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5.1: Problemas de Sturm-Liouville - Matemáticas


5.1.1 Problemas de valor límite

Nos hemos encontrado con varios problemas de valores propios diferentes, tales como:

[X '' (x) + lambda X (x) = 0 ]

con diferentes condiciones de contorno

(X (0) = 0 ~~~~~ X (L) = 0 ~~~~~ { rm {(Dirichlet) ~ o,}} )

(X '(0) = 0 ~~~~~ X' (L) = 0 ~~~~~ { rm {(Neumann) ~ o,}} )

(X '(0) = 0 ~~~~~ X (L) = 0 ~~~~~ { rm {(Mixto) ~ o,}} )

(X (0) = 0 ~~~~~ X '(L) = 0 ~~~~~ { rm {(Mixto), ...}} )

Por ejemplo para el alambre aislado, las condiciones de Dirichlet corresponden a aplicar una temperatura cero en los extremos, Neumann significa aislar los extremos, etc…. Otros tipos de condiciones de punto final también surgen de forma natural, como las condiciones de límite de Robin.

[hX (0) -X '(0) = 0 ~~~~~ hX (L) + X' (L) = 0, ]

para alguna constante (h ). Estas condiciones surgen cuando los extremos se sumergen en algún medio.

Los problemas de límites surgieron en el estudio de la ecuación de calor (u_t = ku_ {xx} ) cuando intentábamos resolver la ecuación mediante el método de separación de variables. En el cálculo encontramos un cierto problema de valor propio y encontramos las funciones propias (X_n (x) ). Luego encontramos la descomposición de la función propia de la temperatura inicial (f (x) = u (x, 0) ) en términos de las funciones propias

[f (x) = sum_ {n = 1} ^ { infty} c_nX_n (x). ]

Una vez que tuvimos esta descomposición y encontramos adecuado (T_n (t) ) tal que (T_n (0) = 1 ) y (T_n (t) X (x) ) eran soluciones, la solución al problema original incluyendo la condición inicial podría escribirse como

[u (x, t) = sum_ {n = 1} ^ { infty} c_nT_n (t) X_n (x). ]

Intentaremos resolver problemas más generales utilizando este método. Primero, estudiaremos ecuaciones lineales de segundo orden de la forma

[ frac {d} {dx} left (p (x) frac {dy} {dx} right) -q (x) y + lambda r (x) y = 0. ]

Esencialmente, cualquier ecuación lineal de segundo orden de la forma (a (x) y '' + b (x) y '+ c (x) y + lambda d (x) y = 0 ) se puede escribir como (5.1.5 ) después de multiplicar por un factor adecuado.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Problema de Sturm-Liouville

Pon la siguiente ecuación en la forma (5.1.5):

[x ^ 2y '' + xy '+ ( lambda x ^ 2-n ^ 2) y = 0. ]

Multiplica ambos lados por ( frac {1} {x} ) para obtener

[ frac {1} {x} (x ^ 2y '' + xy '+ ( lambda x ^ 2-n ^ 2) y) = xy' '+ y' + left ( lambda x - frac {n ^ 2} {x} right) y = frac {d} {dx} left (x frac {dy} {dx} right) - frac {n ^ 2} {x} y + lambda xy = 0. ]

El llamado problema Sturm-Liouville1 es buscar soluciones no triviales para

[ frac {d} {dx} left (p (x) frac {dy} {dx} right) -q (x) y + lambda r (x) y = 0, ~~~~~ a

En particular, buscamos ( lambda ) s que permitan soluciones no triviales. Las ( lambda ) s que admiten soluciones no triviales se denominan valores propios y las soluciones no triviales correspondientes se denominan funciones propias. Las constantes ( alpha_1 ) y ( alpha_2 ) no deben ser ambas iguales para ( beta_1 ) y ( beta_2 ).

Teorema 5.1.1. Suponga que (p (x), p '(x), q (x) ) y (r (x) ) son continuas en ([a, b] ) y suponga que (p (x)> 0 ) y (r (x)> 0 ) para todo (x ) en ([a, b] ). Entonces, el problema de Sturm-Liouville (5.1.8) tiene una secuencia creciente de valores propios

[ lambda_1 < lambda_2 < lambda_3 < cdots ]

tal que

[ lim_ {n rightarrow infty} lambda_n = + infty ]

y tal que para cada ( lambda_n ) hay (hasta un múltiplo constante) una única función propia (y_n (x) ).

Además, si (q (x) geq 0 ) y ( alpha_1, alpha_2, beta_1, beta_2 geq 0 ), entonces ( lambda_n geq 0 ) para todo (n ).

Los problemas que satisfacen la hipótesis del teorema se denominan problemas regulares de Sturm-Liouville y solo consideraremos estos problemas aquí. Es decir, un problema regular es aquel en el que (p (x), p '(x), q (x) ) y (r (x) ) son continuos, (p (x)> 0 ) , (r (x)> 0 ), (q (x) geq 0 ) y ( alpha_1, alpha_2, beta_1, beta_2 geq 0 ). Nota: tenga cuidado con las señales. También tenga cuidado con las desigualdades para (r ) y (p ), ¡deben ser estrictas para todo (x )!

Cuando cero es un valor propio, generalmente comenzamos a etiquetar los valores propios en (0 ) en lugar de en (1 ) por conveniencia.

