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8.2: Transformada inversa de Laplace - Matemáticas


Definición de la transformada de Laplace inversa

En la sección 8.1 definimos la transformada de Laplace de (f ) por

[F (s) = { cal L} (f) = int_0 ^ infty e ^ {- st} f (t) , dt. sin número]

También diremos que (f ) es un Transformada de Laplace inversa de (F ), y escribe

[f = { cal L} ^ {- 1} (F). sin número]

Para resolver ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace, debemos poder obtener (f ) a partir de su transformada (F ). Existe una fórmula para hacer esto, pero no podemos usarla porque requiere la teoría de funciones de una variable compleja. Afortunadamente, podemos usar la tabla de transformadas de Laplace para encontrar las transformaciones inversas que necesitaremos.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Usa la tabla de transformadas de Laplace para encontrar

  1. [{ cal L} ^ {- 1} left ({1 over s ^ 2-1} right) nonumber ]
  2. [{ cal L} ^ {- 1} left ({s over s ^ 2 + 9} right). nonumber ]

Solución a

Establecer (b = 1 ) en el par de transformación

[ sinh bt leftrightarrow {b over s ^ 2-b ^ 2} nonumber ]

muestra que

[{ cal L} ^ {- 1} left ({1 over s ^ 2-1} right) = sinh t. nonumber ]

Solución b

Configurando ( omega = 3 ) en el par de transformación

[ cos omega t leftrightarrow {s over s ^ 2 + omega ^ 2} nonumber ]

muestra que

[{ cal L} ^ {- 1} left ({s over s ^ 2 + 9} right) = cos3t. sin número]

El siguiente teorema nos permite encontrar transformadas inversas de combinaciones lineales de transformadas en la tabla. Omitimos la prueba.

Teorema ( PageIndex {1} ): Propiedad de linealidad

Si (F_1, ) (F_2, )… (, ) (F_n ) son transformadas de Laplace y (c_1, ) (c_2, )…, (c_n ) son constantes (,) luego

[{ cal L} ^ {- 1} (c_1F_1 + c_2F_2 + cdots + c_nF_n) = c_1 { cal L} ^ {- 1} (F_1) + c_2 { cal L} ^ {- 1} (F_2 ) + cdots + c_n { cal L} ^ {- 1} F_n. nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Encontrar

[{ cal L} ^ {- 1} left ({8 over s + 5} + {7 over s ^ 2 + 3} right). nonumber ]

Solución

De la tabla de transformadas de Laplace en la sección 8.8 ,,

[e ^ {at} leftrightarrow {1 over s-a} quad mbox {y} quad sin omega t leftrightarrow { omega over s ^ 2 + omega ^ 2}. sin número]

El teorema ( PageIndex {1} ) con (a = -5 ) y ( omega = sqrt3 ) produce

[ begin {alineado} { cal L} ^ {- 1} left ({8 over s + 5} + {7 over s ^ 2 + 3} right) & = 8 { cal L} ^ {- 1} left ({1 over s + 5} right) +7 { cal L} ^ {- 1} left ({1 over s ^ 2 + 3} right) & = 8 { cal L} ^ {- 1} left ({1 over s + 5} right) + {7 over sqrt3} { cal L} ^ {- 1} left ({ sqrt3 over s ^ 2 + 3} right) & = 8e ^ {- 5t} + {7 over sqrt3} sin sqrt3t. end {alineado} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Encontrar

[{ cal L} ^ {- 1} left ({3s + 8 over s ^ 2 + 2s + 5} right). nonumber ]

Solución

Completando el cuadrado en el denominador se obtiene

[{3s + 8 over s ^ 2 + 2s + 5} = {3s + 8 over (s + 1) ^ 2 + 4}. Nonumber ]

Debido a la forma del denominador, consideramos los pares de transformadas

[e ^ {- t} cos 2t leftrightarrow {s + 1 over (s + 1) ^ 2 + 4} quad text {y} quad e ^ {- t} sin 2t leftrightarrow { 2 over (s + 1) ^ 2 + 4}, nonumber ]

y escribe

[ begin {alineado} { cal L} ^ {- 1} left ({3s + 8 over (s + 1) ^ 2 + 4} right) & = { cal L} ^ {- 1 } left ({3s + 3 over (s + 1) ^ 2 + 4} right) + { cal L} ^ {- 1} left ({5 over (s + 1) ^ 2 + 4 } right) & = 3 { cal L} ^ {- 1} left ({s + 1 over (s + 1) ^ 2 + 4} right) + {5 over2} { cal L} ^ {- 1} left ({2 over (s + 1) ^ 2 + 4} right) & = e ^ {- t} (3 cos 2t + {5 over2} sin 2t ). end {alineado} nonumber ]

Nota

A menudo escribimos transformadas de Laplace inversas de funciones específicas sin indicar explícitamente cómo se obtienen. En tales casos, debe consultar la tabla de transformadas de Laplace en la Sección 8.8.

