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13.7.2: Usar el lenguaje del álgebra - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Encuentre factores, factorizaciones primas y múltiplos mínimos comunes
  • Usa variables y símbolos algebraicos
  • Simplifica expresiones usando el orden de operaciones.
  • Evaluar una expresión
  • Identificar y combinar términos semejantes
  • Traducir una frase en inglés a una expresión algebraica

Este capítulo tiene la intención de ser una breve revisión de los conceptos que se necesitarán en un curso de Álgebra intermedia. Puede encontrar una introducción más detallada a los temas cubiertos en este capítulo en el Álgebra elemental capítulo, Fundaciones.

Encuentre factores, factorizaciones primas y múltiplos menos comunes

Los números 2, 4, 6, 8, 10, 12 se llaman múltiplos de 2. A múltiple de 2 se puede escribir como el producto de un número de conteo y 2.

De manera similar, un múltiplo de 3 sería el producto de un número de conteo por 3.

Podríamos encontrar los múltiplos de cualquier número si continuamos con este proceso.

Número de conteo123456789101112
Múltiplos de 224681012141618202224
Múltiplos de 3369121518212427303336
Múltiplos de 44812162024283236404448
Múltiplos de 551015202530354045505560
Múltiplos de 661218243036424854606672
Múltiplos de 771421283542495663707784
Múltiplos de 881624324048566472808896
Múltiplos de 9918273645546372819099108

MÚLTIPLE DE UN NÚMERO

Un número es un múltiple de (n ) si es el producto de un número de conteo y (n ).

Otra forma de decir que 15 es múltiplo de 3 es decir que 15 es divisible entre 3. Eso significa que cuando dividimos 3 entre 15, obtenemos un número de conteo. De hecho, (15 ÷ 3 ) es (5 ), entonces (15 ) es (5⋅3 ).

DIVISIBLE POR UN NÚMERO

Si un número (m ) es múltiplo de (n ), entonces (m ) es divisible por (n ).

Si buscáramos patrones en los múltiplos de los números del 2 al 9, descubriríamos las siguientes pruebas de divisibilidad:

PRUEBAS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por:

  • 2 si el último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8.
  • 3 si la suma de los dígitos es divisible por 3.
  • 5 si el último dígito es 5 o 0.
  • 6 si es divisible por 2 y 3.
  • 10 si termina en 0.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

¿Es 5.625 divisible por

  1. 2?
  2. 3?
  3. 5 o 10?
  4. 6?
Respuesta

una.

( text {¿Es 5.625 divisible por 2?} )

( begin {array} {ll} text {¿Termina en 0, 2, 4, 6 u 8?} & { text {No.} text {5.625 no es divisible por 2.}} end {matriz} )
B.

( text {5.625 divisible por 3?} )

( begin {array} {ll} { text {¿Cuál es la suma de los dígitos?} text {¿La suma es divisible por 3?}} & {5 + 6 + 2 + 5 = 18 text {Sí.} text {5625 es divisible por 3.}} end {matriz} )
C.

( text {¿Es 5.625 divisible entre 5 o 10?} )

( begin {array} {ll} text {¿Cuál es el último dígito? Es 5.} & text {5.625 es divisible por 5 pero no por 10.} end {array} ) d.

( text {¿Es 5.625 divisible por 6?} )

( begin {array} {ll} text {¿Es divisible por 2 y 3?} & { text {No, 5.625 no es divisible por 2, entonces 5.625 es} text {no es divisible por 6 .}} end {matriz} )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

4.962 es divisible por a. 2? B. 3? C. 5? D. 6? mi. 10?

Respuesta

una. si b. Si c. asentir. sí e. No

Ejemplo ( PageIndex {3} )

3.765 es divisible por a. no b. si d. no e. No

En matemáticas, a menudo hay varias formas de hablar sobre las mismas ideas. Hasta ahora, hemos visto que si (m ) es un múltiplo de (n ), podemos decir que (m ) es divisible por (n ). Por ejemplo, dado que 72 es un múltiplo de 8, decimos que 72 es divisible por 8. Dado que 72 es un múltiplo de 9, decimos que 72 es divisible por 9. Podemos expresar esto de otra manera.

Como (8 · 9 = 72 ), decimos que 8 y 9 son factores de 72. Cuando escribimos (72 = 8 · 9 ), decimos que hemos factorizado 72.

