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7.7: Integración aproximada - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Calcule el valor de una integral definida usando las reglas del punto medio y trapezoidal.
  • Determine el error absoluto y relativo al utilizar una técnica de integración numérica.
  • Estime el error absoluto y relativo usando una fórmula de límite de error.
  • Reconocer cuando las reglas del punto medio y trapezoidal sobrestiman o subestiman el verdadero valor de una integral.
  • Utilice la regla de Simpson para aproximar el valor de una integral definida con una precisión dada.

Las antiderivadas de muchas funciones no se pueden expresar o no se pueden expresar fácilmente en forma cerrada (es decir, en términos de funciones conocidas). En consecuencia, en lugar de evaluar integrales definidas de estas funciones directamente, recurrimos a varias técnicas de integracion numerica para aproximar sus valores. En esta sección, exploramos varias de estas técnicas. Además, examinamos el proceso de estimación del error al utilizar estas técnicas.

La regla del punto medio

Anteriormente en este texto definimos la integral definida de una función sobre un intervalo como el límite de Sumas de Riemann. En general, cualquier suma de Riemann de una función (f (x) ) en un intervalo ([a, b] ) puede verse como una estimación de ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ). Recuerde que una suma de Riemann de una función (f (x) ) en un intervalo ([a, b] ) se obtiene seleccionando una partición

[P = {x_0, x_1, x_2,…, x_n } nonumber ]

donde ( quad a = x_0

y un set

[S = {x ^ * _ 1, x ^ * _ 2,…, x ^ * _ n } ]

donde (x_ {i − 1} ≤x ^ * _ i≤x_i quad text {para todos} , i. )

La suma de Riemann correspondiente a la partición (P ) y el conjunto (S ) viene dada por ( displaystyle sum ^ n_ {i = 1} f (x ^ * _ i) Δx_i ), donde ( Δx_i = x_i − x_ {i − 1}, ) la longitud del subintervalo (i ^ { text {th}} ).

La regla del punto medio para estimar una integral definida usa una suma de Riemann con subintervalos de igual ancho y los puntos medios, (m_i ), de cada subintervalo en lugar de (x ^ * _ i ). Formalmente, establecemos un teorema con respecto a la convergencia de la regla del punto medio de la siguiente manera.

La regla del punto medio

Suponga que (f (x) ) es continua en ([a, b] ). Sea (n ) un entero positivo y (Δx = dfrac {b − a} {n} ). Si ([a, b] ) se divide en (n ) subintervalos, cada uno de longitud (Δx ), y (m_i ) es el punto medio de (i ^ { text {th} } ) subintervalo, establecer

[M_n = sum_ {i = 1} ^ nf (m_i) Δx. ]

Entonces ( displaystyle lim_ {n → ∞} M_n = ∫ ^ b_af (x) , dx. )

Como podemos ver en la Figura ( PageIndex {1} ), si (f (x) ≥0 ) sobre ([a, b] ), entonces ( displaystyle sum ^ n_ {i = 1} f (m_i) Δx ) corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos que se aproximan al área entre la gráfica de (f (x) ) y el eje (x ) - sobre ([a, b] ). La gráfica muestra los rectángulos correspondientes a (M_4 ) para una función no negativa en un intervalo cerrado ([a, b]. )

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Usar la regla del punto medio con (M_4 )

Usa la regla del punto medio para estimar ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx ) usando cuatro subintervalos. Compare el resultado con el valor real de esta integral.

Solución: Cada subintervalo tiene una longitud (Δx = dfrac {1−0} {4} = dfrac {1} {4}. ) Por lo tanto, los subintervalos consisten en

[ left [0, tfrac {1} {4} right], , left [ tfrac {1} {4}, tfrac {1} {2} right], , left [ tfrac {1} {2}, tfrac {3} {4} right], , text {y} , left [ tfrac {3} {4}, 1 right]. nonumber ]

Los puntos medios de estos subintervalos son ( left { frac {1} {8}, , frac {3} {8}, , frac {5} {8}, , frac {7} {8} right }. ) Por lo tanto,