Transformadas inversas de Laplace de funciones racionales

El uso de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales a menudo requiere encontrar la transformada inversa de una función racional

[F (s) = {P (s) over Q (s)}, nonumber ]

donde (P ) y (Q ) son polinomios en (s ) sin factores comunes. Dado que se puede demostrar que ( lim_ {s to infty} F (s) = 0 ) si (F ) es una transformada de Laplace, solo necesitamos considerar el caso donde ( mbox {grado} (P) < mbox {grado} (Q) ). Para obtener ({ cal L} ^ {- 1} (F) ), encontramos la expansión de fracción parcial de (F ), obtenemos las transformadas inversas de los términos individuales en la expansión de la tabla de transformadas de Laplace, y use la propiedad de linealidad de la transformada inversa. Los siguientes dos ejemplos ilustran esto.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

[ label {eq: 8.2.1} F (s) = {3s + 2 over s ^ 2-3s + 2}. ]

Solución

(Método 1)

Factorizar el denominador en la ecuación ref {eq: 8.2.1} produce

[ label {eq: 8.2.2} F (s) = {3s + 2 over (s-1) (s-2)}. ]

La forma para la expansión de la fracción parcial es

[ label {eq: 8.2.3} {3s + 2 over (s-1) (s-2)} = {A over s-1} + {B over s-2}. ]

Multiplicando esto por ((s-1) (s-2) ) se obtiene

[3s + 2 = (s-2) A + (s-1) B. sin número]

Establecer (s = 2 ) produce (B = 8 ) y establecer (s = 1 ) produce (A = -5 ). Por lo tanto

[F (s) = - {5 sobre s-1} + {8 sobre s-2} nonumber ]

y

[{ cal L} ^ {- 1} (F) = - 5 { cal L} ^ {- 1} left ({1 over s-1} right) +8 { cal L} ^ {-1} left ({1 over s-2} right) = - 5e ^ t + 8e ^ {2t}. sin número]

(Método 2) Realmente no tenemos que multiplicar la Ecuación ref {eq: 8.2.3} por ((s-1) (s-2) ) para calcular (A ) y (B ) . Podemos obtener (A ) simplemente ignorando el factor (s-1 ) en el denominador de la Ecuación ref {eq: 8.2.2} y estableciendo (s = 1 ) en otro lugar; por lo tanto,

[ label {eq: 8.2.4} A = left. {3s + 2 over s-2} right | _ {s = 1} = {3 cdot1 + 2 over 1-2} = - 5. ]

De manera similar, podemos obtener (B ) ignorando el factor (s-2 ) en el denominador de la Ecuación ref {eq: 8.2.2} y estableciendo (s = 2 ) en otro lugar; por lo tanto,

[ label {eq: 8.2.5} B = left. {3s + 2 over s-1} right | _ {s = 2} = {3 cdot2 + 2 over2-1} = 8. ]

Para justificar esto, observamos que al multiplicar la ecuación ref {eq: 8.2.3} por (s-1 ) se obtiene

[{3s + 2 over s-2} = A + (s-1) {B over s-2}, nonumber ]

y establecer (s = 1 ) conduce a la Ecuación ref {eq: 8.2.4}. De manera similar, al multiplicar la ecuación ref {eq: 8.2.3} por (s-2 ) se obtiene

[{3s + 2 over s-1} = (s-2) {A over s-2} + B nonumber ]

y establecer (s = 2 ) conduce a la Ecuación ref {eq: 8.2.5}. (No es necesario escribir las dos últimas ecuaciones. Las escribimos solo para justificar el procedimiento de atajo indicado en la Ecuación ref {eq: 8.2.4} y la Ecuación ref {eq: 8.2.5}.)

El atajo empleado en la segunda solución del Ejemplo ( PageIndex {4} ) es Método de Heaviside. El siguiente teorema establece este método formalmente. Para obtener una demostración y una extensión de este teorema, consulte Ejercicio 8.2.10.

Teorema ( PageIndex {2} )

Suponer

[ label {eq: 8.2.6} F (s) = {P (s) over (s-s_1) (s-s_2) cdots (s-s_n)}, ]

donde (s_1 ), (s_2, )… (, ) (s_n ) son distintos y (P ) es un polinomio de grado menor que (n. ) Entonces

[F (s) = {A_1 sobre s-s_1} + {A_2 sobre s-s_2} + cdots + {A_n sobre s-s_n}, nonumber ]

donde (A_i ) se puede calcular a partir de la Ecuación ref {eq: 8.2.6} ignorando el factor (s-s_i ) y estableciendo (s = s_i ) en otro lugar.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

[ label {eq: 8.2.7} F (s) = {6+ (s + 1) (s ^ 2-5s + 11) over s (s-1) (s-2) (s + 1 )}. ]

Solución

La expansión de fracción parcial de la Ecuación ref {eq: 8.2.7} tiene la forma

[ label {eq: 8.2.8} F (s) = {A over s} + {B over s-1} + {C over s-2} + {D over s + 1}. ]

Para encontrar (A ), ignoramos el factor (s ) en el denominador de la Ecuación ref {eq: 8.2.7} y establecemos (s = 0 ) en otro lugar. Esto produce

