Artículos

7.8.E: Problemas de la medida de Lebesgue - Matemáticas


Ejercicio ( PageIndex {1} )

Complete todos los detalles en la demostración de los teoremas 3 y 4.

Ejercicio ( PageIndex {1 '} )

Demuestre la nota 2.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Del teorema 3 deducir que
[ left ( forall A subseteq E ^ {n} right) left ( existe B in mathcal {G} _ { delta} right) quad A subseteq B text {y} m ^ {*} A = m B. ]
[Sugerencia: vea la sugerencia del problema 7 en §5.]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Repase el problema 3 en §5.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Considere todas las traducciones
[R + p quad left (p in E ^ {1} right) ]
de
[R = left { text {racionales en} E ^ {1} right }. ]
Demuestre lo siguiente.
(i) Dos de estas traducciones son disjuntas o idénticas.
(ii) Cada (R + p ) contiene al menos un elemento de ([0,1] ).
[Sugerencia para (ii): Fije un (y in (-p, 1-p), ) racional para que (0

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Continuando con el problema 4, elija un elemento (q en [0,1] ) de cada (R + p. ) Sea (Q ) el conjunto de todos (q ) así elegidos.
Llamar a una traslación de (Q, Q + r, ) "buena" si (r en R ) y (| r | <1. ) Sea (U ) la unión de todas las "buenas "se traduce de (Q. )
Demuestre lo siguiente.
(a) Hay solamente muchos "buenos" (Q + r ).
(b) Todos ellos se encuentran en ([- 1,2] ).
(c) Dos de ellos son disjuntos o idénticos.
(d) ([0,1] subseteq U subseteq [-1,2]; ) por tanto (1 leq m ^ {*} U leq 3 ).
[Sugerencia para (c): suponga
[y in (Q + r) cap left (Q + r ^ { prime} right). ]
Luego
[y = q + r = q ^ { prime} + r ^ { prime} quad left (q, q ^ { prime} in Q, r, r ^ { prime} in R derecho);]
entonces (q = q ^ { prime} + left (r ^ { prime} -r right), ) con ( left (r ^ { prime} -r right) en R ).
Entonces (q en R + q ^ { prime} ) y (q ^ { prime} = 0 + q ^ { prime} in R + q ^ { prime}. ) Deduzca que (q = q ^ { prime} ) y (r = r ^ { prime} =; ) por lo tanto (Q + r = Q + r ^ { prime} ).]

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Demuestre que (Q ) en el problema 5 no es L-medible.
[Sugerencia: De lo contrario, según el Teorema 4, cada (Q + r ) es L-medible, con (m (Q + r) = m Q. ) Por 5 (a) (c), (U ) es una unión inconexa contable de "buenas" traducciones.
Deduzca que (m U = 0 ) si (m Q = 0, ) o (m U = infty, ) contrario a 5 (d).]

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Demuestre que si (f: S rightarrow T ) es continuo, entonces (f ^ {- 1} [X] ) es un conjunto de Borel en (S ) siempre que (X in mathcal {B }) En t).
[Sugerencia: utilizando la Nota 1 en §7, demuestre que
[ mathcal {R} = left {X subseteq T | f ^ {- 1} [X] in mathcal {B} text {in} S right } ]
es un ( sigma ) - anillo en (T. ) Como ( mathcal {B} ) es el mínimo ( sigma ) - anillo ( supseteq mathcal {G}, mathcal {R} supseteq mathcal {B} ) (el campo Borel en (T ).]

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Demuestre que todo intervalo degenerado en (E ^ {n} ) tiene la medida de Lebesgue (0, ) incluso si es incontable. Da un ejemplo en (E ^ {2}. ) Demuestre la incontable.
[Sugerencia: Tome ( overline {a} = (0,0), overline {b} = (0,1). ) Defina (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {2} ) por (f (x) = (0, x). ) Demuestre que (f ) es uno a uno y que ([ overline {a}, overline {b}] ) es la imagen (f ) - de ([0,1]. ) Utilice el Problema 2 del Capítulo 1, §9.]

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Muestre que no todos los conjuntos L-medibles son conjuntos de Borel en (E ^ {n} ).
[Sugerencia para (E ^ {2}: ) Con ([ overline {a}, overline {b}] ) y (f ) como en el problema 8, demuestre que (f ) es continuo (utilice el criterio secuencial). Como (m [ overline {a}, overline {b}] = 0, ) todos los subconjuntos de ([ overline {a}, overline {b}] ) están en ( mathcal {M } ^ {*} ) (Teorema 2 (i)), por lo tanto en ( mathcal {B} ) si asumimos ( mathcal {M} ^ {*} = mathcal {B} ). Pero luego, por el problema 7, lo mismo se aplicaría a los subconjuntos de ([0,1], ) contrariamente al problema 6.
Da una prueba similar para (E ^ {n} (n> 1) ).
Nota: En (E ^ {1}, ) también, ( mathcal {B} neq mathcal {M} ^ {*}, ) pero es necesaria una prueba diferente. Lo omitimos.]

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Demuestre que el conjunto (P ) de Cantor (problema 17 del capítulo 3, 14) tiene una medida de Lebesgue cero, aunque sea incontable.
[Esquema: Let
[U = [0,1] -P; ]
entonces (U ) es la unión de intervalos abiertos eliminados de ([0,1]. ) Demuestre que
[m U = frac {1} {2} sum_ {n = 1} ^ { infty} left ( frac {2} {3} right) ^ {n} = 1 ]
y use el Lema 1 en §4.]

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Sea ( mu: mathcal {B} rightarrow E ^ {*} ) la restricción de Borel de la medida de Lebesgue (m ) en (E ^ {n} ) (§7). Pruebalo
(i) ( mu ) en incompleto;
(ii) (m ) es la extensión de Lebesgue (* y la finalización, como en el problema 15 del §6) de ( mu. )
[Sugerencias: (i) Según el Problema 9, algunos ( mu ) - conjuntos nulos no están en ( mathcal {B}. ) (Ii) Vea la demostración (final) del Teorema 2 en §9 (la Siguiente sección).]

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Demuestre lo siguiente.
(i) Todos los intervalos en (E ^ {n} ) son conjuntos de Borel.
(ii) El anillo ( sigma ) - generado por cualquiera de las familias ( mathcal {C} ) o ( mathcal {C} ^ { prime} ) en el problema 3 de §5 coincide con el campo Borel en (E ^ {n}. )
[Sugerencias: (i) Cualquier intervalo surge de uno cerrado dejando caer algunas "caras" (intervalos cerrados degenerados). (ii) Utilice el Lema 2 de §2 y el Problema 7 de §3.]