[ begin {align *} M_4 & = frac {1} {4} cdot f left ( frac {1} {8} right) + frac {1} {4} cdot f left ( frac {3} {8} right) + frac {1} {4} cdot f left ( frac {5} {8} right) + frac {1} {4} cdot f left ( frac {7} {8} right) [4pt] & = frac {1} {4} ⋅ frac {1} {64} + frac {1} {4} ⋅ frac {9} {64} + frac {1} {4} ⋅ frac {25} {64} + frac {1} {4} ⋅ frac {49} {64} [4pt] & = frac {21} {64} = 0,328125. end {alinear *} ]

Desde

[∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx = frac {1} {3}, nonumber ]

el error absoluto en esta aproximación es:

[ left lvert dfrac {1} {3} - dfrac {21} {64} right rvert = dfrac {1} {192} ≈0.0052, nonumber ]

y vemos que la regla del punto medio produce una estimación que es algo cercana al valor real de la integral definida.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Usar la regla del punto medio con (M_6 )

Utilice (M_6 ) para estimar la longitud de la curva (y = frac {1} {2} x ^ 2 ) en ([1,4] ).

Solución: La longitud de (y = frac {1} {2} x ^ 2 ) en ([1,4] ) es

[s = ∫ ^ 4_1 sqrt {1+ left ( frac {dy} {dx} right) ^ 2} , dx. nonumber ]

Dado que ( dfrac {dy} {dx} = x ), esta integral se convierte en ( displaystyle ∫ ^ 4_1 sqrt {1 + x ^ 2} , dx. )

Si ([1,4] ) se divide en seis subintervalos, entonces cada subintervalo tiene una longitud (Δx = dfrac {4−1} {6} = dfrac {1} {2} ) y los puntos medios de los subintervalos son ( left { frac {5} {4}, frac {7} {4}, frac {9} {4}, frac {11} {4}, frac {13} {4}, frac {15} {4} right } ). Si establecemos (f (x) = sqrt {1 + x ^ 2} ),

[ begin {align *} M_6 & = tfrac {1} {2} cdot f left ( frac {5} {4} right) + tfrac {1} {2} cdot f left ( frac {7} {4} right) + frac {1} {2} cdot f left ( frac {9} {4} right) + frac {1} {2} cdot f left ( frac {11} {4} right) + frac {1} {2} cdot f left ( frac {13} {4} right) + frac {1} {2} cdot f left ( frac {15} {4} right) [4pt] & ≈ frac {1} {2} (1.6008 + 2.0156 + 2.4622 + 2.9262 + 3.4004 + 3.8810) = 8.1431 , text { unidades}. end {alinear *} ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Usa la regla del punto medio con (n = 2 ) para estimar ( displaystyle ∫ ^ 2_1 frac {1} {x} , dx. )

Insinuación

(Δx = frac {1} {2}, quad m_1 = frac {5} {4}, quad text {y} quad m_2 = frac {7} {4}. )

Respuesta

( dfrac {24} {35} approx 0.685714 )

La regla trapezoidal

También podemos aproximar el valor de una integral definida usando trapezoides en lugar de rectángulos. En la Figura ( PageIndex {2} ), el área debajo de la curva se aproxima mediante trapezoides en lugar de rectángulos.

La regla trapezoidal para estimar integrales definidas usa trapezoides en lugar de rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Para obtener información sobre la forma final de la regla, considere los trapecios que se muestran en la Figura ( PageIndex {2} ). Suponemos que la longitud de cada subintervalo está dada por (Δx ). Primero, recuerde que el área de un trapezoide con una altura de (h ) y bases de longitud (b_1 ) y (b_2 ) está dada por ( text {Area} = frac {1} { 2} h (b_1 + b_2) ). Vemos que el primer trapezoide tiene una altura (Δx ) y bases paralelas de longitud (f (x_0) ) y (f (x_1) ). Por lo tanto, el área del primer trapezoide en la Figura ( PageIndex {2} ) es

[ frac {1} {2} Δx Big (f (x_0) + f (x_1) Big). nonumber ]