Otras formas de factorizar (72 ) son (1 · 72, ; 2 · 36, ; 3 · 24, ; 4 · 18, ) y (6⋅12 ). El número 72 tiene muchos factores: (1, , 2, , 3, , 4, , 6, , 8, , 9, , 12, , 18, , 24, , 36 , ) y (72 ).

Factores

Si (a ) y (b ) están contando números, y (a · b = m ), entonces (a ) y (b ) son factores de (m ).

Algunos números, como 72, tienen muchos factores. Otros números tienen solo dos factores. A número primo es un número de conteo mayor que 1 cuyos únicos factores son 1 y él mismo.

NÚMERO PRIME Y NÚMERO COMPUESTO

A número primo es un número de conteo mayor que 1 cuyos únicos factores son 1 y el número en sí.

A número compuesto es un número de conteo que no es primo. Un número compuesto tiene factores distintos de 1 y el número en sí.

Los números de conteo del 2 al 20 se enumeran en la tabla con sus factores. ¡Asegúrese de estar de acuerdo con la etiqueta "principal" o "compuesta" de cada uno!

Los números primos menores que 20 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. Observe que el único número primo par es 2.

Un número compuesto se puede escribir como un producto único de números primos. Esto se llama factorización prima del número. Encontrar la factorización prima de un número compuesto será útil en muchos temas de este curso.

FACTORIZACIÓN PRIMERA

La factorización prima de un número es el producto de números primos que son iguales al número.

Para encontrar la factorización prima de un número compuesto, encuentre dos factores cualesquiera del número y utilícelos para crear dos ramas. Si un factor es primo, esa rama está completa. Encierra en un círculo ese primo. De lo contrario, es fácil perder de vista los números primos.

Si el factor no es primo, encuentre dos factores del número y continúe con el proceso. Una vez que todas las ramas han marcado con un círculo los números primos al final, la factorización está completa. El número compuesto ahora se puede escribir como un producto de números primos.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Cómo encontrar la factorización prima de un número compuesto

Factoriza 48.

Respuesta



Decimos que (2⋅2⋅2⋅2⋅3 ) es la factorización prima de 48. Generalmente escribimos los números primos en orden ascendente. Asegúrate de multiplicar los factores para verificar tu respuesta. (2⋅2⋅2⋅2⋅3 ) es la factorización prima de 48. Asegúrate de multiplicar los factores para verificar tu respuesta.

Si primero factorizamos 48 de una manera diferente, por ejemplo, como (6 · 8 ), el resultado seguirá siendo el mismo. Termina la factorización prima y verifica esto por ti mismo.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Encuentra la factorización prima de (80 ).

Respuesta

(2⋅2⋅2⋅2⋅5)

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Encuentra la factorización prima de (60 ).

Respuesta

(2⋅2⋅3⋅5)

ENCUENTRE LA FACTORIZACIÓN PRINCIPAL DE UN NÚMERO COMPUESTO

  1. Encuentra dos factores cuyo producto sea el número dado y usa estos números para crear dos ramas.
  2. Si un factor es primo, esa rama está completa. Encierra en un círculo la parte principal, como una hoja en el árbol.
  3. Si un factor no es primo, escríbalo como el producto de dos factores y continúe con el proceso.
  4. Escribe el número compuesto como el producto de todos los números primos encerrados en un círculo.

Una de las razones por las que nos fijamos en los números primos es para utilizar estas técnicas para encontrar minimo común multiplo de dos números. Esto será útil cuando sumemos y restemos fracciones con diferentes denominadores.

MINIMO COMÚN MULTIPLO

La mínimo común múltiplo (LCM) de dos números es el número más pequeño que es un múltiplo de ambos números.

Para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números usaremos el método de los factores primos. Hallemos el MCM de 12 y 18 usando sus factores primos.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Cómo encontrar el mínimo común múltiplo usando el método de factores primos

Encuentre el mínimo común múltiplo (MCM) de 12 y 18 utilizando el método de factores primos.

Respuesta

Observe que los factores primos de 12 ((2 · 2 · 3) ) y los factores primos de 18 ((2⋅3⋅3) ) están incluidos en el MCM ((2 · 2 · 3 · 3 ) ). Entonces 36 es el mínimo común múltiplo de 12 y 18.

Al hacer coincidir los números primos comunes, cada factor primo común se usa solo una vez. De esta forma estar seguro de que 36 es el menos múltiplo común.