[A = {6+ (1) (11) over (-1) (- 2) (1)} = {17 over2}. Nonumber ]

De manera similar, los otros coeficientes vienen dados por

[B = {6+ (2) (7) over (1) (- 1) (2)} = - 10, nonumber ]

[C = {6 + 3 (5) over2 (1) (3)} = {7 over2}, nonumber ]

y

[D = {6 over (-1) (- 2) (- 3)} = - 1. sin número]

Por lo tanto

[F (s) = {17 over2} , {1 over s} - {10 over s-1} + {7 over2} , {1 over s-2} - {1 over s + 1} nonumber ]

y

[ begin {alineado} { cal L} ^ {- 1} (F) & = {17 over2} { cal L} ^ {- 1} left (1 over s right) -10 { cal L} ^ {- 1} left (1 over s-1 right) + {7 over 2} { cal L} ^ {- 1} left (1 over s-2 right) - { cal L} ^ {- 1} left (1 over s + 1 right) & = {17 over2} -10e ^ t + {7 over2} e ^ {2t} -e ^ { -t}. end {alineado} nonumber ]

Nota

No "multiplicamos" el numerador en la Ecuación ( PageIndex {7} ) antes de calcular los coeficientes en la Ecuación ( PageIndex {8} ), ya que no simplificaría los cálculos.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

[ label {eq: 8.2.9} F (s) = {8- (s + 2) (4s + 10) over (s + 1) (s + 2) ^ 2}. ]

Solución

La forma para la expansión de la fracción parcial es

[ label {eq: 8.2.10} F (s) = {A over s + 1} + {B over s + 2} + {C over (s + 2) ^ 2}. ]

Debido al factor repetido ((s + 2) ^ 2 ) en la Ecuación ref {eq: 8.2.9}, el método de Heaviside no funciona. En cambio, encontramos un denominador común en la Ecuación ref {eq: 8.2.10}. Esto produce

[ label {eq: 8.2.11} F (s) = {A (s + 2) ^ 2 + B (s + 1) (s + 2) + C (s + 1) over (s + 1) ) (s + 2) ^ 2}. ]

Si la Ecuación ref {eq: 8.2.9} y la Ecuación ref {eq: 8.2.11} deben ser equivalentes, entonces

[ label {eq: 8.2.12} A (s + 2) ^ 2 + B (s + 1) (s + 2) + C (s + 1) = 8- (s + 2) (4s + 10 ). ]

Los dos lados de esta ecuación son polinomios de grado dos. Según un teorema de álgebra, serán iguales para todos (s ) si son iguales para tres valores distintos de (s ). Podemos determinar (A ), (B ) y (C ) eligiendo valores convenientes de (s ).

El lado izquierdo de la ecuación ref {eq: 8.2.12} sugiere que tomamos (s = -2 ) para obtener (C = -8 ) y (s = -1 ) para obtener ( A = 2 ). Ahora podemos elegir cualquier tercer valor de (s ) para determinar (B ). Tomando (s = 0 ) se obtiene (4A + 2B + C = -12 ). Dado que (A = 2 ) y (C = -8 ) esto implica que (B = -6 ). Por lo tanto

[F (s) = {2 over s + 1} - {6 over s + 2} - {8 over (s + 2) ^ 2} nonumber ]

y

[ begin {alineado} { cal L} ^ {- 1} (F) & = 2 { cal L} ^ {- 1} left (1 over s + 1 right) -6 { cal L} ^ {- 1} left (1 over s + 2 right) -8 { cal L} ^ {- 1} left (1 over (s + 2) ^ 2 right) & = 2e ^ {- t} -6e ^ {- 2t} -8te ^ {- 2t}. End {alineado} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

[F (s) = {s ^ 2-5s + 7 over (s + 2) ^ 3}. sin número]

Solución

La forma para la expansión de la fracción parcial es

[F (s) = {A over s + 2} + {B over (s + 2) ^ 2} + {C over (s + 2) ^ 3}. sin número]

La forma más fácil de obtener (A ), (B ) y (C ) es expandir el numerador en potencias de (s + 2 ). Esto produce

[s ^ 2-5s + 7 = [(s + 2) -2] ^ 2-5 [(s + 2) -2] + 7 = (s + 2) ^ 2-9 (s + 2) + 21. sin número]

Por lo tanto

[ begin {alineado} F (s) & = {(s + 2) ^ 2-9 (s + 2) +21 over (s + 2) ^ 3} & = {1 over s + 2} - {9 over (s + 2) ^ 2} + {21 over (s + 2) ^ 3} end {alineado} nonumber ]

y

[ begin {alineado} { cal L} ^ {- 1} (F) & = { cal L} ^ {- 1} left ({1 over s + 2} right) -9 { cal L} ^ {- 1} left ({1 over (s + 2) ^ 2} right) + {21 over2} { cal L} ^ {- 1} left ({2 over ( s + 2) ^ 3} right) & = e ^ {- 2t} left (1-9t + {21 over2} t ^ 2 right). end {alineado} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

[ label {eq: 8.2.13} F (s) = {1-s (5 + 3s) over s left [(s + 1) ^ 2 + 1 right]}. ]

