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13.6: Sistemas de reacción-difusión - Matemáticas


Finalmente, me gustaría presentar sistemas de reacción-difusión, una clase particular de modelos de campo continuo que se han estudiado extensamente. Son modelos de campo continuo cuyas ecuaciones se componen únicamente de términos de reacción y términos de difusión, Como se muestra abajo:

[ dfrac { partial {f_1}} { partial {t}} = R_1 (f_1, f_2, ..., f_n) + D_1∇ ^ {2} f_1 label {(13.53)} ]

[ dfrac { partial {f_2}} { partial {t}} = R_2 (f_1, f_2, ..., f_n) + D_2∇ ^ {2} f_2 label {(13.54)} ]

[ vdots ]

[ dfrac { partial {f_n}} { partial {t}} = R_n (f_1, f_2, ..., f_n) + D_n∇ ^ {2} f_n label {(13.55)} ]

Los términos de reacción ( (R_i (...) )) describen solo la dinámica local, sin derivaciones espaciales involucradas. Los términos de difusión ( (D_i∇ ^ {2} f_i )) están estrictamente limitados al laplaciano de la propia variable de estado. Por lo tanto, cualquier ecuación que implique un movimiento espacial no difusivo (por ejemplo, quimiotaxis) no es un sistema de reacción-difusión.

Hay varias razones por las que los sistemas de reacción-difusión han sido una opción popular entre los modeladores matemáticos de fenómenos espacio-temporales. Primero, su clara separación entre dinámica espacial y no espacial hace que las tareas de modelado y simulación sean realmente fáciles. En segundo lugar, limitar el movimiento espacial solo a la difusión hace que sea bastante sencillo expandir cualquier modelo dinámico no espacial existente en modelos distribuidos espacialmente. En tercer lugar, la estructura particular de las ecuaciones de reacción-difusión proporciona un atajo fácil en el análisis de estabilidad (que se discutirá en el próximo capítulo). Y finalmente, a pesar de la simplicidad de su forma matemática, los sistemas de reacción-difusión pueden mostrar una dinámica espacio-temporal sorprendentemente rica y compleja. Debido a estas propiedades, los sistemas de difusión por reacción se han utilizado ampliamente para modelar la autoorganización de patrones espaciales. Incluso hay aplicaciones de software especializadas disponibles exactamente para simular sistemas de reacción-difusión.3.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Extienda los siguientes modelos no espaciales en modelos distribuidos espacialmente como sistemas de reacción-difusión agregando términos de difusión. Luego, simule sus comportamientos en Python.

  • Movimiento de un péndulo (ecuación (6.2.1)): esto crea un modelo espacial de osciladores no lineales acoplados localmente.
  • Modelo de susceptible-infectado-recuperado (SIR) (ejercicio 7.1.3): Esto crea un modelo espacial de dinámica epidemiológica.

A continuación, revisaremos algunos sistemas de reacción-difusión bien conocidos para vislumbrar el rico y diverso mundo de sus dinámicas.

Formación del patrón de Turing

Como se mencionó al comienzo de este capítulo, los modelos PDE de Alan Turing se encontraban entre los primeros sistemas de reacción-difusión desarrollados a principios de la década de 1950 [44]. Una versión lineal simple de las ecuaciones de Turing es la siguiente:

[ dfrac { partial {u}} { partial {t}} = a (u-h) + b (v-k) + D_ {u} Delta ^ {2} u label {13.56} ]

[ dfrac { partial {u}} { partial {t}} = c (u-h) + d (v-k) + D_ {u} Delta ^ {2} u label {13.57} ]

Las variables de estado (u ) y (v ) representan concentraciones de dos especies químicas. (a, b, c, ) y (d ) son parámetros que determinan el comportamiento de los términos de reacción, mientras que (h ) y (k ) son constantes. Finalmente, (D_u ) y (D_v ) son constantes de difusión.

Si se ignoran los términos de difusión, es fácil demostrar que este sistema tiene un solo punto de equilibrio, ( (u_eq, v_eq) = (h, k) ). Este punto de equilibrio puede ser estable para muchos valores de parámetros para (a, b, c, ) y (d ). Lo más sorprendente de los hallazgos de Turing es que, incluso para esos puntos de equilibrio estables, la introducción de dimensiones espaciales y términos de difusión en las ecuaciones puede desestabilizar el equilibrio y, por lo tanto, el sistema puede autoorganizarse espontáneamente en un patrón no homogéneo. Se llama inestabilidad inducida por difusión o Inestabilidad de Turing. En la figura 13.6.1 se muestra un ejemplo de resultado de la simulación.

La idea de inestabilidad inducida por la difusión es bastante contraria a la intuición. La difusión generalmente se considera una fuerza aleatoria que destruye cualquier estructura en un desorden homogeneizado, sin embargo, en este modelo en particular, ¡la difusión es la clave para la autoorganización! Que esta pasando? El truco es que este sistema tiene dos coeficientes de difusión diferentes, (D_u ) y (D_v ), y su diferencia juega un papel clave en la determinación de la estabilidad del estado del sistema. Esto se discutirá con más detalle en el próximo capítulo.

Hay una cosa que necesita especial atención cuando está a punto de simular las ecuaciones de reacción-difusión de Turing. La formación del patrón de Turing requiere que estén presentes pequeñas perturbaciones aleatorias (ruido) en la configuración inicial del sistema; de lo contrario, la dinámica no podría romper la simetría espacial para crear patrones no homogéneos. Mientras tanto, estas perturbaciones iniciales deben ser lo suficientemente pequeñas como para que no provoquen inmediatamente inestabilidades numéricas en la simulación. Aquí hay un código de muestra para simular la formación del patrón de Turing con un nivel sugerido de perturbaciones iniciales, usando la configuración de parámetros que se muestra en la Fig. 13.6.1:

Esta simulación parte de una configuración inicial ((u (x, y), v (x, y)) ≈ (1,1) = (h, k) ), que es el estado de equilibrio homogéneo del sistema que sería estable sin términos de difusión. Ejecute la simulación para ver cómo los patrones se autoorganizan espontáneamente.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Realice simulaciones de la formación del patrón de Turing con varios ajustes de parámetros diferentes y analice cómo las variaciones de los parámetros (especialmente para las constantes de difusión) afectan la dinámica resultante.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Discretice el modelo de agregación de moho de lodo de Keller-Segel (ecuaciones (13.4.13) y (13.4.14)) (aunque este modelo no es un sistema de reacción-difusión, este es el momento perfecto para trabajar en este ejercicio porque puede utilizar el Código 13.8). Implemente su código de simulación en Python y realice simulaciones con (µ = 10 ^ {- 4} ), (D = 10 ^ {- 4} ), (f = 1 ) y (k = 1 ), mientras que varía (χ ) como parámetro de control desde (0 ) a (10 ​​^ {- 3} ). Utilice (a = 1 ) y (c = 0 ) como condiciones iniciales en todas partes, agregando pequeñas perturbaciones aleatorias.

Reacción de Belousov-Zhabotinsky

La Reacción de Belousov-Zhabotinsky, o Reacción BZ para abreviar, es una familia de reacciones químicas oscilatorias descubiertas por primera vez por el químico ruso Boris Belousov en la década de 1950 y luego analizadas por el químico ruso-estadounidense Anatol Zhabotinsky en la década de 1960. Una de las variaciones comunes de esta reacción es esencialmente una oxidación del ácido malónico ( (CH_ {2} (COOH) _ {2} )) por una solución de bromato acidificada, sin embargo, este proceso muestra un comportamiento oscilatorio no linealf o una longitud sustancial de tiempo antes de alcanzar finalmente el equilibrio químico. El mecanismo químico real es bastante complejo e involucra alrededor de 30 sustancias químicas diferentes. Además, si esta solución química se coloca en una placa de Petri poco profunda, la oscilación química comienza en diferentes fases en diferentes lugares. La interacción entre la reacción y la difusión de las sustancias químicas en el espacio dará como resultado la autoorganización de ondas viajeras dinámicas (Figura ( PageIndex {2} )), al igual que las que se ven en el modelo CA de medios excitables en la Sección 11.5 .