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

El problema (y '' + lambda y, 0 0 ) y (r (x) 1> 0 ). Los valores propios son ( lambda_n = frac {n ^ 2 pi ^ 2} {L ^ 2} ) y las funciones propias son (y_n (x) = sin ( frac {n pi} {L} x ) ). Todos los valores propios son no negativos como predice el teorema.

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

Encuentre valores propios y funciones propias para

[y '' + lambda y = 0, ~~~~~ y '(0) = 0, ~~~~~ y' (1) = 0. ]

Identifica (p, q, r, alpha_j, beta_j ). ¿Puede utilizar el teorema para facilitar la búsqueda de valores propios? (Sugerencia: considere la condición (- y '(0) = 0 ))

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

Encuentre valores propios y funciones propias del problema

[y '' + lambda y = 0, ~~~~~ 0 0. ]

Estas ecuaciones dan un problema regular de Sturm-Liouville.

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

Identifique (p, q, r, alpha_j, beta_j ) en el ejemplo anterior.

Primero observe que ( lambda geq 0 ) por el Teorema 5.1.1. Por tanto, la solución general (sin condiciones de contorno) es

[y (x) = A cos ( sqrt { lambda} x) + B sin ( sqrt { lambda} x) ~~~~~~ rm {if ~} lambda> 0, ]

[y (x) = Ax + B ~~~~~~~~~~~~~~~ rm {if ~} lambda = 0. ]

Veamos si ( lambda = 0 ) es un valor propio: Debemos satisfacer (0 = hB-A ) y (A = 0 ), por lo tanto (B = 0 ) (como (h > 0 )), por lo tanto, (0 ) no es un valor propio (no hay una solución distinta de cero, por lo que no hay función propia).

Ahora intentemos (h> 0 ). Conectamos las condiciones de contorno.

[0 = hA- sqrt { lambda} B, 0 = -A sqrt { lambda} sin ( sqrt { lambda}) + B sqrt { lambda} cos ( sqrt { lambda}). ]

Si (A = 0 ), entonces (B = 0 ) y viceversa, por lo tanto, ambos son distintos de cero. Entonces (B = frac {hA} { sqrt { lambda}} ) y (0 = -A sqrt { lambda} sin ( sqrt { lambda}) + frac {hA} { sqrt { lambda}} sqrt { lambda} cos ( sqrt { lambda}) ). Como (A neq 0 ) obtenemos

[0 = - sqrt { lambda} sin ( sqrt { lambda}) + h cos ( sqrt { lambda}), ]

o

[ frac {h} { sqrt { lambda}} = tan sqrt { lambda}. ]

Ahora use una computadora para encontrar ( lambda_n ). Hay tablas disponibles, aunque usar una computadora o una calculadora gráfica es mucho más conveniente hoy en día. El método más fácil es trazar las funciones ( frac {h} {x} ) y ( tan (x) ) y ver cuál se cruzan. Hay un número infinito de intersecciones. Denote por ( sqrt { lambda_1} ) la primera intersección, por ( sqrt { lambda_2} ) la segunda intersección, etc. Por ejemplo, cuando (h = 1 ), obtenemos que ( sqrt { lambda_1} approx 0.86, sqrt { lambda_2} approx 3.43, ... ). Eso es (y_1 approx 0.74, y_2 approx 11.73, ... ),…. En la figura 5.1 se muestra una gráfica para (h = 1 ). La función propia apropiada (sea (A = 1 ) por conveniencia, entonces (B = frac {h} { sqrt { lambda}} )) es

[y_n (x) = cos ( sqrt { lambda_n} x) + frac {h} { sqrt { lambda_n}} sin ( sqrt { lambda_n} x). ]

Cuando (h = 1 ) obtenemos (aproximadamente)

[y_1 (x) approx cos (0.86x) + frac {1} {0.86} sin (0.86x), ~~~~~ y_2 (x) approx cos (3.43x) + frac {1} {3.43} sin (3.43x), ~~~~~ .... ]

Figura 5.1: Gráfico de ( frac {1} {x} ) y ( tan x ).

5.1.2 Ortogonalidad

Hemos visto antes la noción de ortogonalidad. Por ejemplo, hemos demostrado que ( sin (nx) ) son ortogonales para distintos (n ) en ([0, pi] ). Para problemas generales de Sturm-Liouville, necesitaremos una configuración más general. Sea (r (x) ) una función de ponderación (cualquier función, aunque generalmente asumiremos que es positiva) en ([a, b] ). Se dice que dos funciones (f (x) ), (g (x) ) son ortogonales con respecto a la función de peso (r (x) ) cuando

[ int_a ^ bf (x) g (x) r (x) dx = 0. ]

En este escenario, definimos el producto interno como

[ langle f, g rangle overset { rm {def}} = int_a ^ bf (x) g (x) r (x) dx, ]

y luego decir que (f ) y (g ) son ortogonales siempre que ( langle f, g rangle = 0 ). Los resultados y conceptos son nuevamente análogos al álgebra lineal de dimensión finita.

La idea del producto interno dado es que aquellos (x ) donde (r (x) ) es mayor tienen más peso. Los no triviales (no constantes) (r (x) ) surgen naturalmente, por ejemplo, de un cambio de variables. Por lo tanto, podría pensar en un cambio de variables tal que (d xi = r (x) dx ).

Tenemos la siguiente propiedad de ortogonalidad de las funciones propias de un problema regular de Sturm-Liouville.