Solución

Una forma para la expansión de fracción parcial de (F ) es

[ label {eq: 8.2.14} F (s) = {A over s} + {Bs + C over (s + 1) ^ 2 + 1}. ]

Sin embargo, vemos en la tabla de transformadas de Laplace que la transformada inversa de la segunda fracción a la derecha de la Ecuación ref {eq: 8.2.14} será una combinación lineal de las transformadas inversas

[e ^ {- t} cos t quad mbox {y} quad e ^ {- t} sin t nonumber ]

de

[{s + 1 over (s + 1) ^ 2 + 1} quad mbox {y} quad {1 over (s + 1) ^ 2 + 1} nonumber ]

respectivamente. Por lo tanto, en lugar de la Ecuación ref {eq: 8.2.14} escribimos

[ label {eq: 8.2.15} F (s) = {A over s} + {B (s + 1) + C over (s + 1) ^ 2 + 1}. ]

Encontrar un denominador común rinde

[ label {eq: 8.2.16} F (s) = {A left [(s + 1) ^ 2 + 1 right] + B (s + 1) s + Cs over s left [( s + 1) ^ 2 + 1 right]}. ]

Si la Ecuación ref {eq: 8.2.13} y la Ecuación ref {eq: 8.2.16} deben ser equivalentes, entonces

[A left [(s + 1) ^ 2 + 1 right] + B (s + 1) s + Cs = 1-s (5 + 3s). sin número]

Esto es cierto para todos (s ) si es cierto para tres valores distintos de (s ). Al elegir (s = 0 ), (- 1 ) y (1 ) se obtiene el sistema

[ begin {array} {rcr} 2A & = & 1 phantom {.} A-C & = & 3 phantom {.} 5A + 2B + C & = & - 7. end {matriz} nonumber ]

Resolver este sistema produce

[A = {1 over2}, quad B = - {7 over2}, quad C = - {5 over2}. sin número]

Por tanto, de la ecuación ref {eq: 8.2.15},

[F (s) = {1 over2s} - {7 over2} , {s + 1 over (s + 1) ^ 2 + 1} - {5 over2} , {1 over (s +1) ^ 2 + 1}. sin número]

Por lo tanto

[ begin {alineado} { cal L} ^ {- 1} (F) & = {1 over2} { cal L} ^ {- 1} left (1 over s right) - {7 over2} { cal L} ^ {- 1} left (s + 1 over (s + 1) ^ 2 + 1 right) - {5 over2} { cal L} ^ {- 1} izquierda (1 over (s + 1) ^ 2 + 1 right) & = {1 over2} - {7 over2} e ^ {- t} cos t- {5 over2} e ^ { -t} sin t. end {alineado} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

[ label {eq: 8.2.17} F (s) = {8 + 3s over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 4)}. ]

Solución

La forma para la expansión de la fracción parcial es

[F (s) = {A + Bs sobre s ^ 2 + 1} + {C + Ds sobre s ^ 2 + 4}. sin número]

Los coeficientes (A ), (B ), (C ) y (D ) se pueden obtener encontrando un denominador común y equiparando el numerador resultante con el numerador en la Ecuación ref {eq: 8.2. 17}. Sin embargo, dado que no hay una primera potencia de (s ) en el denominador de la ecuación ref {eq: 8.2.17}, hay una forma más fácil: la expansión de

[F_1 (s) = {1 over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 4)} nonumber ]

se puede obtener rápidamente utilizando el método de Heaviside para expandir

[{1 over (x + 1) (x + 4)} = {1 over3} left ({1 over x + 1} - {1 over x + 4} right) nonumber ]

y luego configurando (x = s ^ 2 ) para obtener

[{1 over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 4)} = {1 over3} left ({1 over s ^ 2 + 1} - {1 over s ^ 2 + 4 }derecho). sin número]

Multiplicando esto por (8 + 3s ) se obtiene

[F (s) = {8 + 3s over (s ^ 2 + 1) (s ^ 2 + 4)} = {1 over3} left ({8 + 3s over s ^ 2 + 1} - {8 + 3s over s ^ 2 + 4} right). sin número]

Por lo tanto

[{ cal L} ^ {- 1} (F) = {8 over3} sin t + cos t- {4 over3} sin 2t- cos 2t. sin número]

Usando tecnología

Algunos paquetes de software que hacen álgebra simbólica pueden encontrar expansiones de fracciones parciales muy fácilmente. Le recomendamos que utilice un paquete de este tipo si tiene uno disponible, pero solo después de haber realizado suficientes expansiones de fracciones parciales por su cuenta para dominar la técnica.


Se puede demostrar que, si una función F(s) tiene la transformada inversa de Laplace F(t), luego F(t) se determina de forma unívoca (considerando funciones que difieren entre sí solo en un conjunto de puntos en el que Lebesgue mide cero como lo mismo). Este resultado fue probado por primera vez por Mathias Lerch en 1903 y se conoce como teorema de Lerch. [1] [2]

La transformada de Laplace y la transformada de Laplace inversa juntas tienen una serie de propiedades que las hacen útiles para analizar sistemas dinámicos lineales.


