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9.2: Características del caos - Matemáticas


Es útil darse cuenta de que siempre hay dos procesos dinámicos en cualquier tipo de sistema caótico: estirar y doblar [33]. Cualquier sistema caótico tiene un mecanismo dinámico para estirar y luego doblar su espacio de fase, como amasar masa de hojaldre (Figura ( PageIndex {1} )). Imagine que está rastreando la ubicación de un grano específico de harina en la masa mientras un pastelero amasa la masa durante un largo período de tiempo. Estirar la masa magnifica las pequeñas diferencias de posición a escalas microscópicas a una más grande y visible, mientras que doblar la masa siempre mantiene su extensión dentro de un tamaño finito y limitado. Tenga en cuenta que el doblado es la fuente principal de no linealidad que dificulta tanto las predicciones a largo plazo: si el chef simplemente estirara la masa todo el tiempo (lo que se parecería más a hacer ramen), aún tendría una idea bastante clara de dónde está El grano de harina favorito sería después de que se completara el estiramiento. Esta vista de estiramiento y plegado nos permite hacer otra interpretación del caos:

Espacio de fase de estiramiento y plegado

El caos puede entenderse como un proceso dinámico en el que la información microscópica oculta en los detalles del estado de un sistema se extrae y se expande a una escala macroscópicamente visible (extensión), mientras que la información macroscópica visible en el estado del sistema actual se descarta continuamente (plegable).

Este tipo de explicación del caos basada en el flujo de información es muy útil para comprender la esencia del caos desde una perspectiva de múltiples escalas. Esto es particularmente claro cuando considera el mapa de sierra discutido en el ejercicio anterior:

[x_ {t} = text {parte fraccionaria de} 2x_ {t-1} label {9.1} ]

Si conoce las notaciones binarias de los números reales, debería ser obvio que este mapa iterativo simplemente está desplazando la cadena de bits en (x ) siempre a la izquierda, olvidando los bits que vienen antes del punto decimal. Y, sin embargo, una operación aritmética tan simple puede crear caos, si la condición inicial es un número irracional (Figura ( PageIndex {2} )). Esto se debe a que un número irracional contiene una longitud infinita de dígitos y el caos los extrae continuamente para producir un comportamiento fluctuante en una escala visible.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

El mapa de sierra también puede mostrar el caos incluso desde una condición inicial racional, si su comportamiento se simula manualmente a mano en un diagrama de telaraña. Explicar por qué.


Lección 2

Esta lección es opcional. En esta lección, los estudiantes observan las proporciones de diferentes poblaciones en el mundo y determinan cómo sería su clase si sus proporciones fueran equivalentes (MP1, MP2). En el proceso, vuelven a trabajar con porcentajes que no son números enteros, utilizando los conocimientos adquiridos en una unidad anterior. Además, las proporciones estarán “cerca” de ser equivalentes porque no se conoce la población mundial exacta y todas las poblaciones deben ser números enteros (MP6). Las actividades de esta lección pueden tomar de uno a cuatro días, dependiendo de cuánto tiempo esté disponible y qué tan lejos lo lleve la clase. Las actividades anteriores son necesarias para las posteriores en esta lección. Una variante de esta actividad implica desarrollar, administrar y analizar una encuesta: si el colegio eran nuestra clase. Los estudiantes hacen una lluvia de ideas sobre algunas preguntas que les gustaría saber sobre los estudiantes de su escuela. Las preguntas pueden incluir:

  • ¿Cuántas personas en la escuela tocan un instrumento?
  • ¿Cuántas personas en la escuela comen almuerzos escolares?
  • ¿Cuántas personas en la escuela viajan en autobús a la escuela?
  • ¿Cuántas personas en la escuela tienen un teléfono celular?
  • ¿Cuántas personas en la escuela planean asistir a un colegio o universidad de cuatro años?
  • ¿Cuántas personas en la escuela nacieron fuera de este estado?
  • ¿Cuántas personas de la escuela han viajado fuera de este país?

Al igual que con todas las lecciones de esta unidad, todos los estándares relacionados se han abordado en unidades anteriores, esta lección proporciona una Opcional oportunidad de profundizar más y hacer conexiones entre dominios.

Metas de aprendizaje

Usemos las matemáticas para comprender mejor nuestro mundo.

Los materiales requeridos

Preparación requerida

Los dispositivos habilitados para Internet solo son necesarios si los estudiantes realizarán una investigación para encontrar las cantidades que necesitan saber. Como alternativa, puedes proporcionar la información cuando te la soliciten.

Las herramientas para crear una presentación visual solo son necesarias si desea que los estudiantes presenten su trabajo de manera organizada y tengan la opción de realizar un recorrido por la galería.


Experimento: ingestión de Paramecio por Caos

Culturas de Caos se puede mantener durante mucho tiempo en el laboratorio siempre que el agua se reponga regularmente y se alimenten los cultivos. Les damos de comer Paramecio, ya sea agregando concentrado Paramecio para producir grandes cantidades de amebas en poco tiempo, o para mantener cultivos mediante la creación de una cadena alimentaria con Caos en la parte superior (solo & quot; siembra & quot un Paramecio cultura con unos pocos Caos, y las criaturas se encargan del resto). Teniendo en cuenta la velocidad del movimiento ameboide versus el cililar, uno podría preguntarse cómo las amebas de movimiento lento capturan la Paramecio en primer lugar. Así es como configuramos un soporte húmedo para observar el proceso.

Se retiraron del cultivo una o dos amebas del Chaos con una pipeta pasteur de 9 pulgadas, con la ayuda de un microscopio de disección para localizar las células individuales. Las amebas se colocaron en el centro de un portaobjetos de microscopio de vidrio limpio, con un pequeño volumen de medio. Una pequeña gota de concentrado Paramecio se añadió y se preparó una montura de vaselina. Se utilizó una repisa gruesa de vaselina y el cubreobjetos se presionó lo suficiente para entrar en contacto con el medio y extender la gota. A continuación, se examinaron las ameobas con aumentos bajos (40x, 100x) y el proceso de ingestión de Paramecio fue observado.

Se encontró una presión excesiva para aplastar a las amebas, y el depredador se convirtió en presa. Si la presión del cubreobjetos fue suficiente para hacer que la ameba comenzara a extenderse, el daño estaba hecho.

Si prueba este experimento, intente encontrar una posible explicación de la facilidad con la que las amebas capturan a los que se mueven más rápido. Paramecio.


Introducción a los fractales

"La filosofía está escrita en este gran libro, me refiero al universo, que permanece continuamente abierto a nuestra mirada, pero que no se puede entender a menos que uno aprenda primero a comprender el idioma en el que está escrito. Está escrito en el lenguaje de las matemáticas, y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola palabra de ella sin estas, uno está deambulando en un laberinto oscuro ". - Galileo (1623)

¿Qué es un fractal?

B. Mandelbrot
Una forma geométrica rugosa o fragmentada que se puede subdividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia reducida / en tamaño del todo.

Matemático
Un conjunto de puntos cuya dimensión fractal excede su dimensión topológica.