Ejercicio ( PageIndex {13 *} )

Demuestre que si una medida (m ^ { prime}: mathcal {M} ^ { prime} rightarrow E ^ {*} ) en (E ^ {n} ) concuerda con los intervalos con la medida de Lebesgue (m: mathcal {M} ^ {*} rightarrow E ^ {*}, ) entonces lo siguiente es cierto.
(i) (m ^ { prime} = m ) en ( mathcal {B}, ) el campo Borel en (E ^ {n} ).
(ii) Si (m ^ { prime} ) también está completo, entonces (m ^ { prime} = m ) en ( mathcal {M} ^ {*} ).
[Sugerencia: (i) Utilice el problema 13 del § 5 y el problema 12 anteriores.]

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Demuestre que los globos de igual radio tienen la misma medida de Lebesgue.
[Sugerencia: utilice el teorema 4.]

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Deje (f: E ^ {n} rightarrow E ^ {n}, ) con
[f ( overline {x}) = c overline {x} quad (0 Demuestre lo siguiente.
(i) (( forall A subseteq E ^ {n}) m ^ {*} f [A] = c ^ {n} m ^ {*} A ) ( (m ^ {*} = ) Medida exterior de Lebesgue).
(ii) (A in mathcal {M} ^ {*} ) iff (f [A] in mathcal {M} ^ {*} ).
[Sugerencia: si, digamos, (A = ( overline {a}, overline {b}], ) entonces (f [A] = (c overline {a}, c overline {b}] . ) (¿Por qué?) Proceda como en el Teorema 4, usando también (f ^ {- 1} ).]

Ejercicio ( PageIndex {16} )

De los problemas 14 y 15 demuestre que
(i) (m G _ { overline {p}} (c r) = c ^ {n} cdot m G _ { overline {p}} (r) );
(ii) (m G _ { overline {p}} (r) = m overline {G} _ { overline {p}} (r) );
(iii) (m G _ { overline {p}} (r) = a cdot m I, ) donde (I ) es el cubo inscrito en (G _ { overline {p}} (r) ) y
[a = left ( frac {1} {2} sqrt {n} right) ^ {n} cdot m G _ { overline {0}} (1). ]
[Sugerencias: (i) (f left [G _ { overline {0}} (r) right] = G _ { overline {0}} (c r). ) (Ii) Demuestre que
[m G _ { overline {p}} leq m overline {G} _ { overline {p}} leq c ^ {n} m G _ { overline {p}} ]
si (c> 1. ) Sea (c rightarrow 1 ).]

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Dado (a Establecer (( forall n) )
[ delta_ {n} = frac {b-a} {2 ^ {n + 1}} ]
y
[G_ {n} = left (a_ {n}, b_ {n} right) = (a, b) cap left (r_ {n} - frac {1} {2} delta_ {n }, r_ {n} + frac {1} {2} delta_ {n} derecha). ]
Dejar
[P = A- bigcup_ {n = 1} ^ { infty} G_ {n}. ]
Demuestre lo siguiente.
(i) ( sum_ {n = 1} ^ { infty} delta_ {n} = frac {1} {2} (b-a) = frac {1} {2} m A ).
(ii) (P ) está cerrado; (P ^ {o} = conjunto vacío, ) todavía (m P> 0 ).
(iii) El (G_ {n} ) puede hacerse disjunto (ver Problema 3 en §2), con (m P ) todavía (> 0. )
(iv) Construya tal (P subseteq A left (P = overline {P}, P ^ {o} = emptyset right) ) de medida prescrita (m P = varepsilon> 0 ) .

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Encuentra un conjunto abierto (G subconjunto E ^ {1}, ) con (m G [Sugerencia: (G = cup_ {n = 1} ^ { infty} G_ {n} ) con (G_ {n} ) como en el problema 17.]

Ejercicio ( PageIndex {19 *} )

Si (A subseteq E ^ {n} ) es abierto y convexo, entonces (m A = m overline {A} ).
[Sugerencia: Primero ( overline {0} in A. ) Argumente como en el problema 16.]


Problema con la medida de Lebesgue en $ mathbb^2$

Sea $ P = A_1 times A_2, $ donde $ A_1, A_2 subset mathbb$ son un conjunto de medidas positivas de Lebesgue y $ Z subset mathbb^ 2, $ sea un conjunto de medidas de Lebesgue cero. ¿Podemos siempre encontrar conjuntos de medidas de Lebesgue positivos $ B_1, B_2 subset mathbb$ tal que $ B_1 times B_2 subset overline? $ ¿Qué condiciones adicionales garantizan que lo anterior sea cierto? (Puedo demostrar que lo anterior es cierto si $ P setminus overline$ es una medida positiva, entonces lo anterior es cierto)

En esta pregunta https://math.stackexchange.com/q/3767758/641816, se demostró que el resultado es verdadero si $ A_1 = A_2 = [0,1] $.

Este es mi intento: Como $ A_1, A_2 $ son un conjunto de medidas de Lebesgue positivo, podemos encontrar $ a_1 en A_1, a_2 en A_2 $ tal que para cualquier $ r & gt0 $ tenemos $ B (a_1, r) cap A_1, B (a_2, r ) cap A_2 $ son conjuntos de medidas positivas (de hecho, este fenómeno es cierto para casi todos los $ a_1 en A_1, a_2 en A_2 $). Considere $ B_1 ^ r = overline, quad B_2 ^ r = overline$ Entonces creo que de alguna manera se puede demostrar que existen algunas $ s, t & gt0 $ tales que $ B_1 ^ s times B_2 ^ t subset overline.$


Algunos elementos de la teoría clásica de la medida

EJEMPLOS

Medida de Lebesgue el ℝ r es una medida de radón.

Sea (t n) n ∈ ℕ cualquier secuencia en ℝ r , y (a n) n ∈ ℕ cualquier secuencia sumable en [0, ∞ [. Para cada mi ⊆ ℝ establecer

Luego v es una medida de radón (totalmente finita) en ℝ r .

