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8: Más funciones - Matemáticas


Miniatura: funciones periódicas. (CC BY-NC-SA; OpenStax)


Funciones más complicadas: introducción a las funciones lineales

Esta lección está diseñada para presentar a los estudiantes la idea de funciones compuestas por dos operaciones, con especial atención a las funciones lineales y sus representaciones como reglas y tablas de datos, incluidas las nociones matemáticas de variables independientes y dependientes.

Esta lección asume que el estudiante ya está familiarizado con el material de la lección Introducción a las funciones. Estas actividades se pueden realizar individualmente o en equipos de hasta cuatro estudiantes. Permita de 2 a 3 horas de clase para toda la lección si todas las partes se hacen en clase.

Objetivos

  • han sido introducidos a funciones
  • han aprendido la terminología utilizada con funciones lineales
  • Haber practicado la descripción de funciones lineales en oraciones en inglés, tablas de datos y con expresiones algebraicas simples.

Estándares abordados:

  • Funciones y relaciones
    • El estudiante demuestra comprensión conceptual de funciones, patrones o secuencias, incluidos los representados en situaciones del mundo real.
    • El estudiante demuestra pensamiento algebraico.
    • Funciones y relaciones
      • El estudiante demuestra comprensión conceptual de funciones, patrones o secuencias.
      • El estudiante demuestra pensamiento algebraico.
      • Funciones y relaciones
        • El estudiante demuestra comprensión conceptual de funciones, patrones o secuencias, incluidos los representados en situaciones del mundo real.
        • El estudiante demuestra pensamiento algebraico.
        • Funciones y relaciones
          • El estudiante demuestra comprensión conceptual de funciones, patrones o secuencias, incluidos los representados en situaciones del mundo real.
          • El estudiante demuestra pensamiento algebraico.
          • Funciones y relaciones
            • El estudiante demuestra comprensión conceptual de funciones, patrones o secuencias, incluidos los representados en situaciones del mundo real.
            • El estudiante demuestra pensamiento algebraico.
            • Expresiones y ecuaciones
              • Comprender las conexiones entre relaciones proporcionales, rectas y ecuaciones lineales.
              • Analizar y resolver ecuaciones lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas.
              • Definir, evaluar y comparar funciones.
              • Usa funciones para modelar relaciones entre cantidades.
              • Funciones de construcción
                • Construye una función que modele una relación entre dos cantidades.
                • Construya nuevas funciones a partir de funciones existentes
                • Comprender el concepto de función y utilizar la notación de función.
                • Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto.
                • Analizar funciones usando diferentes representaciones
                • Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas.
                • Interpretar expresiones para funciones en términos de la situación que modelan
                • Álgebra
                  • Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas utilizando símbolos algebraicos.
                  • Comprender patrones, relaciones y funciones.
                  • Álgebra
                    • Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas utilizando símbolos algebraicos.
                    • Comprender patrones, relaciones y funciones.
                    • Utilizar modelos matemáticos para representar y comprender relaciones cuantitativas.
                    • Álgebra
                      • Objetivo de competencia 4: El alumno utilizará relaciones y funciones para resolver problemas.
                      • Álgebra
                        • Objetivo de competencia 4: El alumno utilizará relaciones y funciones para resolver problemas.
                        • Números y operaciones, medición, geometría, análisis de datos y probabilidad, álgebra
                          • OBJETIVO DE COMPETENCIA 5: El alumno demostrará una comprensión de las relaciones lineales y los conceptos algebraicos fundamentales.
                          • Números y operaciones, medición, geometría, análisis de datos y probabilidad, álgebra
                            • OBJETIVO DE COMPETENCIA 5: El alumno comprenderá y utilizará relaciones y funciones lineales.
                            • Álgebra
                              • OBJETIVO DE COMPETENCIA 4: El alumno comprenderá y utilizará relaciones y funciones lineales.
                              • OBJETIVO DE COMPETENCIA 5: El alumno comprenderá y utilizará relaciones y funciones lineales.
                              • Álgebra
                                • El estudiante demostrará a través de los procesos matemáticos una comprensión de la escritura, la interpretación y el uso de expresiones, ecuaciones y desigualdades matemáticas.
                                • Álgebra
                                  • El estudiante demostrará a través de los procesos matemáticos una comprensión de ecuaciones, desigualdades y funciones lineales.
                                  • Álgebra elemental
                                    • Estándar EA-1: El estudiante comprenderá y utilizará los procesos matemáticos de resolución de problemas, razonamiento y prueba, comunicación, conexiones y representación.
                                    • Estándar EA-2: El estudiante demostrará a través de los procesos matemáticos una comprensión del sistema de números reales y las operaciones que involucran exponentes, matrices y expresiones algebraicas.
                                    • Estándar EA-4: El estudiante demostrará a través de los procesos matemáticos una comprensión de los procedimientos para escribir y resolver ecuaciones lineales y desigualdades.
                                    • Estándar EA-5: El estudiante demostrará a través de los procesos matemáticos una comprensión de las gráficas y características de ecuaciones lineales y desigualdades.
                                    • Probabilidades y estadísticas
                                      • 7.17 El estudiante, dada una situación problemática, recopilará, analizará, mostrará e interpretará datos, utilizando una variedad de métodos gráficos, incluidas distribuciones de frecuencia, diagramas de líneas, histogramas, diagramas de tallo y hojas, diagramas de caja y bigotes y diagramas de dispersión.
                                      • 7.17 El estudiante, dada una situación problemática, recopilará, analizará, mostrará e interpretará datos, utilizando una variedad de métodos gráficos, que incluyen
                                      • Álgebra II
                                        • AII.09 El estudiante hallará el dominio, rango, ceros e inverso de una función, el valor de una función para un elemento dado en su dominio y la composición de múltiples funciones. Las funciones incluirán exponenciales, logarítmicas y aquellas que tienen dominios y rangos que son limitados y / o discontinuos. La calculadora gráfica se utilizará como herramienta para ayudar en la investigación de funciones.
                                        • AII.12 El alumno representará situaciones problemáticas con un sistema de ecuaciones lineales y resolverá el sistema, utilizando el método de la matriz inversa. Se utilizarán calculadoras gráficas o programas de computadora con capacidad matricial para realizar cálculos.
                                        • AII.13 El alumno resolverá problemas prácticos, utilizando sistemas de desigualdades lineales y programación lineal, y describirá los resultados tanto de forma oral como escrita. Se utilizará una calculadora gráfica para facilitar la solución de problemas de programación lineal.
                                        • AII.9
                                        • AII.12
                                        • AII.13