Sistemas caóticos

El clásico Mandelbrot a continuación ha sido la imagen que ha popularizado enormemente los sistemas caóticos y fractales. El conjunto de Mandelbrot se crea mediante una técnica general donde una función de la forma zn + 1 = f (znorte) se utiliza para crear una serie de una variable compleja. En el caso de Mandelbrot la función es f (znorte) = znorte 2 + zo. Esta serie se genera para cada punto inicial zo en alguna partición del plano complejo. Para dibujar una imagen en la pantalla de un ordenador se colorea el punto considerado en función del comportamiento de la serie que actuará de una de las siguientes formas:

(a) decaimiento a 0
(b) tienden al infinito
(c) oscilar entre varios estados
(d) no muestra un patrón discernible

En la figura anterior, la situación (a) ocurre en la parte interior, (b) en el exterior, (c) y (d) cerca del límite. El límite del conjunto presenta una variación y un detalle infinitos (el límite nunca aparecerá uniforme independientemente del factor de zoom), así como la auto-semejanza. (Código fuente de Object Pascal de Omar Awile)

Un ejemplo que usa la misma técnica pero una función diferente es llamado "biomorfos" por C.A. Pickover. Utiliza la función f (znorte) = pecado (znorte) + e z + cy da lugar a muchas criaturas de aspecto biológico dependiendo del valor de la constante "c".

Conjunto Julia

Conjunto de Julia Quaternion

Atractores extraños

Una segunda técnica, a menudo llamada "hopalong" por un artículo de Barry Martin en Scientific American en 1986, se utiliza normalmente para representar el atractor extraño de un sistema caótico, por ejemplo, el conocido conjunto de Julia. En este caso, cada coordenada generada por la serie se dibuja como un pequeño punto, es decir: saltamos de un punto al siguiente. Para una imagen en un plano, la serie es una ecuación de una variable compleja o hay dos ecuaciones interrelacionadas, una para la coordenada xy otra para la coordenada y. Como ejemplo, considere la siguiente función:

Esta serie de coordenadas x, y está especificada por un punto inicial xo, yo y tres constantes a, by c. El siguiente es un ejemplo donde a = 0.4, b = 1 y c = 0.

Curiosamente para los atractores extraños, el punto inicial no importa (excepto en algunos casos especiales), es decir: todas las coordenadas iniciales xo, yo dan como resultado la misma imagen. Es decir, la imagen muestra los pares x, y que puede generar la serie, cualquier punto inicial generará el mismo conjunto de puntos aunque se generarán en un orden diferente. Otro ejemplo atribuido a Peter de Jong usa las dos ecuaciones

Esto produce zarcillos en forma de remolino que parecen tridimensionales; a continuación se muestra un ejemplo donde a = -2,24, b = -0,65, c = 0,43, d = -2,43.

Lorenz, Rossler, Atractor de Duffing

Newton Raphson

Esta técnica se basa en el método de Newton Raphson para encontrar la solución (raíces) de una ecuación polinomial de la forma

El método genera una serie donde la n + 1 'aproximación a la solución viene dada por

donde f '(znorte) es la pendiente (primera derivada) de f (z) evaluada en znorte. Para crear una imagen 2D usando esta técnica, cada punto en una partición del plano se usa como conjetura inicial, zo, a la solución. El punto se colorea según la solución que se encuentre y / o el tiempo que tardó en llegar a la solución. Un ejemplo simple es una aplicación de lo anterior para encontrar las tres raíces del polinomio z * z * z - 1 = 0. A continuación se muestra la apariencia de una pequeña porción del cuadrante positivo real e imaginario del plano complejo. Una característica de los sistemas caóticos es que condiciones iniciales muy similares pueden dar lugar a comportamientos muy diferentes. En la imagen mostrada hay puntos muy próximos uno de los cuales converge a la solución muy rápido y el otro converge muy lentamente.

DLA - Agregación limitada por difusión

"Los fractales más útiles implican el azar. Tanto sus regularidades como sus irregularidades son estadísticas". - Benoit B. Mandelbrot.

Se pueden generar muchas imágenes atractivas utilizando la teoría de las áreas de Química y Física. Un ejemplo de este tipo es la agregación limitada por difusión o DLA que describe, entre otras cosas, la difusión y agregación de iones de zinc en una solución electrolítica sobre electrodos. Otra descripción más colorida involucra una plaza de la ciudad rodeada de tabernas. Los borrachos salen de las tabernas y se tambalean al azar por la plaza hasta que finalmente tropiezan con uno de sus insensatos compañeros, momento en el que arrullados por los sonidos de los tranquilos ronquidos se acuestan y se duermen. La estructura en forma de zarcillo es una vista aérea de la multitud que duerme por la mañana.

Geometría fractal

Casi todas las formas geométricas utilizadas para construir objetos artificiales pertenecen a la geometría euclidiana, se componen de líneas, planos, volúmenes rectangulares, arcos, cilindros, esferas, etc. Estos elementos pueden clasificarse como pertenecientes a una dimensión entera, ya sea 1, 2 , o 3. Este concepto de dimensión puede describirse tanto de forma intuitiva como matemática. Intuitivamente decimos que una línea es unidimensional porque solo se necesita 1 número para definir de manera única cualquier punto en ella. Ese número podría ser la distancia desde el comienzo de la línea. Esto se aplica igualmente bien a la circunferencia de un círculo, una curva o el límite de cualquier objeto.

Un plano es bidimensional ya que para definir unívocamente cualquier punto en su superficie necesitamos dos números. Hay muchas formas de organizar la definición de estos dos números, pero normalmente creamos un sistema de coordenadas ortogonales. Otros ejemplos de objetos bidimensionales son la superficie de una esfera o un plano torcido arbitrario.

El volumen de algún objeto sólido es tridimensional sobre la misma base que el anterior, se necesitan tres números para definir de manera única cualquier punto dentro del objeto.

Una descripción más matemática de la dimensión se basa en cómo se comporta el "tamaño" de un objeto a medida que aumenta la dimensión lineal. En una dimensión, considere un segmento de línea. Si la dimensión lineal del segmento de línea se duplica, obviamente la longitud (tamaño característico) de la línea se ha duplicado. En dos dimensiones, si las dimensiones lineales de un rectángulo, por ejemplo, se duplican, el tamaño característico, el área, aumenta en un factor de 4. En tres dimensiones, si la dimensión lineal de una caja se duplica, el volumen aumenta en un factor de 8. Esta relación entre la dimensión D, la escala lineal L y el aumento resultante en el tamaño S se puede generalizar y escribir como

Esto solo nos dice matemáticamente lo que sabemos de la experiencia diaria. Si escalamos un objeto bidimensional, por ejemplo, el área aumenta en el cuadrado de la escala. Si escalamos un objeto tridimensional, el volumen aumenta en el cubo del factor de escala. Reorganizar lo anterior da una expresión para la dimensión dependiendo de cómo cambia el tamaño en función de la escala lineal, a saber

En los ejemplos anteriores, el valor de D es un número entero, ya sea 1, 2 o 3, según la dimensión de la geometría. Esta relación es válida para todas las formas euclidianas. Sin embargo, hay muchas formas que no se ajustan a la idea de dimensión basada en números enteros dada anteriormente en las descripciones intuitivas y matemáticas. Es decir, hay objetos que parecen ser curvas, por ejemplo, pero un punto de la curva no puede describirse unívocamente con un solo número. Si se aplica la formulación de escala anterior para la dimensión, la fórmula no produce un número entero. Hay formas que se encuentran en un plano, pero si se escalan linealmente por un factor L, el área no aumenta por L al cuadrado sino por alguna cantidad no entera. ¡Estas geometrías se llaman fractales! Una de las formas fractales más simples es el copo de nieve de von Koch. El método para crear esta forma es reemplazar repetidamente cada segmento de línea con los siguientes 4 segmentos de línea.