Medida de cantor. Recuerde que el conjunto de Cantor es un subconjunto cerrado despreciable de [0, 1], y que la función de Cantor es una función continua no decreciente. F: [0, 1] → [0, 1] tal que F(0) = 0, F(l) = 1 y F es constante en cada uno de los intervalos que componen [0,1] /C. De ello se deduce que si establecemos g (x) = 1 2 + f (x) para x ∈ [0, 1], entonces gramo: [0,1] → [0,1] es una biyección continua tal que la medida de Lebesgue de gramo(C) es 1 2 en consecuencia gramo −1: [0, 1] → [0, 1] es continuo. Ahora extiende gramo a una biyección h: ℝ → ℝ configurando h(X) = X por X ∈ ℝ [0, 1]. Luego h y h −1 son continuos. Tenga en cuenta que h(C) = gramo(C) tiene medida Lebesgue 1 2.

Deje v1 sea ​​la medida de Radón en ℝ obtenida aplicando el método del último Teorema a la medida de Lebesgue λ en ℝ y la función 2 χ (h (C)). Entonces v 1 (h (C)) = v 1 (ℝ) = 1. Sea v la medida v1h, es decir, v(mi) = v1(él)) solo para aquellos mi ⊆ ℝ tal que h(mi) ∈ Dom v1. Luego v es una medida de probabilidad de radón en ℝ, y v(C) = 1, v (ℝ C) = μ. (C) = 0.


Medida, integral, derivada

Este texto probado en el aula está destinado a un curso de un semestre sobre la teoría de Lebesgue. Con más de 180 ejercicios, el texto tiene un enfoque elemental, lo que lo hace fácilmente accesible tanto para estudiantes de grado superior como para estudiantes de posgrado inferior. Los tres temas principales que se presentan son medida, integración y diferenciación, y el único requisito previo es un curso de análisis real elemental.

Para mantener el libro autónomo, se incluye un capítulo introductorio con la intención de llenar el vacío entre lo que el estudiante pudo haber aprendido antes y lo que se requiere para comprender completamente el texto subsiguiente. Las pruebas de resultados difíciles, como la propiedad de diferenciabilidad de las funciones de variaciones limitadas, se analizan en pequeños pasos para que sean accesibles a los estudiantes. Con la excepción de algunas declaraciones simples, todos los resultados se prueban en el texto. La presentación es elemental, donde σ-álgebras no se utilizan en el texto sobre la teoría de la medida y las derivadas de Dini no se utilizan en el capítulo sobre diferenciación. Sin embargo, todos los resultados principales de la teoría de Lebesgue se encuentran en el libro.

Sergei Ovchinnikov es actualmente profesor de matemáticas en la Universidad Estatal de San Francisco.

“Es accesible para estudiantes de grado superior y grado de postgrado inferior, y el único requisito previo es un curso de análisis real elemental. … El libro propone 187 ejercicios donde casi siempre se propone al lector probar un enunciado. ... este libro es una herramienta muy útil para adentrarse en la teoría de Lebesgue de una manera sencilla ". (Daniel Cárdenas-Morales, zbMATH, Vol. 1277, 2014)

“Este es un libro breve ... pero agradable sobre la medida de Lebesgue y la integración de Lebesgue en el nivel de pregrado avanzado. … La presentación es clara y se dan pruebas detalladas de todos los resultados. … El libro es ciertamente muy adecuado para un curso de pregrado de un semestre sobre la medida de Lebesgue y la integración de Lebesgue. Además, la larga lista de ejercicios proporciona al instructor una colección útil de problemas de tareas. Alternativamente, el libro podría ser utilizado para el autoaprendizaje por parte del estudiante universitario serio ". (Lars Olsen, Mathematical Reviews, diciembre de 2013)


Página de inicio de Math 172, invierno de 2014-2015

Horario de oficina provisional: MW 3: 15-3: 45, Th2-3, TW 10: 30-11: 30.

No hay horario de oficina de lunes a miércoles, del 9 al 11 de marzo.

El jueves 12 de marzo, el horario de oficina se extiende de 1:30 a 4:00 p. M.

Correo electrónico: rchlch "at" math.stanford.edu

Ubicación de la clase: MWF 2: 15-3: 05 pm, 380-380D. Por una emergencia, la última charla del trimestre, el viernes 13 de marzo, será impartida por otro instructor.

Hubo dos clases de recuperación, el jueves 12 de febrero y el martes 3 de marzo, para reemplazar las clases del 9 de marzo 11 (cuando no habrá conferencias). Ambas clases fueron en GESB131 (Edificio de Ciencias de la Tierra Verde), 1: 15-2: 05pm.

Libro de texto obligatorio: Stein y Shakarchi: Real Analysis.

Libro de texto recomendado: Stein y Shakarchi: Análisis de Fourier

Para los temas cubiertos en el libro de texto recomendado, el instructor proporcionará sus propias notas de clase.

Notas de lectura:

El programa de estudios en ejecución puede cambiar algo, pero debe dar una indicación del alcance y la velocidad del curso.

Este curso es similar al 205A, pero está diseñado para estudiantes de pregrado y para estudiantes de posgrado en otros departamentos. También incluye análisis básico de Fourier. Es la continuación del curso 171 de análisis de honores, enfatizando pruebas rigurosas (es decir, lógicamente cuidadosas), en el espíritu de 171.

Política de calificación: La calificación se basará en la tarea semanal (25%), en el examen de mitad de período en clase (esperado en el aula habitual, a la hora habitual de clase) (30%) y en el examen en clase (pero de curso no en el aula habitual, ni en el horario habitual de clase) examen final (45%).

El examen final es el lunes 16 de marzo de 12:15 a 15:15 h. Será supervisado por el Prof. Soundararajan.

Está disponible un examen de práctica con Solutions.

El examen cubre todo el material de la teoría de medidas, el Capítulo 1-2 del texto, así como el análisis de Fourier, como en los 5 folletos disponibles para la página web del curso. Habrá poco énfasis en el último tema, las distribuciones, pero incluso cuando no se pregunten explícitamente, pensar en ellas podría ayudarlo a comprender el material de una manera relevante para el examen (por ejemplo, coloca la transformada de Fourier en L ^ 2 en un mejor contexto). Habrá un énfasis en Fubini y Tonelli, ya que estos no se trataron a mitad de período. En particular, siempre debe usar argumentos cuidadosos para verificar las hipótesis del teorema de Fubini, esto a menudo implica el uso del teorema de Tonelli (verificando las hipótesis nuevamente).

El examen de mitad de período es el viernes 6 de febrero en 380D, de 2: 15 a 3: 30 p. M. Venga unos minutos antes para que podamos comenzar a tiempo.

¡Las soluciones ya están disponibles!