Comenzamos haciendo la expansión de fracción parcial.

Ahora buscamos tener formularios específicos para hacer el ILT, y para este problema vamos a utilizar los siguientes cuatro formularios:

$ Displaystyle mathcal> frac, s gt 0 rightarrow cos (at) $

$ Displaystyle mathcal> frac<(s-b) ^ 2 + a ^ 2>, s gt b rightarrow e ^ cos (en) $

Entonces, nuestra tarea ahora es tomar la expansión de fracción parcial y escribir para que se vea como las cuatro formas anteriores. Obtenemos:

¿Entiendes dónde está tu error ahora? Expanda $ (3) $ y asegúrese de que sea exactamente con lo que comenzamos en $ (2) $.

Ahora, dado que estos están en la forma exacta en que los necesitamos, podemos usar los cuatro $ mathcal> $ arriba para escribir:

$ Displaystyle frac <1> <272> left (9 e ^ <8t> cos (3t) + frac <652> <3> left (e ^ <8t> sin (3t) right) -9 cos (5t) -36 sin (5t) right) $


Escriba las ecuaciones subsidiarias para las siguientes ecuaciones diferenciales y, por lo tanto, resuélvalas.

Ejemplo 1

`(dy) / (dt) + y = sin 3t`, dado que y = 0 cuando t = 0.

Tomando la transformada de Laplace de ambos lados se obtiene:

Resolviendo para Y y hallar la descomposición de la fracción parcial da:

La sustitución de valores convenientes de `s` nos da:

`s = -1` da` 3 = 10A`, que da `A = 3 / 10`.

`s = 0` da` 3 = 9A + C`, que da `C = 3 / 10`.

`s = 1` da` 3 = 10A + 2B + 2C`, lo que nos da `B = -3 / 10`.

Encontrar la transformada inversa de Laplace nos da la solución para y como una función de t:


8.2: Transformada inversa de Laplace - Matemáticas

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Demostramos cómo se pueden utilizar las transformadas de Laplace para resolver problemas de valor inicial de segundo orden de coeficientes constantes.

Solución de problemas de valor inicial

Transformadas de Laplace de derivados

En el resto de este capítulo usaremos la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial para ecuaciones de segundo orden de coeficiente constante. Para hacer esto, debemos saber cómo se relaciona la transformada de Laplace de con la transformada de Laplace de. El siguiente teorema responde a esta pregunta.

Sabemos por el teorema 8.1.6 que se define para. Primero consideramos el caso en el que es continuo. Integración por rendimiento de piezas

para cualquier . Dado que es de orden exponencial, y la última integral en (ecuación: 8.3.2) converge como si. Por lo tanto

En este punto, es fácil para nosotros comprobar (¡hazlo!) Que la solución del problema del valor inicial

es . Ahora obtendremos este resultado utilizando la transformada de Laplace.

Sea la transformada de Laplace de la solución desconocida de (ecuación: 8.3.3). Tomando las transformadas de Laplace de ambos lados de (ecuación: 8.3.3) se obtiene que, por el teorema thmtype: 8.3.1, se puede reescribir como o Resolviendo para rendimientos que concuerde con el resultado conocido.

Necesitamos el siguiente teorema para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden usando la transformada de Laplace.

Teorema de prueba thmtype: 8.3.1 implica que existe y satisface (ecuación: 8.3.4) para. Para demostrar que existe y satisface (ecuación: 8.3.5), primero aplicamos el teorema thmtype: 8.3.1 a. Dado que satisface las hipótesis del teorema thmtype: 8.3.1, concluimos que está definido y satisface para. Sin embargo, dado que, esto se puede reescribir como Sustituir (ecuación: 8.3.4) en esto produce (ecuación: 8.3.5).

Resolver ecuaciones de segundo orden con la transformada de Laplace

Ahora usaremos la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial para ecuaciones de segundo orden.

No es necesario escribir todos los pasos que usamos para obtener (ecuación: 8.3.8). Para ver cómo evitar esto, apliquemos el método del ejemplo de ejemplo: 8.3.2 al problema de valor inicial general

Tomando las transformadas de Laplace de ambos lados de la ecuación diferencial en (ecuación: 8.3.9) se obtiene

Ahora deja . El teorema thmtype: 8.3.2 y las condiciones iniciales en (ec: 8.3.9) implican que Sustituyendo estos en (ec: 8.3.10) se obtiene El coeficiente de de la izquierda es el polinomio característico de la ecuación complementaria para (ec: 8.3 .9). Usando esto y moviendo los términos que involucran y al lado derecho de (ecuación: 8.3.11) se obtiene Esta ecuación corresponde a (ecuación: 8.3.8) del ejemplo de ejemplo: 8.3.2. Habiendo establecido la forma de esta ecuación en el caso general, es preferible pasar directamente del problema del valor inicial a esta ecuación. Puede que le resulte más fácil de recordar (ecuación: 8.3.12) reescrito como

Fuente de texto

Trench, William F., "Ecuaciones diferenciales elementales" (2013). Libros y CDs editados y escritos por profesores. 8. (CC-BY-NC-SA)


Contenido

Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada Fórmula inversa de Mellin, la Integral de Bromwich, o el Integral de Fourier-Mellin, viene dada por la integral de línea:

donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re (s) = γ en el plano complejo tal que γ es mayor que la parte real de todas las singularidades de F(s) y F(s) está delimitado en la línea, por ejemplo, si la trayectoria del contorno se encuentra en la región de convergencia. Si todas las singularidades están en el semiplano izquierdo, o F(s) es una función completa, entonces γ se puede establecer en cero y la fórmula integral inversa anterior se vuelve idéntica a la transformada inversa de Fourier.