El proceso comienza con un solo segmento de línea y continúa para siempre. Las primeras iteraciones de este procedimiento se muestran a continuación.

Esto demuestra cómo una regla de generación muy simple para esta forma puede generar algunas propiedades inusuales (fractales). A diferencia de las formas euclidianas, este objeto tiene detalles en todos los niveles. Si uno aumenta una forma euclidiana, como la circunferencia de un círculo, se convierte en una forma diferente, es decir, una línea recta. Si magnificamos este fractal cada vez se descubren más detalles, el detalle es auto-similar o más bien es exactamente auto-similar. Dicho de otra manera, cualquier porción ampliada es idéntica a cualquier otra porción ampliada.

Tenga en cuenta también que la "curva" de la derecha no es un fractal, sino solo una aproximación de uno. Esto no es diferente de cuando se dibuja un círculo, es solo una aproximación a un círculo perfecto. En cada iteración, la longitud de la curva aumenta en un factor de 4/3. Por tanto, la curva límite es de longitud infinita y, de hecho, la longitud entre dos puntos cualesquiera de la curva es infinita. ¡Esta curva logra comprimir una longitud infinita en un área finita del plano sin cruzarse! Teniendo en cuenta la noción intuitiva de formas unidimensionales, aunque este objeto parece ser una curva con un punto inicial y un punto final, no es posible especificar de forma única ninguna posición a lo largo de la curva con un número como esperamos poder hacer con Curvas euclidianas que son unidimensionales. Aunque el método para crear esta curva es sencillo, no existe una fórmula algebraica que describa los puntos de la curva. Algunas de las principales diferencias entre la geometría fractal y euclidiana se describen en la siguiente tabla.

En primer lugar, el reconocimiento de los fractales es muy moderno, solo se han estudiado formalmente en los últimos 10 años en comparación con la geometría euclidiana que se remonta a más de 2000 años. En segundo lugar, mientras que las formas euclidianas normalmente tienen algunos tamaños característicos o escalas de longitud (por ejemplo, el radio de un círculo o la longitud de un lado de un cubo), los fractales tienen tamaños tan característicos. Las formas fractales son auto-similares e independientes del tamaño o escala. En tercer lugar, la geometría euclidiana proporciona una buena descripción de los objetos hechos por el hombre, mientras que los fractales son necesarios para la representación de geometrías naturales. Es probable que esta limitación de nuestro lenguaje tradicional de la forma sea responsable de la gran diferencia entre los objetos producidos en masa y las formas naturales. Finalmente, las geometrías euclidianas se definen mediante fórmulas algebraicas, por ejemplo

define una esfera. Los fractales son normalmente el resultado de una construcción o algoritmo iterativo o recursivo.

Paisajes fractales

Sistemas L

Lo siguiente se basa en L-Systems como se describe en "Notas de clase en biomatemática" por Przemyslaw Prusinkiewcz y James Hanan. Aquí se presentará una breve descripción de un sistema 0L, pero para una descripción más completa, el usuario debe consultar la literatura.

Ejemplo simple de sistema 0L

Una cadena de caracteres (símbolos) se reescribe en cada iteración de acuerdo con algunas reglas de reemplazo. Considere una cadena inicial (axioma)

Después de una iteración, resultaría la siguiente cadena

F + F-F-FF + F + F-F + F + F-F-FF + F + F-F + F + F-F-FF + F + F-F + F + F-F-FF + F + F-F

Para la siguiente iteración se aplica la misma regla pero ahora a la cadena resultante de la última iteración

F + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + FF-F + FF-FF + F + FF-F + FF-FF + F + F-FF + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + FF-F + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + FF-F + FF-FF + F + FF-F + FF-FF + F + F-FF + FF-FF + F + F-F + F + FF- FF + F + F-F + F + FF-FF + F + FF-F + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + FF-F + FF-FF + F + FF-F + FF-FF + F + F-FF + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + FF-F + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + FF-F + FF-FF + F + FF-F + FF-FF + F + F-FF + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + F-F + F + FF-FF + F + FF-F + FF-FF + F + FF

Algunos símbolos ahora tienen un significado gráfico, por ejemplo, F significa avanzar trazando una línea, + significa girar a la derecha en un ángulo predefinido (90 grados en este caso), - significa girar a la izquierda. Usando estos símbolos, la cadena inicial F + F + F + F es solo un rectángulo (& oslash = 90). La regla de reemplazo F - & gt F + F-F-FF + F + F-F reemplaza cada movimiento hacia adelante por la siguiente figura

La primera iteración interpretada gráficamente es

La siguiente iteración interpretada gráficamente es:

Los siguientes caracteres tienen una interpretación geométrica.

El uso reciente de L-Systems es para la creación de objetos de apariencia realista que ocurren en la naturaleza y, en particular, en la estructura ramificada de las plantas. Una de las características importantes de los sistemas L es que solo se requiere una pequeña cantidad de información para representar objetos muy complejos. Entonces, mientras que los arbustos en la figura 9 contienen muchos miles de líneas, pueden describirse en una base de datos con solo unos pocos bytes de datos, los arbustos reales solo se "hacen crecer" cuando se requieren para la presentación visual. Usando algoritmos de L-System adecuadamente diseñados, es posible diseñar las reglas de producción de L-System que crearán una clase particular de planta.


Aparece en la portada de la revista HPC (High Performance Computing), 3 de agosto de 2001.

IFS - Sistemas de funciones iteradas

En lugar de trabajar con líneas como en los sistemas L, IFS reemplaza polígonos por otros polígonos como lo describe un generador. En cada iteración, cada polígono se reemplaza por una versión adecuadamente escalada, rotada y traducida de los polígonos en el generador. La Figura 10 muestra dos de estos generadores hechos de rectángulos y el resultado después de una y seis iteraciones. De esta descripción geométrica también es posible derivar una descripción hopalong que da la imagen que se crearía después de iterar el modelo geométrico hasta el infinito. La descripción de esto es un conjunto de transformaciones contractivas en un plano de la forma.

cada uno con una probabilidad asignada. Para ejecutar el sistema se elige un punto inicial y en cada iteración se elige aleatoriamente una de las transformaciones de acuerdo con las probabilidades asignadas, los puntos resultantes (xn, yn) se dibujan en la página. Como en el caso de los sistemas L, si se puede determinar el código IFS para una imagen deseada (mediante algo llamado teorema de Collage), entonces se pueden lograr grandes relaciones de compresión de datos. En lugar de almacenar la geometría del objeto muy complejo, solo es necesario almacenar el generador IFS y la imagen se puede generar cuando sea necesario. El proceso iterativo fundamental implica reemplazar rectángulos con una serie de rectángulos llamados generador. Los rectángulos se reemplazan por una versión del generador adecuadamente escalada, trasladada y rotada.

