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8: Raíces y radicales - Matemáticas


  • 8.1: Preludio de raíces y radicales
  • 8.2: Simplificar expresiones con raíces
    • 8.2E: Ejercicios
  • 8.3: Simplificar expresiones radicales
    Simplificaremos expresiones radicales de una manera similar a como simplificamos fracciones. Una fracción se simplifica si no hay factores comunes en el numerador y denominador. Para simplificar una fracción, buscamos cualquier factor común en el numerador y denominador. Una expresión radical, ⁿ√ a, se considera simplificada si no tiene factores de mⁿ. Entonces, para simplificar una expresión radical, buscamos cualquier factor en el radicando que sea potencia del índice.
    • 8.3E: Ejercicios
  • 8.4: Simplificar exponentes racionales
    Los exponentes racionales son otra forma de escribir expresiones con radicales. Cuando usamos exponentes racionales, podemos aplicar las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones.
    • 8.4E: Ejercicios
  • 8.5: Sumar, restar y multiplicar expresiones radicales
    Agregar expresiones radicales con el mismo índice y el mismo radicando es como agregar términos semejantes. Llamamos radicales con el mismo índice y el mismo radicando como radicales para recordarnos que funcionan igual que los términos semejantes.
    • 8.5E: Ejercicios
  • 8.6: Dividir expresiones radicales
    Hemos utilizado la propiedad del cociente de expresiones radicales para simplificar las raíces de las fracciones. Necesitaremos usar esta propiedad "a la inversa" para simplificar una fracción con radicales. Volvemos a proporcionar la propiedad del cociente de las expresiones radicales para facilitar la referencia. Recuerde, asumimos que todas las variables son mayores o iguales a cero, por lo que no se necesitan barras de valor absoluto.
    • 8.6E: Ejercicios
  • 8.7: Resolver ecuaciones radicales
    • 8.7E: Ejercicios
  • 8.8: Usar radicales en funciones
    En esta sección ampliaremos nuestro trabajo anterior con funciones para incluir radicales. Si una función está definida por una expresión radical, la llamamos función radical.
    • 8.8E: Ejercicios
  • 8.9: Utilice el sistema de números complejos
    • 8.9E: Ejercicios
  • Ejercicios de repaso del capítulo 8

Miniatura: La expresión matemática "La raíz cuadrada (principal) de x". (GPL, David Vignoni (icono original); Flamurai (conversión SVG); bayo (color)).


Radical

Una expresión radical, también conocida como raíz enésima, o simplemente radical, es una expresión que involucra una raíz. Los radicales se expresan mediante un radicando (similar a un dividendo), un símbolo de radical y un índice, que normalmente se denota como "n". Los radicales más comunes que vemos son la raíz cuadrada y la raíz al cubo. La raíz cuadrada se usa con tanta frecuencia que, por convención, se supone que un radical escrito sin índice es una raíz cuadrada.

La figura anterior, en su conjunto, constituye un radical. Se lee como "la raíz n-ésima de (x + 2)". Si n fuera 3, sería la raíz al cubo, si fuera 2, sería la raíz cuadrada. La raíz n-ésima de un radicando es igual al valor que elevado a la n-ésima potencia sería igual al radicando. Tenga en cuenta que los radicales y los exponentes están estrechamente relacionados, y un radical se puede escribir como el radicando elevado a la potencia de

Este es un ejemplo simple con el propósito de demostrar qué es un radicando. Como se mencionó, se supone que un radicando escrito sin índice es una raíz cuadrada. También podríamos haber escrito el problema anterior como:

Al evaluar la raíz cuadrada, buscamos un valor, x, que elevado a la potencia 2, sea igual al radicando. En este caso, 2 2 = 4, entonces 2 es una raíz cuadrada de 4.