Teorema 5.1.2. Supongamos que tenemos un problema regular de Sturm-Liouville

[ frac {d} {dx} left (p (x) frac {dy} {dx} right) -q (x) y + lambda r (x) y = 0, alpha_1y (a ) - alpha_2y '(a) = 0, beta_1y (b) + beta_2y' (b) = 0. ]

Sea (y_j ) y (y_k ) dos funciones propias distintas para dos valores propios ( lambda_j ) y ( lambda_k ) distintos. Luego

[ int_a ^ por_j (x) y_k (x) r (x) dx = 0, ]

es decir, (y_j ) y (y_k ) son ortogonales con respecto a la función de peso (r ).

La demostración es muy similar al teorema análogo del § 4.1. También se puede encontrar en muchos libros, incluidos, por ejemplo, Edwards y Penney [EP].

5.1.3 Alternativa de Fredholm

También tenemos el teorema alternativo de Fredholm del que hablamos antes para todos los problemas habituales de Sturm-Liouville. Lo declaramos aquí para completarlo.

Teorema 5.1.3 (alternativa de Fredholm). Supongamos que tenemos un problema regular de Sturm-Liouville. Entonces tambien

[ frac {d} {dx} left (p (x) frac {dy} {dx} right) -q (x) y + lambda r (x) y = 0, alpha_1y (a ) - alpha_2y '(a) = 0, beta_1y (b) + beta_2y' (b) = 0, ]

tiene una solución distinta de cero, o

[ frac {d} {dx} left (p (x) frac {dy} {dx} right) -q (x) y + lambda r (x) y = f (x), alpha_1y (a) - alpha_2y '(a) = 0, beta_1y (b) + beta_2y' (b) = 0, ]

tiene una solución única para cualquier (f (x) ) continua en ([a, b] ).

Este teorema se usa de la misma manera que lo hicimos antes en el § 4.4. Se utiliza para resolver problemas de valores de frontera no homogéneos más generales. El teorema no nos ayuda a resolver el problema, pero nos dice cuándo existe una solución única, para que sepamos cuándo dedicar tiempo a buscarla. Para resolver el problema, descomponemos (f (x) ) y (y (x) ) en términos de las funciones propias del problema homogéneo, y luego despejamos los coeficientes de la serie para (y (x) ).

5.1.4 Serie de funciones propias

Lo que queremos hacer con las funciones propias una vez que las tengamos es calcular la descomposición de las funciones propias de una función arbitraria (f (x) ). Es decir, deseamos escribir

[f (x) = sum_ {n = 1} ^ { infty} c_ny_n (x), ]

donde (y_n (x) ) las funciones propias. Deseamos averiguar si podemos representar cualquier función (f (x) ) de esta manera, y si es así, deseamos calcular (y, por supuesto, nos gustaría saber si la suma converge). Bien, entonces imagina que podríamos escribir (f (x) ) como (5.1.24). Asumiremos la convergencia y la capacidad de integrar la serie término a término. Debido a la ortogonalidad tenemos

[ langle f, y_m rangle = int_a ^ bf (x) y_m (x) r (x) dx = sum_ {n = 1} ^ { infty} c_n int_a ^ by_n (x) y_m (x) r (x) dx = c_m int_a ^ by_m (x) y_m (x) r (x) dx = c_m langle y_m, y_m rangle. ]

Por eso,

[c_m = frac { langle f, y_m rangle} { langle y_m, y_m rangle} = frac { int_a ^ bf (x) y_m (x) r (x) dx} { int_a ^ b (y_m (x)) ^ 2r (x) dx}. ]

Tenga en cuenta que (y_m ) se conocen hasta un múltiplo constante, por lo que podríamos haber elegido un múltiplo escalar de una función propia tal que ( langle y_m, y_m rangle = 1 ) (si tuviéramos una función propia arbitraria ( tilde {y} _m ), divídalo por ( sqrt { langle tilde {y} _m, tilde {y} _m rangle} )). Cuando ( langle y_m, y_m rangle = 1 ) tenemos la forma más simple (c_m = langle f, y_m rangle ) como hicimos para la serie de Fourier. El siguiente teorema es válido de manera más general, pero el enunciado dado es suficiente para nuestros propósitos.

Teorema 5.1.4. Suponga que (f ) es una función continua suave a trozos en . Si (y_1, y_2, ldots ) ​​son las funciones propias de un problema regular de Sturm-Liouville, entonces existen constantes reales (c_1, c_2, ldots ) ​​dadas por (5.1.26) tales que (5.1.24 ) converge y se mantiene para (a

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Tome el simple problema de Sturm-Liouville

[y '' + lambda y = 0, ~~~~~ 0

Lo anterior es un problema regular y además sabemos por el Teorema 5.1.1 que ( lambda geq 0 ).