                                        Requisitos previos del estudiante

                                        • Aritmética: El estudiante debe poder:
                                          • realizar aritmética de números enteros y fraccionarios
                                          • realizar manipulaciones básicas del mouse como apuntar, hacer clic y arrastrar
                                          • utilizar un navegador para experimentar con las actividades
                                          • trabajar con funciones simples que tienen una sola operación

                                          Preparación del maestro

                                          • Acceso a un navegador
                                          • lápiz y papel
                                          • Copias de materiales complementarios para las actividades:
                                            • Preguntas de exploración de máquinas de función lineal

                                            Términos clave

                                            interceptarVer intersección con el eje x o intersección con el eje y
                                            función linealUna función de la forma f (x) = mx + b donde myb son algunos números fijos. Los nombres "m" y "b" son tradicionales. Las funciones de este tipo se denominan "lineales" porque sus gráficos son líneas rectas.
                                            pendiente de una función linealLa pendiente de la recta y = mx + b es la tasa a la que y está cambiando por unidad de cambio en x. Las unidades de medida de la pendiente son unidades de y por unidad de x (cf. Discusión de funciones lineales).

                                            Esquema de la lección

                                            Recuerde a los alumnos lo que han aprendido en lecciones anteriores que será pertinente para esta lección y / o pídales que comiencen a pensar en las palabras y las ideas de esta lección.

                                            • ¿Quién recuerda qué es una función?
                                            • ¿Alguien puede darme un ejemplo de una función?
                                            • ¿Alguien puede darme un ejemplo de algo que no sea una función?

                                            Hágales saber a los estudiantes qué es lo que harán y aprenderán hoy. Di algo como esto:

                                            • Hoy, clase, vamos a aprender más sobre las funciones. Vamos a usar las computadoras para aprender más sobre las funciones, pero por favor no enciendan sus computadoras hasta que yo se lo pida.
                                            • Primero quiero mostrarte un poco sobre esta actividad.
                                            • Haga que los estudiantes practiquen "bombear" algunas de estas funciones más complicadas a mano llenando algunas tablas. Dales algunas funciones en inglés, algunas como tablas y otras como álgebra. Pídales que escriban las funciones en todas las formas. Por ejemplo:
                                              1. Encuentra la función que suma uno y luego multiplica el resultado por 2
                                              2. y = 4 - x / 2
                                              3. X-2-1012
                                                y-7-4-125
                                                Nota: La regla de función para estas funciones más complicadas puede ser mucho más difícil de adivinar a partir de la tabla de datos.
                                            • Dirija una discusión sobre funciones de la forma especial y = ___ * x + ___.
                                            • Haga que los estudiantes practiquen sus habilidades de funciones lineales usando la máquina de funciones lineales. Asegúrese de que los estudiantes registren cuántos números necesitaban mirar antes de adivinar correctamente la estructura de la función. Pídales que escriban las funciones con las que trabajaron de tres maneras:
                                              • Frase inglesa
                                              • Tabla de valores
                                              • Regla algebraica
                                              • Es posible que desee volver a reunir a la clase para discutir los hallazgos. Una vez que se les haya permitido a los estudiantes compartir lo que encontraron, resuma los resultados de la lección.