La raíz al cubo, al igual que la raíz cuadrada y la raíz n-ésima, se encuentran de la misma manera. El problema anterior se puede leer como: ¿qué valor, elevado a la potencia de 3, es igual a 8? La respuesta es 2 ya que:


8: Raíces y radicales - Matemáticas

La operación de elevar un número a una potencia es un caso especial de multiplicación en el que los factores son todos iguales. En ejemplos como 4 2 = 4x 4 = 16 y 5 3 = 5x5x5 = 125, el número 16 es la segunda potencia de 4 y el número 125 es la tercera potencia de 5. La expresión 5 3 significa que tres 5s deben ser multiplicados juntos. De manera similar, 4 2 significa 4 x 4. La primera potencia de cualquier número es el número mismo. La potencia es el número de veces que el número en sí se debe tomar como factor.

El proceso de encontrar una raíz es el inverso de elevar un número a una potencia. Una raíz es un factor especial de un número, como 4 en la expresión 4 2 = 16. Cuando un número se toma como factor dos veces, como en la expresión 4 x 4 = 16, se llama raíz cuadrada. Por lo tanto, 4 es una raíz cuadrada de 16. Según el mismo razonamiento, 2 es una raíz cúbica de 8. ya que 2 x 2 x 2 es igual a 8. Esta relación generalmente se escribe como 2 3 = 8.

La potencia de un número se indica con un EXPONENTE, que es un número en letra pequeña colocado a la derecha y hacia la parte superior del número. Por lo tanto, en 4 3 = 64, el número 3 es el EXPONENTE del número 4. El exponente 3 indica que el número 4, llamado BASE, debe elevarse a su tercera potencia. La expresión se lee "4 elevado a la tercera potencia (o 4 al cubo) es igual a 64". De manera similar, 5 2 = 25 se lee "5 elevado a la segunda potencia (o 5 al cuadrado) es igual a 25". Las potencias superiores se leen de acuerdo con el grado indicado para ejemplo, & quot; cuarta potencia & quot & quot; quinta potencia & quot, etc.

Cuando ocurre un exponente, siempre debe escribirse a menos que su valor sea 1. El exponente 1 generalmente no se escribe, pero se entiende. Por ejemplo, el número 5 es en realidad 5 1. Cuando trabajamos con exponentes, es importante recordar que cualquier número que no tenga un exponente escrito realmente tiene un exponente igual a 1.

La raíz de un número se puede indicar colocando un signo de radical,, sobre el número y mostrando la raíz colocando un número pequeño dentro de la muesca del signo de radical. Por lo tanto, indica la raíz cúbica de 64 e indica la quinta raíz de 32. El número que indica la raíz se llama ÍNDICE de la raíz. En el caso de la raíz cuadrada, normalmente no se muestra el índice 2. Cuando un radical no tiene índice, se entiende que la raíz cuadrada es la deseada. Por ejemplo, indica la raíz cuadrada de 36. La línea sobre el número cuya raíz se encuentra es un símbolo de agrupación llamado vinculum. Cuando se utiliza el símbolo de radical, se debe adjuntar un vinculum, lo suficientemente largo como para extenderse por toda la expresión cuya raíz se va a encontrar.

Problemas de práctica. Sube a la potencia indicada o encuentra la raíz indicada.

1. 8
2. 36
3. 64
4. 15,625
5. 4
6. 2
7. 5
8. 2

Elevar a una potencia es una multiplicación en la que todos los números que se multiplican juntos son iguales. El signo del producto se determina, como en la multiplicación ordinaria, por el número de signos menos. El número de signos menos es par o impar, dependiendo de si el exponente de la base es par o impar. Por ejemplo, en el problema

hay tres signos menos. El resultado es negativo. En

hay seis signos menos. El resultado es positivo.