Consta de tres rectángulos, cada uno con su propio centro, dimensiones y ángulo de rotación. Las condiciones iniciales generalmente consisten en un solo cuadrado, la primera iteración luego consiste en reemplazar este cuadrado por una versión del generador adecuadamente posicionada, escalada y rotada.

La siguiente iteración implica reemplazar cada uno de los rectángulos en el sistema actual por versiones del generador colocadas, escaladas y rotas adecuadamente, lo que da como resultado lo siguiente

La siguiente iteración reemplaza cada rectángulo de arriba nuevamente por el generador inicial como se muestra

Hopalong o "El juego del caos"

Existe una técnica mediante la cual se puede derivar la forma resultante después de un número infinito de iteraciones. Esta es una función de la forma

Esto da una serie de puntos (x, y) todos los cuales se encuentran en el resultado de un IFS infinito. Aunque todavía se necesitan un número infinito de términos en esta serie para formar el resultado, la apariencia se puede apreciar fácilmente después de un número modesto de términos (10000 digamos).

Tenga en cuenta que con ambos métodos es posible crear la imagen a cualquier escala. En muchos casos, pero no en todos, los ejemplos ampliados exhibirán auto-similitud en todas las escalas. Las aplicaciones generalmente implican la reducción de datos para archivos de modelo. Si se puede encontrar un generador para una imagen compleja, almacenar el generador y las reglas de producción da como resultado una gran reducción de datos. Por ejemplo, la maleza en los ejemplos anteriores podría eventualmente contener más de 2000 rectángulos, pero está completamente especificada por las características de 3 rectángulos, solo 5 números, centro (cx, cy), escala (sx, sy) y ángulo (& oslash) Nota: No es necesariamente trivial derivar un generador rectangular para una forma arbitraria, aunque es posible crear un generador poligonal para cualquier forma.

IFS helecho

IFS aleatorio

Lavabos Wada

Referencias

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Blumenthol, Leonard. & amp Menger, Karl, Estudios en Geometría, W.H.Freeman & amp Co, 1970

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Mandelbrot, Benoit., La geometría fractal de la naturaleza, W.H. Freeman & amp Co, NY, 1982

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Prusinkiewicz, P, Aplicaciones gráficas de L-Systems, Proc. of Graphics Interface 1986 - Vision Interface, 1986, páginas 247-253.

Przemyslaw Prusinkiewicz, James Hanan, Notas de la clase en biomatemática n. ° 79

Przemyslaw Prusinkiewicz, Aplicación de L-Systems a las imágenes por computadora, Notas de clase en Ciencias de la Computación # 291, páginas 534-548

Prusinkiewicz, P y Lindenmayer A., La belleza algorítmica de las plantas, Springer Verleg, 1990, páginas 40-50


Fenómenos críticos

Algunos sistemas tienen una propiedad conocida como criticidad. Un sistema es crítico si su estado cambia drásticamente dada una pequeña entrada. Para que esto tenga sentido, necesitamos introducir varios conceptos nuevos.

Un parámetro de orden es una característica macroscópica (global o sistémica) del sistema que le dice a uno cómo las partes del sistema compiten o cooperan entre sí. Por lo tanto, existe un estado de orden entre las partes cuando actúan colectivamente (en cuyo caso el parámetro de orden es distinto de cero) y un estado de desorden cuando luchan entre sí, haciendo lo contrario de sus vecinos (en cuyo caso el el parámetro de orden es cero).

La parámetro de control es una entrada externa al sistema que se puede variar para cambiar el parámetro de orden y, por lo tanto, las características macroscópicas del sistema. Esto se denomina Afinación el parámetro de control para cambiar el sistema entre varios etapas o regímenes es posible haber ordenado, caótico y crítico (borde del caos) etapas. Un ejemplo común se refiere al fenómeno del magnetismo en una pieza de metal. Aquí el parámetro de orden es el grado de magnetismo y el parámetro de control es la temperatura. A medida que el imán se calienta, el magnetismo disminuye al aumentar el parámetro de control disminuye el parámetro de orden. El sistema sufre una fasetransición para que en un crítico temperatura el magnetismo se desvanece. Esta es una característica general de los sistemas complejos que ajustan el parámetro de control del sistema a un cierto punto crítico da como resultado una transición de fase en la que el sistema sufre un cambio radical instantáneo en sus características cualitativas (las fases del agua, de gas a líquido a sólido, es otro ejemplo común). El estudio general de tal comportamiento es el teoría de los fenómenos críticos.

Un sistema que se encuentra en un punto crítico tiene un grado extremadamente alto de conectividad entre sus subunidades: ¡todo depende de todo lo demás! Se dice que los sistemas complejos son listo en tal posición, entre el orden y el caos. El grado de conexión está codificado en el función de correlación. Esta función nos dice cuánto pares de subunidades se influyen entre sí y cuánto varía esta influencia con la distancia. La distancia más lejana que se extiende la influencia se conoce como longitud de correlación más allá de esta distancia, las subunidades son independientes y no se ven afectadas entre sí. Cuanto más separadas estén dos subunidades, menos se influyen entre sí (el efecto de influencia disminuye exponencialmente con la distancia). La longitud de la correlación puede verse influida por sí misma por el parámetro de control. Cuando el parámetro de control se ajusta al punto crítico, la longitud de correlación se vuelve infinita y todas las subunidades se suceden. La influencia aún decae exponencialmente con la distancia, pero en el régimen crítico, se abren más vías entre pares de subunidades para que la conectividad del sistema se amplifique masivamente. Como consecuencia, una pequeña perturbación en el sistema (incluso en una sola subunidad) puede producir cambios sistémicos masivos. Tipos muy diferentes de sistemas críticos exhiben las mismas propiedades & # x02014por ejemplo, multitudes que se comportan como los átomos en un imán. Esta característica se conoce como universalidad. 14

La universalidad está relacionada con otro concepto: escalada. Leyes de escala, o leyes de poder tener la siguiente forma: F(X) & # x0223c x & # x02212 & # x003b1 en otras palabras, la probabilidad F(X) de un evento de magnitud X que ocurre es inversamente proporcional a X. 12 El sociólogo Vilfred Pareto notó que la distribución estadística de la riqueza de los individuos en una población seguía tal ley: pocos son ricos, algunos están bien y muchos son pobres. Siempre que los sistemas se describen mediante leyes de escala que comparten los mismos exponentes (el término & # x003b1), mostrarán un comportamiento similar de alguna manera (por lo tanto, universalidad). Se dice que tales sistemas pertenecen a la misma clase de universalidad. 66 Por ejemplo, diversos países siguen la ley de Pareto, al igual que las ciudades. Este resultado podría extrapolarse fácilmente a la distribución de la salud de los individuos dentro y entre poblaciones, con importantes implicaciones para la investigación sobre las desigualdades en salud.