Un modelo matemático simplificado llamado "Oregonator" fue uno de los primeros en describir la dinámica de la reacción BZ en una forma simple [50]. Originalmente se propuso como un modelo no espacial con tres variables de estado, pero luego el modelo se simplificó para tener solo dos variables y luego se extendió a dominios espaciales [51]. Aquí están las ecuaciones simplificadas de "Oregonator":

[ begin {align} epsilon { dfrac { partial {u}} { partial {t}}} & = u (1-u) - dfrac {uq} {u + q} fv + D_ { u} Delta ^ {2} u label {(13.58)} [4pt] dfrac {∂v} {∂t} & = uv + D_ {u} Delta ^ {2} v label {( 13.59)} end {align} ]

Aquí, (u ) y (v ) representan las concentraciones de dos especies químicas. Si examina cuidadosamente los términos de reacción de estas ecuaciones, notará que la presencia de (u ) químico tiene un efecto positivo tanto en (u ) como en (v ), mientras que la presencia de (v ) químico tiene un efecto negativo en ambos. Por lo tanto, estos productos químicos se denominan "activador" y "inhibidor", respectivamente. También se observaron interacciones similares entre el activador y el inhibidor en la formación del patrón de Turing, pero el sistema de reacción BZ muestra una oscilación química no lineal. Esto provoca la formación de ondas viajeras. A veces, esas ondas pueden formar espirales si la simetría espacial se rompe por factores estocásticos. En la figura 13.6.3 se muestra un ejemplo de resultado de la simulación.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Implementar un código de simulador del modelo "Oregonator" de la reacción BZ en Python. Luego, realice simulaciones con varios ajustes de parámetros diferentes y analice qué tipo de condiciones serían necesarias para producir ondas viajeras.

Formación del patrón Gray-Scott

El ejemplo final es el Modelo Gray-Scott, otro sistema de reacción-difusión muy conocido estudiado y popularizado por John Pearson en la década de 1990 [52], basado en un modelo de reacción química desarrollado por Peter Gray y Steve Scott en la década de 1980 [53, 54, 55]. Las ecuaciones del modelo son las siguientes:

[ dfrac {∂u} {∂t} = F (1-u) -uv ^ {2} + D_ {u} Delta ^ {2} u label {(13.60)} ]

[ dfrac {∂v} {∂t} = - (F + k) v + uv ^ {2} + D_ {u} Delta ^ {2} v label {(13.61)} ]

Los términos de reacción de este modelo asumen lo siguiente reacción autocatalítica (es decir, reacción química para la cual el reactivo en sí mismo sirve como catalizador):

[u + 2v rightarrow 3v label {(13.62)} ]

Esta reacción toma una molécula de (u ) y la convierte en una molécula de (v ), con la ayuda de otras dos moléculas de (v ) (por lo tanto, autocatálisis). Esto está representado por el segundo término en cada ecuación. Mientras tanto, (u ) se repone continuamente desde la fuente externa hasta 1 (el primer término de la primera ecuación) a la tasa de alimentación (F ), mientras que (v ) se elimina continuamente del sistema en una tasa ligeramente más rápida que la reposición de (u ) ( (F + k ) vista en el primer término de la segunda ecuación). (F ) y (k ) son los parámetros clave de este modelo.

Es fácil demostrar que, si se ignoran los términos de difusión, este sistema siempre tiene un punto de equilibrio en ((u_ {eq}, v_ {eq}) = (1,0) ) (que es estable para cualquier positivo (F ) y (k )). Sin embargo, sorprendentemente, este modelo puede mostrar una dinámica de aspecto biológico muy exótica si ciertos patrones espaciales se colocan en el equilibrio anterior. Sus comportamientos son asombrosamente ricos, incluso incluyen el crecimiento, la división y la muerte de "células" si los valores de los parámetros y las condiciones iniciales se eligen adecuadamente. ¡Vea la figura 13.6.4 para ver solo algunas muestras de su maravillosa dinámica!

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Implemente un código de simulador del modelo Gray-Scott en Python. Luego, realice simulaciones con varios ajustes de parámetros diferentes y discuta cómo los parámetros afectan los patrones resultantes.

Figura ( PageIndex {4} ): (Página siguiente) Muestras de patrones generados por el modelo Gray-Scott con (D_u = 2 × 10 ^ {- 5} ) y (D_v = 10 ^ {- 5} ). La concentración de sustancia química (u ) se representa en escala de grises (más brillante = mayor, solo en esta figura). El tiempo fluye de izquierda a derecha. Los valores de los parámetros de (F ) y (k ) se muestran encima de cada resultado de simulación. Las condiciones iniciales son el equilibrio homogéneo ((u, v) = (1,0) ) en todas partes del espacio, excepto en el centro donde el estado local se invierte de manera que ((u, v) = (0, 1) ).

3Por ejemplo, consulte Ready (https://code.google.com/p/reaction-diffusion/).


Ecuación de reacción-difusión

donde $ u = u (x, t) = (u_1, ldots, u_n) $, $ Delta $ es el operador de Laplace en las variables espaciales $ x $, $ D $ es una matriz diagonal no negativa no nula , y $ f $ es una función de un dominio en $ mathbf R ^ n $ en $ mathbf R ^ n $. También se han estudiado muchas generalizaciones de estas ecuaciones, como el resultado cuando $ f $ depende también de las derivadas $ x $ de primer orden de $ u $, cuando el operador $ Delta $ es reemplazado por otro, posiblemente no lineal , operadores, o cuando la matriz $ D $ no es diagonal. Si aparecen términos adicionales de primer orden en el sistema como un modelo para los efectos del transporte convectivo, el sistema a veces se denomina ecuación de reacción-advección-difusión.

Estas ecuaciones surgen como modelos de diversos fenómenos naturales [a1], pero sus raíces más naturales se encuentran en el estudio de los sistemas químicos: los componentes del vector $ u $ pueden entonces representar concentraciones de especies químicas presentes, el término $ D Delta u $ representa el transporte difusivo de esas especies, posiblemente a través de una solución química, y $ f (u) $ representa la producción o destrucción de especies resultantes de reacciones entre ellas (si se conocen las velocidades de todas estas reacciones, como funciones de $ u $, entonces se puede escribir la forma explícita de $ f $).

La variable $ x $ a menudo se limita a un dominio $ Omega $ con límite $ parcial Omega $, y luego se buscan soluciones que satisfagan condiciones de límite específicas en $ parcial Omega $. Estos son generalmente de la forma

donde $ parcial / parcial nu $ es la derivada normal a $ parcial Omega $, $ a_i $ y $ b_i $ no son ambos cero (a menos que $ u_i $ no se "difunda"), y $ h_i $ es una función dada. Una vez más, abundan las generalizaciones, como las de las condiciones de contorno no lineales.

Los problemas específicos de interés son: i) el problema del valor inicial, en el que se da $ u (x, 0) $ y se busca $ u (x, t) $ para $ t geq0 $ ii) el problema constante, en qué soluciones independientes de $ t $ se buscan y iii) el problema de ondas viajeras, en el que $ Omega = mathbf R $ y se buscan soluciones de la forma especial $ u (x, t) = U (x-ct) PS

Debido a sus fuertes conexiones con las ciencias aplicadas y al número limitado de propiedades importantes comunes a todos los miembros de esta clase de sistemas poco manejable, el ímpetu de la investigación en este campo proviene más de ver los sistemas como modelos de fenómenos naturales específicos, que del interés. en ellos por su propio bien. Una motivación típica, por ejemplo, puede ser preguntarse si cierto sistema, en el que se modelan efectos naturales específicos, tendrá soluciones que reflejen algún fenómeno natural conocido de interés cuyas causas se conocen de manera incompleta. Luego se busca la existencia y estabilidad de soluciones del sistema en cuestión que tengan propiedades análogas al fenómeno en cuestión.

Respecto al problema de valor inicial i), la teoría de los semigrupos analíticos, que en este contexto se basa en que el operador $ D Delta $ sea sectorial, se ha desarrollado como uno de los enfoques más utilizados sobre la existencia y la unicidad [a2]. El estudio de soluciones constantes ii) ha utilizado una variedad de métodos, como reformular el problema como un problema de punto fijo para un mapeo en algún espacio funcional adecuado y utilizar métodos de grado topológico. En el caso de que $ n = 1 $ o el sistema tenga ciertas propiedades de monotonicidad, los métodos basados ​​en soluciones superiores e inferiores (cf. método de funciones superiores e inferiores) proporcionan alternativas más fáciles (ver [a1] y [a3] , p.ej).

El problema de ondas viajeras iii) puede verse como la búsqueda de un parámetro $ c $ para el cual existe una conexión entre dos puntos críticos para el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que resulta de la sustitución $ u = U (x-ct) $. Una de las principales herramientas a este respecto ha sido el potente índice de Conley [a4], [a3]. A continuación se mencionan algunos otros métodos que se han ideado más recientemente.

Se puede considerar que la teoría de los sistemas de reacción-difusión incorpora toda la teoría de los sistemas diferenciales ordinarios autónomos $ du / dt = f (u) $ (cf. Sistema autónomo), ya que cuando se imponen condiciones de frontera de Neumann homogéneas, las soluciones de la Este último sistema constituye automáticamente soluciones independientes de $ x $ de los correspondientes sistemas de reacción-difusión. Pero, por supuesto, también surgen soluciones con características espaciales llamativas y, de hecho, la posible estructura espacial de las soluciones es uno de los aspectos más investigados.