Encuentre el MCM de 9 y 12 usando el método de factores primos.

Respuesta

36

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Encuentre el MCM de 18 y 24 usando el método de factores primos.

Respuesta

72

ENCUENTRE EL MÚLTIPLE MENOS COMÚN UTILIZANDO EL MÉTODO DE PRIME FACTORS

  1. Escribe cada número como producto de números primos.
  2. Haz una lista de los números primos de cada número. Haga coincidir los primos verticalmente cuando sea posible.
  3. Derriba las columnas.
  4. Multiplica los factores.

Utilice variables y símbolos algebraicos

En álgebra, usamos una letra del alfabeto para representar un número cuyo valor puede cambiar. A esto lo llamamos un variable y las letras que se usan comúnmente para las variables son (x, , y, , a, , b, ) y (c. )

VARIABLE

A variable es una letra que representa un número cuyo valor puede cambiar.

Un número cuyo valor siempre permanece igual se llama constante.

CONSTANTE

A constante es un número cuyo valor siempre permanece igual.

Para escribir algebraicamente, necesitamos algunos símbolos de operación, así como números y variables. Hay varios tipos de símbolos que usaremos. Hay cuatro operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división. A continuación, enumeramos los símbolos utilizados para indicar estas operaciones.

SÍMBOLOS DE OPERACIÓN
OperaciónNotaciónDecir:El resultado es…
Adición (a + b ) (a ) más (b )la suma de (a ) y (b )
Sustracción (a − b ) (a ) menos (b )la diferencia de (a ) y (b )
Multiplicación (a⋅b, , ab, , (a) (b), , (a) b, , a (b) ) (a ) por (b )el producto de (a ) y (b )
División (a ÷ b, , espacio a / b, , espacio frac {a} {b}, , espacio b overline { smash {)} a} ) (a ) dividido por (b )el cociente de (a ) y (b );
(a ) se llama dividendo y (b ) se llama divisor

Cuando dos cantidades tienen el mismo valor, decimos que son iguales y las conectamos con un signo igual.

SÍMBOLO DE IGUALDAD

(a = b ) se lee " (a ) es igual a (b )".

El símbolo “ (= )” se llama signo igual.

En la recta numérica, los números aumentan a medida que avanzan de izquierda a derecha. La recta numérica se puede utilizar para explicar los símbolos “ (<)” y “ (> )”.

DESIGUALDAD

Las expresiones (a b ) se pueden leer de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, aunque en inglés solemos leer de izquierda a derecha. En general,

[a a. text {Por ejemplo,} 7 <11 text {es equivalente a} 11> 7. ]

[a> b text {es equivalente a} b 4 text {es equivalente a} 4 <17. ]

SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD
Símbolos de desigualdadPalabras
(a neq b ) (a ) es no igual a (B).
(a (a ) es menos que (B).
(a leq b ) (a ) es Menos que o igual a (B).
(a> b ) (a ) es mas grande que (B).
(a geq b ) (a ) es Mayor qué o igual a (B).

La agrupación de símbolos en álgebra se parece mucho a las comas, dos puntos y otros signos de puntuación en inglés. Ayudan a identificar una expresión, que puede estar formada por un número, una variable o una combinación de números y variables utilizando símbolos de operación. Introduciremos tres tipos de símbolos de agrupación ahora.

SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN

[ begin {array} {lc} text {Paréntesis} & mathrm {()} text {Corchetes} & mathrm {[]} text {Llaves} & mathrm { { }} end {matriz} ]

A continuación, se muestran algunos ejemplos de expresiones que incluyen símbolos de agrupación. Simplificaremos expresiones como estas más adelante en esta sección.

[8 (14−8) qquad 21−3 [2 + 4 (9−8)] qquad 24 ÷ {13−2 [1 (6−5) +4] } ]

¿Cuál es la diferencia en inglés entre una frase y una oración? Una frase expresa un solo pensamiento que está incompleto por sí mismo, pero una oración hace una declaración completa. Una oración tiene un sujeto y un verbo. En álgebra, tenemos expresiones y ecuaciones.

EXPRESIÓN

Un expresión es un número, una variable o una combinación de números y variables que utilizan símbolos de operación.