Las áreas de los tres trapezoides restantes son

( dfrac {1} {2} Δx Big (f (x_1) + f (x_2) Big), , dfrac {1} {2} Δx Big (f (x_2) + f (x_3) Big), ) y ( dfrac {1} {2} Δx Big (f (x_3) + f (x_4) Big). )

Como consecuencia,

[∫ ^ b_af (x) , dx≈ frac {1} {2} Δx Big (f (x_0) + f (x_1) Big) + frac {1} {2} Δx Big (f (x_1) + f (x_2) Big) + frac {1} {2} Δx Big (f (x_2) + f (x_3) Big) + frac {1} {2} Δx Big (f (x_3) + f (x_4) Big). nonumber ]

Después de sacar un factor común de ( frac {1} {2} Δx ) y combinar términos semejantes, tenemos

[∫ ^ b_af (x) , dx≈ frac {Δx} {2} Big [f (x_0) +2 , f (x_1) +2 , f (x_2) +2 , f (x_3 ) + f (x_4) Big]. nonumber ]

Generalizando, declaramos formalmente la siguiente regla.

La regla trapezoidal

Suponga que (f (x) ) es continuo sobre ([a, b] ). Sea (n ) un entero positivo y (Δx = dfrac {b − a} {n} ). Sea ([a, b] ) dividido en (n ) subintervalos, cada uno de longitud (Δx ), con extremos en (P = {x_0, x_1, x_2…, x_n }. )

Colocar

[T_n = frac {Δx} {2} Grande [f (x_0) +2 , f (x_1) +2 , f (x_2) + ⋯ + 2 , f (x_ {n − 1}) + f (x_n) Grande]. ]

Entonces, ( displaystyle lim_ {n → + ∞} T_n = ∫ ^ b_af (x) , dx. )

Antes de continuar, hagamos algunas observaciones sobre la regla trapezoidal. En primer lugar, es útil tener en cuenta que

(T_n = dfrac {1} {2} (L_n + R_n) ) donde ( Displaystyle L_n = sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i − 1}) Δx ) y ( estilo de visualización R_n = sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx. )

Es decir, (L_n ) y (R_n ) se aproximan a la integral usando los extremos izquierdo y derecho de cada subintervalo, respectivamente. Además, un examen cuidadoso de la Figura ( PageIndex {3} ) nos lleva a hacer las siguientes observaciones sobre el uso de las reglas trapezoidales y las reglas del punto medio para estimar la integral definida de una función no negativa. La regla trapezoidal tiende a sobrestimar sistemáticamente el valor de una integral definida en intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y a subestimar el valor de una integral definida sistemáticamente en intervalos donde la función es cóncava hacia abajo. Por otro lado, la regla del punto medio tiende a promediar estos errores de alguna manera al sobreestimar y subestimar parcialmente el valor de la integral definida en estos mismos tipos de intervalos. Esto nos lleva a plantear la hipótesis de que, en general, la regla del punto medio tiende a ser más precisa que la regla trapezoidal.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de la regla trapezoidal

Usa la regla trapezoidal para estimar ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx ) usando cuatro subintervalos.

Solución

Los puntos finales de los subintervalos constan de elementos del conjunto (P = left {0, frac {1} {4}, , frac {1} {2}, , frac {3} {4 }, 1 right } ) y (Δx = frac {1−0} {4} = frac {1} {4}. ) Por lo tanto,

[ begin {align *} ∫ ^ 1_0x ^ 2dx & ≈ frac {1} {2} ⋅ frac {1} {4} Big [f (0) +2 , f left ( tfrac { 1} {4} right) +2 , f left ( tfrac {1} {2} right) +2 , f left ( tfrac {3} {4} right) + f (1 ) Grande] [4pt]
& = tfrac {1} {8} big (0 + 2⋅ tfrac {1} {16} + 2⋅ tfrac {1} {4} + 2⋅ tfrac {9} {16} +1 grande) [4pt] & = frac {11} {32} = 0.34375 end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Usa la regla trapezoidal con (n = 2 ) para estimar ( displaystyle ∫ ^ 2_1 frac {1} {x} , dx. )

Insinuación

Conjunto (Δx = dfrac {1} {2}. ) Los puntos finales de los subintervalos son los elementos del conjunto (P = left {1, frac {3} {2}, 2 right }. )

Respuesta

( dfrac {17} {24} aproximadamente 0.708333 )

Error absoluto y relativo

Un aspecto importante del uso de estas reglas de aproximación numérica consiste en calcular el error al usarlas para estimar el valor de una integral definida. Primero necesitamos definir el error absoluto y el error relativo.