Algunos de los ejemplos mejor estudiados de sistemas de reacción-difusión son los siguientes.

a) La ecuación escalar de Fisher

[a5], [a6], donde $ f $ tiene exactamente dos ceros. Esta ecuación surgió originalmente en relación con la genética de poblaciones.

b) La ecuación escalar de difusión biestable, [a7], [a6], [a8], de la misma forma pero donde $ f $ tiene exactamente tres ceros simples y es negativa entre los dos primeros. Esta ecuación también tiene conexiones con la genética de poblaciones, pero el conocimiento de sus propiedades es aún más importante en relación con el papel que desempeña como parte componente de sistemas más complicados.

c) El sistema FitzHugh-Nagumo

donde $ f $ tiene las propiedades dadas en b) (vea las referencias en [a3] y [a9] para esto y generalizaciones). Es una simplificación de sistemas de orden superior como el sistema Hodgkin-Huxley, que surgen como modelos de transmisión de señales en los axones nerviosos y en el tejido cardíaco.

d) El modelo de difusión térmica en la teoría de los reactores químicos y la combustión [a10], [a11]. En este modelo, $ u = (u_0, ldots, u_n) $, $ u_0 $ representa la temperatura, los otros componentes de $ u $ representan concentraciones de especies químicas y los componentes de $ f $ están dados por

siendo la suma de todas las reacciones que ocurren en el material (estas reacciones están indexadas por $ 1 $). Aquí, $ m_l $ es un monomio (acción masiva) en $ u_1, ldots, u_n $ apropiado para la $ l $ -ésima reacción, $ b_l $ es la "constante de reacción" para esa reacción, y los números $ a_$ son "parámetros estequiométricos", que especifican la cantidad de especies $ j $ (o calor, en el caso de $ j = 0 $) producidas o consumidas en la reacción $ l $.

En todos los ejemplos anteriores, la existencia y estabilidad de las soluciones de ondas viajeras es de suma importancia y, en el caso d), también son importantes otras soluciones ordenadas espacial o temporalmente.

En muchas aplicaciones surgen soluciones con propiedades frontales o interfaciales [a9]. Por ejemplo, una superficie en movimiento en un espacio de $ 3 $ puede existir cerca de la cual algunos componentes de $ u $ experimentan cambios dramáticos. Estos cambios forman una capa interior en la superficie en cuestión. Se han estudiado en el contexto de ecuaciones de campo de fase (un sistema de reacción-difusión con $ D $ no diagonales), en el que representan interfaces de fase, de la ecuación biestable, y de las ecuaciones de FitzHugh-Nagumo y sus generalizaciones. en el que pueden representar cambios de fase, cambios en las propiedades electroquímicas del tejido neural o cardíaco, o cambios en el estado químico de un medio.

La estabilidad de las ondas en una dimensión espacial para sistemas con $ n & gt1 $ es un campo de investigación considerablemente más difícil que su existencia. Gran parte del trabajo aquí se ha realizado para las ecuaciones de FitzHugh-Nagumo [a12]. Recientemente, se desarrolló una nueva técnica, el índice de estabilidad de J. Alexander, R. Gardner y C. Jones [a13], y se aplicó a varios problemas de ondas viajeras.

Para soluciones estacionarias y de ondas viajeras con interfaces (ver arriba), se ha desarrollado una técnica llamada método SLEP para estudiar cuestiones de estabilidad (ver [a4] y las referencias que contiene).

Para FitzHugh-Nagumo y sistemas relacionados, las soluciones con patrones más importantes en dos dimensiones espaciales son las espirales giratorias, que son estructuras extremadamente frecuentes y aparentemente extremadamente estables para este y muchos otros modelos de medios excitables. A pesar del gran interés en estas soluciones rotativas y la gran cantidad de artículos que ha generado el concepto (ver las referencias en [a9]), su base matemática es aún rudimentaria. Existen fenómenos análogos en tres dimensiones: estructuras que giran alrededor de curvas en el espacio, llamadas filamentos, que a su vez migran de acuerdo con ciertas leyes aproximadas. Un desafío importante para el futuro es comprender mejor (y proporcionar una base matemática firme para) las conexiones entre estos patrones espaciales dinámicos y sus leyes de movimiento, por un lado, y las ecuaciones diferenciales parciales subyacentes, por el otro.


Teoría matemática alternativa de los fenómenos de desequilibrio

6.3.2 TEOREMA DE DISIPACIÓN

En la Sección 4.4.3 discutimos varias razones para dividir la densidad de flujo de energía jmi en los dos vectores q ∘ ∗ y w ∘ ∗. Bajo la condición de que incluso en la física del continuo la noción de tasa de trabajo w ∘ ∗ se refiere a cualquier cambio en el contenido de la información como una característica de la materia, w ∘ ∗ puede medirse por el cambio de forma encontrado por cada elemento de volumen infinitesimal Dτ. Tal efecto es inducido por todas las interacciones entre Dτ y sus alrededores, pero principalmente por influencias de flujo. En particular, la presión local como propiedad natural conjugada de Dτ es la fuerza impulsora de las variaciones de forma.

En este contexto, cabe destacar que la presión pag* en cuestión no debe tomarse como una cantidad de estado de equilibrio. Además, el elemento de volumen Dτ también está sujeto a esfuerzos cortantes disipativos expresados ​​convencionalmente por gradientes de velocidad locales.

No puede haber ninguna duda de que los fenómenos irreversibles controlan los detalles de los patrones de flujo. Lo mismo es cierto para las condiciones de contorno especialmente prescritas. Sin embargo, dado que se ha demostrado incluso en el caso límite de la ecuación de movimiento de Euler, la principal influencia en la topología del campo de flujo proviene de las distribuciones espaciales de la presión local y la velocidad del flujo, así como de su interacción mutua.

Por esta razón es oportuno descomponer (6.44) en dos partes

donde, de acuerdo con (6.42), la definición de tasa de trabajo incluye la presión de no equilibrio pag*. Podemos imaginar provisionalmente la presión pag* como una cantidad que no obedece a la ecuación de estado comúnmente utilizada en la práctica.

La introducción de un tensor de presión viscoso. τ*, definido por referencia a la densidad de flujo de cantidad de movimiento JI y presion pag*, lleva a una conclusión importante de (6.40): Tanto las cantidades JI y pag* aparecen en dos términos aditivos en el tercer corchete de este término de ecuación, que pueden ser modificados por medio de las identidades del tensor (6.38) de la siguiente manera:

Este resultado, junto con (6.41) y (6.44), conduce a la identidad

Este llamado teorema de disipación también se extiende más allá de su aplicación a los sistemas de campo de carrocería monofásicos multicomponente, porque la estructura de (6.4) indica que para otras clases de sistemas solo deben incorporarse las densidades de producción correspondientes.

Este teorema resume de manera característica todas las densidades de flujo y producción que surgen en la ecuación de balance relevante. Pero el resultado más sorprendente se refiere claramente al hecho de que todas estas características de los fenómenos de desequilibrio producen una suma cero. El teorema obviamente se refiere a dos tipos de efectos disipativos. El primero considera las densidades de flujo que ocurren jz junto con los gradientes correspondientes ∇ζz, donde ζz representa las variables intensivas asignadas a z y se distingue por la condición ζz ≥ 0. El segundo efecto comprende todas las densidades de producción reales σz. Desde un punto de vista matemático, es razonable considerar tres argumentos notables:

Evitando reacciones químicas, difusión o flujos disipativos, el sistema en cuestión puede reducirse de tal manera que todos los términos en (6.47) desaparezcan de manera idéntica o queden al menos dos términos distinguidos por signos opuestos.

Hay al menos un elemento de (6.47) que nunca puede apagarse mediante procedimientos admisibles de realización del proceso sin eliminar simultáneamente los otros elementos existentes.

Además de las definiciones de los dos tipos de efectos disipativos dadas anteriormente, es beneficioso distinguirlos por diferentes signos.

Con respecto a la ecuación principal de Gibbs ρ D e ∗ ρ = D p ∗ - p f ⋅ v + ∑ j = 3 r ζ z, j ρ D z j, formalicemos el argumento (3) por la convención

que se supone que es válido para todas las variables específicas z bajo consideración. El subíndice j se refiere a r variables y nos permite distinguir dos tipos de elementos concernientes a la disipación para cada indicada z. Cada elemento del primer tipo de (6.48) necesita la suma sobre el subíndice j el segundo tipo no lo hace. Los valores j = 1 y j = 2 del subíndice se refieren a la presión pag* y la fuerza de campo específica F, que no aportan explícitamente ninguna contribución a la disipación.

Hay un ejemplo importante para el elemento de primer tipo de (6.48) 1, conocido como La desigualdad de De Bonder (Prigogine y Defay, 1962, p. 71). Para el caso especial de un sistema cerrado realizado mediante la desaparición de densidades de flujo difusional jj, se vuelve

donde V r es la velocidad del ra reacción. De Donder definió esta cantidad por primera vez en referencia a la variable de progreso λr Para el ra reacción:

Según la ecuación (6.35), la densidad de producción química Гj Para el jLa especie está de acuerdo con su término de convección ρDωj si el sistema está cerrado. Mediante las ecuaciones (5.52) y (5.53), la relación directa

entonces puede obtenerse entre Гj para todos j y la densidad de afinidad AV, r: = ρar para todos r.