[ begin {array} {lll} textbf {Expression} & textbf {Words} & textbf {English Phrase} mathrm {3 + 5} & text {3 más 5} & text {the suma de tres y cinco} mathrm {n − 1} & n text {menos uno} & text {la diferencia de} n text {y uno} mathrm {6 · 7} & text {6 por 7} & text {el producto de seis por siete} frac {x} {y} & x text {dividido por} y & text {el cociente de} x text {y} y end {matriz} ]

Observe que las frases en inglés no forman una oración completa porque la frase no tiene verbo.

Una ecuación son dos expresiones unidas por un signo igual. Cuando lees las palabras que representan los símbolos en una ecuación, tienes una oración completa en inglés. El signo igual da el verbo.

ECUACIÓN

Un ecuación son dos expresiones conectadas por un signo igual.

[ begin {array} {ll} textbf {Ecuación} & textbf {Oración en inglés} 3 + 5 = 8 & text {La suma de tres y cinco es igual a ocho.} n − 1 = 14 & n text {menos uno es igual a catorce.} 6 · 7 = 42 & text {El producto de seis por siete es igual a cuarenta y dos.} x = 53 & x text {es igual a cincuenta y tres.} y + 9 = 2y − 3 & y text {más nueve es igual a dos} y text {menos tres.} end {array} ]

Suponga que necesitamos multiplicar 2 nueve veces. Podríamos escribir esto como (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ). Esto es tedioso y puede ser difícil hacer un seguimiento de todos esos 2, por lo que usamos exponentes. Escribimos (2 · 2 · 2 ) como ( mathrm {2 ^ 3} ) y (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ) como (2 ^ 9 ). En expresiones como (2 ^ 3 ), el 2 se llama base y el 3 se llama exponente. La exponente nos dice cuántas veces necesitamos multiplicar el base.

NOTACIÓN EXPONENCIAL

Decimos que (2 ^ 3 ) está en notación exponencial y (2 · 2 · 2 ) está en Notación Expandida.

(a ^ n ) significa multiplicar (n ) factores del número (a ).

La expresión (a ^ n ) se lee (a ) a la (n ^ {th} ).

Mientras leemos (a ^ n ) como ("a ) a la (n ^ {th} ) potencia", generalmente leemos:

[ begin {array} {cc} a ^ 2 & "a text {squared}" a ^ 3 & "a text {cubed}" end {array} ]

Más adelante veremos por qué (a ^ 2 ) y (a ^ 3 ) tienen nombres especiales.

La tabla muestra cómo leemos algunas expresiones con exponentes.

ExpresiónEn palabras
727 elevado a la segunda potencia o7 al cuadrado
535 elevado a la tercera potencia o5 en cubos
949 elevado a cuarta
12512 elevado a la quinta potencia

Simplificar expresiones usando el orden de operaciones

A simplificar una expresión significa hacer todas las matemáticas posibles. Por ejemplo, para simplificar ( mathrm {4 · 2 + 1} ) primero multiplicaríamos ( mathrm {4⋅2} ) para obtener 8 y luego sumaríamos el 1 para obtener 9. Un buen hábito para desarrollar es avanzar en la página, escribiendo cada paso del proceso debajo del paso anterior. El ejemplo que se acaba de describir se vería así:

[ 4⋅2+1 \ 8+1 \ 9]

Al no usar un signo igual cuando simplifica una expresión, puede evitar confundir expresiones con ecuaciones.

SIMPLIFICA UNA EXPRESIÓN

A simplificar una expresión, realiza todas las operaciones en la expresión.

Hemos introducido la mayoría de los símbolos y la notación utilizados en álgebra, pero ahora necesitamos aclarar el Orden de operaciones. De lo contrario, las expresiones pueden tener diferentes significados y pueden dar lugar a valores diferentes.

Por ejemplo, considere la expresión (4 + 3⋅7 ). Algunos estudiantes simplifican esto obteniendo 49, sumando (4 + 3 ) y luego multiplicando ese resultado por 7. Otros obtienen 25, multiplicando (3 · 7 ) primero y luego sumando 4.

La misma expresión debería dar el mismo resultado. Entonces los matemáticos establecieron unas pautas que se denominan orden de operaciones.

UTILICE EL ORDEN DE OPERACIONES.

  1. Paréntesis y otros símbolos de agrupación
    • Simplifique todas las expresiones dentro de los paréntesis u otros símbolos de agrupación, trabajando primero en los paréntesis más internos.
  2. Exponentes
    • Simplifica todas las expresiones con exponentes.
  3. Multiplicación y división
    • Realiza todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen la misma prioridad.
  4. Adición y sustracción
    • Realiza todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen la misma prioridad.