Supongamos que ( lambda = 0 ), entonces la solución general es (y (x) Ax + B ), conectamos las condiciones iniciales para obtener (0 = y (0) = B ), y (0 = y '( pi / 2) = A ), por lo tanto ( lambda = 0 ) no es un valor propio. La solución general, por tanto, es

[y (x) = A cos ( sqrt { lambda} x) + B sin ( sqrt { lambda} x). ]

Conectando las condiciones de contorno obtenemos (0 = y (0) = A ) y (0 = y '( pi / 2) = sqrt { lambda} B cos ( sqrt { lambda} frac { pi} {2}) ). (B ) no puede ser cero y por lo tanto ( cos ( sqrt { lambda} frac { pi} {2} = 0) ). Esto significa que ( sqrt { lambda} frac { pi} {2} ) debe ser un múltiplo entero impar de ( frac { pi} {2} ), es decir, ((2n-1 ) frac { pi} {2} = sqrt { lambda_n} frac { pi} {2} ). Por eso

[ lambda_n = (2n-1) ^ 2. ]

Podemos tomar (B = 1 ). Por tanto, nuestras funciones propias son

[y_n (x) = sin ((2n-1) x). ]

Finalmente calculamos

[ int_0 ^ { frac { pi} {2}} ( sin ((2n-1) x)) ^ 2dx = frac { pi} {4}. ]

Entonces, cualquier función suave por partes en ([0, pi / 2] ) se puede escribir como

[f (x) = sum_ {n = 1} ^ { infty} c_n sin ((2n-1) x), ]

dónde

[c_n = frac { langle f, y_n rangle} { langle y_n, y_n rangle} = frac { int_0 ^ { frac { pi} {2}} sin ((2n-1) x) dx} { int_0 ^ { frac { pi} {2}} ( sin ((2n-1) x)) ^ 2dx} = frac {4} { pi} int f (x) sin ((2n-1) x) dx. ]

Tenga en cuenta que la serie converge a un (2 pi ) impar - periódico (no ( pi )-periódica!) extensión de (f (x) ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

En el ejemplo anterior, la función se define en (0

1El nombre de los matemáticos franceses Jacques Charles François Sturm (1803–1855) y Joseph Liouville (1809–1882).


5.1: Problemas de Sturm-Liouville - Matemáticas

Esquema de puntuación
Las tres mejores de las cuatro pruebas contarán con un 45% y el examen final con un 55% de la nota final.

Notas
No habrá pruebas de recuperación.
Se permiten calculadoras no gráficas y no programables durante las pruebas y el examen final.
Los estudiantes que deseen revisar su examen final deben hacerlo dentro de las tres semanas posteriores al período de exámenes.

1 La transformada de Laplace, Lectures 1 & ndash 5 1.1 Introducción
1.2 Otras propiedades y problemas de valor inicial
1.3 Convoluciones y funciones generalizadas

Soluciones en 2 series de ecuaciones diferenciales ordinarias, Conferencias 6 y ndash 10 2.1 Conceptos básicos
2.2 Soluciones sobre puntos ordinarios
2.3 Soluciones sobre puntos singulares regulares 2.3.1 Ecuaciones de Cauchy-Euler
2.3.2 La ecuación general y "+ p (x) y '+ q (x) y = 0
2.3.3 Ecuación de Bessel

3 series de Fourier, Conferencias 11 y 12 3.1 Funciones periódicas
3.2 Funciones definidas en intervalos finitos

4 Ecuaciones diferenciales parciales, Conferencias 13 y 17 4.1 La ecuación del calor 4.1.1 La barra con condiciones de contorno cero
4.1.2 La barra con condiciones de contorno distintas de cero
4.1.3 La barra con extremos aislados 4.2 La ecuación de onda
4.3 Ecuación de Laplace 4.3.1 Soluciones dentro de regiones rectangulares, soluciones polinomiales
4.3.2 Regiones con límites circulares, soluciones dentro de un círculo, soluciones fuera de un círculo, soluciones dentro de un anillo

5 problemas de Sturm-Liouville, Conferencias 18 y ndash 21
5.1 Problemas regulares y periódicos 5.1.1 Teoría general 5.2 Problemas singulares 5.2.1 Ecuación de Bessel
5.2.2 La membrana vibratoria

6 La transformada de Fourier, Conferencias 22 y ndash 24 6.1 Propiedades fundamentales
6.2 Aplicaciones 6.2.1 Ecuaciones diferenciales parciales, la ecuación de calor en (- & # 165, & # 165) Obligación de embarazo: Escríbeme con cualquier solicitud de acomodación académica durante las dos primeras semanas de clase, o tan pronto como sea posible después de que se sepa que existe la necesidad de acomodación. Para obtener más detalles, consulte la Guía del estudiante.

Obligación religiosa: Escríbeme con cualquier solicitud de adaptación académica durante las dos primeras semanas de clase, o tan pronto como sea posible después de que se sepa que existe la necesidad de adaptación. Para obtener más detalles, consulte la Guía del estudiante.

Estudiantes con discapacidades que requieren adaptaciones académicas en este curso debe registrarse en el Centro Paul Menton para Estudiantes con Discapacidades (PMC) para una evaluación formal de las necesidades relacionadas con la discapacidad. Las discapacidades documentadas incluyen, entre otras, discapacidades físicas o de movilidad, discapacidades de aprendizaje (LD) específicas, discapacidades psiquiátricas / psicológicas, discapacidades sensoriales, trastorno por déficit de atención con hiperactividad (TDAH) y afecciones médicas crónicas. Los estudiantes registrados de PMC deben comunicarse con el PMC cada trimestre para que su coordinador envíe una carta de adaptación al instructor. Además, se espera que los estudiantes confirmen su necesidad de adaptación con el Instructor a más tardar dos semanas antes de que venza la primera tarea o la primera prueba en clase o de mitad de período. Si necesita adaptaciones solo para los exámenes programados formalmente en este curso, debe solicitar adaptaciones antes de la fecha límite oficial de adaptaciones publicada en el sitio web de PMC.