La producción total, causada por reacciones químicas que ocurren simultáneamente por unidad de tiempo, es igual a la suma de los productos, cada uno de los cuales se forma a partir de la velocidad del rla reacción y la densidad de afinidad asignada. Lo mismo es cierto para la suma de todos los componentes involucrados que consisten en los productos, cada uno de ellos ahora formado por la densidad de producción química del jth componente y el potencial químico asignado por unidad de masa. El acoplamiento de reacciones junto con los eventos de retroalimentación pueden ocurrir y están representados matemáticamente por la posibilidad de que algunos de los términos de la suma estén señalados por signos opuestos en comparación con (6.51).

Existe una posibilidad alternativa al estudiar los detalles de la dinámica de las reacciones químicas. Guldberg y Waage encontraron mediante un análisis empírico que las concentraciones de especies que reaccionan pueden estar relacionadas con las correspondientes velocidades de reacción. “Incluso cuando se aplica a reacciones complejas que involucran pasos intermedios y especies transitorias, este enfoque empírico sobresale tanto en la elucidación de los mecanismos de reacción que Mass Action podría denominarse la Primera Ley de la Cinética Química” (Garfinkle, 1992, p. 282).

Recientemente, un método prometedor, el llamado enfoque de camino natural, ha sido desarrollado por Garfinkle, quien estudió el progreso de una reacción química estequiométrica homogénea en un sistema isotérmico cerrado. Elaboró ​​formalismos termodinámicos químicos de una manera consistente con las leyes de la termodinámica y, por lo tanto, independientemente de las consideraciones mecanicistas. Las reacciones y sus velocidades ahora se describen con éxito en términos de la tasa de cambio de una función termodinámica adecuada, la tasa de decaimiento de la afinidad Atelevisor a temperatura uniforme y volumen fijo. En respuesta al trabajo de Garfinkle, Hjelm-feel, Brauman y Ross prepararon una revisión crítica en 1990. Encontraron que la tasa de deterioro de la afinidad Åtelevisor depende directamente de los respectivos mecanismos de reacción, contrariamente a la observación de Garfinkle basada en el análisis empírico directo (Garfinkle, 1992, p. 283). Al resumir sus extensos estudios, Garfinkle confirmó su afirmación de que existe una vía de reacción única en todo el rango de observación empírica independiente de cualquier mecanismo de reacción. Además, afirmó que “La excelente correlación de datos observada permite calcular una velocidad de reacción termodinámica que corresponde a la velocidad de reacción mecanicista determinada por cinética basada en la comprensión del mecanismo de reacción. Se logra una excelente concordancia entre estas velocidades de reacción en el rango de observaciones experimentales ”(Garfinkle, 1992, p. 299).

Enunciados como (6.48) o (6.51) son metafísicos en la medida en que se basan en un teorema universal que nunca puede ser probado por un número finito de datos. Lo mismo es cierto para el caso en el que se supone que las desigualdades (6.48) formalizan la Segunda Ley de la Termodinámica. En este contexto, es notable que la segunda parte de (6.48) indica la relación bien conocida entre una dirección prescrita de cualquier densidad de flujo jz y la dirección subsiguiente del gradiente asignado ∇ζz. Este es el significado más profundo de la observación general de que los flujos de calor nunca pueden fluir en la dirección del aumento de temperatura. Curiosamente, esta observación rara vez se menciona en relación con la formulación matemática de la Segunda Ley.

Aunque la densidad de producción de entropía σ obedece a la misma desigualdad (6.48) 1 Al igual que las otras densidades de producción, todavía hay una diferencia esencial con respecto al argumento (2) enumerado anteriormente: de acuerdo con la experiencia, se presume que la densidad de producción de entropía a es la única densidad de producción que debe existir siempre en los procesos reales. Todos los demás pueden manipularse, al menos en principio, de forma que sus respectivos valores tiendan a cero. Sin embargo, debemos prestar atención a varias posibilidades de crear disipación a través de algunos procesos ocultos. Las reacciones químicas congeladas son un ejemplo destacado.

Para cuantificar el papel especial de la densidad de producción de entropía σ, una regla adicional debería complementar el teorema de la disipación con sus partes (6.47) y (6.48):

Esta ley limitante es de hecho una parte esencial de la teoría matemática presentada aquí y se refiere a todos los términos de disipación excepto al término T*σ sí mismo. El significado principal de (6.52) es que podemos acoplar estados de equilibrio a aquellos procesos se supone que no se disipa. Esto es particularmente relevante tanto para el caso especial de equilibrio cinético como para el estado de reposo definido por (6.19).

Los dos teoremas (6.44) y (6.47) derivados de los axiomas generales de la Teoría Alternativa merecen un comentario particularmente con respecto a la termodinámica irreversible extendida (EIT). El EIT se caracteriza por una ecuación de tasas comúnmente dedicada a Gibbs,

Se supone que es válido para un sistema monofásico multicomponente irreversible (Eu, 1986, p. 217). La función genérica correspondiente U(S,V, NI, ϕI α) se refiere a la energía interna U por definición, siguiendo una idea de Meixner (cf. García-Colin y Uribe, 1991, p. 111). La relación respectiva entre la densidad de producción de entropía σ y las contribuciones disipativas representadas por el flujo ϕI α de especies I y su conjugado potencial X α i = T ∂ S / ∂ Φ i α viene dado por la expresión

donde las propiedades tensoriales ΛI α son los términos disipativos representativos del sistema en cuestión. La suma de los enteros α (que van de 1 a 4) se relaciona con un orden dirigido a los siguientes gradientes característicos:

Aunque existe una similitud formal entre la expresión para α y la Ecuación (6.47), es obvio que las diferencias conceptuales son significativas. Los dos teoremas (6.44) y (6.47) se derivan de la ecuación (4.54) aplicada a un sistema de campo de cuerpo monofásico multicomponente. Este Pfaffian resulta de la ecuación fundamental de Gibbs Г (mi, P, r, S, V, NI) = 0 y se refiere a la energía total mi del sistema en consideración. La energía interna U puede determinarse formalmente mediante la ecuación (6.16), siempre que la solución completa mediante Г (MI, P, r, .S, V, NI) = 0 está disponible. Por lo tanto, la teoría alternativa conduce a un resultado que es inconsistente con las dos relaciones dadas anteriormente como declaraciones representativas del EIT.

En el formalismo EIT, el enfoque teórico no está relacionado con la energía total MI. Con la condición de que el EIT se refiera a las ideas y nociones de Gibbs, mi se establece exclusivamente por el conjunto completo de variables extensivas, que funcionan como coordenadas del correspondiente espacio de Gibbs. La práctica común de separar las contribuciones de las energías cinética y potencial de mi implica la misma conclusión para la energía interna U como para MI. Asumiendo U como una función M – G del sistema, entonces U no puede depender de propiedades como los momentos ϕ i α, que no pertenecen a las variables de estado extensivas por definición (cf. Eu, 1986, p. 215).


Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad Estatal de Mississippi, Estado de Mississippi, MS 39762, EE. UU.

Recibió Abril de 2020 Revisado Julio de 2020 Publicado Diciembre de 2020 Acceso temprano Septiembre de 2020

Este artículo se ocupa de la existencia de una solución débil al problema de límites inicial para un sistema de difusión cruzada que surge en el estudio del crecimiento de la población de dos células. El desafío matemático se debe al hecho de que la matriz de coeficientes no es simétrica y está degenerada en el sentido de que su determinante es $ 0 $. La afirmación de existencia se establece explorando el hecho de que la densidad de población total satisface una ecuación de medios porosos.

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Solución analítica de la dinámica no lineal de un sistema de reacción-difusión de autoinflamación mediante el método de descomposición de Adomian modificado

En este trabajo se estudia un modelo matemático de la dinámica de autoencendido de un sistema de reacción-difusión. Se utiliza un método analítico aproximado (método de descomposición de Adomian modificado) para resolver ecuaciones diferenciales no lineales en condiciones de estado estacionario. Se han derivado expresiones analíticas para las concentraciones del gas reactivo y la temperatura para el número de Lewis (Le) y los parámetros.

. Además, en este trabajo también se reporta la simulación numérica del problema usando el programa MATLAB. Se observa una concordancia entre los resultados analíticos y numéricos.