Definición: error absoluto y relativo

Si (B ) es nuestra estimación de alguna cantidad que tiene un valor real de (A ), entonces el error absoluto viene dado por (| A − B | ).

La error relativo es el error como porcentaje del valor real y viene dado por [ left lvert frac {A − B} {A} right rvert⋅100 \%. ]

Ejemplo ( PageIndex {4} ): cálculo del error en la regla del punto medio

Calcula el error absoluto y relativo en la estimación de ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx ) usando la regla del punto medio, que se encuentra en el Ejemplo ( PageIndex {1} ).

Solución: el valor calculado es ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx = frac {1} {3} ) y nuestra estimación del ejemplo es (M_4 = frac {21} {64} ) . Por lo tanto, el error absoluto viene dado por ( left lvert frac {1} {3} - frac {21} {64} right rvert = frac {1} {192} ≈0.0052. )

El error relativo es [ frac {1/192} {1/3} = frac {1} {64} ≈0.015625≈1.6 \%. Nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Cálculo del error en la regla trapezoidal

Calcula el error absoluto y relativo en la estimación de ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx ) usando la regla trapezoidal, que se encuentra en el Ejemplo ( PageIndex {3} ).

Solución: el valor calculado es ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx = frac {1} {3} ) y nuestra estimación del ejemplo es (T_4 = frac {11} {32} ) . Por lo tanto, el error absoluto viene dado por ( left lvert frac {1} {3} - frac {11} {32} right rvert = frac {1} {96} ≈0.0104. )

El error relativo viene dado por [ frac {1/96} {1/3} = 0.03125≈3.1 \%. Nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

En un punto de control anterior, estimamos que ( displaystyle ∫ ^ 2_1 frac {1} {x} , dx ) era ( frac {24} {35} ) usando (M_2 ). El valor real de esta integral es ( ln 2 ). Usando ( frac {24} {35} ≈0.6857 ) y ( ln 2≈0.6931, ) calcula el error absoluto y el error relativo.

Insinuación

Utilice los ejemplos anteriores como guía.

Respuesta

error absoluto ( approx 0.0074, ) y error relativo ( approx 1.1 \% )

Límites de error en las reglas de punto medio y trapezoidal

En los dos ejemplos anteriores, pudimos comparar nuestra estimación de una integral con el valor real de la integral; sin embargo, normalmente no tenemos este lujo. En general, si estamos aproximando una integral, lo estamos haciendo porque no podemos calcular fácilmente el valor exacto de la integral en sí. Por lo tanto, a menudo es útil poder determinar un límite superior para el error en una aproximación de una integral. El siguiente teorema proporciona límites de error para las reglas del punto medio y trapezoidal. El teorema se establece sin prueba.

Límites de error para las reglas de punto medio y trapezoidal

Sea (f (x) ) una función continua sobre ([a, b] ), que tiene una segunda derivada (f '' (x) ) sobre este intervalo. Si (M ) es el valor máximo de (| f '' (x) | ) sobre ([a, b] ), entonces los límites superiores del error al usar (M_n ) y (T_n ) para estimar ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ) son

[ text {Error en} , M_n≤ frac {M (b − a) ^ 3} {24n ^ 2} label {MidError} ]

y

[ text {Error en} , T_n≤ frac {M (b − a) ^ 3} {12n ^ 2} ].

Podemos usar estos límites para determinar el valor de (n ) necesario para garantizar que el error en una estimación sea menor que un valor especificado.

Ejemplo ( displaystyle PageIndex {6} ): Determinación del número de intervalos a utilizar

¿Qué valor de (n ) se debe usar para garantizar que una estimación de ( displaystyle ∫ ^ 1_0e ^ {x ^ 2} , dx ) sea precisa dentro de (0.01 ) si usamos la regla del punto medio? ?