Revisor: Lawrence Shampine

Los autores presentan un elemento de software matemático, SLEDGE, para el problema de Sturm-Liouville. Entre sus características se encuentran la aplicabilidad excepcionalmente amplia, la clasificación automática de problemas singulares y la aproximación de funciones de densidad espectral. El enfoque básico para la integración numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias difiere del de los principales competidores: SLEDGE primero aproxima los coeficientes de las ecuaciones diferenciales mediante funciones escalonadas y luego integra la ecuación de aproximación "analíticamente". SLEDGE es el resultado de muchos años de desarrollo teórico y práctico. La comunidad científica está en deuda con los autores por esta herramienta tan eficaz.

Acceda a reseñas críticas de la literatura informática aquí


Transformaciones entre problemas de Sturm-Liouville con condiciones de frontera independientes y dependientes de valores propios

La investigación del tercer autor se realizó durante su visita a la Universidad de Calgary y la Universidad de Saskatchewan, y con el apoyo en parte del Centro de Análisis Aplicable y Teoría de Números.

Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad de Calgary, Calgary, Alberta T2N 1N4, Canadá [email protected]

La investigación de los primeros y segundos autores fue apoyada en parte por subvenciones de la NSERC de Canadá.

Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad de Saskatchewan, Saskatoon, Saskatchewan S7N 5E6, Canadá [email protected]

La investigación de los primeros y segundos autores fue apoyada en parte por subvenciones de la NSERC de Canadá.

Departamento de Matemáticas, Universidad de Witwatersrand, Private Bag 3, P O WITS 2050, Sudáfrica [email protected]

La investigación del tercer autor se llevó a cabo durante su visita a la Universidad de Calgary y la Universidad de Saskatchewan, y con el apoyo en parte del Centro de Análisis Aplicable y Teoría de Números.


Problema de Sturm-Liouville

Nuestros editores revisarán lo que ha enviado y determinarán si deben revisar el artículo.

Problema de Sturm-Liouville, o problema de valor propio, en matemáticas, una cierta clase de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) sujetas a restricciones adicionales, conocidas como valores de frontera, en las soluciones. Estas ecuaciones son comunes tanto en la física clásica (por ejemplo, conducción térmica) como en la mecánica cuántica (por ejemplo, la ecuación de Schrödinger) para describir procesos donde algún valor externo (valor límite) se mantiene constante mientras el sistema de interés transmite alguna forma de energía.

A mediados de la década de 1830, los matemáticos franceses Charles-François Sturm y Joseph Liouville trabajaron de forma independiente en el problema de la conducción de calor a través de una barra de metal, en el proceso de desarrollar técnicas para resolver una gran clase de PDE, la más simple de las cuales toma la formapag(X)y′]′ + [q(X) - λr(X)]y = 0 donde y es una cantidad física (o la función de onda de la mecánica cuántica) y λ es un parámetro, o valor propio, que restringe la ecuación de modo que y satisface los valores límite en los puntos finales del intervalo sobre el cual la variable X rangos. Si las funciones pag, q, y r satisfacen las condiciones adecuadas, la ecuación tendrá una familia de soluciones, llamadas funciones propias, correspondientes a las soluciones de valores propios.

Para el caso no homogéneo más complicado en el que el lado derecho de la ecuación anterior es una función, F(X), en lugar de cero, los valores propios de la ecuación homogénea correspondiente se pueden comparar con los valores propios de la ecuación original. Si estos valores son diferentes, el problema tendrá una solución única. Por otro lado, si uno de estos valores propios coincide, el problema no tendrá solución o tendrá una familia completa de soluciones, dependiendo de las propiedades de la función. F(X).

Este artículo fue revisado y actualizado más recientemente por William L. Hosch, editor asociado.


Clasificación de ecuaciones diferenciales de Sturm & # x2013Liouville con coeficientes complejos y realizaciones de operadores

En este artículo, se da una nueva clasificación de las ecuaciones diferenciales de Sturm-Liouville con coeficientes complejos. Comparado con el resultado correspondiente de Brown et al., esta clasificación revela los grandes efectos del ángulo de rotación y es independiente de los ángulos de rotación. Además, los comportamientos asintóticos de las funciones en el dominio máximo se presentan y J-se caracterizan las extensiones autoadjuntas asociadas con las ecuaciones diferenciales.

1. Introducción

Considere la ecuación diferencial de Sturm-Liouville

Uno de los objetivos del presente trabajo es estudiar la clasificación de la ecuación (1.1) según el número de soluciones cuadradas integrables de la ecuación (1.1) en espacios adecuados integrables ponderados. Este tipo de clasificación de ecuaciones diferenciales juega un papel importante en la teoría espectral de operadores diferenciales, ya que nos puede decir cómo obtener las realizaciones del operador asociadas con las ecuaciones diferenciales. El estudio de este problema tiene una larga historia desde el trabajo pionero de Weyl (1910). Cuándo pag(X) y q(X) son todos valores reales, la ecuación clasificada de Weyl (1.1) en el punto límite y círculo límite casos introduciendo el metro(λ) -funciones. Este trabajo se ha desarrollado y generalizado en gran medida a ecuaciones diferenciales de orden superior formalmente simétricas y sistemas diferenciales hamiltonianos para esta línea, se remite al lector a Dunford y Schwartz (1963), Eastham (1979), Hinton y Shaw (1981, 1983, 1984). , Weidmann (1987), Krall (1989)a,B), Everitt y Markus (1999), Brown et al. (2003), Zettl (2005) y sus referencias.