1. Introducción

Los fenómenos dinámicos no lineales en el proceso de combustión son un área activa de investigación experimental y teórica. Los modelos matemáticos que describen este fenómeno pueden considerarse sistemas dinámicos no lineales. La caracterización dinámica de dichos modelos fue desarrollada por Continillo et al. [1]. La simulación numérica detallada de la autoignición de las reservas de carbón conduce a la observación de regímenes estables. Para investigar mejor este fenómeno, se discutieron dos modelos simplificados de parámetros distribuidos que incorporan conducción de calor, difusión de masa y reacción química exotérmica de Arrhenius en un solo paso. Ambos modelos de ecuaciones se resolvieron con esquemas sencillos de diferencias finitas [2]. El problema de la ignición espontánea de las pilas de carbón es un desafío por las implicaciones de seguridad y por su complejidad teórica: una reacción de combustión espontánea tiene lugar en un lecho de combustible sólido, mientras que el flujo, impulsado por la convección natural generada por la aparición de gradientes de temperatura dentro de la pila, ocurre. Las reservas de carbón se autoinflama cuando la reacción del carbón con el oxígeno presente en la atmósfera genera calor, es decir, no se elimina de manera eficiente hacia el ambiente externo [3]. Continillo et al. [4, 5] han analizado la autocombustión de pilas de carbón en ausencia de convección natural. Los tres fenómenos principales en la autoignición de las reservas de carbón son la convección, la reacción y la difusión. Por otro lado, Continillo et al. [6] estudió el comportamiento dinámico de una pila de carbón bidimensional también teniendo en cuenta la convección natural. Como parte de un estudio exhaustivo del autocalentamiento de las reservas de carbón, se ha desarrollado un modelo matemático simple. Hasta donde sabemos, ninguna expresión analítica rigurosa de reactivo gaseoso (

) se han obtenido para todos los valores posibles de parámetros en condiciones de estado estacionario. El propósito de este artículo es derivar expresiones analíticas aproximadas para la concentración y temperatura del reactivo de gas utilizando el método de descomposición de Adomian modificado.

2. Formulación matemática del problema del valor en la frontera

Las ecuaciones diferenciales no lineales son las de un modelo dinámico de parámetros distribuidos de reacción heterogénea en una capa unidimensional. El reactivo gaseoso se difunde a través del medio de reacción y tiene lugar una reacción química exotérmica de un paso de primer orden. La velocidad de reacción depende de la temperatura a través del exponencial de Arrhenius. La ecuación de velocidad de Arrhenius es una expresión matemática que relaciona la constante de velocidad de una reacción química con el valor exponencial de la temperatura. El modelo de ecuaciones no lineales en forma adimensional son [1]

donde es la concentración del gas reactivo, es la temperatura, Le es el número de Lewis (la relación entre la masa y las difusividades de calor), es el calor adimensional de reacción, es el módulo de Thiele térmico (la relación de la escala de tiempo de la limitación mecanismo de transporte a la escala de tiempo de la cinética de reacción intrínseca [7]), y es la energía de activación adimensional (cantidad mínima de energía entre moléculas de reactivo para colisiones efectivas entre ellas). Las condiciones de contorno son

En condiciones de estado estacionario, las ecuaciones se vuelven

3. Solución analítica de la dinámica no lineal de un sistema de reacción-difusión de autoinflamación en condiciones de estado estacionario utilizando el método de descomposición de Adomian modificado

En los últimos años, se ha prestado mucha atención a la aplicación del método de descomposición de Adomian a la solución de varios modelos científicos [8]. Una modificación eficiente del método de descomposición estándar de Adomian para resolver el problema del valor inicial en la ecuación diferencial parcial de segundo orden produce el MADM. El MADM sin linealización, perturbación, transformación o discretización proporciona una solución analítica en términos de una serie de potencia infinita rápidamente convergente con términos fácilmente computables. Los resultados muestran que la tasa de convergencia del método de descomposición de Adomian modificado es más alta que el método de descomposición de Adomian estándar [9-13]. Usando este método (ver Apéndice A), obtenemos una expresión analítica aproximada de la concentración de gas reactivo () y temperatura () (ver Apéndice B) como sigue:

4. Simulación numérica

La ecuación de difusión no lineal (3) para la condición de contorno (4) también se resuelve numéricamente. Hemos utilizado la función pdex1 en el software MATLAB para resolver numéricamente los problemas de valor de límite inicial para las ecuaciones diferenciales no lineales. Esta solución numérica se compara con nuestros resultados analíticos en las Figuras 1–4. En comparación, da una concordancia satisfactoria para todos los valores de los parámetros adimensionales. , , y . El programa MATLAB también se proporciona en el algoritmo 1.

función pdex4
m = 0
x = linspace (0,1)
t = linspace (0,100000)
sol = pdepe (m, @ pdex4pde, @ pdex4ic, @ pdex4bc, x, t)
u1 = sol (. 1)
u2 = sol (. 2)
figura
trama (x, u1 (final, :))
título ('u1 (x, t)')
xlabel ("Distancia x")
ylabel ('u1 (x, 2)')
%––––––––––––––––––––––––––––––––––
figura
trama (x, u2 (final, :))
título ('u2 (x, t)')
xlabel ("Distancia x")
ylabel ('u2 (x, 2)')
%––––––––––––––––––––––––––––––––––
función


versus coordenadas espaciales adimensionales X usando (5) para Le = 0.233,

= 13,6, y varios valores de


versus coordenada espacial adimensional usando (6) para Le = 0.233,

= 13,6, y varios valores de


versus coordenadas espaciales adimensionales X usando (5) para Le = 0.233,

= 1000, y varios valores de


versus coordenadas espaciales adimensionales X usando (6) para Le = 0.233,

= 1000, y varios valores de

5. Discusión

Las ecuaciones (5) y (6) representan la forma más simple de expresiones analíticas aproximadas para la concentración de gas reactivo y la temperatura para todos los valores de los parámetros.

, , , y . El número de Thiele (térmico) es la relación entre el espesor de la capa (L) y difusividad térmica (). La ecuación (5) representa la nueva expresión analítica aproximada de la concentración de gas reactivo. La solución numérica se compara con los resultados analíticos de las Figuras 1 a 4. Estas cifras representan los perfiles de concentración analíticos y numéricos del reactivo gaseoso y la temperatura para diferentes valores de parámetros. , , y . La figura 1 representa la concentración adimensional versus la coordenada espacial adimensional para

. De la figura se infiere que el valor de disminuye cuando aumenta el valor de o el espesor de capa. La Figura 2 ilustra la concentración adimensional versus la coordenada espacial adimensional para e inferimos que la temperatura adimensional aumenta con el aumento de los valores de espesor de capa. La Figura 3 representa la concentración adimensional versus la coordenada espacial adimensional para los valores de. De la figura se infiere que el valor de disminuye cuando aumenta el valor de la energía de activación adimensional (). La Figura 4 ilustra la temperatura adimensional versus la coordenada espacial adimensional para los valores de los aumentos de temperatura adimensionales con el aumento de los valores de la energía de activación adimensional (). De las Figuras 2 y 4 es evidente que el valor máximo para la concentración adimensional es 1 y que la temperatura alcanza su valor máximo cuando la coordenada espacial

. La Figura 5 confirma los resultados dados por las Figuras 1 a 4.


(a)
(B)
(C)
(D)
(a)
(B)
(C)
(D)

versus coordenadas espaciales adimensionales

, (b) la concentración tridimensional normalizada de gas reactivo

versus coordenadas espaciales adimensionales

y energía de activación adimensional

, (c) la temperatura tridimensional normalizada

versus coordenadas espaciales adimensionales

, y (d) la temperatura tridimensional normalizada

versus coordenadas espaciales adimensionales

y energía de activación adimensional

Nuestros resultados analíticos se comparan con los resultados numéricos para la concentración adimensional en la Tabla 1. El error relativo máximo entre nuestros resultados analíticos y los resultados de simulación para la concentración es 1.3%. También en la Tabla 2, nuestros resultados analíticos se comparan con los resultados numéricos para la temperatura adimensional. Se observa un acuerdo satisfactorio. El error relativo máximo en este caso es del 0,4%.


Información Adicional

Nota del editor

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XP Cui cuenta con el apoyo parcial de la National Science Foundation Grant ATD-1222718 y la Universidad de California, Riverside AES-CE RSAP A01869 ZB Yang cuenta con el apoyo parcial de National Institute of General Medical Sciences Grant GM100130 JP Shi está parcialmente financiado por National Science Foundation Grant DMS -1715651 QY Shi cuenta con el apoyo parcial del Consejo de Becas de China.