Si un sistema muestra el comportamiento de la ley de potencia, entonces es escala & # x02010free y sus partes tienen correlaciones invariantes de escala entre ellas. Lo que esto significa es que el sistema no posee un escala característica en el sentido de que pueden ocurrir eventos de todas las magnitudes. Para darle sentido a esto, tomemos un ejemplo de un sistema que tiene una escala característica: la altura humana. La mayoría de los humanos tienen aproximadamente la misma altura. Hay algunos & # x0201coutliers & # x0201d que son muy altos o muy pequeños, pero la mayoría miden alrededor de 5 & # x02032 8 & # x02033. Ahora considere los terremotos. Estos pueden ser extremadamente pequeños y extremadamente masivos, pero la mayoría son insignificantes. Este es un ejemplo de un sistema que no tiene una escala característica, satisface una ley de escala (la ley de Gutenberg & # x02013Richter). Tenga en cuenta que yo & # x02010similarity , escala invariance y leyes de poder son solo formas equivalentes de decir que no hay una escala característica. Varios estudios empíricos han confirmado que los sistemas de salud obedecen a las leyes de poder para una serie de cantidades de interés, como las listas de espera de los hospitales. 4, 16, 23, 24, 37 Estos estudios tienen claras implicaciones políticas si varios sistemas de prestación de servicios de salud exhiben un comportamiento de poder y ley, entonces deberíamos replantear nuestras teorías de intervención y gestión en términos de ciencia de sistemas complejos. No deberíamos sorprendernos si ocurren grandes catástrofes sin una razón discernible, y no deberíamos sorprendernos si nuestra intervención masiva para reducir los tiempos de espera empleando más personal no hace nada por la eficiencia o incluso la empeora. Sin embargo, debemos ser cautelosos al utilizar el comportamiento de la ley de poder para inferir un sistema complejo subyacente, ya que las leyes de poder se pueden generar de diversas formas. 67, 68


4. Caos, determinismo y mecánica cuántica

Una de las características interesantes de SDIC es que no existe un límite inferior en cuanto a cuán pequeño puede ser un cambio o perturbación, y los efectos más pequeños eventualmente se amplificarán y afectarán el comportamiento de cualquier sistema que exhiba SDIC. Varios autores han argumentado que el caos a través de SDIC abre una puerta para que la mecánica cuántica `` infecte '' los sistemas caóticos de la mecánica clásica (por ejemplo, Hobbs 1991 Barone et al. 1993 Kellert 1993 Obispo 2008). [7] El punto esencial es que la naturaleza de tipos particulares de dinámica no lineal y mdash aquellos que exhiben estiramiento y plegamiento (confinamiento) de trayectorias, donde no hay cruces de trayectoria, y que exhiben órbitas aperiódicas y mdasha aparentemente abren la puerta para que los efectos cuánticos cambien el comportamiento de sistemas macroscópicos caóticos. El argumento central se ejecuta de la siguiente manera y se conoce como el argumento de dependencia sensible (argumento SD para abreviar):

  1. Para los sistemas que exhiben SDIC, las trayectorias que comienzan en una región altamente localizada del espacio estatal divergirán en promedio exponencialmente rápido unas de otras.
  2. La mecánica cuántica limita la precisión con la que los sistemas físicos se pueden especificar a una vecindad en el espacio de fase de no menos de (1 / (2 pi / h) ^), where (h) is Plank&rsquos constant (with units of action) and (N) is the dimension of the system in question.
  3. Given enough time and the quantum mechanical bound on the neighborhood (varepsilon) for the initial conditions, two trajectories of the same chaotic system will have future states localizable to a much larger region (delta) in phase space (from (A) and (B)).
  4. Therefore, quantum mechanics will influence the outcomes of chaotic systems leading to a violation of unique evolution.

Premise (A) makes clear that SD is the operative definition for characterizing chaotic behavior in this argument, invoking exponential growth characterized by the largest global Lyapunov exponent. Premise (B) expresses the precision limit for the state of minimum uncertainty for momentum and position pairs in an (N)-dimensional quantum system (note, the exponent is (2N) in the case of uncorrelated electrons). [8] The conclusion of the argument in the form given here is actually stronger than that quantum mechanics can influence a macroscopic system exhibiting SDIC determinism fails for such systems because of such influences. Briefly, the reasoning runs as follows. Because of SDIC, nonlinear chaotic systems whose initial states can be located only within a small neighborhood (varepsilon) of state space will have future states that can be located only within a much larger patch (delta). For example, two isomorphic nonlinear systems of classical mechanics exhibiting SDIC, whose initial states are localized within (varepsilon), will have future states that can be localized only within (delta). Since quantum mechanics sets a lower bound on the size of the patch of initial conditions, unique evolution must fail for nonlinear chaotic systems.

The SD argument does not go through as smoothly as some of its advocates have thought, however. There are difficult issues regarding the appropriate version of quantum mechanics (e.g., von Neumann, Bohmian or decoherence theories see entries under quantum mechanics), the nature of quantum measurement theory (collapse vs. non-collapse theories see the section on the measurement problem in the entry on philosophical issues in quantum theory), and the selection of the initial state characterizing the system that must be resolved before one can say clearly whether or not unique evolution is violated. For instance, just because quantum effects might influence macroscopic chaotic systems doesn&rsquot guarantee that determinism fails for such systems. Whether quantum interactions with nonlinear macroscopic systems exhibiting SDIC contribute indeterministically to the outcomes of such systems depends on the currently undecidable question of indeterminism in quantum mechanics and the measurement problem as well as on how one chooses to the system-measurement apparatus cut (Bishop 2008).

To expand on one issue, there is a serious open question as to whether the indeterminism in quantum mechanics is simply the result of ignorance due to epistemic limitations or if it is an ontological feature of the quantum world. Suppose that quantum mechanics is ultimately deterministic, but that there is some additional factor, a hidden variable as it is often called, such that if this variable were available to us, our description of quantum systems would be fully deterministic. Another possibility is that there is an interaction with the broader environment that accounts for how the probabilities in quantum mechanics arise (physicists call this approach &ldquodecoherence&rdquo). Under either of these possibilities, we would interpret the indeterminism observed in quantum mechanics as an expression of our ignorance, and, hence, indeterminism would not be a fundamental feature of the quantum domain. It would be merely epistemic in nature due to our lack of knowledge or access to quantum systems. So if the indeterminism in QM is not ontologically genuine, then whatever contribution quantum effects make to macroscopic systems exhibiting SDIC would not violate unique evolution. In contrast, suppose it is the case that quantum mechanics is genuinely indeterministic that is, all the relevant factors of quantum systems do not fully determine their behavior at any given moment. Then the possibility exists that not all physical systems traditionally thought to be in the domain of classical mechanics can be described using strictly deterministic models, leading to the need to approach the modeling of such nonlinear systems differently.

Moreover, the possible constraints of nonlinear classical mechanics systems on the amplification of quantum effects must be considered on a case-by-case basis. For instance, damping due to friction can place constraints on how quickly amplification of quantum effects can take place before they are completely washed out (Bishop 2008). And one has to investigate the local finite-time dynamics for each system because these may not yield any on-average growth in uncertainties (e.g., Smith, Ziehmann, Fraedrich 1999).

In summary, there is no abstract, a priori reasoning establishing the truth of the SD argument the argument can only be demonstrated on a case-by-case basis. Perhaps detailed examination of several cases would enable us to make some generalizations about how wide spread the possibilities for the amplification of quantum effects are.


Mitchell Jay Feigenbaum

Mitchell Feigenbaum's father is Abraham Joseph Feigenbaum, an analytic chemist whose parents had emigrated from a town near Warsaw in Poland to the United States. Mitchell's ( or Mitch's as he is known ) mother is Mildred Sugar whose parents emigrated to the United States from Kiev. Mitchell was the middle child of his parents three children, having an older brother Edward and a younger sister Glenda.