Solución

Comenzamos determinando el valor de (M ), el valor máximo de (| f '' (x) | ) sobre ([0,1] ) para (f (x) = e ^ { x ^ 2} ). Dado que (f ′ (x) = 2xe ^ {x ^ 2}, ) tenemos

[f '' (x) = 2e ^ {x ^ 2} + 4x ^ 2e ^ {x ^ 2}. nonumber ]

Por lo tanto,

[| f '' (x) | = 2e ^ {x ^ 2} (1 + 2x ^ 2) ≤2⋅e⋅3 = 6e. nonumber ]

De la ecuación limitada por error ( ref {MidError} ), tenemos

[ text {Error en} , M_n≤ frac {M (b − a) ^ 3} {24n ^ 2} ≤ frac {6e (1−0) ^ 3} {24n ^ 2} = frac {6e} {24n ^ 2}. Nonumber ]

Ahora resolvemos la siguiente desigualdad para (n ):

[ frac {6e} {24n ^ 2} ≤0.01. nonumber ]

Por lo tanto, (n≥ sqrt { frac {600e} {24}} ≈8.24. ) Dado que (n ) debe ser un número entero que satisfaga esta desigualdad, una elección de (n = 9 ) garantizaría que

[ left lvert ∫ ^ 1_0e ^ {x ^ 2} , dx − M_n right rvert <0.01. nonumber ]

Análisis

Podríamos haber tenido la tentación de redondear (8.24 ) hacia abajo y elegir (n = 8 ), pero esto sería incorrecto porque debemos tener un número entero mayor o igual que (8.24 ). Debemos tener en cuenta que las estimaciones de error proporcionan un límite superior solo para el error. La estimación real puede, de hecho, ser una aproximación mucho mejor que la indicada por el límite de error.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Usa la ecuación ( ref {MidError} ) para encontrar un límite superior para el error al usar (M_4 ) para estimar ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 , dx. )

Insinuación

(f '' (x) = 2, ) entonces (M = 2. )

Respuesta

( dfrac {1} {192} )

Regla de Simpson

Con la regla del punto medio, estimamos áreas de regiones bajo curvas usando rectángulos. En cierto sentido, aproximamos la curva con funciones constantes por partes. Con la regla trapezoidal, aproximamos la curva usando funciones lineales por partes. ¿Qué pasaría si, en cambio, tuviéramos que aproximar una curva usando funciones cuadráticas por partes? Con La regla de Simpson, hacemos precisamente esto. Dividimos el intervalo en un número par de subintervalos, cada uno de igual ancho. Sobre el primer par de subintervalos, aproximamos ( displaystyle ∫ ^ {x_2} _ {x_0} f (x) , dx ) con ( displaystyle ∫ ^ {x_2} _ {x_0} p (x) , dx ), donde (p (x) = Ax ^ 2 + Bx + C ) es la función cuadrática que pasa por ((x_0, f (x_0)), , (x_1, f (x_1)), ) y ((x_2, f (x_2)) ) (Figura ( PageIndex {4} )). Durante el siguiente par de subintervalos, aproximamos ( displaystyle ∫ ^ {x_4} _ {x_2} f (x) , dx ) con la integral de otra función cuadrática pasando por ((x_2, f (x_2)), , (x_3, f (x_3)), ) y ((x_4, f (x_4)). ) Este proceso continúa con cada par sucesivo de subintervalos.

Para comprender la fórmula que obtenemos para la regla de Simpson, comenzamos por derivar una fórmula para esta aproximación en los dos primeros subintervalos. A medida que avanzamos en la derivación, debemos tener en cuenta las siguientes relaciones:

[f (x_0) = p (x_0) = Ax_0 ^ 2 + Bx_0 + C ]

[f (x_1) = p (x_1) = Ax_1 ^ 2 + Bx_1 + C ]

[f (x_2) = p (x_2) = Ax_2 ^ 2 + Bx_2 + C ]

(x_2 − x_0 = 2Δx ), donde (Δx ) es la longitud de un subintervalo.