El mismo problema también fue estudiado por Sims (1957) para el caso en que q(X) tiene un valor complejo. Consideró el caso en el que pag(X)=w(X) ≡1, soy q(X) es semi-acotada y clasifica la ecuación (1.1) en tres casos. Recientemente, este trabajo fue ampliamente generalizado por Brown et al. (1999, 2003).

Para enunciar claramente la clasificación dada en Brown et al. (1999), presentamos algunas notaciones. Definir

Para tales valores admisibles de K y θ, colocar

Con estas definiciones y utilizando un método de círculo anidado basado en los métodos de Weyl (1910) y Sims (1957), Brown et al. (1999) dividió la ecuación (1.1) en tres casos con respecto a los semiplanos correspondientes Λθ,K como sigue. La unicidad a la que se hace referencia en el teorema y las siguientes secciones es solo hasta múltiplos constantes.

Teorema 1.1

I: Para todos λ∈Λθ,K, la ecuación (1.1) tiene una solución única y que satisface

II: Para todo λ∈Λθ, K, todas las soluciones de la ecuación (1.1) pertenecen a y existe una única solución no trivial de la ecuación (1.1) que satisface la ecuación (1.6).

III: Para todo λ∈Λθ, K, todas las soluciones de la ecuación (1.1) satisfacen la ecuación (1.6).

Observación 1.2

Si q(X) y pag(X) tienen valor real, entonces y (θ,K)=(π/2,0)∈S. Por lo tanto Reθ pag(X)> = Reθ (q(X)−K w)> ≡0. Entonces el caso II es vacío. Esto significa que la clasificación mencionada anteriormente se reduce a la clasificación de punto límite, círculo límite de Weyl.

En el teorema 1.1 se ve que, a diferencia de la clasificación de la ecuación (1.1) con coeficientes reales, los tres casos del teorema 1.1 dependen formalmente de la elección de (θ,K) en S o los semiplanos Λθ,K. De hecho, los casos II y III dependen de la elección de (θ,K). Véase el teorema 2.3 en §2. Uno de los principales resultados de este trabajo es dar una nueva clasificación de la ecuación (1.1) que es independiente de los ángulos de rotación (o semiplanos). Véase el teorema 3.2 en §3. Este tipo de clasificación proporciona propiedades detalladas para las soluciones de la ecuación (1.1). Aplicando estas propiedades obtenemos los comportamientos asintóticos de funciones en el dominio máximo cuando la ecuación (1.1) está en los casos I o II en §4. (teorema 4.1). Además, los comportamientos asintóticos ofrecen una herramienta sencilla para caracterizar la J-realizaciones de operadores autoadjuntos asociados con la ecuación (1.1). Ver teoremas 5.1 y 5.2, que son la generalización del teorema de resultados 4.4 en Brown et al. (1999) y el teorema 10.26 en Edmunds y Evans (1987), respectivamente.

Después de esta sección, §2 proporciona algunos resultados preliminares para la ecuación (1.1) y §3 presenta una nueva clasificación para la ecuación (1.1). La sección 4 estudia los comportamientos asintóticos y la sección 5 trata de la J-realizaciones de operadores autoadjuntos asociados con la ecuación (1.1).

2. Resultados preliminares

Dejar Ω, S y Λθ,K definirse como en §1. Desde cada uno Λθ, K es un semiplano, para (θj,Kj)∈S, j= 1,2 con θ1θ2(modificación π), sostiene que

Lema 2.1

Para cada (θ, K) ∈S y λ∈Λθ, K, existe δλ) & gt0 tal que

Usando la fórmula de variación de parámetros, podemos verificar que si todas las soluciones de la ecuación (1.1) pertenecen a algunos, entonces es cierto para todos. Esto también significa que:

Lema 2.2

Si existe un (θ0,K0)∈S tal que la ecuación (1.1) es en el caso I con respecto a (w.r.t.) Λθ0,K0, entonces la ecuación (1.1) es en caso de que w.r.t. Λθ, Kpara cada (θ,K)∈S.

Esto indica que el caso I es independiente de la elección de (θ,K)∈S. Sin embargo, los casos II y III dependen de la elección de (θ,K)∈S en general, es decir, puede existir (θ1,K1),(θ2,K2)∈S tal que la ecuación (1.1) es en el caso II w.r.t. Λθ1,K1 y es en el caso III w.r.t. Λθ2,K2. Para aclarar la dependencia, introducimos el conjunto de ángulos admisible mi definido por

Teorema 2.3

(cf. Sun & amp Qi (2010, teorema 2.1)) Si existe un (θ0, K0) ∈S tal que la ecuación (1.1) sea en el caso II w.r.t. Λθ0, K0, entonces la ecuación (1.1) es en el caso II w.r.t. Λθ,Kpara todos (θ, K) ∈S excepto como máximo uno θ1∈E (en el sentido de mod π) tal que la ecuación (1.1) sea en el caso III w.r.t. Λθ1, K1, donde (θ1, K1) ∈S.