Análisis de bifurcación de sistemas de difusión de reacción en superficies arbitrarias

En este artículo, presentamos técnicas computacionales para investigar el efecto de la geometría de la superficie en la formación de patrones biológicos. En particular, estudiamos sistemas de reacción-difusión (RD) no lineales de dos componentes en superficies arbitrarias. Nos basamos en técnicas estándar para el análisis lineal y no lineal de sistemas RD y las ampliamos para operar en mallas a gran escala para superficies arbitrarias. En particular, utilizamos técnicas espectrales para un análisis de estabilidad lineal para caracterizar y componer directamente patrones que surgen de homogeneidades. Desarrollamos una implementación utilizando métodos de elementos finitos de superficie y un autoanálisis numérico del operador de Laplace-Beltrami en mallas de superficie. Además, describimos una técnica para explorar soluciones de las ecuaciones RD no lineales utilizando la continuación numérica. Aquí, presentamos un enfoque de múltiples resoluciones que nos permite rastrear las ramas de la solución de las ecuaciones no lineales de manera eficiente incluso para mallas a gran escala. Finalmente, demostramos el funcionamiento de nuestro marco para dos sistemas de RD con aplicaciones en la formación de patrones biológicos: un modelo Brusselator que se ha utilizado para modelar el desarrollo de patrones en las puntas de las plantas en crecimiento y un modelo quimiotáctico para la formación de patrones de pigmentación de la piel. Si bien estos modelos se han utilizado anteriormente en geometrías simples, nuestro marco nos permite estudiar el impacto de geometrías arbitrarias en patrones emergentes.

Palabras clave: Análisis de bifurcación Trazado de ramificaciones Difusión cruzada Sistemas a gran escala Análisis de estabilidad lineal Análisis de estabilidad marginal Enfoque de redes múltiples PDEs no lineales Formación de patrones Difusión de reacciones FEM de superficie.


El proyecto Stacks

Dada una categoría triangulada y una subcategoría triangulada, podemos construir otra categoría triangulada tomando el "cociente". La construcción utiliza una localización. Esto es similar al cociente de una categoría abeliana por una subcategoría de Serre, ver Homología, Sección 12.10. Antes de hacer la construcción real, discutimos brevemente los núcleos de los functores exactos.

Definición 13.6.1. Sea $ mathcal$ ser una categoría pre-triangulada. Decimos una subcategoría pre-triangulada completa $ mathcal'$ de $ mathcal$ es saturado si siempre que $ X oplus Y $ es isomorfo a un objeto de $ mathcal'$ entonces tanto $ X $ como $ Y $ son isomorfos a los objetos de $ mathcal'$.

Una subcategoría triangulada saturada a veces se llama subcategoría triangulada gruesa. En algunas referencias, esto solo se usa para subcategorías trianguladas estrictamente completas (y a veces la definición está escrita de manera que implica rigor). Hay otra noción, la de un épaisse subcategoría triangulada. La definición es que dado un diagrama conmutativo

donde la segunda línea es un triángulo distinguido y $ S $ y $ T $ isomorfos a los objetos de $ mathcal'$, entonces también $ X $ y $ Y $ son isomorfos a los objetos de $ mathcalPS Resulta que esto equivale a estar saturado (esto es elemental y se puede encontrar en [derivado de Rickard]) y es más fácil trabajar con la noción de una categoría saturada.

Lema 13.6.2. Sea $ F: mathcal a mathcal'$ sea un functor exacto de categorías pre-trianguladas. Sea $ mathcal'' $ sea la subcategoría completa de $ mathcal$ con objetos

Entonces $ mathcal'' $ es una subcategoría pre-triangulada estrictamente saturada de $ mathcalPS Si $ mathcal$ es una categoría triangulada, luego $ mathcal'' $ es una subcategoría triangulada.

Prueba. Está claro que $ mathcal'' $ se conserva en $ [1] $ y $ [- 1] $. Si $ (X, Y, Z, f, g, h) $ es un triángulo distinguido de $ mathcal$ y $ F (X) = F (Y) = 0 $, luego también $ F (Z) = 0 $ como $ (F ​​(X), F (Y), F (Z), F (f), F (g), F (h)) $ se distingue. Por tanto, podemos aplicar el Lema 13.4.16 para ver que $ mathcal'' $ es una subcategoría triangulada previamente (respectivamente una subcategoría triangulada si $ mathcal$ es una categoría triangulada). La afirmación final de estar saturado se sigue de $ F (X) oplus F (Y) = 0 Rightarrow F (X) = F (Y) = 0 $. $ cuadrado $

Entonces $ mathcal'$ es una subcategoría pre-triangulada estrictamente saturada de $ mathcalPS Si $ mathcal$ es una categoría triangulada, luego $ mathcal'$ es una subcategoría triangulada.

Prueba. Está claro que $ mathcal'$ se conserva en $ [1] $ y $ [- 1] $. Si $ (X, Y, Z, f, g, h) $ es un triángulo distinguido de $ mathcal$ y $ H (X [n]) = H (Y [n]) = 0 $ para todos los $ n $, luego también $ H (Z [n]) = 0 $ para todos los $ n $ por la secuencia larga exacta (13.3.5.1). Por tanto, podemos aplicar el Lema 13.4.16 para ver que $ mathcal'$ es una subcategoría triangulada previamente (respectivamente una subcategoría triangulada si $ mathcal$ es una categoría triangulada). La afirmación de estar saturado se sigue de

para todos $ n in mathbfPS $ cuadrado $

Cada uno de estos es una subcategoría pre-triangulada estrictamente saturada de $ mathcalPS Si $ mathcal$ es una categoría triangulada, luego cada una es una subcategoría triangulada.

Prueba. Demostremos esto por $ mathcal_ H ^ <+> $. Está claro que se conserva en $ [1] $ y $ [- 1] $. Si $ (X, Y, Z, f, g, h) $ es un triángulo distinguido de $ mathcal$ y $ H (X [n]) = H (Y [n]) = 0 $ para todos los $ n ll 0 $, luego también $ H (Z [n]) = 0 $ para todos los $ n ll 0 $ por la secuencia larga exacta (13.3.5.1). Por tanto, podemos aplicar el Lema 13.4.16 para ver que $ mathcal_ H ^ <+> $ es una subcategoría triangulada previamente (respectivamente una subcategoría triangulada si $ mathcal$ es una categoría triangulada). La afirmación de estar saturado se sigue de

para todos $ n in mathbfPS $ cuadrado $

Definición 13.6.5. Sea $ mathcal$ ser una categoría (pre) triangulada.

Sea $ F: mathcal a mathcalSea un functor exacto. La núcleo de $ F $ es la subcategoría estrictamente saturada (pre) triangulada descrita en el Lema 13.6.2.

Estos a veces se denominan $ mathop < mathrm> (F) $ o $ mathop < mathrm> (H) $.

La prueba del siguiente lema usa TR4.

Lema 13.6.6. Sea $ mathcal$ ser una categoría triangulada. Sea $ mathcal' subconjunto mathcal$ ser una subcategoría triangulada completa. Colocar

Entonces $ S $ es un sistema multiplicativo compatible con la estructura triangulada en $ mathcalPS En esta situación, los siguientes son equivalentes

$ S $ es un sistema multiplicativo saturado,

$ mathcal'$ es una subcategoría triangulada saturada.

Prueba. Para probar la primera afirmación tenemos que demostrar que MS1, MS2, MS3 y MS5, MS6 se cumplen.

Prueba de MS1. Está claro que las identidades están en $ S $ porque $ (X, X, 0, 1, 0, 0) $ se distingue por cada objeto $ X $ de $ mathcal$ y porque $ es un objeto de $ mathcalPS Sean $ f: X a Y $ y $ g: Y a Z $ morfismos componibles contenidos en $ S $. Elija triángulos distinguidos $ (X, Y, Q_1, f, p_1, d_1) $, $ (X, Z, Q_2, g circ f, p_2, d_2) $ y $ (Y, Z, Q_3, g, p_3 , d_3) $. Suponiendo que sabemos que $ Q_1 $ y $ Q_3 $ son isomorfos a los objetos de $ mathcalPS Por TR4 sabemos que existe un triángulo distinguido $ (Q_1, Q_2, Q_3, a, b, c) $. Desde $ mathcal'$ es una subcategoría triangulada, concluimos que $ Q_2 $ es isomorfo a un objeto de $ mathcalPS Por tanto, $ g circ f en S $.

Prueba de MS3. Sea $ a: X a Y $ un morfismo y sea $ t: Z a X $ un elemento de $ S $ tal que $ a circ t = 0 $. Para probar LMS3 es suficiente encontrar un $ s en S $ tal que $ s circ a = 0 $, compare con la demostración del Lema 13.5.3. Elija un triángulo distinguido $ (Z, X, Q, t, g, h) $ usando TR1 y TR2. Como $ a circ t = 0 $ vemos por el Lema 13.4.2 que existe un morfismo $ i: Q a Y $ tal que $ i circ g = a $. Finalmente, usando TR1 nuevamente podemos elegir un triángulo $ (Q, Y, W, i, s, k) $. Aquí hay una foto

Como $ t en S $ vemos que $ Q $ es isomorfo a un objeto de $ mathcalPS Por tanto, $ s en S $. Finalmente, $ s circ a = s circ i circ g = 0 $ como $ s circ i = 0 $ según el Lema 13.4.1. Concluimos que LMS3 se mantiene. La prueba de RMS3 es dual.