Es un examen a libro cerrado, notas cerradas, sin calculadoras / computadoras, etc.

En la parte de aditividad de la versión original de 2 (i) soluciones,

La tarea se entregará en clase o antes de las 9 pm en el buzón del instructor en el día designado, generalmente los miércoles. Se le permite discutir la tarea con otros en la clase, pero debe escribir la solución de la tarea usted mismo. Por lo tanto, debe comprender la solución y poder reproducirla usted mismo. Esto asegura que, además de satisfacer un requisito para esta clase, pueda resolver los problemas similares que probablemente surjan en los exámenes.


Henri Léon Lebesgue

Henri LebesgueEl padre era impresor. Henri comenzó sus estudios en el Collège de Beauvais, luego se fue a París donde estudió primero en el Lycée Saint Louis y luego en el Lycée Louis-le-Grand.

Lebesgue ingresó en la École Normale Supérieure de París en 1894 y recibió su diploma de profesor de matemáticas en 1897. Durante los siguientes dos años estudió en su biblioteca, donde leyó los artículos de Baire sobre funciones discontinuas y se dio cuenta de que se podía lograr mucho más en esta área. Más tarde habría una rivalidad considerable entre Baire y Lebesgue a la que nos referimos a continuación. Fue nombrado profesor en el Lycée Centrale de Nancy, donde enseñó desde 1899 hasta 1902. Basándose en el trabajo de otros, incluido el de Émile Borel y Camille Jordan, Lebesgue formuló la teoría de la medida en 1901 y en su famoso artículo Sur une généralisation de l'intégrale définie Ⓣ, que apareció en el Comptes Rendus el 29 de abril de 1901, dio la definición de la integral de Lebesgue que generaliza la noción de integral de Riemann al extender el concepto del área debajo de una curva para incluir muchas funciones discontinuas. Esta generalización de la integral de Riemann revolucionó el cálculo integral. Hasta finales del siglo XIX, el análisis matemático se limitaba a funciones continuas, basado en gran parte en el método de integración de Riemann.

Su contribución es uno de los logros del análisis moderno que amplía enormemente el alcance del análisis de Fourier. Este destacado trabajo aparece en la tesis doctoral de Lebesgue, Intégrale, longueur, aire Ⓣ, presentado a la Facultad de Ciencias de París en 1902, y el trabajo de 130 páginas se publicó en Milán en el Annali di Matematica en el mismo año. Después de graduarse con su doctorado, Lebesgue obtuvo su primer nombramiento universitario cuando en 1902 se convirtió en mâitre de conférences en matemáticas en la Facultad de Ciencias de Rennes. Esto estaba en consonancia con la tradición francesa estándar de un joven académico que primero tiene nombramientos en las provincias y luego gana el reconocimiento al ser nombrado para un puesto más joven en París. El 3 de diciembre de 1903 se casó con Louise-Marguerite Vallet y tuvieron dos hijos. Sin embargo, el matrimonio solo duró hasta 1916 cuando se divorciaron.

Un honor que recibió Lebesgue en una etapa temprana de su carrera fue una invitación para impartir el Cours Peccot en el Collège de France. Lo hizo en 1903 y luego recibió una invitación para presentar el Cours Peccot dos años más tarde en 1905. Lebesgue se peleó por primera vez con Baire en 1904, cuando Baire dio el Cours Peccot en el Collège de France, sobre quién tenía más derecho a impartir ese curso. Su rivalidad se convirtió en una discusión más seria más adelante en sus vidas. Lebesgue escribió dos monografías Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives Ⓣ (1904) y Leçons sur les séries trigonométriques Ⓣ (1906) que surgió de estos dos cursos de conferencias y sirvió para dar a conocer sus importantes ideas. Sin embargo, su trabajo recibió una acogida hostil por parte de los analistas clásicos, especialmente en Francia. En 1906 fue nombrado miembro de la Facultad de Ciencias de Poitiers y al año siguiente fue nombrado profesor de mecánica allí.

Intentemos indicar la forma en que la integral de Lebesgue permitió resolver muchos de los problemas asociados con la integración. Fourier había supuesto que para funciones limitadas término por término era posible la integración de una serie infinita que representaba la función. A partir de esto, pudo demostrar que si una función era representable por una serie trigonométrica, entonces esta serie es necesariamente su serie de Fourier. Aquí hay un problema, a saber, que una función que no es integrable de Riemann puede representarse como una serie uniformemente acotada de funciones integrables de Riemann. Esto muestra que la suposición de Fourier para funciones limitadas no se cumple.

En 1905, Lebesgue dio una discusión profunda de las diversas condiciones que Lipschitz y Jordan habían usado para asegurar que una función f (x) f (x) f (x) es la suma de su serie de Fourier. Lo que Lebesgue pudo mostrar fue que la integración término por término de una serie uniformemente acotada de funciones integrables de Lebesgue siempre fue válida. Esto ahora significó que la prueba de Fourier de que si una función era representable por una serie trigonométrica, entonces esta serie es necesariamente su serie de Fourier se volvió válida, ya que ahora podría basarse en un resultado correcto con respecto a la integración término por término de series. Como escribe Hawkins en [1]: -

Fue nombrado mâitre de conférences en análisis matemático en la Sorbona en 1910. Durante la Primera Guerra Mundial trabajó para la defensa de Francia, y en este momento se peleó con Borel, quien estaba haciendo una tarea similar. Lebesgue ocupó su puesto en la Sorbona hasta 1918 cuando fue ascendido a profesor de Aplicación de la Geometría al Análisis. En 1921 fue nombrado profesor de Matemáticas en el Collège de France, cargo que ocupó hasta su muerte en 1941. También enseñó en la École Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles de la Ville de Paris entre 1927 y 1937 y en la École Normale Supérieure en Sèvres.

Es interesante que Lebesgue no se haya concentrado a lo largo de su carrera en el campo que él mismo había iniciado. Esto se debió a que su trabajo era una generalización sorprendente, sin embargo, el propio Lebesgue temía las generalizaciones. El escribio:-

Aunque los desarrollos futuros demostraron que sus temores eran infundados, sí nos permiten comprender el curso que siguió su propio trabajo.

También hizo importantes contribuciones en otras áreas de las matemáticas, incluida la topología, la teoría del potencial, el problema de Dirichlet, el cálculo de variaciones, la teoría de conjuntos, la teoría del área de superficie y la teoría de la dimensión. En 1922 cuando publicó Notice sur les travaux scientifique de M Henri Lebesgue había escrito cerca de 90 libros y artículos. Este trabajo de noventa y dos páginas también proporciona un análisis del contenido de los artículos de Lebesgue. Después de 1922 permaneció activo, pero sus contribuciones se dirigieron hacia temas pedagógicos, trabajo histórico y geometría elemental.