                                              Esquema alternativo

                                              • Omita la información sobre funciones más complicadas, discutiendo solo funciones de la forma y = mx + b.
                                              • Agregue un concurso de "nombrar esa función" (modelado en nombre de esa melodía) en el que equipos de estudiantes compiten para descubrir la función. Aquí hay un conjunto de posibles reglas para tal juego:
                                                • Muestre dos pares de entrada / salida a ambos equipos: dos estudiantes en un equipo funcionan muy bien.
                                                • Haga que cada equipo indique cuántas parejas más creen que necesitarían ver para "nombrar esa función". El equipo que afirma tener la menor cantidad de pares necesarios va primero.
                                                • Si un equipo adivina mal, el otro equipo puede intentarlo, después de ver un par más. Los equipos alternan turnos hasta que uno adivina correctamente.

                                                Seguimiento sugerido

                                                Después de estas discusiones y actividades, los estudiantes tendrán una comprensión intuitiva de las funciones y habrán visto muchos ejemplos de funciones lineales. La siguiente lección Graficar y el plano de coordenadas introducirá a los estudiantes a trazar puntos en el plano de coordenadas.


                                                2. Notación de funciones

                                                Notación de funciones le dice que la ecuación con la que está trabajando cumple con la definición de función.
                                                La notación de función más común que verá es f (x), que se lee en voz alta como & # 8220f de x & # 8221.

                                                Se utiliza & # 8220f (x) & # 8221 en lugar de & # 8220y & # 8221 en una fórmula Significan exactamente lo mismo. Por ejemplo, en lugar del más familiar y = 2x, verá f (x) = 2x. No hay ninguna diferencia entre las dos fórmulas, aparte de la notación diferente.

                                                Cualquier letra se puede utilizar en lugar de f (consulte los nombres de las funciones a continuación). Por ejemplo:


                                                8: Más funciones - Matemáticas


                                                Soporte bajo demanda

                                                800-863-3496, opc. 1, opc. 1
                                                Lunes a viernes de 6:00 a. M. A 10:00 p. M.
                                                O envíenos un correo electrónico: [email protected]

                                                Recursos

                                                Información adicional


                                                Servicios tecnológicos

                                                Oficina de Seguridad de la UEN
                                                801-585-9888

                                                Centro de soporte de servicios técnicos (TSSC)
                                                800-863-3496
                                                Directorio de Personal

                                                Proyectos

                                                Grupos de red

                                                Herramientas de red

                                                Información

                                                Centro de Radiodifusión Eccles
                                                101 Wasatch Drive
                                                Salt Lake City, UT 84112

                                                (800) 866-5852
                                                (801) 585-6105 (fax)

                                                Gobernanza UEN

                                                Administración
                                                (801) 585-6013
                                                Organigráma

                                                Servicios de instrucción
                                                (800) 866-5852
                                                Organigráma

                                                Servicios técnicos
                                                (800) 863-3496
                                                Organigráma

                                                (1) Los estudiantes usan ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales para representar, analizar y resolver una variedad de problemas. Los estudiantes reconocen ecuaciones para proporciones (y/X = metro o y = mx) como ecuaciones lineales especiales (y = mx + B), entendiendo que la constante de proporcionalidad (metro) es la pendiente y las gráficas son líneas que pasan por el origen. Entienden que la pendiente (metro) de una línea es una tasa de cambio constante, de modo que si la entrada o X-coordinar cambios por una cantidad A, la salida o y-coordinar cambios por la cantidad m & middotA. Los estudiantes también usan una ecuación lineal para describir la asociación entre dos cantidades en datos bivariados (como la amplitud de los brazos frente a la altura para los estudiantes en un aula). En este grado, el ajuste del modelo y la evaluación de su ajuste a los datos se realizan de manera informal. La interpretación del modelo en el contexto de los datos requiere que los estudiantes expresen una relación entre las dos cantidades en cuestión e interpreten los componentes de la relación (como pendiente y y-intercepción) en términos de la situación.

                                                Los estudiantes eligen estratégicamente e implementan de manera eficiente procedimientos para resolver ecuaciones lineales en una variable, entendiendo que cuando usan las propiedades de igualdad y el concepto de equivalencia lógica, mantienen las soluciones de la ecuación original. Los estudiantes resuelven sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables y relacionan los sistemas con pares de líneas en el plano que se cruzan, son paralelas o son la misma línea. Los estudiantes usan ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales, funciones lineales y su comprensión de la pendiente de una línea para analizar situaciones y resolver problemas.

                                                (2) Los estudiantes comprenden el concepto de función como una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. Entienden que las funciones describen situaciones en las que una cantidad determina a otra. Pueden traducir entre representaciones y representaciones parciales de funciones (teniendo en cuenta que las representaciones tabulares y gráficas pueden ser representaciones parciales) y describen cómo los aspectos de la función se reflejan en las diferentes representaciones.