Prueba de MS5. Sigue como triángulos distinguidos y $ mathcal'$ son estables en las traducciones

Prueba de MS6. Supongamos que dado un diagrama conmutativo

con $ s, s ' en S $. Por la Proposición 13.4.23 podemos extender esto a un diagrama de nueve cuadrados. Como $ s, s '$ son elementos de $ S $, vemos que $ X' ', Y' '$ son isomorfos a los objetos de $ mathcalPS Desde $ mathcal'$ es una subcategoría triangulada completa, vemos que $ Z' '$ también es isomorfo a un objeto de $ mathcalPS De donde el morfismo $ Z a Z '$ es un elemento de $ S $. Esto prueba MS6.

MS2 es una consecuencia formal de MS1, MS5 y MS6, consulte el Lema 13.5.2. Con esto finaliza la prueba de la primera afirmación del lema.

Supongamos que $ S $ está saturado. (A continuación, usaremos la rotación de triángulos distinguidos sin más mención.) Sea $ X oplus Y $ un objeto isomorfo a un objeto de $ mathcalPS Considere el morfismo $ f: 0 a X $. La composición to X to X oplus Y $ es un elemento de $ S $ ya que $ (0, X oplus Y, X oplus Y, 0, 1, 0) $ es un triángulo distinguido. La composición $ Y [-1] a 0 a X $ es un elemento de $ S $ como $ (X, X oplus Y, Y, (1, 0), (0, 1), 0) $ es un triángulo distinguido, ver Lema 13.4.11. Por tanto, to X $ es un elemento de $ S $ (ya que $ S $ está saturado). Por tanto, $ X $ es isomorfo a un objeto de $ mathcal'$ como desee.

Finalmente, asuma $ mathcal'$ es una subcategoría triangulada saturada. Dejar

ser morfismos componibles de $ mathcal$ tal que $ fg, gh en S $. Construiremos una imagen de objetos como en el diagrama a continuación.

Primero elija triángulos distinguidos $ (W, X, Q_1) $, $ (X, Y, Q_2) $, $ (Y, Z, Q_3) $ $ (W, Y, Q_ <12>) $ y $ (X , Z, Q_ <23>) $. Denote $ s: Q_2 a Q_1 [1] $ la composición $ Q_2 a X [1] a Q_1 [1] $. Denote $ t: Q_3 a Q_2 [1] $ la composición $ Q_3 a Y [1] a Q_2 [1] $. Por TR4 aplicado a la composición $ W a X a Y $ y la composición $ X a Y a Z $ existen triángulos distinguidos $ (Q_1, Q_ <12>, Q_2) $ y $ (Q_2, Q_ < 23>, Q_3) $ que utilizan los morfismos $ s $ y $ t $. Los objetos $ Q_ <12> $ y $ Q_ <23> $ son isomorfos a los objetos de $ mathcal'$ como $ W a Y $ y $ X a Z $ se suponen en $ S $. Por tanto, también $ s [1] t $ es un elemento de $ S $ ya que $ S $ está cerrado bajo composiciones y turnos. Tenga en cuenta que $ s [1] t = 0 $ como $ Y [1] a Q_2 [1] a X [2] $ es cero, consulte el Lema 13.4.1. Por lo tanto, $ Q_3 [1] oplus Q_1 [2] $ es isomorfo a un objeto de $ mathcal$, véase el lema 13.4.11. Por suposición en $ mathcal'$ llegamos a la conclusión de que $ Q_3 $ y $ Q_1 $ son isomorfos a los objetos de $ mathcalPS Observando el triángulo distinguido $ (Q_1, Q_ <12>, Q_2) $ llegamos a la conclusión de que $ Q_2 $ también es isomorfo a un objeto de $ mathcalPS Observando el triángulo distinguido $ (X, Y, Q_2) $ finalmente concluimos que $ g en S $. (También se deduce que $ h, f en S $, pero no necesitamos esto). $ Square $

Definición 13.6.7. Sea $ mathcal$ ser una categoría triangulada. Sea $ mathcal$ ser una subcategoría triangulada completa. Definimos el categoría de cociente $ mathcal/ mathcal$ por la fórmula $ mathcal/ mathcal = S ^ <-1> mathcal$, donde $ S $ es el sistema multiplicativo de $ mathcal$ asociado a $ mathcal$ a través de Lemma 13.6.6. El functor de localización $ Q: mathcal a mathcal/ mathcal$ se llama functor de cociente en este caso.

Tenga en cuenta que el cociente functor $ Q: mathcal a mathcal/ mathcal$ es un functor exacto de categorías trianguladas, vea la Proposición 13.5.5. La propiedad universal de esta construcción es la siguiente.

Lema 13.6.8. Sea $ mathcal$ ser una categoría triangulada. Sea $ mathcal$ ser una subcategoría triangulada completa de $ mathcalPS Sea $ Q: mathcal a mathcal/ mathcal$ sea el functor del cociente.

Si $ F: mathcal a mathcal'$ es un functor exacto en una categoría pre-triangulada $ mathcal'$ tal que $ mathcal subconjunto mathop < mathrm> (F) $ entonces existe una factorización única $ F ': mathcal/ mathcal a mathcal'$ tal que $ F = F' circ Q $ y $ F '$ también es un funtor exacto.

Prueba. Este lema se deriva del Lema 13.5.6. Es decir, si $ f: X to Y $ es un morfismo de $ mathcal$ tal que para algún triángulo distinguido $ (X, Y, Z, f, g, h) $ el objeto $ Z $ es isomorfo a un objeto de $ mathcal$, luego $ H (f) $, resp. $ F (f) $ es un isomorfismo bajo los supuestos de (1), resp. (2). Detalles omitidos. $ cuadrado $

El núcleo del functor del cociente se puede describir de la siguiente manera.

Lema 13.6.9. Sea $ mathcal$ ser una categoría triangulada. Sea $ mathcal$ ser una subcategoría triangulada completa. El núcleo del cociente functor $ Q: mathcal a mathcal/ mathcal$ es la subcategoría estrictamente completa de $ mathcal$ cuyos objetos son

En otras palabras, es la subcategoría triangulada estrictamente saturada más pequeña de $ mathcal$ que contiene $ mathcal$.

Prueba. En primer lugar, observe que el núcleo es automáticamente una subcategoría triangulada estrictamente completa que contiene sumandos de cualquiera de sus objetos, consulte el Lema 13.6.2. La descripción de sus objetos se deriva de las definiciones y el Lema 13.5.7 parte (4). $ cuadrado $

Sea $ mathcal$ ser una categoría triangulada. En este punto tenemos construcciones que inducen mapas que preservan el orden entre

el conjunto parcialmente ordenado de sistemas multiplicativos $ S $ en $ mathcal$ compatible con la estructura triangulada, y

el conjunto parcialmente ordenado de subcategorías trianguladas completas $ mathcal subconjunto mathcal$.

Es decir, las construcciones están dadas por $ S mapsto mathcal(S) = mathop < mathrm> (Q: mathcal a S ^ <-1> mathcal) $ y $ mathcal mapsto S ( mathcal) $ donde $ S ( mathcal) $ es el conjunto multiplicativo de (13.6.6.1), es decir,

Tenga en cuenta que no es el caso de que estas operaciones sean mutuamente inversas.

Lema 13.6.10. Sea $ mathcal$ ser una categoría triangulada. Las operaciones descritas anteriormente tienen las siguientes propiedades

$ S ( mathcal(S)) $ es la "saturación" de $ S $, es decir, es el sistema multiplicativo saturado más pequeño en $ mathcal$ que contiene $ S $, y

$ mathcal(S ( mathcal)) $ es la "saturación" de $ mathcal$, es decir, es la subcategoría triangulada completamente saturada más pequeña de $ mathcal$ que contiene $ mathcal$.

En particular, las construcciones definen mapas mutuamente inversos entre el conjunto (parcialmente ordenado) de sistemas multiplicativos saturados en $ mathcal$ compatible con la estructura triangulada en $ mathcal$ y el conjunto (parcialmente ordenado) de subcategorías trianguladas estrictamente saturadas de $ mathcal$.

Prueba. Primero, comencemos con una subcategoría triangulada completa $ mathcalPS Entonces $ mathcal(S ( mathcal)) = mathop < mathrm> (Q: mathcal a mathcal/ mathcal) $ y por tanto (2) es el contenido del Lema 13.6.9.

A continuación, suponga que $ S $ es un sistema multiplicativo en $ mathcal$ compatible con la triangulación en $ mathcalPS Entonces $ mathcal(S) = mathop < mathrm> (Q: mathcal a S ^ <-1> mathcalPS Por lo tanto (usando el Lema 13.4.9 en la categoría localizada)

en la notación de Categorías, Lema 4.27.21. El enunciado final de ese lema completa la prueba. $ cuadrado $

Lema 13.6.11. Sea $ H: mathcal to mathcal $ ser un functor homológico de una categoría triangulada $ mathcal$ a una categoría abeliana $ mathcal $, consulte la Definición 13.3.5. La subcategoría $ mathop < mathrm> (H) $ de $ mathcal$ es una subcategoría triangulada estrictamente saturada de $ mathcal$ cuyo sistema multiplicativo saturado correspondiente (ver Lema 13.6.10) es el conjunto

El funtor $ H $ factoriza a través del funtor cociente $ Q: mathcal a mathcal/ mathop < mathrm> (H) $.