Mitchell entered a public school for gifted children when he was five years old. Unlike Edward who displayed all the characteristics of a child prodigy, reading from a very young age, Mitchell could not read when he entered school and he needed tutoring from his mother to bring him up to the level of the other children. Moved to a different school, he became somewhat bored and had no friends among the other children. In fact up until the time he went to university Mitchell would not enjoy the company of his fellow pupils.

Feigenbaum's mother taught him algebra when he was in the fifth form but reading continued to be something that he did not like much. Perhaps the reason was that he tried reading articles in Encyclopaedia Britannica which, given that he was so young, proved too difficult for him to understand. When he was twelve years old he started his high school education in Brooklyn. About the same time he began to develop certain obsessive tendencies such as excessive cleanliness which meant that he was continually washing his hands. He suffered these difficulties for quite a few years but overcame them when a university student.

The school system seemed unable to provide Feigenbaum with the right stimulus for he tried as hard as he could to avoid classes despite making remarkable academic progress and scoring full marks in mathematics and science in the examinations covering the State. Even when he went to Tilden High School in Brooklyn, a school with a fine reputation, Feigenbaum found the education there no more enjoyable, despite once again excelling in examinations.

In [ 1 ] Feigenbaum described how his love of calculating started at school:-

In fact while at school Feigenbaum had usually learnt more in studying by himself than in the formal lessons. He had already taught himself to play the piano when he was about 12 years old, but at high school he taught himself calculus. Also at high school a friend of his father gave him a mechanical device with switching circuits that could play nim and other games. The machine came with a paper by Shannon on Boolean logic which fascinated Feigenbaum with his self-learning attitude.

In February 1960 , at the age of sixteen, Feigenbaum entered the City College of New York. There he studied electrical engineering but attended all the mathematics courses and the physics courses in addition to those in electrical engineering. Completing the five year course in less than four years he graduated with a Bachelor's degree in 1964 . In the summer of that year he began his graduate studies at Massachusetts Institute of Technology. He entered MIT with the intention of researching in electrical engineering for his doctorate but after only one term he changed to physics and began to study general relativity.

Now again general relativity was a topic which he studied on his own, reading the book Course of Theoretical Physics by Lev Landau and Evgenii Lifshitz. His official courses were on quantum mechanics, classical mechanics, and complex function theory. It was while he was at MIT that Feigenbaum first used a computer but not as part of his studies there. It was when he was visiting Brooklyn Polytechnic that he found they had a programmable digital computer. He writes [ 1 ] :-

At MIT Feigenbaum's doctoral studies were supervised by Francis Low and he was awarded a doctorate in 1970 for a dissertation on dispersion relations. Following this he went to Cornell as an instructor/research associate, a post which was half funded by an NSF postdoctoral grant, and half funded as a teaching post. During his two years at Cornell he taught courses on variational techniques and on quantum mechanics. He used a HP computer at Cornell which perhaps could be better described as a programmable calculator. The machine had only one other user, Ken Wilson, so he was able to spend time mastering its use.

After the two years at Cornell, Feigenbaum went to Virginia Polytechnic Institute as a postdoctoral worker, again with a two year position. He again taught, giving courses on Banach spaces and C ∗ C^ <*>C ∗ -algebras. Certainly these short term posts were not ideal. As Feigenbaum said ( see [ 7 ] ) :-

Feigenbaum did not actually work with the precise logistic equation which May studied and in fact his work was independent of that by May. What Feigenbaum pointed out, if we state it in terms of the notation set up above, was that if λ n lambda_ λ n ​ is the parameter value at which the n n n th bifurcation occurs then

When Feigenbaum first found 4 . 669 in August 1975 , which he only found to three places due to the limit of the accuracy of his HP 65 , he spend some time trying to see if it was a simple combination of 'well-known' numbers. He did not find anything. Of course, now the number is 'well-known' and called the Feigenbaum number.

This in itself was surprising but in October 1975 Feigenbaum found that this number is the same for a large class of period doubling mappings. This was indeed remarkable and Feigenbaum realised the significance of it immediately [ 1 ] :-

By April 1976 Feigenbaum had completed his first paper on the topic. He submitted it to a journal but after taking six months to referee the paper they rejected it. By 1977 he had been asked by over a 1000 scientists for a copy of it. He eventually managed to get it published in 1978 . His second, more technical, paper finished in November 1976 , suffered a similar fate and was rejected when first submitted. It eventually appeared in print in 1979 . Feigenbaum presents an elementary review on period-doubling bifurcations in nonlinear dynamical systems in [ 4 ] .

Feigenbaum has made other contributions to the theory of chaos and he has also written two papers on the mathematics of making maps. In one of these ( the paper [ 2 ] ) Feigenbaum writes:-

It might at this point be reasonable to wonder whether Feigenbaum considers himself a mathematician or a physicist. His view is that there is no hard distinction between physics and mathematics. We agree with him and certainly in constructing this archive we have taken the view that mathematics includes theoretical physics.

In 1982 Feigenbaum left Los Alamos when he was appointed to a professorship at Cornell. Four years later he became the first Toyota professor at Rockefeller University. In the same year that he was appointed to Rockefeller University he was awarded the Wolf Prize in physics. The citation for the prize said that it was awarded to Feigenbaum:-


9.2: Characteristics of Chaos - Mathematics

Professor: Mark Schumaker MW 2:10-3:30 and by appointment. Neill 209.
Grader: Eric Larson, M F 11-12. Neill 318

Homework Assignments for Math 415

( In Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos)

Problems #2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.2.2, 2.3.2

Eric Larson's homework solutions

Date AssignedLink to solutions
01/09/201 2 Math_415_EL_HW_1
01/18/2012Math 415_EL_HW_2
01/23/2012Math 415_EL_HW_3
01/23/2012 (Schumaker)Math_415_Homework_3
01/30/2012 (Schumaker)Math_415_Homework_4
02/06/2012Math_415_EL_HW_5Answers
02/13/2012 (Schumaker)Math_415_Homework_6

practice exam 2 without answersExam_2_Spring_2010
practice exam 2 with answersExam_2_Spring_2010 Answers
first day handoutFirstDay
practice exam I without answers
ExamI06.pdf
practice exam I with answers
ExamI06Ans.pdf
exam 1 notesExam I notes.pdf
practice exam II without answers
ExamII06.pdf
practice exam II with answers
ExamII06Ans.pdf
self-organized criticality (forest fires)Malamudetal98
networks (Strogatz's review article)Strogatz01
synchrony and bridgesStrogatz05
circadian rhythms and insomniaStrogatzetal87
deaths of languagesAbramsStrogatz03
evolution in population dynamicsTurchin03
chaos in the outer solar systemMurrayHolman99
population growth of paramecia modeled by logistic equation (see upper panel Fig. 23 and TABLE XI).gause web site
nullclines example Nullclines2
topological equivalenceTopological_Equivalence
glycolysis example & Van der Pol oscillatorglycolysis.nb
March 9 Lecture NotesMarch 9 Lecture Notes
Limits to growthlimits_to_growth
Simulation screenshot


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Contenido

Systems Edit

Complex systems are chiefly concerned with the behaviors and properties of sistemas. A system, broadly defined, is a set of entities that, through their interactions, relationships, or dependencies, form a unified whole. It is always defined in terms of its Perímetro, which determines the entities that are or are not part of the system. Entities lying outside the system then become part of the system's ambiente.