Los estudiantes a menudo preguntan: "¿Cómo recordaré el pedido?" Aquí hay una forma de ayudarle a recordar: Tome la primera letra de cada palabra clave y sustituya la frase tonta “Por favor, disculpe a mi querida tía Sally”.

[ begin {array} {ll} text {Parentheses} & text {Por favor} text {Exponents} & text {Excuse} text {Multiplication Division} & text {My Dear} text {Sustracción de suma} & text {Tía Sally} end {matriz} ]

Es bueno que "METROy Doído "va de la mano, ya que esto nos recuerda que metroultiplicación y Division tienen la misma prioridad. No siempre hacemos la multiplicación antes de la división o siempre hacemos la división antes de la multiplicación. Los hacemos en orden de izquierda a derecha.

Similar, "Aunt Saliado ”va de la mano y nos recuerda que adición y sLas extracciones también tienen la misma prioridad y las hacemos en orden de izquierda a derecha.

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Simplifica: (30 ÷ 5 + 10 (3−2). )

Respuesta

16

Ejemplo ( PageIndex {12} )

Simplifica: (70 ÷ 10 + 4 (6−2). )

Respuesta

23

Cuando hay varios símbolos de agrupación, primero simplificamos los paréntesis más internos y trabajamos hacia afuera.

Ejemplo ( PageIndex {14} )

Simplifica: (9 + 5 ^ 3− [4 (9 + 3)]. )

Respuesta

86

Ejemplo ( PageIndex {15} )

Simplifica: (7 ^ 2−2 [4 (5 + 1)]. )

Respuesta

1

Evaluar una expresión

En los últimos ejemplos, simplificamos expresiones usando el orden de las operaciones. Ahora evaluaremos algunas expresiones, nuevamente siguiendo el orden de las operaciones. A evaluar una expresión significa encontrar el valor de la expresión cuando la variable se reemplaza por un número dado.

EVALUAR UNA EXPRESIÓN

A evaluar una expresión significa encontrar el valor de la expresión cuando la variable se reemplaza por un número dado.

Para evaluar una expresión, sustituya ese número por la variable en la expresión y luego simplifique la expresión.

Evalúa cuando (x = 3 ), a. (x ^ 2 ) b. (4 ^ x ) c. (3x ^ 2 + 4x + 1 ).

Respuesta

una. 9
B. 64
C. 40

Ejemplo ( PageIndex {18} )

Evalúa cuando (x = 6 ), a. (x ^ 3 ) b. (2 ^ x ) c. (6x ^ 2−4x − 7 ).

Respuesta

una. 216
B. 185

Identificar y combinar términos similares

Las expresiones algebraicas se componen de términos. A término es una constante o el producto de una constante y una o más variables.

TÉRMINO

A término es una constante o el producto de una constante y una o más variables.

Ejemplos de términos son (7, , y, , 5x ^ 2, , 9a, ) y (b ^ 5 ).

La constante que multiplica la variable se llama coeficiente.

COEFICIENTE

La coeficiente de un término es la constante que multiplica la variable en un término.

Piense en el coeficiente como el número delante de la variable. El coeficiente del término (3x ) es 3. Cuando escribimos (x ), el coeficiente es 1, ya que (x = 1⋅x ).

Algunos términos comparten rasgos comunes. Cuando dos términos son constantes o tienen la misma variable y exponente, decimos que son términos similares.

Mira los siguientes 6 términos. ¿Cuáles parecen tener rasgos en común?

[5x quad 7 quad n ^ 2 quad 4 quad 3x quad 9n ^ 2 ]

Decimos,

(7 ) y (4 ) son términos semejantes.

(5x ) y (3x ) son términos semejantes.

(n ^ 2 ) y (9n ^ 2 ) son términos semejantes.

TÉRMINOS COMO

Los términos que son constantes o tienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias se denominan términos similares.

Si hay términos semejantes en una expresión, puede simplificar la expresión combinando los términos semejantes. Sumamos los coeficientes y mantenemos la misma variable.

[ begin {array} {lc} text {Simplify.} & 4x + 7x + x text {Suma los coeficientes.} & 12x end {array} ]

EJEMPLO ( PageIndex {19} ): Cómo combinar términos similares

Simplifica: (2x ^ 2 + 3x + 7 + x ^ 2 + 4x + 5 ).