                                                (3) Los estudiantes usan ideas sobre distancia y ángulos, cómo se comportan bajo traslaciones, rotaciones, reflejos y dilataciones, e ideas sobre congruencia y similitud para describir y analizar figuras bidimensionales y resolver problemas. Los estudiantes muestran que la suma de los ángulos en un triángulo es el ángulo formado por una línea recta, y que varias configuraciones de líneas dan lugar a triángulos similares debido a los ángulos creados cuando una transversal corta líneas paralelas. Los estudiantes comprenden el enunciado del Teorema de Pitágoras y su inverso, y pueden explicar por qué el Teorema de Pitágoras es válido, por ejemplo, al descomponer un cuadrado de dos formas diferentes. Aplican el Teorema de Pitágoras para encontrar distancias entre puntos en el plano de coordenadas, encontrar longitudes y analizar polígonos. Los estudiantes completan su trabajo de volumen resolviendo problemas que involucran conos, cilindros y esferas.

                                                Estándares básicos del curso

                                                Tema: PRÁCTICAS MATEMÁTICAS (8.MP)
                                                Los Estándares para la práctica matemática en octavo grado describen hábitos mentales matemáticos que los maestros deben buscar desarrollar en sus estudiantes. Los estudiantes adquieren un dominio matemático para participar en el contenido y los conceptos matemáticos a medida que aprenden, experimentan y aplican estas habilidades y actitudes (Estándares 8.MP.1 8).

                                                Estándar 8.MP.1
                                                Dar sentido a los problemas y perseverar en resolverlos. Explica el significado de un problema y busca puntos de entrada a su solución. Analice los datos, las limitaciones, las relaciones y los objetivos. Haga conjeturas sobre la forma y el significado de la solución, planifique una ruta de solución y monitoree continuamente el progreso preguntando: "¿Tiene sentido?" Considere problemas análogos, haga conexiones entre múltiples representaciones, identifique la correspondencia entre diferentes enfoques, busque tendencias y transforme expresiones algebraicas para resaltar las matemáticas significativas. Verifique las respuestas a los problemas utilizando un método diferente.

                                                Estándar 8.MP.2
                                                Razonar de forma abstracta y cuantitativa. Dar sentido a las cantidades y sus relaciones en situaciones problemáticas. Traducir entre contexto y representaciones algebraicas contextualizando y descontextualizando relaciones cuantitativas. Esto incluye la capacidad de descontextualizar una situación dada, representándola algebraicamente y manipulando símbolos con fluidez, así como la capacidad de contextualizar representaciones algebraicas para darle sentido al problema.

                                                Estándar 8.MP.3
                                                Construya argumentos viables y critique el razonamiento de otros. Comprender y utilizar supuestos establecidos, definiciones y resultados previamente establecidos al construir argumentos. Haga conjeturas y construya una progresión lógica de declaraciones para explorar la verdad de sus conjeturas. Justifica las conclusiones y comunícalas a los demás. Responda a los argumentos de los demás escuchando, haciendo preguntas aclaratorias y criticando el razonamiento de los demás.

                                                Estándar 8.MP.4
                                                Modelo con matemáticas. Aplicar las matemáticas para resolver problemas que surgen en la vida cotidiana, la sociedad y el lugar de trabajo. Hacer suposiciones y aproximaciones, identificando cantidades importantes para construir un modelo matemático. Interprete de forma rutinaria los resultados matemáticos en el contexto de la situación y reflexione sobre si los resultados tienen sentido, posiblemente mejorando el modelo si no ha cumplido su propósito.

                                                Estándar 8.MP.5
                                                Utilice las herramientas adecuadas de forma estratégica. Considere las herramientas disponibles y familiarícese lo suficiente con ellas para tomar decisiones acertadas sobre cuándo cada herramienta podría ser útil, reconociendo tanto la información que se debe obtener como las limitaciones. Identificar recursos matemáticos externos relevantes y utilizarlos para plantear o resolver problemas. Utilice herramientas para explorar y profundizar su comprensión de conceptos.

                                                Estándar 8.MP.6
                                                Preste atención a la precisión. Comunicarse con precisión con los demás. Utilice definiciones explícitas en la discusión con otros y en su propio razonamiento. Indican el significado de los símbolos que eligen. Especifique unidades de medida y etiquete los ejes para aclarar la correspondencia con las cantidades en un problema. Calcule con precisión y eficiencia, exprese respuestas numéricas con un grado de precisión apropiado para el contexto del problema.

                                                Estándar 8.MP.7
                                                Busque y aproveche la estructura. Observe de cerca las relaciones matemáticas para identificar la estructura subyacente reconociendo una estructura simple dentro de una estructura más complicada. Ver cosas complicadas, como algunas expresiones algebraicas, como objetos individuales o compuestas por varios objetos. Por ejemplo, vea 5 3 (x y) 2 como 5 menos un número positivo multiplicado por un cuadrado y utilícelo para darse cuenta de que su valor no puede ser mayor que 5 para cualquier número real x e y.

                                                Estándar 8.MP.8
                                                Busque y exprese regularidad en razonamientos repetidos. Observe si el razonamiento se repite y busque tanto generalizaciones como atajos. Evalúe la razonabilidad de los resultados intermedios manteniendo la supervisión del proceso mientras presta atención a los detalles.

