90°/360° as viewed from the North Pole) and therefore 1/8 of the Earth's surface, so in the formula F = 1/8 thus the formula correctly gives the sum of the triangle's angles as 270°.

    From the above angle sum formula we can also see that the Earth's surface is locally flat: If we draw an arbitrarily small triangle in the neighborhood of one point on the Earth's surface, the fraction F of the Earth's surface which is enclosed by the triangle will be arbitrarily close to zero. In this case the angle sum formula simplifies to 180°, which we know is what Euclidean geometry tells us for triangles on a flat surface.

    Rectangles have been the most popular and common geometric form for buildings since the shape is easy to stack and organize as a standard, it is easy to design furniture and fixtures to fit inside rectangularly shaped buildings. But triangles, while more difficult to use conceptually, provide a great deal of strength. As computer technology helps architects design creative new buildings, triangular shapes are becoming increasingly prevalent as parts of buildings and as the primary shape for some types of skyscrapers as well as building materials. In Tokyo in 1989, architects had wondered whether it was possible to build a 500-story tower to provide affordable office space for this densely packed city, but with the danger to buildings from earthquakes, architects considered that a triangular shape would be necessary if such a building were to be built. [41]

    In New York City, as Broadway crisscrosses major avenues, the resulting blocks are cut like triangles, and buildings have been built on these shapes one such building is the triangularly shaped Flatiron Building which real estate people admit has a "warren of awkward spaces that do not easily accommodate modern office furniture" but that has not prevented the structure from becoming a landmark icon. [42] Designers have made houses in Norway using triangular themes. [43] Triangle shapes have appeared in churches [44] as well as public buildings including colleges [45] as well as supports for innovative home designs. [46]

    Triangles are sturdy while a rectangle can collapse into a parallelogram from pressure to one of its points, triangles have a natural strength which supports structures against lateral pressures. A triangle will not change shape unless its sides are bent or extended or broken or if its joints break in essence, each of the three sides supports the other two. A rectangle, in contrast, is more dependent on the strength of its joints in a structural sense. Some innovative designers have proposed making bricks not out of rectangles, but with triangular shapes which can be combined in three dimensions. [47] It is likely that triangles will be used increasingly in new ways as architecture increases in complexity. It is important to remember that triangles are strong in terms of rigidity, but while packed in a tessellating arrangement triangles are not as strong as hexagons under compression (hence the prevalence of hexagonal forms in nature). Tessellated triangles still maintain superior strength for cantilevering however, and this is the basis for one of the strongest man made structures, the tetrahedral truss.


    Isosceles Triangle - Definition with Examples

    A triangle with two sides of equal length is an isosceles triangle. The two equal sides of an isosceles triangle are known as &lsquolegs&rsquo whereas the third or unequal side is known as the &lsquobase&rsquo.

    Angles opposite to equal sides in an isosceles triangle are always of equal measure. In the given isosceles triangle, if AB = AC then &angB = &angC

    Here are a few examples of the isosceles triangle:

    Real life examples

    Many things in the world have the shape of an isosceles triangle. Some popular examples of an isosceles triangle in real life are a slice of pizza, a pair of earrings.

    Non-examples

    General properties

    The equal sides of an isosceles triangle are known as the &lsquolegs.&rsquo

    The third and unequal side of an isosceles triangle is known as the &lsquobase.&rsquo

    The angle made by the two equal sides of an isosceles triangle is known as the &lsquovertex angle.&rsquo

    The angles that involve the base of an isosceles triangle are known as the &lsquobase angles.&rsquo

    The angles situated opposite to the equal sides of an isosceles triangle are always equal.

    All the three angles situated within the isosceles triangle are acute, which signifies that the angles are less than 90°.

    The sum of three angles of an isosceles triangle is always 180°, which means we can find out the third angle of a triangle if the two angles of an isosceles triangle are known.

    The term isosceles triangle is derived from the Latin word &lsquoīsoscelēs&rsquo, and the ancient Greek word &lsquoἰ&sigma&omicron&sigma&kappa&epsilon&lambdaή&sigmaf (isoskelḗs)&rsquo which means &ldquoequal-legged&rdquo. Moreover, ancient Babylonian and Egyptian mathematics knew how to calculate &lsquoarea&rsquo long before the ancient Greek mathematicians studied the isosceles triangle.

    The isosceles shape of the buildings not only makes them attractive but also earthquake-resistant.


    HOW TO SHOW THE GIVEN POINTS FORM AN ISOSCELES TRIANGLE OR EQUILATERAL TRIANGLE

    Show that the following points taken in order form an isosceles triangle.

    The sides AB and BC are having equal length. So, it is an isosceles triangle.

    Show that the following points taken in order form an isosceles triangle.

    The sides BC and CA are having equal length. Hence it is an isosceles triangle.

    Show that the following points taken in order form an equilateral triangle.

    The sides AB, BC and CA are having equal length.Hence it is equilateral triangle.

    Show that the following points taken in order form an equilateral triangle.

    The sides AB, BC and CA are having equal length.Hence it is equilateral triangle.

    Apart from the stuff given above, if you need any other stuff in math, please use our google custom search here.

    If you have any feedback about our math content, please mail us : 

    We always appreciate your feedback. 

    You can also visit the following web pages on different stuff in math. 


    Ver el vídeo: Geometry AB - Properties of Isosceles and Equilateral Triangles (Octubre 2021).