Así, cuando el exponente de un número negativo es impar, la potencia es negativa cuando el exponente es par, la potencia es positiva. Como otros ejemplos, considere lo siguiente:

Los números positivos y negativos pertenecen a la clase denominada NÚMEROS REALES. El cuadrado de un número real es positivo. Por ejemplo, (-7) 2 = 49 y 7 2 = 49. La expresión (-7) 2 se lee "menos siete al cuadrado". Tenga en cuenta que siete al cuadrado o menos siete al cuadrado nos da +49. No podemos obtener -49 o cualquier otro número negativo elevando al cuadrado cualquier número real, positivo o negativo.

Dado que no existe un número real cuyo cuadrado sea un número negativo, a veces se dice que la raíz cuadrada de un número negativo no existe. Sin embargo, una expresión bajo un signo de raíz cuadrada puede tomar valores negativos. Si bien no se puede encontrar la raíz cuadrada de un número negativo, sí se puede indicar.

La raíz cuadrada indicada de un número negativo se llama NÚMERO IMAGINARIO. El número, por ejemplo, se dice que es imaginario. Se lee & raíz cuadrada de menos siete. & Quot Los números imaginarios se tratan en el capítulo 15 de este curso.

Recordamos que el exponente de un número indica el número de veces que el número debe tomarse como factor. Una fracción se eleva a una potencia elevando el numerador y el denominador por separado a la potencia indicada. La expresión significa que 3/7 se usa dos veces como factor. Por lo tanto,

Dado que un signo menos puede ocupar cualquiera de las tres ubicaciones en una fracción, observe que evaluar (-1/5) 2 es equivalente a

El proceso de sacar la raíz de un número es el inverso del proceso de elevar el número a una potencia, y el método de sacar la raíz de una fracción es similar. Podemos simplemente tomar la raíz de cada término por separado y escribir el resultado como una fracción. Considere los siguientes ejemplos:

Problemas de práctica. Encuentra los valores de. las operaciones indicadas:

1. 1/9
2. 9/16
3. 36 / 25
4. 8/27
5. 4/6
6. 4/5
7. 2/3
8. 3/7


¿Cómo encontrar la raíz cuadrada de 8?

Discutiremos dos métodos para encontrar la raíz cuadrada de 8.

  • Simplificar el radical de los números que son cuadrados perfectos
  • Método de división larga para cuadrados perfectos y no perfectos

La factorización prima de 8 es 8 = 2 × 2 × 2. Por lo tanto, 8 se puede simplificar aún más como 8 =(2 × 2 × 2) = 22. Por lo tanto, hemos expresado la raíz cuadrada de 8 en la forma radical más simple como 22

Raíz cuadrada de 8 por el método de división larga

El valor de la raíz cuadrada de 8 por el método de división larga consta de los siguientes pasos:

  • Paso 1 : Empezando por la derecha, emparejaremos los dígitos colocando una barra encima de ellos.
  • Paso 2: Encuentra un número que, cuando se multiplica por sí mismo, da el producto menor o igual que 8. Entonces, el número es 2. Manteniendo el divisor como 2, obtenemos el cociente como 2 y el resto como 4.
  • Paso 3: Doble el divisor e ingréselo con un espacio en blanco a su derecha. Adivine el dígito más grande posible para completar el espacio en blanco que se convertirá en el nuevo dígito del cociente, de modo que cuando el nuevo divisor se multiplique por el nuevo cociente, el producto resultante sea menor o igual al dividendo. Divide y escribe el resto. Repita este proceso para obtener los lugares decimales que desee.

¿Puedes usar este método para encontrar la raíz cuadrada de 7?

Explore raíces cuadradas usando ilustraciones y ejemplos interactivos

Notas importantes:

  • La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.
  • La raíz cuadrada de 8 se puede expresar como 8 = 8 1/2 .
  • Podemos encontrar la raíz cuadrada de 8 usando la forma radical y el método de división larga.
  • Sabemos que (-22) × (-22) = 8. Entonces, ¿podemos decir que -2¿2 es raíz cuadrada de 8?
  • ¿Puedes determinar una ecuación cuadrática cuyas raíces son 22 y -22?