En la práctica, se puede calcular la integral compleja utilizando el teorema del residuo de Cauchy.

Fórmula de inversión de la publicación para las transformadas de Laplace, que llevan el nombre de Emil Post, [3] es una fórmula de apariencia simple pero generalmente poco práctica para evaluar una transformada de Laplace inversa.

El enunciado de la fórmula es el siguiente: Sea F(t) ser una función continua en el intervalo [0, ∞) de orden exponencial, es decir

por un número real B. Entonces para todos s & gt B, la transformada de Laplace para F(t) existe y es infinitamente diferenciable con respecto a s. Además, si F(s) es la transformada de Laplace de F(t), entonces la transformada inversa de Laplace de F(s) es dado por

por t & gt 0, donde F (k) es el k-ésima derivada de F con respecto a s.

Como puede verse en la fórmula, la necesidad de evaluar derivadas de órdenes arbitrariamente altas hace que esta fórmula no sea práctica para la mayoría de los propósitos.

Con el advenimiento de las poderosas computadoras personales, los principales esfuerzos para utilizar esta fórmula han venido de tratar con aproximaciones o análisis asintóticos de la transformada inversa de Laplace, utilizando la diferencia integral de Grunwald-Letnikov para evaluar las derivadas.

La inversión de Post ha despertado interés debido a la mejora de la ciencia computacional y al hecho de que no es necesario saber dónde están los polos de F(s) mentira, que permiten calcular el comportamiento asintótico para grandes X utilizando transformadas inversas de Mellin para varias funciones aritméticas relacionadas con la hipótesis de Riemann.

    realiza transformaciones inversas simbólicas en Mathematica en Mathematica da soluciones numéricas [4] realiza transformaciones inversas simbólicas en MATLAB en Matlab
  1. ^ Cohen, A. M. (2007). "Fórmulas de inversión y resultados prácticos". Métodos numéricos para la inversión por transformada de Laplace. Métodos numéricos y algoritmos. 5. pag. 23. doi: 10.1007 / 978-0-387-68855-8_2. ISBN978-0-387-28261-9.
  2. ^
  3. Lerch, M. (1903). "Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel". Acta Mathematica. 27: 339. doi: 10.1007 / BF02421315.
  4. ^
  5. Correo, Emil L. (1930). "Diferenciación generalizada". Transacciones de la American Mathematical Society. 32 (4): 723–723. doi: 10.1090 / S0002-9947-1930-1501560-X. ISSN0002-9947.
  6. ^
  7. Abate, J. Valkó, P. P. (2004). "Inversión por transformada de Laplace de precisión múltiple". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería. 60 (5): 979. doi: 10.1002 / nme.995.
  • Davies, B. J. (2002), Transformaciones integrales y sus aplicaciones (3.a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-95314-4
  • Manzhirov, A. V. Polyanin, Andrei D. (1998), Manual de ecuaciones integrales, Londres: CRC Press, ISBN978-0-8493-2876-3
  • Boas, María (1983), Métodos matemáticos en las ciencias físicas , John Wiley & amp Sons, pág. 662, ISBN0-471-04409-1 (p. 662 o busque en el índice "Bromwich Integral", una buena explicación que muestra la conexión con la transformada de Fourier)
  • Widder, D. V. (1946), La Transformada de Laplace, Prensa de la Universidad de Princeton. Bryan, Kurt. Consultado el 14 de junio de 2006.

Este artículo incorpora material de la fórmula inversa de Mellin en PlanetMath, que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License.


La Transformada de Laplace

11-1 Propiedades de la transformada de Laplace

La relación entre las transformadas de Laplace y Fourier sugiere que ciertas propiedades de las dos transformadas son compartidas. Por ejemplo, la transformada de Laplace puede verse como un método para descomponer una función. Además, la transformada de Laplace de la convolución de dos funciones es el producto de las transformadas de Laplace, como mostramos ahora.

La razón por la que los límites de integración son como están en ∫ z = 0 t f (z) g (t - z) d z es porque F(z) = 0 si z& lt0, y gramo(tz) = 0 si z& gtt. Por eso la convolución de funciones F(X) y gramo(X) que tienen una transformada de Laplace suele estar dada por

Cambiamos el orden de integración en la integral doble en la ecuación (1). La región de integración se muestra en la Figura 11-1-1.

Cambiar el orden de integración da

Con la notación del teorema anterior,

Al igual que con la transformada de Fourier, el corolario es útil para resolver ecuaciones diferenciales.