Lebesgue tuvo el honor de ser elegido para muchas academias. Fue elegido miembro de la Academia de Ciencias el 29 de mayo de 1922, miembro de la Royal Society, la Real Academia de Ciencias y Letras de Bélgica (6 de junio de 1931), la Academia de Bolonia, la Accademia dei Lincei, la Real Academia Danesa de Ciencias, la Academia de Ciencias de Rumania y la Academia de Ciencias y Letras de Cracovia. También recibió doctorados honoris causa de muchas universidades. También recibió varios premios, entre ellos el Prix Houllevigue (1912), el Prix Poncelet (1914), el Prix Saintour (1917) y el Prix Petit d'Ormoy (1919).


Recursos web de Wolfram

La herramienta n. ° 1 para crear demostraciones y todo lo técnico.

Explore cualquier cosa con el primer motor de conocimiento computacional.

Explore miles de aplicaciones gratuitas en ciencia, matemáticas, ingeniería, tecnología, negocios, arte, finanzas, ciencias sociales y más.

Únase a la iniciativa para modernizar la educación matemática.

Resuelva integrales con Wolfram | Alpha.

Repase los problemas de las tareas, paso a paso, de principio a fin. Las sugerencias le ayudarán a intentar el siguiente paso por su cuenta.

Problemas de práctica aleatorios ilimitados y respuestas con soluciones integradas paso a paso. Practique en línea o haga una hoja de estudio imprimible.

Colección de herramientas de enseñanza y aprendizaje creadas por expertos en educación de Wolfram: libro de texto dinámico, planes de lecciones, widgets, demostraciones interactivas y más.


Prueba de Lemma

Seguimos los ejercicios # 45-47 del cap. 2 en Royden's Análisis real (4ed). Sea $ f $ cualquier función estrictamente creciente definida en algún intervalo. Por nuestro análisis anterior, sabemos que dicha función es un homeomorfismo. Este hecho nos permite mostrar que $ f $ asigna conjuntos de Borel a conjuntos de Borel. Para hacerlo, basta con mostrar que para cualquier función continua $ g $ el conjunto $ mathscr = (E) text > $ es un $ sigma $ -algebra que contiene los conjuntos abiertos. Una vez que mostramos esto, podemos concluir que $ mathscr $ contiene todos los conjuntos de Borel y, por lo tanto, tomando $ g $ como $ f ^ <-1> $ (¡que sabemos que es continuo!), Tendremos $ (f ^ <-1>) ^ <-1> (E) = f (E) $ es Borel para cualquier conjunto de Borel $ E $, que es lo que queremos.


Víctor Beresnevich

Teoría de números métricos y aproximación diofántica. Otros intereses de investigación: geometría de números, distribución uniforme, teoría de medidas y probabilidades, geometría fractal, teoría ergódica, sistemas dinámicos, aplicaciones de aproximación diofántica (en PDE, procesamiento de señales, etc.).

Grupo (s) de investigación

Proyectos de investigación de doctorado disponibles

Victor Beresnevich, Jason Levesley y Sanju Velani trabajan en una variedad de problemas en teoría de números métricos y aproximación diofántica que involucran una variedad de técnicas de aproximación diofántica, teoría analítica de números, geometría de números, teoría de probabilidades, fractales y teoría ergódica. Algunos ejemplos incluyen el problema de Duffin-Schaeffer sobre aproximaciones racionales a números reales, problemas de aproximación por números algebraicos, problemas de vectores mal aproximables, problemas de aproximación diofántica en variedades, etc. Los problemas de aproximación diofántica tienen análogos dinámicos naturales en términos de problemas de objetivos de reducción asociados con el espacio de fase de un sistema dinámico dado. Victor Beresnevich y Sanju Velani están ejecutando actualmente un programa de investigación a gran escala y cualquier estudiante de doctorado se convertiría en una parte integral del grupo de investigación más grande. Si está interesado, póngase en contacto con cualquiera de ellos para posibles proyectos de investigación de doctorado.


Cursos de Matemáticas

(MA 0003 es un curso de desarrollo diseñado para preparar a un estudiante para cursos universitarios de matemáticas al nivel de MA 1313 College Algebra: el crédito recibido por este curso no se aplicará para obtener un título). Conferencia de tres horas. Fracciones de números reales, fracciones decimales, porcentaje, expresiones algebraicas, factorización, fracciones algebraicas, ecuaciones / desigualdades lineales, exponentes integrales, ecuaciones cuadráticas.

MA 0103. Álgebra intermedia. (3)

(MA 0103 está diseñado para preparar a un estudiante para MA 1313 College Algebra) Conferencia de dos horas. Laboratorio de dos horas. Números reales, expresiones algebraicas, factorización, fracciones algebraicas, ecuaciones / desigualdades lineales, ecuaciones cuadráticas, Teorema de Pitágoras. No cuenta para ningún grado.

MA 1313. Álgebra universitaria. (3)

(Los estudiantes con crédito en MA 1713 no recibirán crédito por este curso. Prerrequisito: Sub-puntaje de ACT Matemáticas 19, o una calificación de C o mejor en MA 0103). Conferencia de dos horas. Laboratorio de dos horas. Repaso de fundamentos ecuaciones lineales y cuadráticas desigualdades funciones ecuaciones simultáneas temas en la teoría de ecuaciones. Para el examen de colocación de álgebra universitaria, visite: www.math.msstate.edu/capt/.

MA 1323. Trigonometría. (3)

(Los estudiantes con crédito en MA 1713 no recibirán crédito por este curso. Prerrequisito: Subpuntuación 24 de ACT Matemáticas, o una calificación de C o mejor en MA 1313). Conferencia de tres horas. Las funciones trigonométricas: identidades ecuaciones trigonométricas: aplicaciones.

MA 1413. Estructura del sistema de números reales. (3)

(Requisito previo: una C o mejor en MA 1313 o una puntuación secundaria de 24 en ACT Math). Conferencia de tres horas. La naturaleza de la estructura lógica introductoria de las matemáticas y el desarrollo del sistema de números reales. (El curso está destinado principalmente a las especialidades de educación primaria y especial).