                                                Cadena: SISTEMA DE NÚMEROS (8.NS)
                                                Saber que hay números que no son racionales y aproximarlos mediante números racionales (Norma 8.NS.1 3).

                                                Estándar 8.NS.1
                                                Sepa que los números que no son racionales se llaman irracionales. Comprender informalmente que cada número tiene una expansión decimal para los números racionales, mostrar que la expansión decimal se repite eventualmente y convertir una expansión decimal que eventualmente se repite en un número racional.

                                                Estándar 8.NS.2
                                                Usar aproximaciones racionales de números irracionales para comparar el tamaño de números irracionales, ubicarlos aproximadamente en un diagrama de recta numérica y estimar el valor de expresiones (p. Ej., & Pi 2). Por ejemplo, al truncar la expansión decimal de & radic2, muestre que & radic2 está entre 1 y 2, luego entre 1.4 y 1.5, y explique cómo continuar para obtener mejores aproximaciones.

                                                Estándar 8.NS.3
                                                Comprender cómo realizar operaciones y simplificar radicales con énfasis en raíces cuadradas.

                                                Línea: EXPRESIONES Y ECUACIONES (8.EE)
                                                Trabajar con exponentes enteros y radicales (Estándares 8.EE.1 4). Comprender las conexiones entre relaciones proporcionales, líneas y relaciones lineales (Estándares 8.EE.5 6). Analizar y resolver ecuaciones y desigualdades lineales y pares de ecuaciones lineales simultáneas (Estándares 8.EE.7 8).

                                                1. Da ejemplos de ecuaciones lineales en una variable con una solución, infinitas soluciones o ninguna solución. Demuestre cuál de estas posibilidades es el caso transformando sucesivamente la ecuación dada en formas más simples, hasta obtener una ecuación equivalente de la forma X = a, a = a, o a = B resultados (donde a y B son números diferentes).
                                                2. Resolver ecuaciones lineales de una sola variable y desigualdades con coeficientes de números racionales, incluidas ecuaciones y desigualdades cuyas soluciones requieren la expansión de expresiones utilizando la propiedad distributiva y la recopilación de términos semejantes.
                                                3. Resolver ecuaciones de valor absoluto de una variable.
                                                1. Entender que las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables corresponden a puntos de intersección de sus gráficas, porque los puntos de intersección satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.
                                                2. Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables de forma gráfica, aproximando cuando las soluciones no son números enteros y estimar las soluciones graficando las ecuaciones. Resuelva casos sencillos mediante inspección. Por ejemplo, 3x + 2y = 5 y 3x + 2y = 6 no tengo solución porque 3x + 2 años no puede ser simultáneamente 5 y 6.
                                                3. Resolver problemas matemáticos y del mundo real que conducen a dos ecuaciones lineales en dos variables gráficamente. Por ejemplo, dadas las coordenadas de dos pares de puntos, determine si la línea que atraviesa el primer par de puntos se cruza con la línea que atraviesa el segundo par.

                                                Hebra: FUNCIONES (8.F)
                                                Definir, evaluar y comparar funciones (Estándares 8.F.1 3). Usar funciones para modelar relaciones entre cantidades (Estándares 8.F.4 5).

                                                Estándar 8.F.1
                                                Comprenda que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consta de una entrada y la salida correspondiente. (La notación de funciones no se requiere en el grado 8.)

                                                Estándar 8.F.2
                                                Compare las propiedades de dos funciones, cada una representada de una manera diferente (algebraica, gráfica, numéricamente en tablas o por descripciones verbales). Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determine qué función tiene la mayor tasa de cambio.

                                                Estándar 8.F.3
                                                Interpreta la ecuación y = mx + b como definir una función lineal, cuya gráfica es una línea recta, dan ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s 2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de sus lados no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1,1), (2,4) y (3,9), que no están en línea recta.

                                                Estándar 8.F.4
                                                Construya una función para modelar una relación lineal entre dos cantidades. Determine la tasa de cambio y el valor inicial de la función a partir de una descripción de una relación o de dos (x, y) valores, incluida la lectura de estos de una tabla o de un gráfico. Interprete la tasa de cambio y el valor inicial de una función lineal en términos de la situación que modela y en términos de su gráfica o tabla de valores.

                                                Estándar 8.F.5
                                                Describe cualitativamente la relación funcional entre dos cantidades analizando un gráfico (por ejemplo, donde la función es creciente o decreciente, lineal o no lineal). Dibuje un gráfico que muestre las características cualitativas de una función que se ha descrito verbalmente.

                                                Hebra: GEOMETRÍA (8.G)
                                                Comprender la congruencia y la similitud utilizando modelos físicos, transparencias o software de geometría (Estándares 8.G.1 5). Comprender y aplicar el Teorema de Pitágoras y su inverso (Estándares 8.G.6 8). Resolver problemas matemáticos y del mundo real que involucren el volumen de cilindros, conos y esferas (Estándar 8.G.9).