Respuesta



Simplifica: (3x ^ 2 + 7x + 9 + 7x ^ 2 + 9x + 8 ).

Respuesta

(10x ^ 2 + 16x + 17 )

EJEMPLO ( PageIndex {21} )

Simplifica: (4y ^ 2 + 5y + 2 + 8y ^ 2 + 4y + 5. )

Respuesta

(12 años ^ 2 + 9 años + 7 )

COMBINAR TÉRMINOS COMO.

  1. Identifica términos semejantes.
  2. Reorganice la expresión de modo que los términos semejantes estén juntos.
  3. Sume o reste los coeficientes y mantenga la misma variable para cada grupo de términos semejantes.
Traducir una frase en inglés a una expresión algebraica

Enumeramos muchos símbolos de operaciones que se utilizan en álgebra. Ahora, los usaremos para traducir frases en inglés a expresiones algebraicas. Los símbolos y variables de los que hemos hablado nos ayudarán a lograrlo. La tabla los resume.

OperaciónFraseExpresión
Adición (a ) más (b )

la suma de (a ) y (b )

(a ) aumentado en (b )

(b ) más que (a )

el total de (a ) y (b )

(b ) agregado a (a )

(a + b )
Sustracción (a ) menos (b )

la diferencia de (a ) y (b )

(a ) disminuido en (b )

(b ) menor que (a )

(b ) restado de (a )

(a − b )
Multiplicación (a ) por (b )

el producto de (a ) y (b )

dos veces a)

(a · b, , ab, , a (b), , (a) (b) )

(2a )

División (a ) dividido por (b )

el cociente de (a ) y (b )

la razón de (a ) y (b )

(b ) dividido en (a )

(a ÷ b, , a / b, , frac {a} {b}, , b overline { smash {)} a} )

Mire de cerca estas frases usando las cuatro operaciones:

Cada frase nos dice que operemos con dos números. Busca las palabras de y y para encontrar los números.

Ejemplo ( PageIndex {22} )

Cada frase nos dice que operemos con dos números. Busca las palabras de y y para encontrar los números.

Traduce cada frase en inglés a una expresión algebraica:

una. la diferencia de (14x ) y (9 )

B. el cociente de (8y ^ 2 ) y (3 )

C. doce más que (y )

D. siete menos que (49x ^ 2 )

Respuesta

una. La palabra clave es diferencia, que nos dice que la operación es una resta. Busca las palabras de y y To encontrar los números a restar.

B. La palabra clave es cociente, que nos dice que la operación es división.


C. Las palabras clave son más que. Nos dicen que la operación es una adición. Más que significa "agregado a".

[ text {doce más que} y text {doce sumados a} y y + 12 ]

D. Las palabras clave son menos que. Nos dicen que restemos. Menos que significa "restado de".

[ text {siete menos que} 49x ^ 2 text {siete restado de} 49x ^ 2 49x ^ 2−7 ]

Ejercicio ( PageIndex {23} )

Traduce la frase en inglés a una expresión algebraica:

una. la diferencia de (14x ^ 2 ) y (13 )

B. el cociente de (12x ) y (2 )

C. (13 ) más que (z )

D. (18 ) menos que (8x )

Respuesta

una. (14x ^ 2−13 ) b. (12x ÷ 2 )

C. (z + 13 ) d. (8x − 18 )

Ejemplo ( PageIndex {24} )

Traduce la frase en inglés a una expresión algebraica:

una. la suma de (17y ^ 2 ) y (19 )

B. el producto de (7 ) y (y )

C. Once más que (x )

D. Catorce menos que (11a )

Respuesta

una. (17y ^ 2 + 19 ) b. (7 años )

C. (x + 11 ) d. (11a − 14 )

Observamos cuidadosamente las palabras para ayudarnos a distinguir entre multiplicar una suma y sumar un producto.

Ejemplo ( PageIndex {25} )

Traduce la frase en inglés a una expresión algebraica:

una. ocho veces la suma de (x ) y (y )

B. la suma de ocho veces (x ) y (y )

Respuesta

Hay dos palabras de operación:veces nos dice que nos multipliquemos y suma nos dice que agreguemos.

una. Debido a que estamos multiplicando (8 ) por la suma, necesitamos paréntesis alrededor de la suma de (x ) y (y ), ((x + y) ). Esto nos obliga a determinar la suma primero. (Recuerde el orden de las operaciones).