8.4 Sumar, restar y multiplicar expresiones radicales

Agregar expresiones radicales con el mismo índice y el mismo radicando es como agregar términos semejantes. Llamamos radicales con el mismo índice y el mismo radicando como radicales para recordarnos que funcionan igual que los términos semejantes.

Como radicales

Como radicales son expresiones radicales con el mismo índice y el mismo radicando.

Sumamos y restamos radicales semejantes de la misma manera que sumamos y restamos términos semejantes. Sabemos que 3 x + 8 x 3 x + 8 x es 11 x. 11 x. De manera similar, sumamos 3 x + 8 x 3 x + 8 x y el resultado es 11 x. 11 x.

Piense en agregar términos semejantes con variables como lo hace con los siguientes ejemplos. Cuando tienes radicales similares, simplemente sumas o restas los coeficientes. Cuando los radicales no son iguales, no se pueden combinar los términos.

Ejemplo 8.36

Solución

Los índices son los mismos pero los radicales son diferentes. Estos no son como radicales. Dado que los radicales no son iguales, no podemos restarlos.

Para que los radicales sean iguales, deben tener el mismo índice y radicando. Cuando los radicandos contienen más de una variable, siempre que todas las variables y sus exponentes sean idénticos, los radicandos son iguales.

Ejemplo 8.37

Solución

Recuerde que siempre simplificamos los radicales eliminando el factor más grande del radicando que es una potencia del índice. Una vez que se simplifica cada radical, podemos decidir si son como radicales.

Ejemplo 8.38

Solución

En el siguiente ejemplo, eliminaremos tanto los factores constantes como los variables de los radicales. Ahora que hemos practicado tomar las raíces pares e impares de las variables, es una práctica común en este punto asumir que todas las variables son mayores o iguales a cero, de modo que no se necesitan valores absolutos. Usaremos esta suposición en el resto de este capítulo.

Ejemplo 8.39

Solución

Multiplicar expresiones radicales

Hemos utilizado la propiedad del producto de las raíces para simplificar las raíces cuadradas eliminando los factores cuadrados perfectos. Podemos usar la propiedad del producto de las raíces "al revés" para multiplicar raíces cuadradas. Recuerde, asumimos que todas las variables son mayores o iguales a cero.

Reescribiremos la propiedad del producto de las raíces para que veamos ambas formas juntas.

Propiedad del producto de las raíces

Cuando multiplicamos dos radicales, deben tener el mismo índice. Una vez que multiplicamos los radicales, buscamos factores que sean una potencia del índice y simplificamos el radical siempre que sea posible.

Multiplicar radicales con coeficientes es muy parecido a multiplicar variables con coeficientes. Para multiplicar 4 x · 3 y 4 x · 3 y multiplicamos los coeficientes y luego las variables. El resultado es 12xy. Tenga esto en cuenta al hacer estos ejemplos.

Ejemplo 8.40

Solución

Seguimos los mismos procedimientos cuando hay variables en los radicandos.

Ejemplo 8.41

Solución

Ⓑ Cuando los radicandos involucran números grandes, a menudo es ventajoso factorizarlos para encontrar las potencias perfectas.

Utilice la multiplicación polinomial para multiplicar expresiones radicales

En los siguientes ejemplos, usaremos la propiedad distributiva para multiplicar expresiones con radicales. Primero distribuiremos y luego simplificaremos los radicales cuando sea posible.

Ejemplo 8.42

Solución

Cuando trabajamos con polinomios, multiplicamos binomios por binomios. Recuerde, esto nos dio cuatro productos antes de combinar cualquier término similar. Para asegurarnos de obtener los cuatro productos, organizamos nuestro trabajo, generalmente mediante el método FOIL.

Ejemplo 8.43

Solución

Ejemplo 8.44

Simplifica: (3 2-5) (2 + 4 5). (3 2 - 5) (2 + 4 5).