Observación 2.4

El teorema 2.3 indica que si existe θ1,θ2mi tal que θ1θ2 (modificación π) y la ecuación (1.1) es en el caso III w.r.t. Λθj,Kj por j= 1,2, entonces la ecuación (1.1) es en el caso III w.r.t. Λθ,K para todos (θ,K)∈S.

3. Una nueva clasificación

Dejar mi definirse como en la ecuación (2.4). Encontraremos que el número de elementos en mi determina la dependencia de los casos II y III de (θ,K)∈S. De hecho, si mi tiene un solo punto, entonces la clasificación de Brown et al. en el teorema 1.1 es independiente de la elección de (θ,K)∈S. Para dar una nueva clasificación que sea independiente de (θ,K)∈S, solo necesitamos considerar el caso cuando mi tiene más de un punto. En lo que sigue, asumimos que mi tiene más de un punto, es decir, existen al menos θ1,θ2mi con θ1θ2 (modificación π). Para empezar, preparamos algunas propiedades del conjunto. mi.

Lema 3.1

Si E tiene más de un punto, entonces E es un subintervalo de (−π,π].

Si E tiene más de un punto, entonces para cada , existen θ1, θ2E con θ1& ltθ2tal que para θ∈(θ1,θ2)⊂mi, λΛθ, K, dónde (θ,K)∈S.

Prueba.

(Yo dejo θ1,θ2mi con θ1θ2 (modificación π), θ1& ltθ2 y K1,K2 ser los puntos en ∂Ω tal queθj,Kj)∈S, j= 1,2. Afirmamos que [θ1,θ2]⊂mi. Para el caso K1=K2=K, probamos que (θ,K)∈S para todos θ∈(θ1,θ2). Colocar

(ii) Para, elija (θ0,K0)∈S y δ0& gt0 tal que λ0Λθ0,K0 y

Ahora, establecemos la nueva clasificación precisa de la ecuación (1.1) con la condición de que mi tiene más de un punto. Esta clasificación es independiente de la elección de (θ,K)∈S.

Teorema 3.2

Suponga que E tiene más de un punto. Entonces, son posibles los siguientes tres casos distintos.

Caso uno: para todos , la ecuación (1.1) tiene una solución única y esta solución también satisface

Caso dos: para todos , todas las soluciones de la ecuación (1.1) pertenecen a pero solo una solución única satisface la ecuación (3.7)

Caso tres: para todos , todas las soluciones de la ecuación (1.1) satisfacen la ecuación (3.7).

Prueba.

Existe una solución única de la ecuación (1.1) que pertenece a

Todas las soluciones de la ecuación (1.1) pertenecen a.

Suponga que ocurre el caso (a). Esto significa que la ecuación (1.1) es en el caso I para todos (θ,K)∈S. Por (ii) del lema 3.1 existen (θ1,K1),(θ2,K2)∈S con θ1θ2 (modificación π) tal que λΛθ1,K1Λθ2,K2, por lo tanto, existe una solución única y de la ecuación (1.1) tal que

Suponga que el caso (b) es válido para. Del teorema 2.3 se deduce que hay que considerar dos subcampos:

(B1) Existe a lo sumo uno θ0mi tal que la ecuación (1.1) es en el caso III w.r.t. Λθ0,K0 y la ecuación (1.1) es en el caso II w.r.t. Λθ,K para todos (θ,K)∈S con θθ0 (modificación π)

(B2) Para todos (θ,K)∈S, la ecuación (1.1) es en el caso III w.r.t. Λθ,K.

Para el subcase (b1) probamos primero que, por supuesto, existen con (mod π) y existe una solución única de la ecuación (1.1) que satisface la ecuación (3.8) simultáneamente para θ,. De hecho, por (ii) del lema 3.1 existen (θj,Kj)∈S, j= 1,2,3 tal que

Finalmente, probamos que el subcase (b2) implica que la ecuación (1.1) es en el caso tres. Usando el lema 3.1 podemos elegir (θj,Kj)∈S tal que θ1θ2 (modificación π) y λΛθ1K1Λθ2K2. Dado que la ecuación (1.1) está en el caso III w.r.t. Λθj,Kj, j= 1,2, todas las soluciones de la ecuación (1.1) satisfacen la ecuación (3.8) para ambos j= 1 y j= 2. Por lo tanto, el argumento similar al anterior da como resultado que todas las soluciones de la ecuación (1.1) satisfacen la ecuación (3.7). Esto da que la ecuación (1.1) es en el caso tres. ■

Observación 3.3

la ecuación (1.1) es en el caso I si y solo si la ecuación (1.1) es en el caso uno

la ecuación (1.1) es en el caso II w.r.t. Λθ,K para algunos θmi si y solo si es en el caso dos y

la ecuación (1.1) es en el caso III w.r.t. Λθ,K para todos θmi si y solo si es en el caso tres.

Muchas suposiciones sobre coeficientes pueden asegurar que mi tiene más de un punto. Por ejemplo, si pag(X) & gt0 y q(X)≥q0w(X), luego mi tiene más de un punto. mi tiene un solo punto si y solo si el límite de Ω es una o dos líneas rectas. Para este caso, la clasificación de la ecuación (1.1) en el teorema 3.2 puede no ser cierta.