MA 1423. Resolución de problemas con números reales. (3)

(Requisito: una C o mejor en MA 1413). Conferencia de tres horas. Proporciones, problemas porcentuales, probabilidad, principios de conteo, estadísticas. (El curso está destinado principalmente a las especialidades de educación primaria o especial).

MA 1433. Geometría y medición informal. (3)

(Requisitos previos: una C o mejor en MA 1413 y MA 1423). Conferencia de tres horas. Medidas y geometría informal. (El curso está destinado principalmente a las especialidades de educación primaria y especial).

MA 1453. Precálculo con calculadoras gráficas. (3)

(Requisitos previos: Matemáticas ACT 24 o C o mejor en MA 1323 o puntuación de al menos 70 en el examen de calificación de precálculo). Conferencia de tres horas. Propiedades, aplicaciones y gráficos de funciones lineales, cuadráticas, polinomiales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, identidades trigonométricas, ecuaciones y desigualdades inversas. (No se otorgarán créditos de grado para MA 1453 y MA 1313 o MA 1323. Este curso tiene como objetivo preparar a los estudiantes para tomar MA 1713 Cálculo I).

MA 1463. Matemáticas finitas e Introducción al cálculo.

(Prerrequisito: subpuntuación 24 de ACT Matemáticas, o una calificación de C o mejor en MA 1313). Conferencia de tres horas. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales introducción al cálculo.

MA 1613. Cálculo para Ciencias Empresariales y de la Vida I. (3)

(Prerrequisito: subpuntuación 24 de ACT Matemáticas, o una calificación de C o mejor en MA 1313). Conferencia de tres horas. Funciones algebraicas y algunas trascendentales, soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, límites, continuidad, derivadas, aplicaciones.

MA 1623. Cálculo para Ciencias Empresariales y de la Vida II. (3)

(Requisito: MA 1613). Conferencia de tres horas. Anti-derivadas, la integral definida, aplicaciones de la integral definida, funciones de dos o más variables, derivadas parciales, máximas y mínimas, aplicaciones.

MA 1713. Cálculo I. (3)

(Requisito: subpuntuación de ACT Math 26, o una calificación de C o mejor en MA 1323 o MA 1453). Conferencia de tres horas. Las funciones de geometría analítica limitan las derivadas de continuidad de las funciones algebraicas. Aplicación de la derivada. Sección de honores disponible mediante invitación.

MA 1723. Cálculo II. (3)

(Requisito: Calificación de C o mejor en MA 1713). Conferencia de tres horas. Antidiferenciación las aplicaciones integrales definidas de la diferenciación integral definida e integración de funciones trascendentales. Sección de honores disponible mediante invitación.

MA 2113. Introducción a la estadística. (3)

(Requisito previo: subpuntuación 24 de ACT Math, o una calificación de C o mejor en MA 1313). Conferencia de dos horas. Laboratorio de dos horas. Introducción a las técnicas estadísticas: estadística descriptiva, variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, estimación, intervalos de confianza, prueba de hipótesis y medición de asociación. Instrucción informática para análisis estadístico. (Igual que ST 2113).

MA 2733. Cálculo III. (3)

(Requisito: Calificación de C o mejor en MA 1723). Conferencia de tres horas. Otros métodos de integración de vectores de coordenadas polares en series infinitas. Sección de honores disponible mediante invitación.

MA 2743. Cálculo IV. (3)

(Requisito: Calificación de C o mejor en MA 2733). Conferencia de tres horas. Cálculo diferencial de funciones de varias variables cálculo de vectores de integración múltiple. Sección de honores disponible mediante invitación.

MA 3053. Fundamentos de las matemáticas. (3)

(Requisito: MA 1723). Conferencia de tres horas. La estructura lógica de las matemáticas la naturaleza de las aplicaciones de una demostración matemática a los principios básicos del álgebra y el cálculo.

MA 3113. Introducción al álgebra lineal. (3)

(Requisito: MA 1723). Conferencia de tres horas. Espacios vectoriales matrices transformaciones lineales sistemas de ecuaciones lineales valores característicos y vectores característicos.

MA 3123. Introducción a la inferencia estadística. (3)

(Prerrequisito: subpuntuación 24 de ACT Matemáticas, o una calificación de C o mejor en MA 1313). Conferencia de dos horas. Laboratorio de dos horas. Conceptos y métodos básicos de estadística, que incluyen estadística descriptiva, probabilidad, variables aleatorias, distribución muestral, estimación, prueba de hipótesis, introducción al análisis de varianza, regresión lineal simple. (Igual que ST 3123).

MA 3163. Introducción al álgebra moderna. (3)

(Requisito previo: MA 3113 y MA 3053). Conferencia de tres horas. Anillos, dominios integrales y campos con especial énfasis en la teoría de polinomios de números enteros, números racionales, números reales y números complejos.

MA 3253. Ecuaciones diferenciales I. (3)

(Requisito: MA 2743 o registro conjunto en MA 2743). Origen y solución de ecuaciones diferenciales. Soluciones en serie. Aplicaciones de métodos de Transformada de Laplace.

MA 3353. Ecuaciones diferenciales II. (3)

(Requisito: MA 3253). Conferencia de tres horas. Sistemas de ecuaciones diferenciales representaciones matriciales serie infinita solución de ecuaciones diferenciales ordinarias funciones especiales seleccionadas problemas de valores en la frontera funciones ortogonales: series de Fourier.

MA 3463. Fundamentos de la geometría. (3)

(Requisito: MA 1723 y MA 3053). Conferencia de tres horas. La naturaleza estructural de la geometría métodos modernos en geometría: geometría finita.

MA 3513. Historia de las Matemáticas. (3)

(Prerequisite: MA 2733 or co-registration in MA 2733). Three hours lecture. A historical development of mathematicians and their most important contributions will be emphasized.

MA 4133/6133. Discrete Mathematics. (3)

(Prerequisites: MA 3163 or consent of instructor). Three hours lecture. Sets, relations, functions, combinatorics, review of group and ring theory, Burnside’s theorem, Polya’s counting theory, group codes, finite fields, cyclic codes, and error-correcting codes.

MA 4143/6143. Graph Theory. (3)

(Prerequisites: MA 3113 or consent of instructor). Three hours lecture. Basic concepts, graphs, and matrices, algebraic graph theory, planarity and nonplanarity, Hamiltonian graphs, digraphs, network flows, and applications.