Solución

Simplifica: (5 3-7) (3 + 2 7) (5 3-7) (3 + 2 7)

Simplificar: (6 - 3 8) (2 6 + 8) (6 - 3 8) (2 6 + 8)

Reconocer algunos productos especiales facilitó nuestro trabajo cuando multiplicamos binomios antes. Esto también es cierto cuando multiplicamos radicales. Las fórmulas de productos especiales que usamos se muestran aquí.

Productos especiales

Usaremos las fórmulas de productos especiales en los siguientes ejemplos. Comenzaremos con el Producto de patrón de cuadrados binomiales.

Ejemplo 8.45

Solución

En el siguiente ejemplo, usaremos el patrón Producto de conjugados. Tenga en cuenta que el producto final no tiene radicales.

Ejemplo 8.46

Simplifica: (5 - 2 3) (5 + 2 3). (5 - 2 3) (5 + 2 3).

Solución

Simplifica: (3 - 2 5) (3 + 2 5) (3 - 2 5) (3 + 2 5)

Simplifica: (4 + 5 7) (4 - 5 7). (4 + 5 7) (4 - 5 7).

Medios de comunicación

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica con la suma, resta y multiplicación de expresiones radicales.

Sección 8.4 Ejercicios

La práctica hace la perfección

Sumar y restar expresiones radicales

En los siguientes ejercicios, simplifique.

318 y 2 + 4 y 162 - 8 98 y 2 318 y 2 + 4 y 162 - 8 98 y 2

3 75 y 2 + 8 y 48 - 300 y 2 3 75 y 2 + 8 y 48 - 300 y 2

Multiplicar expresiones radicales

En los siguientes ejercicios, simplifique.

Utilice la multiplicación polinomial para multiplicar expresiones radicales

En los siguientes ejercicios, multiplica.

Práctica Mixta

Ejercicios de escritura

Explica cuándo una expresión radical está en su forma más simple.

Explica el proceso para determinar si dos radicales son similares o diferentes. Asegúrese de que su respuesta tenga sentido para los radicales que contienen tanto números como variables.

Usa el patrón cuadrado binomial para simplificar (3 + 2) 2. (3 + 2) 2. Explica todos tus pasos.

Autochequeo

Ⓐ Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

Ⓑ En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo puedes mejorar esto?

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  • Utilice la siguiente información para generar una cita. Recomendamos utilizar una herramienta de citas como esta.
    • Autores: Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Álgebra intermedia 2e
    • Fecha de publicación: 6 de mayo de 2020
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la sección: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/8-4-add-subtract-and-multiply-radical-expressions

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    SIMPLIFICANDO LAS EXPRESIONES RADICALES

    OBJETIVOS

    1. Simplifica expresiones radicales cuyo denominador es un solo radical.
    2. Simplifica expresiones cuyo denominador es un binomio que involucra uno o más radicales.

    Pasemos ahora nuestra atención a las expresiones algebraicas que contienen radicales. Nuestro objetivo es desarrollar métodos para simplificar dichas expresiones.

    Cualquier expresión algebraica que contenga un radical se denomina "expresión radical".

    Una expresión radical está en la forma mas simple cuando dos condiciones son verdaderas.
    (1) Cada radical individual está en su forma más simple, y
    (2) no aparece ningún radical en el denominador de una fracción.

    Refiriéndonos a la definición, vemos que se cumple la primera condición ya que están cada uno en la forma más simple. Sin embargo, la segunda condición no se cumple ya que tenemos un radical en el denominador.
    Para simplificar tal expresión, primero apelamos a la principio fundamental de fracciones, que se indica como . Podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el mismo número distinto de cero y seguir teniendo una fracción igual a la original.

    En la expresion un radical todavía está en el denominador. ¿Con qué podemos multiplicar este denominador para eliminar el radical?

    Este proceso se conoce como racionalizando el denominador.