Por ejemplo, considere la ecuación (1.1) con y λ=I. Concluimos de Hille (1969, teorema 10.1.5, p. 503) que la ecuación (1.1) está en el caso del punto límite en. Denotamos por y(X,I) la única solución de la ecuación (1.1) con λ=I tal que. De Hille (1969, ejercicio 10, p. 504) se deduce que y′,. Entonces, esta ecuación no se encuentra en ninguno de los tres casos del teorema 3.2. Notamos eso mi tiene un solo punto π/ 2 para esta ecuación. Ejemplos de valores complejos pag y q donde ocurren los casos dos y tres se dan en Sun & amp Qi (2010).

4. Comportamientos asintóticos

En esta sección, daremos comportamientos asintóticos de los elementos en el dominio máximo del operador diferencial formal. τ definido en el intervalo donde 0 es un punto final regular e implícitamente un punto final singular. Todos los resultados de esta sección se pueden demostrar con un argumento similar para cualquier punto final singular, a la izquierda o derecha en un intervalo arbitrario (a,B), dónde . El intervalo considerado aquí es solo por simplicidad. Recuerde que la ecuación (1.1) en (a,B) se ha dicho regular a a si 1 /pag, q y w son integrables ena,C) para algunos (y por lo tanto cualquiera) C∈(a,B), y singular a a de lo contrario y la regularidad y singularidad en B se definen de manera similar. Tenga en cuenta que la regularidad (respectivamente, singularidad) de un punto final está determinada únicamente por la integrabilidad (respectivamente, no integrabilidad) de los coeficientes en la ecuación (1.1) en el punto final, no la finitud (respectivamente, infinitud) del punto final, como ya ha sido comentado por Atkinson (1964, §9.1). Véase también Zettl (2005, teorema 2.3.1). Considere el operador diferencial formal τ asociado con la ecuación (1.1)

Denotemos el conjunto de funciones con valores complejos que son absolutamente continuas en cada subintervalo compacto de. Definimos el dominio del operador máximo asociado con τ como sigue:


5.1: Problemas de Sturm-Liouville - Matemáticas

La forma general del sistema Sturm-Liouville es

Funciones de Bessel : Para,,,, y, la ecuación de Sturm-Liouville se convierte en la Ecuación diferencial de Bessel

que se define en. Las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel se llaman Funciones de Bessel del primer tipo que forman un conjunto ortogonal completo en el intervalo con respecto a. (Más detalles ver gráficos).

Polinomios de Legendre : Para,,,, y, la ecuación de Strangleholds se convierte en la Ecuación diferencial de Legendre

que se define en. The solutions of the Legendre's differential equation with is called Legendre Polynomials which form a complete orthogonal set on the interval . (Further detail see plots.)

Hermite Polynomials : For , , , , , and , the Sturm-Liouville equation becomes the Hermite's differential equation

which is defined on . The solutions of the Hermite's differential equation with is called Hermite Polynomials which form a complete orthogonal set on the interval with respect to . (Further detail see plots.)

Laguerre Polynomials : For , , , , , and , the Sturm-Liouville equation becomes the Laguerre's differential equation

which is defined on . The solutions of the Laguerre's differential equation with is called Laguerre Polynomials which form a complete orthogonal set on the interval with respect to . (Further detail see plots.)

Chebyshev Polynomials : For , , , , , and , the Sturm-Liouville equation becomes the Chebyshev's differential equation


5.1: Sturm-Liouville problems - Mathematics

Find the area of right triangles, other triangles, special quadrilaterals, and polygons by composing into rectangles or decomposing into triangles and other shapes apply these techniques in the context of solving real-world and mathematical problems.

Encuentre el volumen de un prisma rectangular recto con longitudes de borde fraccionarias empaquetándolo con cubos unitarios de las longitudes de borde fraccionarias unitarias apropiadas, y demuestre que el volumen es el mismo que se obtendría al multiplicar las longitudes de los bordes del prisma. Apply the formulas V = l w h and V = b h to find volumes of right rectangular prisms with fractional edge lengths in the context of solving real-world and mathematical problems.

Draw polygons in the coordinate plane given coordinates for the vertices use coordinates to find the length of a side joining points with the same first coordinate or the same second coordinate. Aplicar estas técnicas en el contexto de la resolución de problemas matemáticos y del mundo real.

Representa figuras tridimensionales usando redes formadas por rectángulos y triángulos, y usa las redes para encontrar el área de superficie de estas figuras. Aplicar estas técnicas en el contexto de la resolución de problemas matemáticos y del mundo real.


Western CEDAR

We consider a regular indefinite Sturm–Liouville eigenvalue problem −F′′ + q F = λ r F on [a, B] subject to general self-adjoint boundary conditions and with a weight function r which changes its sign at finitely many, so-called turning points. We give sufficient and in some cases necessary and sufficient conditions for the Riesz basis property of this eigenvalue problem. In the case of separated boundary conditions we extend the class of weight functions r for which the Riesz basis property can be completely characterized in terms of the local behavior of r in a neighborhood of the turning points. We identify a class of non-separated boundary conditions for which, in addition to the local behavior of r in a neighborhood of the turning points, local conditions on r near the boundary are needed for the Riesz basis property. As an application, it is shown that the Riesz basis property for the periodic boundary conditions is closely related to a regular HELP-type inequality without boundary conditions.


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Ver el vídeo: Sturm-Liouville Theorem for 2nd Order ODEs: Eigenvalues u0026 Eigenfunctions (Octubre 2021).