Prueba. La categoría $ mathop < mathrm> (H) $ es una subcategoría triangulada estrictamente saturada de $ mathcal$ por Lema 13.6.3. El conjunto $ S $ es un sistema multiplicativo saturado compatible con la estructura triangulada del Lema 13.5.4. Recuerde que el sistema multiplicativo correspondiente a $ mathop < mathrm> (H) $ es el conjunto

Por la secuencia larga de cohomología exacta, ver (13.3.5.1), está claro que $ f $ es un elemento de este conjunto si y solo si $ f $ es un elemento de $ S $. Finalmente, la factorización de $ H $ a $ Q $ es una consecuencia del Lema 13.6.8. $ cuadrado $


Un método de núcleo de orden superior para las ecuaciones de difusión y reacción-difusión en superficies

En este artículo presentamos un método de núcleo de orden superior para resolver numéricamente las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) de difusión y reacción-difusión en superficies lisas y cerradas incrustadas en ( mathbb^ d ). Para superficies bidimensionales incrustadas en ( mathbb^ 3 ), este tipo de problemas ha recibido un interés creciente en biología, química y gráficos por computadora para modelar cosas como la difusión de sustancias químicas en células o membranas biológicas, formaciones de patrones en biología, osciladores químicos no lineales en medios excitables y mapeos de texturas. . Nuestro método de kernel se basa en funciones de base radial y utiliza un enfoque semidiscreto (o el método de líneas) en el que los operadores de derivadas de superficie que aparecen en las PDE se aproximan mediante la colocación. El método solo requiere nodos en ubicaciones "dispersas" en la superficie y los correspondientes vectores normales a la superficie. Además, no se basa en ninguna métrica basada en la superficie y evita cualquier sistema de coordenadas intrínseco, por lo que no sufre ninguna distorsión o singularidad de coordenadas.Proporcionamos estimaciones de error para los operadores de derivada de superficie aproximada basados ​​en el núcleo y estudiamos numéricamente la precisión y estabilidad del método. También se presentan aplicaciones a diferentes sistemas no lineales de PDE que surgen en biología y química.

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Especificación

Para describir un problema de reacción-difusión en NEURON, comience cargando la biblioteca rxd:

Luego responda las tres preguntas: dónde, quién y cómo.

Dónde

Comenzamos identificando el dominio, es decir, ¿dónde ocurre la dinámica? Para muchas simulaciones de electrofisiología, los únicos dominios relevantes son la membrana plasmática o los volúmenes inmediatamente adyacentes a ella en cada lado, ya que estas son las regiones responsables de generar el potencial de acción. Los modelos de biología celular, por el contrario, tienen dinámicas que abarcan un conjunto más variado de ubicaciones. Además de las tres regiones anteriores, el retículo endoplásmico (RE), las mitocondrias y la envoltura nuclear a menudo juegan un papel clave.

La clase rxd.Region se usa para describir el dominio:

En su uso más simple, rxd.Region simplemente toma un iterable de Python (por ejemplo, una lista o una h.SectionList) de objetos h.Section. En este caso, el dominio es el interior de las secciones, pero las concentraciones para cualquier especie creada en dicho dominio solo estarán disponibles a través del objeto rxd.Species y no a través de HOC o NMODL.

Ejemplo: Región en todas las secciones:

Ejemplo: Región en solo algunas secciones:

Si la región que está describiendo coincide con el dominio en el interior inmediato de la membrana, establezca nrn_region = 'i', p. Ej.

La concentración en estas regiones aumenta cuando una molécula de la especie de interés cruza desde el exterior de la membrana hacia el interior mediante un mecanismo NMODL o kschan. Si una especie de dicha región se denomina ca, entonces sus concentraciones se pueden leer y establecer mediante la variable de rango NEURON y NMODL cai.

Además: para la región justo fuera de la membrana (el espacio Frankenhaeuser-Hodgkin) use nrn_region = 'o'. Para una difusión extracelular 3D completa, defina la región con rxd. Extracelular para obtener más información sobre la difusión extracelular en NEURON, consulte Newton et al., 2018 o el tutorial de difusión extracelular.

Hay muchas geometrías alternativas disponibles, incluyendo: rxd.membrane, rxd.inside (este es el predeterminado), rxd.Shell (usado en el ejemplo de difusión radial próximamente), rxd.FractionalVolume (usado en el ejemplo de onda de calcio), rxd. FixedCrossSection y rxd.FixedPerimeter.

¿Quiénes son los actores? A menudo son especies químicas (proteínas, iones), a veces son variables de estado (como una variable de activación) y otras veces los parámetros que varían a lo largo del dominio son actores clave. Los tres se pueden describir usando la clase rxd.Species:

aunque también proporcionamos rxd.State y rxd.Parameter para el segundo y tercer caso, respectivamente. Por ahora, estos son sinónimos exactos de rxd.Species que existen para promover la claridad del código del modelo, pero esto probablemente cambiará en el futuro (de modo que los estados solo se pueden cambiar con el tiempo a través de los objetos rxd.Rate y los objetos rxd.Parameter ya no ocupará espacio en la matriz de integración).

Nota: La carga debe coincidir con las cargas especificadas en los archivos NMODL para el mismo ion, si lo hubiera.

El parámetro de las regiones es obligatorio y es un único rxd.Region o un iterable de ellos, y especifica qué región (s) contiene la especie.

Establezca d = en el coeficiente de difusión de su especie, si lo hubiera.

Especifique una opción para el argumento nombre = palabra clave para permitir que estas variables de estado se asignen a las variables de rango NEURON / NMODL si la región nrn_region es 'i' u 'o'.

Especifique las condiciones iniciales mediante el argumento de palabra clave initial =. Establezca eso en una constante o una función que tome un nodo (definido a continuación, y vea también este ejemplo).

Ejemplo: para tener concentraciones establecidas en 47 en h.finitialize (init_v):

Nota: Para mantener la coherencia con el resto de NEURON, se supone que las unidades de concentración están en mM. Muchos modelos de biología celular implican concentraciones del orden de µM de calcio que a menudo son incluso menores. Además de la necesidad de ser coherente con las unidades, esto tiene implicaciones para la integración de pasos variables que, por defecto, tiene una tolerancia absoluta de (10 ^ <-3>) o 1 μM. Para abordar esto, utilice una escala atols para indicar que la tolerancia debe escalarse para la variable correspondiente, p. Ej.

Nota: La inicial también es una propiedad de la Especie / Parámetro / Estado y se puede cambiar en cualquier momento, como en:

Advertencia: Antes de NEURON 7.7, había un error en el soporte inicial: si initial = None y name = None, la concentración no se cambiará en una h.finitialize () posterior. El comportamiento previsto es que esto restablecería la concentración a 0.

¿Cómo interactúan? Las especies interactúan a través de una o más reacciones químicas. La clase principal utilizada para especificar reacciones es rxd.Reaction:

Aquí, lhs y rhs describen el esquema de reacción y se expresan usando sumas aritméticas de múltiplos enteros de una especie. Por ejemplo, una reacción irreversible para formar cloruro de calcio podría escribirse:

donde ca y cl son rxd. instancias de especies y kf es la velocidad de reacción. Dado que no se especificó custom_dynamics, esta es una reacción de acción de masas y, dados los reactivos, kf tiene unidades de 1 / (ms μM 2). Esto corresponde al sistema de ecuaciones diferenciales:

Si bien a veces podemos ignorar las reacciones inversas debido a que tienen una barrera de alta energía, las leyes de la física implican que todas las reacciones son, de hecho, reversibles. Una especificación más correcta de una reacción de acción de masas para el cloruro de calcio incluiría aquí una velocidad de reacción hacia atrás kb en unidades de 1 / ms:

Si bien la acción de masas funciona bien para reacciones elementales, esto a menudo no es práctico para modelar la dinámica intracelular donde potencialmente hay muchas reacciones elementales que impulsan la reacción observable. En este caso, a menudo recurrimos a modelos fenomenológicos, como la cinética de Michelis-Menten o la ecuación de Hill. Para indicarlos en NEURON, configure custom_dynamics = True y especifique las tasas de avance y retroceso como la fórmula correspondiente, p. Ej.

Tenga en cuenta que el uso de la cinética de Michaelis-Menten para reacciones enzimáticas solo es apropiado bajo ciertas condiciones, como que la concentración de enzima es baja en relación con la concentración del sustrato.


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