    Por que elegimos Porque si multiplicamos 8 por 2 obtenemos 16, que es un cuadrado perfecto.

    Solución Es más fácil encontrar el multiplicador adecuado si se tiene en cuenta el objetivo de convertir el denominador en un cuadrado perfecto. Si factorizamos 27 en (3) (3) (3), notamos que otro (3) daría un cuadrado perfecto. Entonces el multiplicador deseado es

    Un método alternativo para resolver este problema sería primero simplificar la expresión como
    Luego vemos que si multiplicamos el numerador y denominador por , obtenemos

    Nuevamente, podríamos haber simplificado primero, obteniendo

    Se presenta un problema muy diferente si el denominador no es un solo radical.

    Solución Dado que tenemos un binomio en el denominador, no podemos multiplicarlo por sí mismo, ya que esto dará un término medio que todavía contiene un radical. Recordamos que la única vez que podemos multiplicar un binomio por otro binomio y no obtener un término medio es si tenemos el producto de la suma y la diferencia de los mismos dos números. Entonces el multiplicador debe ser .

    Tenga en cuenta que si intentamos multiplicar el numerador y el denominador por

    y no estamos mejor que antes.

    Nuevamente, asegúrese de no involucrarse tanto en trabajar con el denominador que se olvide de multiplicar también el numerador.


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    Dado que estamos dividiendo una raíz cuadrada por otra, podemos simplemente dividir los radicandos y poner el cociente debajo de un signo de radical. Es decir, el cociente de raíces cuadradas es igual a la raíz cuadrada del cociente de radicandos.

    Al igual que con la multiplicación de radicales, podemos revertir este proceso e ir al revés. Entonces, si quisiéramos, podríamos reconocer eso. 2. es lo mismo que. 6/3. y podríamos reescribir. sqrt2. como la raíz cuadrada de. 6/3. y finalmente reescriba eso como el cociente de las raíces cuadradas de. 6. y. 3.

    Hagamos un ejemplo en el que los radicandos sean iguales.

    El cociente de los radicales es igual al radical del cociente.

    Simplifica la expresión radical.

    Podríamos seguir los pasos que hicimos en el ejemplo anterior.

    Esto debería recordarnos que cuando las raíces son del mismo tipo y los radicandos son iguales, el resultado siempre será. 1. porque cualquier cosa dividida por sí misma lo es. 1. (excepto, por supuesto, que. 0. dividido por sí mismo no está definido).

    A los matemáticos no les gusta terminar con un radical en el denominador de una fracción. Cuando hay una raíz cuadrada en el denominador, podemos convertirla en un número racional multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por esa raíz cuadrada y luego simplificando. Ese proceso se conoce como racionalizando el denominador, porque el resultado tiene un número racional en el denominador.

    Racionalice el denominador.

    Para deshacernos del radical en el denominador, multiplicaremos el numerador y el denominador por. sqrt5.

    Ahora tenemos . sqrt5 sqrt5. en el denominador, que es igual a. 5. entonces obtenemos


    8: Raíces y radicales - Matemáticas

    En esta sección, veremos una técnica de integración que puede ser útil para algunos integrales con raíces en ellas. Ya hemos visto algunas integrales con raíces en ellas. Algunas se pueden hacer rápidamente con una simple sustitución de Cálculo I y otras se pueden hacer con sustituciones de trigonometría.

    Sin embargo, no todas las integrales con raíces nos permitirán utilizar uno de estos métodos. Veamos un par de ejemplos para ver otra técnica que se puede usar en ocasiones para ayudar con estas integrales.

    A veces, cuando nos enfrentamos a una integral que contiene una raíz, podemos usar la siguiente sustitución para simplificar la integral en una forma con la que se pueda trabajar fácilmente.