Algunos resultados importantes que utilizaremos para resolver ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace son el siguiente teorema y sus corolarios.

Suponga que la transformada de Laplace de F(X) y F΄(X) existen y F(X) es continuo. Luego

Continuando con la idea del corolario anterior, tenemos el siguiente resultado.

La tabla 11-1-1 proporciona algunas fórmulas para la transformada de Laplace. Varios de estos se prueban en los ejercicios. En la mesa, F(s) es la transformada de Laplace of f(X) y GRAMO(s) la transformada de Laplace de gramo(X).

Tabla 11-1-1. Algunas propiedades y fórmulas para la transformada de Laplace

ℒ (una f (x) + segundo g (x)) = una F (s) + segundo G (s)
ℒ (x f (x)) = d d s F (s)
ℒ [x norte f (x)] = (- 1) norte d norte d s n F (s)
ℒ [f (a x - b)] = 1 a e - segundo s / a F (s a), a & ampgt 0, b ≥ 0
ℒ [e una x f (x)] = F (s - una)
ℒ [∫ 0 x f (t) re t] = 1 s F (s)
ℒ [(f * g)] = F (s) G (s)
ℒ [f (norte) (x)] = s norte F (s) - s norte - 1 f (0) - s norte - 2 f ΄ (0) - ⋯ - f (norte - 1) (0)
Si u (x) = <1 si x ≥ 0 0 si x & amplt 0 entonces ℒ [u (x)] = 1 sy ℒ [u (x - a)] = e - a s s, s & ampgt 0
ℒ [u (x - a) f (x - a)] = e - a s F (s)
ℒ [x] = 1 s 2, s & ampgt 0
ℒ [x n] = n! s n + 1, s & ampgt 0
ℒ [e a x] = 1 s - a
ℒ [sin (a x)] = a s 2 + a 2, s & ampgt 0
ℒ [cos (a x)] = s s 2 + a 2, s & ampgt 0
ℒ [x sin (una x)] = 2 una x (s 2 + una 2) 2, s & ampgt | a |
ℒ [x cos (a x)] = s 2 - a 2 (s 2 + a 2) 2, s & ampgt | a |
ℒ [f (a x)] = 1 a F (s a), a & ampgt 0
ℒ [e una x x n] = n! (s - a) n + 1, s & ampgt a
ℒ [e a x sin (b x)] = b (s - a) 2 + b 2, s & ampgt a
ℒ [e a x cos (b x)] = s - a (s - a) 2 + b 2, s & ampgt a
ℒ (δ (s - a)] = e - a s
ℒ [(- x) norte f (x)] = F (norte) (s)

Ejercicios

ℒ [sin (a x)] = a s 2 + a 2, s & gt 0

ℒ [x cos (una x)] = s 2 - una 2 (s 2 + una 2) 2, s & gt | a |

Encuentre la transformada de Laplace para Dirac-δ función.

Encuentra la transformada de Laplace de las siguientes funciones. una.

Usa el teorema de convolución para encontrar la transformada de Laplace inversa de las siguientes funciones. una.


Conversión de caballos de fuerza en amperaje Editar

¿Cómo convierto caballos de fuerza en amperaje?

No creo que puedas. El amperio es una medida de corriente, mientras que los caballos de fuerza son una unidad de potencia. --Ybbor Talk 18:54, 8 de junio de 2007 (UTC) Es posible que haya estado pensando en vatios, que también es una unidad de potencia. Según mi widget de calulator, 1 caballo de fuerza es 745.69987 vatios. Viernes (charla) 18:56, 8 de junio de 2007 (UTC) Para un voltaje conocido y un sistema puramente resistivo, la potencia es el producto de este y el amperaje, lo que permite derivar una conexión numérica entre amperios y HP. Si hay elementos reactivos presentes, la potencia es menor que los voltios-amperios, por supuesto, y la impedancia reactiva dependerá del tamaño de los componentes capacitativos o inductivos en faradios o henrys y la frecuencia del voltaje aplicado. 86.132.167.202 20:25, 8 de junio de 2007 (UTC)


Series funcionales y transformaciones integrales

11.3.2 Transformadas de Laplace

La Transformada de Laplace 5 F (s) de la función f (t) está definida por

Al igual que con la transformada de Fourier, indicamos una transformada de Laplace con una letra mayúscula y la función con una letra minúscula. La transformada de Laplace es similar a una transformada de Fourier unilateral, excepto que tiene una exponencial real en lugar de la exponencial compleja de la transformada de Fourier. Si consideramos valores complejos de las variables, las dos transformadas se convierten en versiones diferentes de la misma transformada y sus propiedades están relacionadas. 6 La integral que se realiza para invertir la transformada de Laplace debe realizarse en el plano complejo, y no lo discutimos. Afortunadamente, a menudo es posible aplicar transformadas de Laplace sin realizar tal integral aplicando algunos teoremas útiles. 7 Analizaremos el uso de las transformadas de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales en el capítulo 12.