[ text {ocho veces la suma de} x text {y} y 8 (x + y) ]

B. Para tomar una suma, buscamos las palabras de y y para ver qué se está agregando. Aquí estamos tomando la suma de ocho veces (x ) y (y ).

Ejemplo ( PageIndex {26} )

Traduce la frase en inglés a una expresión algebraica:

una. cuatro veces la suma de (p ) y (q )

B. la suma de cuatro veces (p ) y (q )

Respuesta

una. (4 (p + q) ) b. (4p + q )

Ejemplo ( PageIndex {27} )

Traduce la frase en inglés a una expresión algebraica:

una. la diferencia de dos veces (x ) y (8 )

B. dos veces la diferencia de (x ) y (8 )

Respuesta

una. (2x − 8 ) b. (2 (x − 8) )

Más adelante en este curso, aplicaremos nuestras habilidades en álgebra para resolver aplicaciones. El primer paso será traducir una frase en inglés a una expresión algebraica. Veremos cómo hacer esto en los dos ejemplos siguientes.

Ejemplo ( PageIndex {28} )

La longitud de un rectángulo es 14 menos que el ancho. Sea (w ) el ancho del rectángulo. Escribe una expresión para la longitud del rectángulo.

Respuesta

[ begin {array} {lc} text {Escribe una frase sobre la longitud del rectángulo.} & text {14 menos que el ancho} text {Sustituye} w text {por “el ancho. ”} & W text {Reescribe menos que como se resta de.} & Text {14 restado de} w text {Traducir la frase al álgebra.} & W − 14 end {matriz} ]

Ejemplo ( PageIndex {29} )

La longitud de un rectángulo es 7 menos que el ancho. Escribe una expresión para la longitud del rectángulo.

Respuesta

(w − 7 )

Ejemplo ( PageIndex {30} )

El ancho de un rectángulo es (6 ) menor que el largo. Sea (l ) la longitud del rectángulo. Escribe una expresión para el ancho del rectángulo.

Respuesta

(l − 6 )

Las expresiones del siguiente ejemplo se utilizarán en los problemas típicos de mezcla de monedas que veremos pronto.

Ejemplo ( PageIndex {31} )

June tiene monedas de diez y veinticinco centavos en su bolso. La cantidad de monedas de diez centavos es siete menos que cuatro veces la cantidad de monedas de veinticinco centavos. Sea (q ) el número de cuartos. Escribe una expresión para el número de monedas de diez centavos.

Respuesta

[ begin {array} {lc} text {Escribe una frase sobre la cantidad de monedas de diez centavos.} & text {7 menos de 4 veces} q text {Traducir 4 veces} q. & text {7 menos que 4} q text {Traducir la frase al álgebra.} & 4q − 7 end {array} ]

Ejemplo ( PageIndex {32} )

Geoffrey tiene monedas de diez y veinticinco centavos en el bolsillo. La cantidad de monedas de diez centavos es ocho menos que cuatro veces la cantidad de monedas de veinticinco centavos. Escribe una expresión para el número de monedas de diez centavos.

Respuesta

(4q − 8 )

Ejemplo ( PageIndex {33} )

Lauren tiene monedas de diez y cinco centavos en su bolso. La cantidad de monedas de diez centavos es tres veces más que siete veces la cantidad de monedas de cinco centavos. Sea (n ) la cantidad de monedas de cinco centavos. Escribe una expresión para el número de monedas de diez centavos.

Respuesta

(7n + 3 )