A system can exhibit propiedades que producen behaviors which are distinct from the properties and behaviors of its parts these system-wide or global properties and behaviors are characteristics of how the system interacts with or appears to its environment, or of how its parts behave (say, in response to external stimuli) by virtue of being within the system. La noción de comportamiento implies that the study of systems is also concerned with processes that take place over time (or, in mathematics, some other phase space parameterization). Because of their broad, interdisciplinary applicability, systems concepts play a central role in complex systems.

As a field of study, a complex system is a subset of systems theory. General systems theory focuses similarly on the collective behaviors of interacting entities, but it studies a much broader class of systems, including non-complex systems where traditional reductionist approaches may remain viable. Indeed, systems theory seeks to explore and describe todas classes of systems, and the invention of categories that are useful to researchers across widely varying fields is one of the systems theory's main objectives.

As it relates to complex systems, systems theory contributes an emphasis on the way relationships and dependencies between a system's parts can determine system-wide properties. It also contributes to the interdisciplinary perspective of the study of complex systems: the notion that shared properties link systems across disciplines, justifying the pursuit of modeling approaches applicable to complex systems wherever they appear. Specific concepts important to complex systems, such as emergence, feedback loops, and adaptation, also originate in systems theory.

Complexity Edit

"Systems exhibit complexity" means that their behaviors cannot be easily inferred from their properties. Any modeling approach that ignores such difficulties or characterizes them as noise, then, will necessarily produce models that are neither accurate nor useful. As yet no fully general theory of complex systems has emerged for addressing these problems, so researchers must solve them in domain-specific contexts. Researchers in complex systems address these problems by viewing the chief task of modeling to be capturing, rather than reducing, the complexity of their respective systems of interest.

While no generally accepted exact definition of complexity exists yet, there are many archetypal examples of complexity. Systems can be complex if, for instance, they have chaotic behavior (behavior that exhibits extreme sensitivity to initial conditions, among other properties), or if they have emergent properties (properties that are not apparent from their components in isolation but which result from the relationships and dependencies they form when placed together in a system), or if they are computationally intractable to model (if they depend on a number of parameters that grows too rapidly with respect to the size of the system).

Networks Edit

The interacting components of a complex system form a network, which is a collection of discrete objects and relationships between them, usually depicted as a graph of vertices connected by edges. Networks can describe the relationships between individuals within an organization, between logic gates in a circuit, between genes in gene regulatory networks, or between any other set of related entities.

Networks often describe the sources of complexity in complex systems. Studying complex systems as networks, therefore, enables many useful applications of graph theory and network science. Many complex systems, for example, are also complex networks, which have properties such as phase transitions and power-law degree distributions that readily lend themselves to emergent or chaotic behavior. The fact that the number of edges in a complete graph grows quadratically in the number of vertices sheds additional light on the source of complexity in large networks: as a network grows, the number of relationships between entities quickly dwarfs the number of entities in the network.

Nonlinearity Edit

Complex systems often have nonlinear behavior, meaning they may respond in different ways to the same input depending on their state or context. In mathematics and physics, nonlinearity describes systems in which a change in the size of the input does not produce a proportional change in the size of the output. For a given change in input, such systems may yield significantly greater than or less than proportional changes in output, or even no output at all, depending on the current state of the system or its parameter values.

Of particular interest to complex systems are nonlinear dynamical systems, which are systems of differential equations that have one or more nonlinear terms. Some nonlinear dynamical systems, such as the Lorenz system, can produce a mathematical phenomenon known as chaos. Chaos, as it applies to complex systems, refers to the sensitive dependence on initial conditions, or "butterfly effect", that a complex system can exhibit. In such a system, small changes to initial conditions can lead to dramatically different outcomes. Chaotic behavior can, therefore, be extremely hard to model numerically, because small rounding errors at an intermediate stage of computation can cause the model to generate completely inaccurate output. Furthermore, if a complex system returns to a state similar to one it held previously, it may behave completely differently in response to the same stimuli, so chaos also poses challenges for extrapolating from experience.

Emergence Edit

Another common feature of complex systems is the presence of emergent behaviors and properties: these are traits of a system that are not apparent from its components in isolation but which result from the interactions, dependencies, or relationships they form when placed together in a system. Emergence broadly describes the appearance of such behaviors and properties, and has applications to systems studied in both the social and physical sciences. While emergence is often used to refer only to the appearance of unplanned organized behavior in a complex system, emergence can also refer to the breakdown of an organization it describes any phenomena which are difficult or even impossible to predict from the smaller entities that make up the system.

One example of a complex system whose emergent properties have been studied extensively is cellular automata. In a cellular automaton, a grid of cells, each having one of the finitely many states, evolves according to a simple set of rules. These rules guide the "interactions" of each cell with its neighbors. Although the rules are only defined locally, they have been shown capable of producing globally interesting behavior, for example in Conway's Game of Life.

Spontaneous order and self-organization Edit

When emergence describes the appearance of unplanned order, it is spontaneous order (in the social sciences) or self-organization (in physical sciences). Spontaneous order can be seen in herd behavior, whereby a group of individuals coordinates their actions without centralized planning. Self-organization can be seen in the global symmetry of certain crystals, for instance the apparent radial symmetry of snowflakes, which arises from purely local attractive and repulsive forces both between water molecules and their surrounding environment.

Adaptation Edit

Complex adaptive systems are special cases of complex systems that are adaptive in that they have the capacity to change and learn from experience. Examples of complex adaptive systems include the stock market, social insect and ant colonies, the biosphere and the ecosystem, the brain and the immune system, the cell and the developing embryo, the cities, manufacturing businesses and any human social group-based endeavor in a cultural and social system such as political parties or communities. [3]

Complex systems may have the following features: [4]

Cascading failures Due to the strong coupling between components in complex systems, a failure in one or more components can lead to cascading failures which may have catastrophic consequences on the functioning of the system. [5] Localized attack may lead to cascading failures and abrupt collapse in spatial networks. [6] Complex systems may be open Complex systems are usually open systems — that is, they exist in a thermodynamic gradient and dissipate energy. In other words, complex systems are frequently far from energetic equilibrium: but despite this flux, there may be pattern stability, see synergetics. Complex systems may exhibit critical transitions

Although arguably, humans have been studying complex systems for thousands of years, the modern scientific study of complex systems is relatively young in comparison to established fields of science such as physics and chemistry. The history of the scientific study of these systems follows several different research trends.

In the area of mathematics, arguably the largest contribution to the study of complex systems was the discovery of chaos in deterministic systems, a feature of certain dynamical systems that is strongly related to nonlinearity. [23] The study of neural networks was also integral in advancing the mathematics needed to study complex systems.

The notion of self-organizing systems is tied with work in nonequilibrium thermodynamics, including that pioneered by chemist and Nobel laureate Ilya Prigogine in his study of dissipative structures. Even older is the work by Hartree-Fock on the quantum chemistry equations and later calculations of the structure of molecules which can be regarded as one of the earliest examples of emergence and emergent wholes in science.