La transformada de Laplace y su inversa a menudo se denotan de la siguiente manera:

La tabla 11.1 muestra algunas transformadas de Laplace comunes. 8

Ejemplo 11.7

Encuentre la transformada de Laplace de la función f (t) = t 2.

Ejercicio 11.10

Encuentre la transformada de Laplace de la función f (t) = e en donde a es una constante.

Cuadro 11.1. Algunas transformadas comunes de Laplace

F (s) f (t)
1 / s 1
1 / s 2 t
n! / s n + 1 t n
Γ (a + 1) 9 s a + 1 t a (a ≻ 0)
1 s - a e en (s ≻ a)
s s 2 + a 2 cos (en)
una s 2 + una 2 pecado (en)
s s 2 - a 2 cosh (en)
a s 2 - a 2 sinh (en)

Hay varios teoremas relacionados con las transformadas de Laplace, y presentamos algunos de ellos sin pruebas. 9

La teorema de cambio implica:

La teorema de la derivada implica:

donde usamos la notación f (1) para la primera derivada de f, f (2) para la segunda derivada de F, y así.

El teorema de la derivada se puede aplicar repetidamente para obtener la versión extendida del teorema de la derivada,

Ejercicio 11.11

Derive la versión de Eq. (11,49) para n = 2.

La teorema integral implica:

Estos teoremas se pueden utilizar para obtener transformadas de Laplace a partir de transformadas de Laplace de otras funciones.

Ejemplo 11.8

Utilice el teorema de desplazamiento para obtener la transformada de Laplace de la función

Transcribimos la entrada para cos (kx) de la tabla 11.1, reemplazando s por s - a, obteniendo

Ejercicio 11.12

Encuentra la transformada de Laplace de la función

Ejemplo 11.9

Encuentre la transformada de Laplace inversa de

De la tabla 11.1, reconocemos 1 / (s - a) como la transformada de Laplace de e en. Del teorema de la integral,

Ejercicio 11.13

Encuentre la transformada de Laplace inversa de


Problemas de horario y práctica:

6 de enero: Introducción a las ecuaciones diferenciales
1.1 Número 1-11.

8 de enero: Problemas de valor inicial de primer orden
2.1 Número 3-6, 10-15, 21-28.

10 de enero: Métodos numéricos. Método Euler & # 8217s
Herramientas informáticas, incluido Matlab para DE
6.1 Número 1-9, 11

13 de enero: Métodos numéricos. Métodos de Runge-Kutta
6.2 Número 1-9

15 de enero: Métodos numéricos. Error numérico
6.3 Número 1-6, 11-13

17 de enero: Ecuaciones separables
2.2 Números 1-22, 23-29, 33-35

22 de enero: Modelos de movimiento
2.3 Número 1-10

24 de enero: Ecuaciones lineales de primer orden
2.4 Número 1-21, 29

27 de enero: Problemas de mezcla
2.5 Número 1-7, 9, 10

29 de enero: Circuitos eléctricos
3.4 Número 1-19

31 de enero: Ecuaciones de segundo orden
4.1 Número 1-20, 26-30

3 de febrero: Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4.3 Número 1-36

5 de febrero: movimiento armónico
4.4 Números 1-12, 14-16, 18

7 de febrero: Ecuaciones no homogéneas. Coeficientes indeterminados
4.5 Número 1-29

10 de febrero: Coeficientes indeterminados (continuación)
4.5 Número 1-29

12 de febrero: Ecuaciones no homogéneas. Variación de parámetros
4.6 Número 1-10

14 de febrero: movimiento armónico forzado
4.7 Número 3-11

21 de febrero: Transformada de Laplace
5.1 Número 1-29

24 de febrero: Transformada de Laplace. Propiedades básicas
5.2 Número 1-41

26 de febrero: Transformada inversa de Laplace
5.3 Número 1-36

28 de febrero: uso de la transformada de Laplace para resolver ED
5.4 Número 1-26

2 de marzo: Término de forzamiento discontinuo
5.5 Número 1-25

4 de marzo: La función delta de Dirac
5.6 Número 1-9

6 de marzo: convoluciones
5.7 Número 4-24

16 de marzo: Introducción a los sistemas
8.1 Número 1-16

18 de marzo: Sistemas (continuación)
8.2 Número 1-6, 13-16

20 de marzo: Sistemas (continuación)
8.3 Número 1-6

23 de marzo: Sistemas lineales con coeficientes constantes
9.1 Número 1-8, 16-23

25 de marzo: Sistemas planos
9.2 Número 1-27, 58-61

27 de marzo: Retratos del plano de fase
9.3 Número 20-23

30 de marzo: Sistemas no lineales: equilibrios, linealización
10.1 Número 1-16

6 de abril: Serie Fourier
12.1 Número 1-22

8 de abril: serie de Fourier del coseno y del seno
12.3 Número 1-32

10 de abril: Ecuación de calor
13.1 Número 1-9

13 de abril: Separación de variables
13.2 Número 1-9

15 de abril: Separación de variables (continuación)
13.2 Número 1-9


Ver el vídeo: Transformada de Laplace inversa 4 Universidad (Octubre 2021).