(x_2 + x_0 = 2x_1, ) ya que (x_1 = dfrac {(x_2 + x_0)} {2} ).

Por lo tanto,

[ begin {align *} ∫ ^ {x_2} _ {x_0} f (x) , dx & ≈∫ ^ {x_2} _ {x_0} p (x) , dx [4pt]
& = ∫ ^ {x_2} _ {x_0} (Ax ^ 2 + Bx + C) , dx [4pt]
& = left ( frac {A} {3} x ^ 3 + frac {B} {2} x ^ 2 + Cx right) bigg | ^ {x_2} _ {x_0} & & text {Buscar la antiderivada.} [4pt]
& = frac {A} {3} (x_2 ^ 3 − x_0 ^ 3) + frac {B} {2} (x_2 ^ 2 − x_0 ^ 2) + C (x_2 − x_0) & & text {Evaluar la antiderivada.} [4pt]
& = frac {A} {3} (x_2 − x_0) (x_2 ^ 2 + x_2x_0 + x_0 ^ 2) + frac {B} {2} (x_2 − x_0) (x_2 + x_0) + C (x_2− x_0) [4pt]
& = frac {x_2 − x_0} {6} bigg (2A (x_2 ^ 2 + x_2x_0 + x_0 ^ 2) + 3B (x_2 + x_0) + 6C bigg) & & text {Factorizar} , frac {x_2 − x_0} {6}. [4pt]
& = frac {Δx} {3} bigg ((Ax_2 ^ 2 + Bx_2 + C) + (Ax_0 ^ 2 + Bx_0 + C) + A (x_2 ^ 2 + 2x_2x_0 + x_0 ^ 2) + 2B (x_2 + x_0) + 4C bigg) & & text {Reorganizar los términos. Nota:} enspace Δx = frac {x_2 − x_0} {2} [4pt]
& = frac {Δx} {3} big (f (x_2) + f (x_0) + A (x_2 + x_0) ^ 2 + 2B (x_2 + x_0) + 4C big) & & text {Factoriza y sustituto:} [4pt]
& & & quad f (x_2) = Ax_2 ^ 2 + Bx_2 + C enspace text {y} enspace f (x_0) = Ax_0 ^ 2 + Bx_0 + C. [4pt]
& = frac {Δx} {3} big (f (x_2) + f (x_0) + A (2x_1) ^ 2 + 2B (2x_1) + 4C big) & & text {Sustituir} , x_2 + x_0 = 2x_1. [4pt]
& & & quad text {Nota:} , x_1 = frac {x_2 + x_0} {2} enspace text {es el punto medio.} [4pt]
& = frac {Δx} {3} big (f (x_2) + 4f (x_1) + f (x_0) big). & & text {Expandir y sustituir} , f (x_1) = Ax_1 ^ 2 + Bx_1 + C. end {alinear *} ]

Si aproximamos ( displaystyle ∫ ^ {x_4} _ {x_2} f (x) , dx ) usando el mismo método, vemos que tenemos

[∫ ^ {x_4} _ {x_2} f (x) , dx≈ frac {Δx} {3} (f (x_4) +4 , f (x_3) + f (x_2)). Nonumber ]

Combinando estas dos aproximaciones, obtenemos

[∫ ^ {x_4} _ {x_0} f (x) , dx≈ frac {Δx} {3} (f (x_0) +4 , f (x_1) +2 , f (x_2) +4 , f (x_3) + f (x_4)). nonumber ]

El patrón continúa a medida que agregamos pares de subintervalos a nuestra aproximación. La regla general puede establecerse de la siguiente manera.