                                                1. Las líneas se llevan a líneas y los segmentos de línea a segmentos de línea de la misma longitud.
                                                2. Los ángulos se toman a ángulos de la misma medida.
                                                3. Las líneas paralelas se llevan a las líneas paralelas.

                                                Tema: ESTADÍSTICAS Y PROBABILIDAD (8.SP)
                                                Investigar patrones de asociación en datos bivariados (Estándares 8.SP.1 4).

                                                Estándar 8.SP.1
                                                Construya e interprete diagramas de dispersión para datos de medición bivariados para investigar patrones de asociación entre dos cantidades. Describa patrones como agrupamiento, valores atípicos, asociación positiva o negativa, asociación lineal y asociación no lineal.

                                                Estándar 8.SP.2
                                                Sepa que las líneas rectas se utilizan ampliamente para modelar relaciones entre dos variables cuantitativas. Para diagramas de dispersión que sugieran una asociación lineal, ajuste informalmente una línea recta y evalúe informalmente el ajuste del modelo juzgando la cercanía de los puntos de datos a la línea.

                                                Estándar 8.SP.3
                                                Utilice la ecuación de un modelo lineal para resolver problemas en el contexto de datos de medición bivariados, interpretando la pendiente y la intersección. Por ejemplo, en un modelo lineal para un experimento de biología, interprete una pendiente de 1,5 cm / h en el sentido de que una hora adicional de luz solar cada día se asocia con 1,5 cm adicionales de altura de planta madura. (No se espera calcular ecuaciones para un modelo lineal en el grado 8.)

                                                Estándar 8.SP.4
                                                Comprenda que los patrones de asociación también se pueden ver en datos categóricos bivariados mostrando frecuencias y frecuencias relativas en una tabla de dos factores. Construya e interprete una tabla de dos factores que resuma los datos de dos variables categóricas recopiladas de los mismos sujetos. Utilice frecuencias relativas calculadas para filas o columnas para describir la posible asociación entre las dos variables. Por ejemplo, recopile datos de los estudiantes de su clase sobre si tienen o no toque de queda en las noches escolares y si han asignado o no tareas en casa. ¿Existe evidencia de que quienes tienen toque de queda también tienden a tener quehaceres domésticos?

                                                Estos materiales han sido producidos por y para los maestros del estado de Utah. Las copias de estos materiales se pueden reproducir libremente para uso del maestro y del aula. Al distribuir estos materiales, se debe dar crédito a la Junta de Educación del Estado de Utah. Estos materiales no pueden publicarse, en su totalidad o en parte, o en cualquier otro formato, sin el permiso por escrito de la Junta de Educación del Estado de Utah, 250 East 500 South, PO Box 144200, Salt Lake City, Utah 84114-4200.


                                                Solución

                                                Podemos encontrar cuáles de los puntos dados están en la línea $ y = 2x + 1 $ al ver si las coordenadas $ x $ y $ y $ satisfacen la ecuación. Para el primer punto, con $ y = 1 $ y $ x = 0 $, vemos

                                                lo cual es cierto, por lo que el punto $ (0,1) $ está en la línea. Sin embargo, para $ (2, -1) $, al sustituir $ x = 2 $ y $ y = -1 $, tenemos

                                                y entonces $ (2, -1) $ no está en la línea.

                                                Continuando de esta manera, vemos que $ (0,1), (2,5), (1 / 2,2) $ y $ (- 1, -1) $ son puntos en la línea y $ (2, - 1) $ y $ (. 5,1) $ no son puntos en la línea.

                                                Podemos encontrar tres puntos más eligiendo arbitrariamente el valor de $ x $ y usando la ecuación de la línea para encontrar los valores correspondientes de $ y $: $ (- 2, -3), (1, 3), (-1/2 , 0) $.

                                                Al elegir valores $ x $ arbitrarios, como $ x = 0 $, $ x = 1 $, $ x = 2 $, $ x = -1 $ y $ x = -2 $, encontramos los correspondientes $ y $ valores y tienen varios puntos que se encuentran en la gráfica de la función:

                                                Al trazar estos puntos, llegamos al siguiente gráfico:

                                                Una función lineal se puede escribir en la forma $ y = mx + b $, y esta ecuación no se escribe en esa forma. Podríamos preguntarnos si podría escribirse de esa forma utilizando algún truco inteligente en el que aún no hemos pensado. Si fuera una función lineal, su gráfica sería una línea recta. La gráfica de $ y = 2x ^ 2 + 1 $ contiene los cinco puntos anteriores, y estos cinco puntos no se encuentran en una línea. Por tanto, no es una función lineal.

                                                A continuación se muestra una lista de diferencias entre estas dos funciones. Las posibles respuestas pueden incluir algunas, todas o más diferencias.