Conceptos clave

  • Pruebas de divisibilidad
    Un número es divisible por:
    2 si el último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8.
    3 si la suma de los dígitos es divisible por 3.
    5 si el último dígito es 5 o 0.
    6 si es divisible por 2 y 3.
    10 si termina en 0.
  • Cómo encontrar la factorización prima de un número compuesto.
    1. Encuentra dos factores cuyo producto sea el número dado y usa estos números para crear dos ramas.
    2. Si un factor es primo, esa rama está completa. Encierra en un círculo la flor, como un capullo en el árbol.
    3. Si un factor no es primo, escríbalo como el producto de dos factores y continúe con el proceso.
    4. Escribe el número compuesto como el producto de todos los números primos encerrados en un círculo.
  • Cómo encontrar el mínimo común múltiplo usando el método de factores primos.
    1. Escribe cada número como producto de números primos.
    2. Haz una lista de los números primos de cada número. Haga coincidir los primos verticalmente cuando sea posible.
    3. Derriba las columnas.
    4. Multiplica los factores.
  • Símbolo de igualdad
    (a = b ) se lee " (a ) es igual a (b )". El símbolo "=" se llama signo igual.
  • Símbolos de desigualdad
    Símbolos de desigualdadPalabras
    (a ≠ b ) (a ) es no igual a (B).
    (a (a ) es menos que (B).
    (a≤b ) (a ) es Menos que o igual a (B).
    (a> b ) (a ) es mas grande que (B).
    (a≥b ) (a ) es Mayor qué o igual a (B).
  • Símbolos de agrupación ( begin {array} {lc} text {Paréntesis} & mathrm {()} text {Corchetes} & mathrm {[]} text {Llaves} & mathrm { { }} end {matriz} )
  • Notación exponencial (a ^ n ) significa multiplicar (a ) por sí mismo, (n ) veces. La expresión an se lee (a ) a la (n ^ {th} ).
  • Simplificar una expresión
    Para simplificar una expresión, realice todas las operaciones en la expresión.
  • Cómo utilizar el orden de operaciones.
    1. Paréntesis y otros símbolos de agrupación
      • Simplifique todas las expresiones dentro de los paréntesis u otros símbolos de agrupación, trabajando primero en los paréntesis más internos.
    2. Exponentes
      • Simplifica todas las expresiones con exponentes.
    3. Multiplicación y división
      • Realiza todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen la misma prioridad.
  • Cómo combinar términos semejantes.
    1. Identifica términos semejantes.
    2. Reorganice la expresión de modo que los términos semejantes estén juntos.
    3. Sume o reste los coeficientes y mantenga la misma variable para cada grupo de términos semejantes.
    OperaciónFraseExpresión
    Adición (a ) más (b )
    la suma de (a ) y (b )
    (a ) aumentado en (b )
    (b ) más que (a )
    el total de (a ) y (b )
    (b ) agregado a (a )
    (a + b )
    Sustracción (a ) menos (b )
    la diferencia de (a ) y (b )
    (a ) disminuido en (b )
    (b ) menor que (a )
    (b ) restado de (a )
    (a − b )
    Multiplicación (a ) por (b )
    el producto de (a ) y (b )
    dos veces a)

    (a · b, , ab, , a (b), , (a) (b) )

    (2a )

    División

    (a ) dividido por (b )

    el cociente de (a ) y (b )

    la razón de (a ) y (b )

    (b ) dividido en (a )
    (a ÷ b, , a / b, , frac {a} {b}, , b overline { smash {)} a} )

Glosario

coeficiente
El coeficiente de un término es la constante que multiplica la variable en un término.
número compuesto
Un número compuesto es un número de conteo que no es primo. Tiene factores distintos de 1 y el número en sí.
constante
Una constante es un número cuyo valor siempre permanece igual.
divisible por un numero
Si un número (m ) es múltiplo de (n ), entonces (m ) es divisible por (n ).
ecuación
Una ecuación son dos expresiones conectadas por un signo igual.
evaluar una expresión
Evaluar una expresión significa encontrar el valor de la expresión cuando las variables se reemplazan por un número dado.
expresión
Una expresión es un número, una variable o una combinación de números y variables que utilizan símbolos de operación.
factores
Si (a · b = m ), entonces (a ) y (b ) son factores de (m ).
minimo común multiplo
El mínimo común múltiplo (LCM) de dos números es el número más pequeño que es un múltiplo de ambos números.
términos similares
Los términos que son constantes o tienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias se denominan términos semejantes.
múltiplo de un número
Un número es múltiplo de (n ) si es el producto de un número de conteo y (n ).
Orden de operaciones
El orden de las operaciones son pautas establecidas para simplificar una expresión.
factorización prima
La factorización prima de un número es el producto de números primos que son iguales al número.
número primo
Un número primo es un número de conteo mayor que 1 cuyos únicos factores son 1 y el número en sí.
simplificar una expresión
Simplificar una expresión significa hacer todas las matemáticas posibles.
término
Un término es una constante o el producto de una constante y una o más variables.
variable
Una variable es una letra que representa un número cuyo valor puede cambiar.