Regla de Simpson

Suponga que (f (x) ) es continuo sobre ([a, b] ). Sea (n ) un entero par positivo y (Δx = dfrac {b − a} {n} ). Sea ([a, b] ) dividido en (n ) subintervalos, cada uno de longitud (Δx ), con extremos en (P = {x_0, x_1, x_2,…, x_n }. ) Colocar

[S_n = frac {Δx} {3} Grande [f (x_0) +4 , f (x_1) +2 , f (x_2) +4 , f (x_3) +2 , f (x_4 ) + ⋯ + 2 , f (x_ {n − 2}) + 4 , f (x_ {n − 1}) + f (x_n) Big]. ]

Luego,

[ lim_ {n → + ∞} S_n = ∫ ^ b_af (x) , dx. nonumber ]

Así como la regla trapezoidal es el promedio de las reglas de la izquierda y la derecha para estimar integrales definidas, la regla de Simpson se puede obtener a partir de las reglas del punto medio y trapezoidal usando un promedio ponderado. Se puede demostrar que (S_ {2n} = left ( frac {2} {3} right) M_n + left ( frac {1} {3} right) T_n ).

También es posible poner un límite al error cuando se usa la regla de Simpson para aproximar una integral definida. El límite en el error viene dado por la siguiente regla:

Regla: límite de error para la regla de Simpson

Sea (f (x) ) una función continua sobre ([a, b] ) que tiene una cuarta derivada, (f ^ {(4)} (x) ), sobre este intervalo. Si (M ) es el valor máximo de (∣f ^ {(4)} (x) ∣ ) sobre ([a, b] ), entonces el límite superior del error al usar (S_n ) para estimar ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ) viene dado por

[ text {Error en} , S_n≤ frac {M (b − a) ^ 5} {180n ^ 4}. ]

Ejemplo ( displaystyle PageIndex {7} ): Aplicación de la regla 1 de Simpson

Usa (S_2 ) para aproximar ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 3 , dx ). Estime un límite para el error en (S_2 ).

Solución

Dado que ([0,1] ) se divide en dos intervalos, cada subintervalo tiene una longitud (Δx = frac {1−0} {2} = frac {1} {2} ). Los puntos finales de estos subintervalos son ( left {0, frac {1} {2}, 1 right } ). Si establecemos (f (x) = x ^ 3, ) entonces

[S_2 = frac {1} {3} ⋅ frac {1} {2} (f (0) +4 , f ( frac {1} {2}) + f (1)) = frac {1} {6} (0 + 4⋅ frac {1} {8} +1) = frac {1} {4}. Nonumber ]

Como (f ^ {(4)} (x) = 0 ) y consecuentemente (M = 0, ) vemos que

Error en (S_2≤ frac {0 (1) ^ 5} {180⋅2 ^ 4} = 0. )

Este límite indica que el valor obtenido mediante la regla de Simpson es exacto. Una revisión rápida verificará que, de hecho, ( displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 3 , dx = frac {1} {4}. )

Ejemplo ( displaystyle PageIndex {8} ): Aplicación de la regla 2 de Simpson

Usa (S_6 ) para estimar la longitud de la curva (y = frac {1} {2} x ^ 2 ) sobre ([1,4]. )

Solución

La longitud de (y = frac {1} {2} x ^ 2 ) sobre ([1,4] ) es ( displaystyle ∫ ^ 4_1 sqrt {1 + x ^ 2} , dx ). Si dividimos ([1,4] ) en seis subintervalos, entonces cada subintervalo tiene una longitud (Δx = frac {4−1} {6} = frac {1} {2} ), y los extremos de los subintervalos son ( left {1, frac {3} {2}, 2, frac {5} {2}, 3, frac {7} {2}, 4 right }. ) Configurando (f (x) = sqrt {1 + x ^ 2} ),

[S_6 = frac {1} {3} ⋅ frac {1} {2} (f (1) + 4f ( frac {3} {2}) + 2f (2) + 4f ( frac {5 } {2}) + 2f (3) + 4f ( frac {7} {2}) + f (4)). Nonumber ]

Después de sustituir, tenemos

[S_6 = frac {1} {6} (1.4142 + 4⋅1.80278 + 2⋅2.23607 + 4⋅2.69258 + 2⋅3.16228 + 4⋅3.64005 + 4.12311) ≈8.14594 , text {unidades}. ]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Usa (S_2 ) para estimar ( displaystyle ∫ ^ 2_1 frac {1} {x} , dx. )

Insinuación

[S_2 = frac {1} {3} Δx left (f (x_0) + 4f (x_1) + f (x_2) right) ]