MA 4153/6153. Matrices and Linear Algebra. (3)

(Prerequisites: MA 3113 and MA 3253). Three hours lecture. Linear transformations and matrices eigenvalues and similarity transformations linear functionals, bilinear and quadratic forms orthogonal and unitary transformations normal matrices applications of linear algebra.

MA 4163/6163. Group Theory. (3)

(Prerequisite: MA 3163 or consent of the instructor). Three hours lecture. Elementary properties: normal subgroups factor groups homomorphisms and isomorphisms Abelian groups Sylow theorems composition series solvable groups.

MA 4173/6173. Number Theory. (3)

(Prerequisite: MA 3113). Three hours lecture. Divisibility: congruences quadratic reciprocity Diophantine equations continued fractions.

MA 4213. Senior Seminar in Mathematics. (3)

(Prerequisites: MA 3163 and MA 3253 and MA 4633). Three hours lecture. Students explore topics in current mathematical research, write expository articles, and give oral presentations. Refinement of specialized writing skills needed for effective mathematical communication.

MA 4243/6243 Data Analysis I. (3)

(Prerequisite: MA 2743. Co-requisite: MA 3113). Three hours lecture. Data description and descriptive statistics, probability and probability distributions, parametric one-sample and two-sample inference procedures, simple linear regressions, one-way ANOVA. Use of SAS. (Same as ST 4243/6243.)

MA 4253/6253 Data Analysis II. (3)

(Prerequisites: MA 4243/6243 and MA 3113). Three hours lecture. Multiple linear regression fixed, mixed and random effect models block designs two-factor analysis of variance three-factor analysis of variance analysis of covariance. Use of SAS. (Same as ST 4253/6253.)

MA 4313/6313. Numerical Analysis I. (3)

(Prerequisites: CSE 1213, MA 3113, and MA 2743). Three hours lecture. Matrix operations error analysis norms of vectors and matrices transformations matrix functions numerical solutions of systems of linear equations stability matrix inversion eigenvalue problems approximations.

MA 4323/6323. Numerical Analysis II. (3)

(Prerequisites: CSE 1213 or equivalent. MA 3113 and MA 3253). Three hours lecture. Numerical solution of equations error analysis finite difference methods numerical differentiation and integration series expansions difference equations numerical solution of differential equations.

MA 4373/6373. Introduction to Partial Differential Equations. (3)

(Prerequisite: MA 3253). Three hours lecture. Linear operators: linear first order equations the wave equation Green’s function and Sturm-Liouville problems Fourier series the heat equation Laplace’s equation.

MA 4523/6523. Introduction to Probability. (3)

(Prerequisite: MA 2733). Three hours lecture. Basic concepts of probability, conditional probability, independence, random variables, discrete and continuous probability distributions, moment generating function, moments, special distributions, central limit theorem. (Same as ST 4523/6523).

MA 4533/6533. Introductory Probability and Random Processes. (3)

(Prerequisites: MA 3113 and MA 2743). Three hours lecture. Probability, law of large numbers, central limit theorem, sampling distributions, confidence intervals, hypothesis testing, linear regression, random processes, correlation functions, frequency and time domain analysis. (Credit can not be earned for this course and MA/ST 4523/6523.)

MA 4543/6543. Introduction to Mathematical Statistics I. (3)

(Prerequisite: MA 2743.) Three hours lecture. Combinatorics probability, random variables, discrete and continuous distributions, generating functions, moments, special distributions, multivariate distributions, independence, distributions of functions of random variables. (Same as ST 4543/6543.)

MA 4573/6573. Introduction to Mathematical Statistics II. (3)

(Prerequisite: MA 4543/6543.) Three hours lecture. Continuation of MA-ST 4543/6543. Transformations, sampling distributions, limiting distributions, point estimation, interval estimation, hypothesis testing, likelihood ratio tests, analysis of variance, regression, chi-square tests. (Same as ST 4573/6573.)

MA 4633/6633. Advanced Calculus I. (3)

(Prerequisite: MA 2743 and MA 3053). Three hours lecture. Theoretical investigation of functions limits differentiability and related topics in calculus.

MA 4643/6643. Advanced Calculus II. (3)

(Prerequisite: MA 4633/6633). Three hours lecture. Rigorous development of the definite integral sequences and series of functions convergence criteria improper integrals.

MA 4733/6733. Linear Programming. (3)

(Prerequisites: MA 3113). Three hours lecture. Theory and application of linear programming simplex algorithm, revised simplex algorithm, duality and sensitivity analysis, transportation and assignment problem algorithms, integer and goal programming. (Same as IE 4733/6733).

MA 4753/6753. Applied Complex Variables. (3)

(Prerequisite: MA 2743). Three hours lecture. Analytic functions: Taylor and Laurent expansions Cauchy theorems and integrals residues contour integration introduction to conformal mapping.

MA 4933/6933. Mathematical Analysis I. (3)

(Prerequisite: MA 4633/6633 or equivalent). Three hours lecture. Metric and topological spaces functions of bounded variation and differentiability in normed spaces.

MA 4943/6943. Mathematical Analysis II. (3)

(Prerequisite: MA 4933/6933). Three hours lecture. Riemann-Stieltjes integration, sequences and series of functions implicit function theorem multiple integration.

MA 4953/6953. Elementary Topology. (3)

(Prerequisite: MA 4633/6633). Three hours lecture. Definition of a topological space, metric space, continuity in metric spaces and topological spaces sequences accumulation points.

MA 6990 Special Topics in Mathematics. (1-9)

Credit and title to be arranged. This course is to be used on a limited basis to offer developing subject matter areas not covered in existing courses. (Courses limited to two offerings under one title within two academic years.)

MA 7000 Directed Individual Study in Mathematics. (1-6)

Hours and credits to be arranged.

MA 8000 Thesis Research/ Thesis in Mathematics: (1-13)

Hours and credits to be arranged.

MA 8113. Modern Higher Algebra I. (3)

(Prerequisite: MA 4163/6163). Three hours lecture. A study of the basic mathematical systems with emphasis on rings, fields, and vector spaces.

MA 8123. Modern Higher Algebra II. (3)

(Prerequisite: MA 8113). Three hours lecture. A continuation of the topics introduced in MA 8113.

MA 8203. Foundations of Applied Mathematics I. (3)

(Prerequisites: MA 3113, MA 3253 or consent of instructor.) Three hours lecture. Principles of applied mathematics including topics from perturbation theory, calculus of variations, and partial differential equations. Emphasis of applications from heat transfer, mechanics, fluids.