                                                • El primer gráfico es una línea recta, el segundo gráfico es una curva.
                                                • El término $ x $ se eleva al cuadrado en la segunda función y no en la primera.
                                                • La primera función tiene valores $ y $ negativos y positivos, y la segunda función nunca tendrá valores $ y $ negativos.
                                                • A medida que $ x $ aumenta en cantidades iguales, los valores de $ y $ en la primera función también aumentan en cantidades iguales (la tasa de cambio es constante) pero los valores de $ y $ de la segunda función aumentan en cantidades cada vez mayores (tasa de cambio está aumentando) a medida que $ | x | $ aumenta.
                                                • La primera función tiene una pendiente constante (pendiente). La pendiente de la segunda función cambia.
                                                • La segunda función es simétrica con respecto al eje $ y $, y la primera función no lo es.
                                                • La primera función cruza el eje $ x $ (en $ (- 1 / 2,0) $), y la segunda función nunca cruza el eje $ x $.
                                                • Cada valor $ y $ en la primera función tiene exactamente un valor $ x $. En la segunda función, la mayoría de los valores $ y $ tienen 2 posibles valores $ x $ (ejemplo: $ (- 2,9) $ y $ (2,9) $ ambos se encuentran en el segundo gráfico).

                                                & ltQtCore / qmath.h & gt - Funciones matemáticas

                                                Devuelve el arcocoseno de v como un ángulo en radianes. El arcocoseno es la operación inversa del coseno.

                                                Qreal qAsin (qreal v)

                                                Devuelve el arcoseno de v como un ángulo en radianes. Arcsine es la operación inversa del seno.

                                                Qreal qAtan2 (qreal y, qreal X)

                                                Devuelve la arcotangente de un punto especificado por las coordenadas. y y X. Esta función devolverá el ángulo (argumento) de ese punto.

                                                Qreal qAtan (qreal v)

                                                Devuelve el arcotangente de v como un ángulo en radianes. Arctangent es la operación inversa de la tangente.

                                                Int qCeil (qreal v)

                                                Devuelve el techo del valor v.

                                                El techo es el número entero más pequeño que no es menor que v. Por ejemplo, si v es 41,2, entonces el techo es 42.

                                                Qreal qCos (qreal v)

                                                Devuelve el coseno de un ángulo. v en radianes.

                                                Qreal qExp (qreal v)

                                                Devuelve la función exponencial de e elevado a la potencia de v.

                                                Int qFloor (qreal v)

                                                Devuelve el piso del valor v.

                                                El piso es el entero más grande que no es mayor que v. Por ejemplo, si v es 41.2, entonces el piso es 41.

                                                Qreal qLn (qreal v)

                                                Devuelve el logaritmo natural de v. El logaritmo natural usa la base e.

                                                Qreal qPow (qreal X, qreal y)

                                                Devuelve el valor de X elevado al poder de y. Es decir, X es la base y y es el exponente.

                                                Qreal qSin (qreal v)

                                                Devuelve el seno del ángulo. v en radianes.

                                                Qreal qSqrt (qreal v)

                                                Devuelve la raíz cuadrada de v. Esta función devuelve un NaN si v es un número negativo.

                                                Qreal qTan (qreal v)

                                                Devuelve la tangente de un ángulo. v en radianes.

                                                © 2016 The Qt Company Ltd. Las contribuciones a la documentación incluidas en este documento son propiedad intelectual de sus respectivos propietarios. La documentación proporcionada en este documento está autorizada según los términos de la licencia de documentación libre GNU versión 1.3 publicada por la Free Software Foundation. Qt y los logotipos respectivos son marcas comerciales de The Qt Company Ltd. en Finlandia y / o en otros países del mundo. El resto de marcas registradas son propiedad de sus respectivos propietarios.


                                                Más problemas sobre el rango de funciones

                                                ¿Cuál es el rango de f (x) = x 3 & # xa0?

                                                Elija <-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4> como su dominio. Los pares ordenados son

                                                (-4, -64), (-3, -27), & # xa0 (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8), & # xa0 (3, 27), (4, 64)

                                                Observe que cuando los números del dominio son positivos, los números del rango son positivos. Además, cuando los números del dominio son negativos, los números del rango también son negativos. & # Xa0

                                                El rango es f (x) & # 8805 0 of (x) ¿Cuál es el rango de f (x) = 1 / x & # xa0?

                                                Tenga en cuenta que podemos elegir cualquier número en el dominio excepto 0

                                                Sin embargo, podemos elegir cualquier número lo más cercano posible a 0, o el número puede ser muy grande.

                                                Suponga que los números del dominio son positivos. ¿Qué sucede cuando los números en el dominio están cada vez más cerca de 0, como cuando x = & # xa00.00001 ox = 0.0000001?

                                                Los números en el rango serán cada vez más grandes.

                                                ¿Qué sucede cuando los números del dominio son muy grandes, como 100.000 o 100.000.000?

                                                Los números en el rango serán cada vez más pequeños, pero nunca serán cero.

                                                Hasta ahora, cuando el dominio es positivo, el rango es f (x) & gt 0

                                                Se puede usar una lógica similar cuando los números del dominio son negativos. Cuando x está cada vez más cerca de 0, como cuando x & # xa0 = & # xa0-0.00001 o & # xa0x = -0.0000001?