One complex system containing humans is the classical political economy of the Scottish Enlightenment, later developed by the Austrian school of economics, which argues that order in market systems is spontaneous (or emergent) in that it is the result of human action, but not the execution of any human design. [24] [25]

Upon this, the Austrian school developed from the 19th to the early 20th century the economic calculation problem, along with the concept of dispersed knowledge, which were to fuel debates against the then-dominant Keynesian economics. This debate would notably lead economists, politicians, and other parties to explore the question of computational complexity. [ cita necesaria ]

A pioneer in the field, and inspired by Karl Popper's and Warren Weaver's works, Nobel prize economist and philosopher Friedrich Hayek dedicated much of his work, from early to the late 20th century, to the study of complex phenomena, [26] not constraining his work to human economies but venturing into other fields such as psychology, [27] biology and cybernetics. Gregory Bateson played a key role in establishing the connection between anthropology and systems theory he recognized that the interactive parts of cultures function much like ecosystems.

While the explicit study of complex systems dates at least to the 1970s, [28] the first research institute focused on complex systems, the Santa Fe Institute, was founded in 1984. [29] [30] Early Santa Fe Institute participants included physics Nobel laureates Murray Gell-Mann and Philip Anderson, economics Nobel laureate Kenneth Arrow, and Manhattan Project scientists George Cowan and Herb Anderson. [31] Today, there are over 50 institutes and research centers focusing on complex systems. [ cita necesaria ]

Complexity in practice Edit

The traditional approach to dealing with complexity is to reduce or constrain it. Typically, this involves compartmentalization: dividing a large system into separate parts. Organizations, for instance, divide their work into departments that each deal with separate issues. Engineering systems are often designed using modular components. However, modular designs become susceptible to failure when issues arise that bridge the divisions.

Complexity management Edit

As projects and acquisitions become increasingly complex, companies and governments are challenged to find effective ways to manage mega-acquisitions such as the Army Future Combat Systems. Acquisitions such as the FCS rely on a web of interrelated parts which interact unpredictably. As acquisitions become more network-centric and complex, businesses will be forced to find ways to manage complexity while governments will be challenged to provide effective governance to ensure flexibility and resiliency. [32]

Complexity economics Edit

Over the last decades, within the emerging field of complexity economics, new predictive tools have been developed to explain economic growth. Such is the case with the models built by the Santa Fe Institute in 1989 and the more recent economic complexity index (ECI), introduced by the MIT physicist Cesar A. Hidalgo and the Harvard economist Ricardo Hausmann. Based on the ECI, Hausmann, Hidalgo and their team of The Observatory of Economic Complexity have produced GDP forecasts for the year 2020. [ cita necesaria ]

Complexity and education Edit

Focusing on issues of student persistence with their studies, Forsman, Moll and Linder explore the "viability of using complexity science as a frame to extend methodological applications for physics education research", finding that "framing a social network analysis within a complexity science perspective offers a new and powerful applicability across a broad range of PER topics". [33]

Complexity and modeling Edit

One of Friedrich Hayek's main contributions to early complexity theory is his distinction between the human capacity to predict the behavior of simple systems and its capacity to predict the behavior of complex systems through modeling. He believed that economics and the sciences of complex phenomena in general, which in his view included biology, psychology, and so on, could not be modeled after the sciences that deal with essentially simple phenomena like physics. [34] Hayek would notably explain that complex phenomena, through modeling, can only allow pattern predictions, compared with the precise predictions that can be made out of non-complex phenomena. [35]

Complexity and chaos theory Edit

Complexity theory is rooted in chaos theory, which in turn has its origins more than a century ago in the work of the French mathematician Henri Poincaré. Chaos is sometimes viewed as extremely complicated information, rather than as an absence of order. [36] Chaotic systems remain deterministic, though their long-term behavior can be difficult to predict with any accuracy. With perfect knowledge of the initial conditions and the relevant equations describing the chaotic system's behavior, one can theoretically make perfectly accurate predictions of the system, though in practice this is impossible to do with arbitrary accuracy. Ilya Prigogine argued [37] that complexity is non-deterministic and gives no way whatsoever to precisely predict the future. [38]

The emergence of complexity theory shows a domain between deterministic order and randomness which is complex. [39] This is referred to as the "edge of chaos". [40]

When one analyzes complex systems, sensitivity to initial conditions, for example, is not an issue as important as it is within chaos theory, in which it prevails. As stated by Colander, [41] the study of complexity is the opposite of the study of chaos. Complexity is about how a huge number of extremely complicated and dynamic sets of relationships can generate some simple behavioral patterns, whereas chaotic behavior, in the sense of deterministic chaos, is the result of a relatively small number of non-linear interactions. [39]

Therefore, the main difference between chaotic systems and complex systems is their history. [42] Chaotic systems do not rely on their history as complex ones do. Chaotic behavior pushes a system in equilibrium into chaotic order, which means, in other words, out of what we traditionally define as 'order'. [ aclaración necesaria ] On the other hand, complex systems evolve far from equilibrium at the edge of chaos. They evolve at a critical state built up by a history of irreversible and unexpected events, which physicist Murray Gell-Mann called "an accumulation of frozen accidents". [43] In a sense chaotic systems can be regarded as a subset of complex systems distinguished precisely by this absence of historical dependence. Many real complex systems are, in practice and over long but finite periods, robust. However, they do possess the potential for radical qualitative change of kind whilst retaining systemic integrity. Metamorphosis serves as perhaps more than a metaphor for such transformations.

Complexity and network science Edit

A complex system is usually composed of many components and their interactions. Such a system can be represented by a network where nodes represent the components and links represent their interactions. [21] [44] [45] [46] For example, the Internet can be represented as a network composed of nodes (computers) and links (direct connections between computers), and the resilience of the Internet to failures has been studied using percolation theory, a form of complex systems analysis. [47] The failure and recovery of these networks is an open area of research. [12] Other examples of complex networks include social networks, financial institution interdependencies, [48] traffic systems, [49] [50] airline networks, [51] biological networks, and climate networks. [52] Finally, entire networks often interact in a complex manner if an individual complex system can be represented as a network, then interacting complex systems can be modeled as networks of networks with dynamic properties. [53] [13]


Revista SIAM de Matemática Aplicada

The equations governing two models of gasless combustion which exhibit pulsating solutions are numerically solved. The models differ in that one allows for melting of the solid fuel, while the other does not. While both models undergo a Hopf bifurcation from a solution propagating with a constant velocity to one propagating with a pulsating (T-periodic) velocity when parameters related to the activation energy exceed a critical value, the subsequent behavior differs markedly. Numerically both models exhibit a period doubling transition to a $2T$ solution when the bifurcation parameter for each model is further increased. For the model without melting, a sequence of additional period doublings occurs, after which apparently chaotic solutions are found. For the model with melting, it is found that the $2T$ solution returns to the T-periodic solution branch. Then two additional windows of $2T$ behavior are found. After the last such window, the solution no longer returns to the T-periodic solution branch, but rather exhibits intermittency, with long laminar regions interrupted by randomly occurring bursts. Further increasing the bifurcation parameter leads to shorter laminar regions, with the bursts occurring more frequently. Increasing the bifurcation parameter yet further leads to apparently fully chaotic solutions. The numerical results demonstrate two mechanisms for chaotic dynamics in gasless combustion.


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