MA 8213. Foundations of Applied Mathematics II. (3)

(Prerequisite: MA 8203). Three hours lecture. A continuation of MA 8203 including topics from wave propagation, stability, and similarity methods.

MA 8253. Operational Mathematics. (3)

(Prerequisite: MA 4753/6753). Three hours lecture. Theory and applications of Laplace, Fourier, and other integral transformations: introduction to the theory of generalized functions.

*Courses numbered MA 8273, 8283, 8293 and 8313 have as prerequisites at least one of the courses MA 4633/6633, MA 4153/6153, 4753/6753.

MA 8273. Special Functions. (3)

Three hours lecture. Infinite products: asymptotic series origin and properties of the special functions of mathematical physics.

MA 8283. Calculus of Variations. (3)

Three hours lecture. Functionals: weak and strong extrema necessary conditions for extrema sufficient conditions for extrema constrained extrema direct methods applications.

MA 8293. Integral Equations. (3)

Three hours lecture. Equations of Fredholm type: symmetric kernels Hilbert-Schmidt theory singular integral equations applications selected topics.

MA 8313. Ordinary Differential Equations I. (3)

Three hours lecture. Linear systems of differential equations existence and uniqueness second order systems systems with constant coefficients periodic systems matrix comparison theorems applications and selected topics.

MA 8323. Ordinary Differential Equations II. (3)

(Prerequisite: MA 8313). Three hours lecture. Existence, uniqueness, continuation of solutions of nonlinear systems properties of solutions of linear and nonlinear equations including boundedness, oscillation, asymptotic behavior, stability, and periodicity application.

MA 8333. Partial Differential Equations I. (3)

(Prerequisite: MA 4373/6373 or consent of instructor). Three hours lecture. Solution techniques existence and uniqueness of solutions to elliptic, parabolic, and hyperbolic equations Green’s functions.

MA 8343. Partial Differential Equations II. (3)

(Prerequisite: MA 8333). Three hours lecture. A continuation of the topics introduced in MA 8333.

MA 8363. Numerical Solution of Systems of Nonlinear Equations. (3)

(Prerequisites: MA 4313/6313 and MA 4323/6323). Three hours lecture. Basic concepts in the numerical solution of systems of nonlinear equations with applications to unconstrained optimization.

MA 8383. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations I. (3)

(Prerequisites: MA 4313/6313 and MA 4323/6323). Three hours lecture. General single-step, multistep, multivalue, and extrapolation methods for systems of nonlinear equations convergence error bounds error estimates stability methods for stiff systems current literature.

MA 8443. Numerical Solution of Partial Differential Equations I. (3)

(Prerequisites: MA 4313/6313, MA 4323/6323, and MA 4373/6373 or consent of instructor). Three hours lecture. Basic concepts in the fi nite difference and fi nite element methods methods for parabolic, hyperbolic and elliptic equations analysis of stability and convergence.

MA 8453. Numerical Solution of Partial Differential Equations II. (3)

(Prerequisite: MA 8443). Three hours lecture. Methods for elliptic equations iterative procedures integral equation methods methods for hyperbolic equations stability dissipation and dispersion.

MA 8463. Numerical Linear Algebra. (3)

(Prerequisite: MA 4323/6323). Three hours lecture. Basic concepts of numerical linear algebra.

MA 8633. Real Analysis I. (3)

(Prerequisite: MA 4943/6943). Three hours lecture. Lebesgue measure and Lebesgue integrals convergence theorems, differentiation and L spaces.

MA 8643. Real Analysis II. (3)

(Prerequisite: MA 8633). Three hours lecture. General measures the Radon-Nikodym theorem and other topics.

MA 8663. Functional Analysis I. (3)

(Prerequisite: MA 8643). Three hours lecture. Hilbert spaces Banach spaces locally convex spaces Hahn-Banach and closed graph theorems principle of uniform boundedness weak topologies.

MA 8673. Functional Analysis II. (3)

(Prerequisite: MA 8663). Three hours lecture. Continuation of topics introduced in MA 8663.

MA 8713. Complex Analysis I. (3)

(Prerequisite MA 4943/6943 or consent of instructor). Three hours lecture. Complex numbers: functions of a complex variable continuity differentiation and integration of complex functions transformations in the complex plane.

MA 8723. Complex Analysis II. (3)

(Prerequisite: MA 8713). Three hours lecture. Series analytic continuation Riemann surfaces theory of residues.

MA 8913. Introduction to Topology I. (3)

(Prerequisite: MA 4643/6643 or MA 4953/6953). Three hours lecture. Basic general topology introduction of homotopy and homology groups.

MA 8923. Introduction to Topology II. (3)

(Prerequisite: MA 8913). Three hours lecture. Continuation of topics introduced in MA 8913.

MA 8981. Teaching Seminar. (1)

One hour lecture. Preparation for service as instructors in mathematics and statistics courses includes practice lectures and exam preparation. (May be taken for credit more than once.)

MA 8990 Special Topics in Mathematics: (1-9)

Credit and title to be arranged. This course is to be used on a limited basis to offer developing subject matter areas not covered in existing courses. (Courses limited to two offerings under one title within two academic years.)

MA 9000 Dissertation Research /Dissertation in Mathematics. (1-13)

Hours and credits to be arranged.

MA 9313. Selected Topics in Ordinary Differential Equations. (3)

(Prerequisite: MA 8313 and consent of instructor). (May be taken for credit more than once). Three hours lecture. Topics to be chosen from such areas as Bifurcation Theory, Biological Modeling, Control Theory, Dynamical Systems, Functional Differential Equations, Nonlinear Oscillations, and Quantitative Behavior.

MA 9333. Selected Topics in Partial Differential Equations. (3)

(Prerequisite: MA 8333 and consent of instructor). (May be taken for credit more than once). Three hours lecture. Topics to be chosen from such areas as Bifurcation Theory, Boundary Integral Methods, Evolution Equations, Maximum and Variational Principles, and Spectral Methods.

MA 9413. Selected Topics in Numerical Analysis. (3)

(Prerequisite: Consent of instructor). (May be taken for credit more than once). Three hours lecture. Current topics in Numerical Analysis. The subject matter may vary from year to year.

MA 9633. Selected Topics in Analysis. (3)

(Prerequisite: MA 8643 and consent of instructor). (May be taken for credit more than once). Three hours lecture. Topics will be chosen from areas of analysis of current interest.


Ver el vídeo: Introducción a la Teoría de la medida de Lebesgue II, Conceptos, teoremas y propiedades demostradas (Octubre 2021).