                                                Por otro lado, cuando x está cada vez más lejos de 0, como cuando x & # xa0 = -100,000 ox = -100,000,000?


                                                Comparar funciones


                                                Ejemplos, soluciones, videos y lecciones para ayudar a los estudiantes de octavo grado a aprender a comparar las propiedades de dos funciones, cada una representada de manera diferente (algebraica, gráfica, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales).

                                                Por ejemplo, dada una función lineal representada por una tabla de valores y una función lineal representada por una expresión algebraica, determine qué función tiene la mayor tasa de cambio..

                                                Objetivos de aprendizaje sugeridos

                                                • Puedo identificar funciones algebraicamente, incluidas la pendiente y la intersección con el eje y
                                                • Puedo identificar funciones usando gráficas.
                                                • Puedo identificar funciones usando tablas.
                                                • Puedo identificar funciones usando descripciones verbales.
                                                • Puedo comparar y contrastar dos funciones con diferentes representaciones.
                                                • I can draw conclusions based on different representations of functions

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                                                Relations And Functions

                                                In these lessons, we will look at ordered-pair numbers, relations and an introduction to functions.

                                                Ordered-Pair Numbers

                                                An ordered-pair number is a pair of numbers that go together. The numbers are written within a set of parentheses and separated by a comma.

                                                For example, (4, 7) is an ordered-pair number the order is designated by the first element 4 and the second element 7. The pair (7, 4) is not the same as (4, 7) because of the different ordering. Sets of ordered-pair numbers can represent relations or functions.

                                                Relation

                                                A relation is any set of ordered-pair numbers.

                                                The following diagram shows some examples of relations and functions. Scroll down the page for more examples and solutions on how to determine if a relation is a function.


                                                Suppose the weights of four students are shown in the following table.

                                                Estudiante 1 2 3 4
                                                Weight 120 100 150 130

                                                The pairing of the student number and his corresponding weight is a relation and can be written as a set of ordered-pair numbers.
                                                W =

                                                The set of all first elements is called the domain of the relation.
                                                The domain of W =

                                                The set of second elements is called the range of the relation.
                                                The range of W =

                                                Función

                                                A function is a relation in which no two ordered pairs have the same first element.

                                                A function associates each element in its domain with one and only one element in its range.

                                                Solución:
                                                a) A = <(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)>is a function because all the first elements are different.

                                                b) B = <(1, 3), (0, 3), (2, 1), (4, 2)>is a function because all the first elements are different. (The second element does not need to be unique)

                                                c) C = <(1, 6), (2, 5), (1, 9), (4, 3)>is not a function because the first element, 1, is repeated.

                                                A function can be identified from a graph. If any vertical line drawn through the graph cuts the graph at more than one point, then the relation is not a function. This is called the vertical line test .

                                                Determining Whether A Relation Is A Function

                                                Understanding relations (defined as a set of inputs and corresponding outputs) is an important step to learning what makes a function. A function is a specific relation, and determining whether a relation is a function is a skill necessary for knowing what we can graph. Determining whether a relation is a function involves making sure that for every input there is only one output.

                                                How To Determine If A Relation Is A Function?

                                                A function is a correspondence between a first set, called the domain, and a second set, called the range, such that each member of the domain corresponds to exactly one member of the range.

                                                The graph of a function f is a drawing hat represents all the input-output pairs, (x, f(x)). In cases where the function is given by an equation, the graph of a function is the graph of the equation y = f(x).

                                                The vertical line test - a graph represents a function if it is impossible to draw a vertical line that intersects the graph more than once.

                                                How To Determine If A Relation Is A Function?

                                                This Algebra 1 level math video tutorial

                                                • defines a relation as a set of ordered pairs and a function as a relation with one to one correspondence.
                                                • models how to determine if a relation is a function with two different methods.
                                                • shows how to use a mapping and the vertical line test.
                                                • discusses how to work with function notation. It is defined as replacing y in an equation that is a function.
                                                1. Using a mapping diagram, determine whether each relation is a function.
                                                2. Using a vertical line test, determine whether the relation is a function.
                                                3. Make a table for f(t) = 0.5x + 1. Use 1, 2, 3, and 4 as domain values.
                                                4. Evaluate the function rule f(g) = -2g + 4 to find the range for the domain (-1, 3, 5).

                                                Determine If A Relation Is A Function

                                                This video explains the concepts behind mapping a relation and the vertical line test.

                                                Relations And Functions

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                                                Encourage students to ask questions of one another.

                                                It is much easier to facilitate a focusing question pattern when you are not the only one in the room directing conversation. Encourage students to support, challenge and question one another. For example, “Why do you think that?” “Could you have solved the problem in a different way?”

                                                You may find that students’ own questions take the conversation to a level you never imagined reaching!


                                                (Source: Making Shift Happen)

                                                This article is adapted from the NCTM publication Principles to Actions: Ensuring Mathematical Success for All. Click here to learn more about this essential guide to mathematics teaching practices.