Respuesta

( frac {25} {36} aproximadamente 0,694444 )


Conceptos clave

  • Podemos usar la integración numérica para estimar los valores de integrales definidas cuando es difícil encontrar una forma cerrada de la integral o cuando se necesita un valor aproximado solo de la integral definida.
  • Las técnicas más comúnmente utilizadas para la integración numérica son la regla del punto medio, la regla trapezoidal y la regla de Simpson.
  • La regla del punto medio aproxima la integral definida usando regiones rectangulares mientras que la regla trapezoidal aproxima la integral definida usando aproximaciones trapezoidales.
  • La regla de Simpson aproxima la integral definida aproximando primero la función original usando funciones cuadráticas por partes.

Ecuaciones clave

  • Regla del punto medio

( Displaystyle M_n = sum ^ n_ {i = 1} f (m_i) Δx )

  • Regla trapezoidal

(T_n = frac {Δx} {2} Grande [f (x_0) +2 , f (x_1) +2 , f (x_2) + ⋯ + 2 , f (x_ {n − 1}) + f (x_n) Grande] )

  • Regla de Simpson

(S_n = frac {Δx} {3} Grande [f (x_0) +4 , f (x_1) +2 , f (x_2) +4 , f (x_3) +2 , f (x_4 ) +4 , f (x_5) + ⋯ + 2 , f (x_ {n − 2}) + 4 , f (x_ {n − 1}) + f (x_n) Big] )

  • Error vinculado a la regla del punto medio

Error en (M_n≤ dfrac {M (b − a) ^ 3} {24n ^ 2} ), donde (M ) es el valor máximo de (| f '' (x) | ) sobre ([a, b] ).

  • Error vinculado a la regla trapezoidal

Error en (T_n≤ dfrac {M (b − a) ^ 3} {12n ^ 2} ), donde (M ) es el valor máximo de (| f '' (x) | ) sobre ([a, b] ).

  • Error vinculado a la regla de Simpson

Error en (S_n≤ dfrac {M (b − a) ^ 5} {180n ^ 4} ), donde (M ) es el valor máximo de (∣f ^ {(4)} (x) ∣ ) sobre ([a, b] ).


Glosario

error absoluto
si (B ) es una estimación de alguna cantidad que tiene un valor real de (A ), entonces el error absoluto viene dado por (| A − B | )
regla del punto medio
una regla que usa una suma de Riemann de la forma ( displaystyle M_n = sum ^ n_ {i = 1} f (m_i) Δx ), donde (m_i ) es el punto medio de (i ^ { texto {th}} ) subintervalo para aproximar ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx )
integracion numerica
la variedad de métodos numéricos utilizados para estimar el valor de una integral definida, incluida la regla del punto medio, la regla trapezoidal y la regla de Simpson
error relativo
error como porcentaje del valor real, dado por [ text {error relativo} = left | frac {A − B} {A} right | ⋅100 \% nonumber ]
Regla de Simpson
una regla que se aproxima a ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ) usando el área bajo una función cuadrática por partes.
La aproximación (S_n ) a ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ) viene dada por [S_n = frac {Δx} {3} big (f (x_0) +4 , f (x_1) +2 , f (x_2) +4 , f (x_3) +2 , f (x_4) + ⋯ + 2 , f (x_ {n − 2}) + 4 , f (x_ { n − 1}) + f (x_n) grande). nonumber ]
regla trapezoidal
una regla que se aproxima a ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ) usando el área de los trapecios.
La aproximación (T_n ) a ( displaystyle ∫ ^ b_af (x) , dx ) viene dada por [T_n = frac {Δx} {2} big (f (x_0) +2 , f (x_1) +2 , f (x_2) + ⋯ + 2 , f (x_ {n − 1}) + f (x_n) big). nonumber ]

Contribuyentes y atribuciones

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.

  • Editado por Paul Seeburger (Monroe Community College). Se agregaron notas al desarrollo del área bajo una parábola y errores tipográficos corregidos en el texto original.


Ver el vídeo: Numerical Integration With Trapezoidal and Simpsons Rule (Octubre 2021).