    Entonces, en lugar de dejar que (u ) sea lo que está debajo del radical, como solíamos hacer en Cálculo I, dejamos que (u ) sea el radical completo. Ahora, habrá un poco más de trabajo aquí, ya que también necesitaremos saber qué es (x ) para poder sustituir eso en el numerador y así poder calcular el diferencial, (dx ). Sin embargo, esto es bastante fácil de conseguir. Simplemente resuelve la sustitución de (x ) de la siguiente manera,

    Usando esta sustitución, la integral es ahora,

    Entonces, a veces, cuando una integral contiene la raíz ( sqrt [n] <> ) la sustitución,

    se puede usar para simplificar la integral en una forma que podamos manejar.

    Echemos un vistazo a otro ejemplo muy rápido.

    Haremos lo mismo que hicimos en el ejemplo anterior. Aquí está la sustitución y el trabajo adicional que tendremos que hacer para obtener (x ) en términos de (u ).

    Con esta sustitución la integral es,

    Esta integral ahora se puede hacer con fracciones parciales.

    Establecer numeradores iguales da,

    [4u = A left ( derecha) + B izquierda ( derecho)]

    Al elegir el valor de (u ) se obtienen los coeficientes.

    [empezaru = & - 2 & hspace <0.5in> - 8 = & , B left (<- 7> right) & hspace <0.5in> B = & , frac <8> <7> u = & , 5 & hspace <0.5in> 20 = & , A left (7 right) & hspace <0.5in> A = & , frac <<20>> <7> final]

    Entonces, hemos visto un buen método para eliminar raíces de la integral y ponerlo en una forma que podamos manejar. Sin embargo, tenga en cuenta que esto no siempre funcionará y, a veces, la nueva integral será igualmente difícil de hacer.


    Encontrar raíces cúbicas

    Las raíces cúbicas son relativamente simples si el radicando es un cubo perfecto. Como las raíces cuadradas, o cualquier otro radical, usualmente tratamos de simplificar las raíces cúbicas manipulando la expresión de manera que nos quedemos con expresiones que involucran un producto de cubos perfectos cuando sea posible. Si esto no es posible, solo podemos estimar el valor de la raíz cúbica, aunque como todas las raíces n-ésimas, es muy difícil estimar las raíces de cubos no perfectos, y esto generalmente se hace usando una calculadora.

    Es útil recordar algunos de los cubos perfectos para poder trabajar con raíces cúbicas. A continuación se muestra una tabla de los cubos de 0-20.


    Multiplicar Raíces cuadradas

    Lo primero que aprenderá a hacer con raíces cuadradas es & quotsimplify & quot términos que suman o multiplican raíces.

    Simplificar radicales multiplicados es bastante simple, apenas se diferencia de las simplificaciones que ya hemos hecho. Usamos el hecho de que el producto de dos radicales es el mismo que el radical del producto y viceversa.

    Escribe como el producto de dos radicales:

    Debido a que 6 factores como 2 y por 3, puedo dividir este radical en un producto de dos radicales usando la factorización. (Sí, también podría factorizar como 1 y multiplicado por 6, pero probablemente estén esperando la factorización prima).

    Sí, esa manipulación fue bastante simplista y no fue muy útil, pero muestra cómo podemos manipular a los radicales. Y usar esta manipulación para trabajar en la otra dirección puede ser muy útil. Por ejemplo:

    Simplifique escribiendo con no más de un radical:

    Al multiplicar radicales, como hace este ejercicio, generalmente no se coloca un símbolo de & cotizaciones & quot entre los radicales. Se entiende que la multiplicación es "por yuxtaposición", por lo que técnicamente no se necesita nada más.

    Para hacer esta simplificación, primero multiplicaré los dos radicales juntos. Esto me dará 2 & times 8 = 16 dentro del radical, que sé que es un cuadrado perfecto.

    Por cierto, podría haber hecho la simplificación de cada radical primero, luego multiplicar y luego hacer otra simplificación. El trabajo sería un poco más largo, pero el resultado sería el mismo: