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5.6: Pruebas de Razones y Raíces - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Utilice la prueba de razón para determinar la convergencia absoluta de una serie.
  • Utilice la prueba de la raíz para determinar la convergencia absoluta de una serie.
  • Describe una estrategia para probar la convergencia de una serie dada.

En esta sección, probamos las dos últimas pruebas de convergencia de series: la prueba de razón y la prueba de raíz. Estas pruebas son particularmente agradables porque no requieren que encontremos una serie comparable. La prueba de razón será especialmente útil en la discusión de las series de potencias en el próximo capítulo. A lo largo de este capítulo, hemos visto que ninguna prueba de convergencia funciona para todas las series. Por lo tanto, al final de esta sección discutimos una estrategia para elegir qué prueba de convergencia usar para una serie dada.

Prueba de razón

Considere una serie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ). De nuestra discusión y ejemplos anteriores, sabemos que ( displaystyle lim_ {n → ∞} a_n = 0 ) no es una condición suficiente para que la serie converja. No solo necesitamos (a_n → 0 ), sino que necesitamos (a_n → 0 ) lo suficientemente rápido. Por ejemplo, considere la serie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n} ) y la serie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ 2} ). Sabemos que ( frac {1} {n} → 0 ) y ( frac {1} {n ^ 2} → 0 ). Sin embargo, solo la serie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ 2} ) converge. La serie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n} ) diverge porque los términos en la secuencia ( left { frac {1} {n} right } ) no se acercan a cero lo suficientemente rápido como (n → ∞ ). Aquí presentamos el prueba de razón, que proporciona una forma de medir qué tan rápido los términos de una serie se acercan a cero.

Prueba de razón

Sea ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) una serie con términos distintos de cero. Dejar

[ρ = lim_ {n → ∞} left | frac {a_ {n + 1}} {a_n} right |. ]

  1. Si (0≤ρ <1, ) entonces ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) converge absolutamente.
  2. Si (ρ> 1 ) o (ρ = ∞ ), entonces ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) diverge.
  3. Si (ρ = 1, ) la prueba no proporciona ninguna información.

Prueba

Sea ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) una serie con términos distintos de cero.

Comenzamos con la prueba de la parte i. En este caso, (ρ = lim_ {n → ∞} ∣ frac {a_ {n + 1}} {a_n} ∣ <1. ) Dado que (0≤ρ <1 ), existe ( R ) tal que (0≤ρ 0 ). Por la definición de límite de una secuencia, existe un entero (N ) tal que

[ left | left | frac {a_ {n + 1}} {a_n} right | −ρ right | <ε, ; text {para todos} ; n≥N. ]

Por lo tanto,

[ left | frac {a_ {n + 1}} {a_n} right | <ρ + ε = R, ; text {para todos} ; n≥N ]

y por lo tanto,

(| a_ {N + 1} |

(∣a_ {N + 2} ∣

(∣a_ {N + 3} ∣

(∣a_ {N + 4} ∣

( ⋮.)

Dado que (R <1, ) la serie geométrica

[R∣a_N∣ + R ^ 2∣a_N∣ + R ^ 3∣a_N∣ + ⋯ ]

converge. Dadas las desigualdades anteriores, podemos aplicar la prueba de comparación y concluir que la serie

[| a_ {N + 1} | + | a_ {N + 2} | + | a_ {N + 3} | + | a_ {N + 4} | + ⋯ ]

converge. Por tanto, dado que

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ | a_n | = sum_ {n = 1} ^ N | a_n | + sum_ {n = N + 1} ^ ∞ | a_n | ]

donde ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ N | a_n | ) es una suma finita y ( displaystyle sum_ {n = N + 1} ^ ∞ | a_n | ) converge, concluimos que ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ | a_n | ) converge.

Para la parte ii.

[ρ = lim_ {n → ∞} left | frac {a_ {n + 1}} {a_n} right |> 1. ]

Como (ρ> 1, ) existe (R ) tal que (ρ> R> 1 ). Sea (ε = ρ − R> 0 ). Según la definición del límite de una secuencia, existe un entero (N ) tal que

[ left | left | frac {a_ {n + 1}} {a_n} right | −ρ right | <ε, ; text {para todos} ; n≥N. ]

Por lo tanto,

[R = ρ − ε < left | frac {a_ {n + 1}} {a_n} right |, ; text {para todos} ; n≥N, ]

y por lo tanto,

(| a_ {N + 1} |> R | a_N | )

(∣a_ {N + 2} ∣> R∣a_ {N + 1} ∣> R ​​^ 2∣a_N∣ )

(∣a_ {N + 3} ∣> R∣a_ {N + 2} ∣> R ​​^ 2∣a_ {N + 1} ∣> R ​​^ 3∣a_N∣ )

(∣a_ {N + 4} ∣> R∣a_ {N + 3} ∣> R ​​^ 2∣a_ {N + 2} ∣> R ​​^ 3∣a_ {N + 1} ∣> R ​​^ 4∣a_N ∣. )

Dado que (R> 1, ) la serie geométrica

[R∣a_N∣ + R ^ 2∣a_N∣ + R ^ 3∣a_N∣ + ⋯ ]

diverge. Aplicando la prueba de comparación, concluimos que la serie

[| a_ {N + 1} | + | a_ {N + 2} | + | a_ {N + 3} | + ⋯ ]

diverge y, por lo tanto, la serie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ | a_n | ) diverge.

Para la parte iii. mostramos que la prueba no proporciona ninguna información si (ρ = 1 ) considerando la (p − serie ) ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {1} {n ^ pag}). Para cualquier número real (p ),

[ρ = lim_ {n → ∞} frac {1 / (n + 1) ^ p} {1 / n ^ p} = lim_ {n → ∞} frac {n ^ p} {(n + 1) ^ p} = 1. ]

Sin embargo, sabemos que si (p≤1, ) el serie p ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {1} {n ^ p} ) diverge, mientras que ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {1} {n ^ p} ) converge si (p> 1 ).

La prueba de razón es particularmente útil para series cuyos términos contienen factoriales o exponenciales, donde la razón de términos simplifica la expresión. La prueba de razón es conveniente porque no requiere que encontremos una serie comparativa. El inconveniente es que la prueba a veces no proporciona ninguna información sobre la convergencia.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Uso de la prueba de relación

Para cada una de las siguientes series, use la prueba de razón para determinar si la serie converge o diverge.

  1. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {2 ^ n} {n!} )
  2. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {n ^ n} {n!} )
  3. ( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {(- 1) ^ n (n!) ^ 2} {(2n)!} )

Solución

una. De la prueba de razón, podemos ver que

[ρ = lim_ {n → ∞} frac {2 ^ {n + 1} / (n + 1)!} {2 ^ n / n!} = lim_ {n → ∞} frac {2 ^ {n + 1}} {(n + 1)!} ⋅ frac {n!} {2 ^ n}. ]

Dado que ((n + 1)! = (N + 1) ⋅n!, )

[ρ = lim_ {n → ∞} frac {2} {n + 1} = 0. ]

Dado que (ρ <1, ) la serie converge.

B. Podemos ver eso

[ρ = lim_ {n → ∞} frac {(n + 1) ^ {n + 1} / (n + 1)!} {n ^ n / n!} = lim_ {n → ∞} frac {(n + 1) ^ {n + 1}} {(n + 1)!} ⋅ frac {n!} {n ^ n} = lim_ {n → ∞} ( frac {n + 1} {n}) ^ n = lim_ {n → ∞} (1+ frac {1} {n}) ^ n = e. ]

Dado que (ρ> 1, ) la serie diverge.

C. Desde

[∣ frac {(- 1) ^ {n + 1} ((n + 1)!) ^ 2 / (2 (n + 1))!} {(- 1) ^ n (n!) ^ 2 / (2n)!} ∣ = frac {(n + 1)! (N + 1)!} {(2n + 2)!} ⋅ frac {(2n)!} {N! N!} = Frac {(n + 1) (n + 1)} {(2n + 2) (2n + 1)} ]

vemos eso

[ρ = lim_ {n → ∞} frac {(n + 1) (n + 1)} {(2n + 2) (2n + 1)} = frac {1} {4}. ]

Dado que (ρ <1 ), la serie converge.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Usa la prueba de razón para determinar si la serie ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {n ^ 3} {3 ^ n} ) converge o diverge.

Insinuación

Evalúa ( Displaystyle lim_ {n → ∞} frac {(n + 1) ^ 3} {3 ^ {n + 1}} ⋅ frac {3 ^ n} {n ^ 3}. )

Respuesta

La serie converge.

Prueba de raíz

El acercamiento de la prueba de raíz es similar a la de la prueba de razón. Considere una serie ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) tal que ( displaystyle lim_ {n → ∞} sqrt [n] {| a_n |} = ρ ) para algunos número (ρ ). Entonces, para (N ) suficientemente grande, (∣a_N∣≈ρN. ) Por lo tanto, podemos aproximar ( displaystyle sum_ {n = N} ^ ∞ | a_n | ) escribiendo

[∣a_N∣ + ∣a_ {N + 1} ∣ + ∣a_ {N + 2} ∣ + ⋯ ≈ρ ^ N + ρ ^ {N + 1} + ρ ^ {N + 2} + ⋯. ]

La expresión del lado derecho es una serie geométrica. Como en la prueba de razón, la serie ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) converge absolutamente si (0≤ρ <1 ) y la serie diverge si (ρ≥1 ). Si (ρ = 1 ), la prueba no proporciona ninguna información. Por ejemplo, para cualquier serie p, ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {1} {n ^ p} ), vemos que

[ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {∣ frac {1} {n ^ p} ∣} = lim_ {n → ∞} frac {1} {n ^ {p / n }} ].

Para evaluar este límite, usamos la función de logaritmo natural. Al hacerlo, vemos que

( ln ρ = ln ( lim_ {n → ∞} frac {1} {n ^ {p / n}}) = lim_ {n → ∞} ln ( frac {1} {n} ) ^ {p / n} = lim_ {n → ∞} frac {p} {n} ⋅ ln ( frac {1} {n}) = lim_ {n → ∞} frac {p ln (1 / n)} {n}. )

Usando la regla de L'Hôpital, se sigue que ( ln ρ = 0 ), y por lo tanto (ρ = 1 ) para todo (p ). Sin embargo, sabemos que la serie p solo converge si (p> 1 ) y diverge si (p <1 ).

Prueba de raíz

Considere la serie ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ). Dejar

[ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {| a_n |} ].

  1. Si (0≤ρ <1, ) entonces ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) converge absolutamente.
  2. Si (ρ> 1 ) o (ρ = ∞ ), entonces ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) diverge.
  3. Si (ρ = 1 ), la prueba no proporciona ninguna información.

La prueba de la raíz es útil para series cuyos términos involucran exponenciales. En particular, para una serie cuyos términos (a_n ) satisfacen (| a_n | = (b_n) ^ n ), entonces ( sqrt [n] {| a_n |} = b_n ) y solo necesitamos evaluar ( Displaystyle lim_ {n → ∞} b_n ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Uso de la prueba raíz

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de la raíz para determinar si la serie converge o diverge.

  1. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {(n ^ 2 + 3n) ^ n} {(4n ^ 2 + 5) ^ n} )
  2. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {n ^ n} {( ln (n)) ^ n} )

Solución

una. Para aplicar la prueba de raíz, calculamos

[ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {(n ^ 2 + 3n) ^ n / (4n ^ 2 + 5) ^ n} = lim_ {n → ∞} frac {n ^ 2 + 3n} {4n ^ 2 + 5} = frac {1} {4}. ]

Dado que (ρ <1, ) la serie converge absolutamente.

B. Tenemos

[ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {n ^ n / ( ln n) ^ n} = lim_ {n → ∞} frac {n} { ln n} = ∞ quad text {según la regla de L'Hôpital.} ]

Dado que (ρ = ∞ ), la serie diverge.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Usa la prueba de la raíz para determinar si la serie ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} 1 / n ^ n ) converge o diverge.

Insinuación

Evalúa ( Displaystyle lim_ {n → ∞} sqrt [n] { frac {1} {n ^ n}} ).

Respuesta

La serie converge.

Elección de una prueba de convergencia

En este punto, tenemos una larga lista de pruebas de convergencia. Sin embargo, no todas las pruebas se pueden utilizar para todas las series. Cuando se le da una serie, debemos determinar qué prueba es la mejor para usar. Aquí hay una estrategia para encontrar la mejor prueba para aplicar.

Estrategia de resolución de problemas: elección de una prueba de convergencia para una serie

Considere una serie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n. ) En los pasos a continuación, describimos una estrategia para determinar si la serie converge.

  1. ¿Es ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) una serie familiar? Por ejemplo, ¿es la serie armónica (que diverge) o la serie armónica alterna (que converge)? Es una serie p o series geométricas? Si es así, verifique la potencia (p ) o la razón (r ) para determinar si la serie converge.
  2. ¿Es una serie alterna? ¿Estamos interesados ​​en la convergencia absoluta o simplemente en la convergencia? Si solo nos interesa saber si la serie converge, aplique la prueba de series alternas. Si estamos interesados ​​en la convergencia absoluta, proceda al paso (3 ), considerando la serie de valores absolutos ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ | a_n |. )
  3. ¿Es la serie similar a un serie p o series geométricas? Si es así, pruebe la prueba de comparación o la prueba de comparación de límites.
  4. ¿Los términos de la serie contienen un factorial o una potencia? Si los términos son poderes tales que (a_n = (b_n) ^ n, ) intente primero la prueba de raíz. De lo contrario, intente primero la prueba de proporción.
  5. Utilice la prueba de divergencia. Si esta prueba no proporciona ninguna información, intente la prueba integral.

Visite este sitio web para obtener más información sobre las series de pruebas para la convergencia, además de información general sobre secuencias y series.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): uso de pruebas de convergencia

Para cada una de las siguientes series, determine qué prueba de convergencia es la mejor para usar y explique por qué. Luego, determina si la serie converge o diverge. Si la serie es una serie alterna, determine si converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge.

  1. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {n ^ 2 + 2n} {n ^ 3 + 3n ^ 2 + 1} )
  2. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {(- 1) ^ {n + 1} (3n + 1)} {n!} )
  3. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {e ^ n} {n ^ 3} )
  4. ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {3 ^ n} {(n + 1) ^ n} )

Solución

una. Paso 1. La serie no es una p – series o series geométricas.

Paso 2. La serie no se alterna.

Paso 3. Para valores grandes de (n ), aproximamos la serie mediante la expresión

( frac {n ^ 2 + 2n} {n ^ 3 + 3n ^ 2 + 1} ≈ frac {n ^ 2} {n ^ 3} = frac {1} {n}. )

Por lo tanto, parece razonable aplicar la prueba de comparación o la prueba de comparación de límites utilizando la serie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞1 / n ). Usando la prueba de comparación de límites, vemos que

( Displaystyle lim_ {n → ∞} frac {(n ^ 2 + 2n) / (n ^ 3 + 3n ^ 2 + 1)} {1 / n} = lim_ {n → ∞} frac { n ^ 3 + 2n ^ 2} {n ^ 3 + 3n ^ 2 + 1} = 1. )

Dado que la serie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞1 / n )

diverge, esta serie también diverge.

B. Paso 1: La serie no es una serie familiar.

Paso 2. La serie se alterna. Dado que estamos interesados ​​en la convergencia absoluta, considere la serie

( Displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {3n} {(n + 1)!}. )

Paso 3. La serie no es similar a una serie p o una serie geométrica.

Paso 4. Dado que cada término contiene un factorial, aplique la prueba de razón. Vemos eso

( Displaystyle lim_ {n → ∞} frac {(3 (n + 1)) / (n + 1)!} {(3n + 1) / n!} = lim_ {n → ∞} frac {3n + 3} {(n + 1)!} ⋅ frac {n!} {3n + 1} = lim_ {n → ∞} frac {3n + 3} {(n + 1) (3n + 1 )} = 0. )

Por lo tanto, esta serie converge y concluimos que la serie original converge absolutamente y, por lo tanto, converge.

C. La serie no es una serie familiar.

Paso 2. No es una serie alterna.

Paso 3. No hay una serie obvia con la que comparar esta serie.

Paso 4. No hay factorial. Existe un poder, pero no es una situación ideal para la prueba de raíz.

Paso 5. Para aplicar la prueba de divergencia, calculamos que

( Displaystyle lim_ {n → ∞} frac {e ^ n} {n ^ 3} = ∞. )

Por tanto, mediante la prueba de divergencia, la serie diverge.

D. Esta serie no es una serie familiar.

Paso 2. Dado que cada término es una potencia de n, podemos aplicar la prueba de la raíz. Desde

( Displaystyle lim_ {n → ∞} sqrt [n] {( frac {3} {n + 1}) ^ n} = lim_ {n → ∞} frac {3} {n + 1} = 0, )

por la prueba de la raíz, concluimos que la serie converge.

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Para la serie ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {2 ^ n} {3 ^ n + n} ), determina qué prueba de convergencia es la mejor para usar y explica por qué.

Insinuación

La serie es similar a la serie geométrica ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} left ( frac {2} {3} right) ^ n ).

Respuesta

La prueba de comparación porque ( dfrac {2 ^ n} {3 ^ n + n} < dfrac {2 ^ n} {3 ^ n} ) para todos los enteros positivos (n ). También se podría utilizar la prueba de comparación de límites.

En la tabla, resumimos las pruebas de convergencia y cuándo se puede aplicar cada una. Tenga en cuenta que, si bien la prueba de comparación, la prueba de comparación de límites y la prueba integral requieren que la serie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) tenga términos no negativos, si ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) tiene términos negativos, estas pruebas se pueden aplicar a ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞ | a_n | ) para probar la convergencia absoluta.

Resumen de las pruebas de convergencia
Serie o pruebaConclusionesComentarios

Prueba de divergencia

Para cualquier serie ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ), evalúa ( displaystyle lim_ {n → ∞} a_n ).

Si ( displaystyle lim_ {n → ∞} a_n = 0 ), la prueba no es concluyente.Esta prueba no puede probar la convergencia de una serie.
Si ( displaystyle lim_ {n → ∞} a_n ≠ 0 ), la serie diverge.

Series geométricas

( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} ar ^ {n − 1} )

Si (| r | <1 ), la serie converge a (a / (1 − r) ).Cualquier serie geométrica puede volver a indexarse ​​para escribirse en la forma (a + ar + ar ^ 2 + ⋯ ), donde (a ) es el término inicial y r es la razón.
Si (| r | ≥1, ) la serie diverge.

Serie p

( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} frac {1} {n ^ p} )

Si (p> 1 ), la serie converge.Para (p = 1 ), tenemos la serie armónica ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} 1 / n ).
Si (p≤1 ), la serie diverge.

Prueba de comparación

Para ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) con términos no negativos, compare con una serie conocida ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ).

Si (a_n≤b_n ) para todo (n≥N ) y ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) converge, entonces ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) converge.Normalmente se utiliza para una serie similar a una geométrica o (p ) - serie. A veces puede resultar difícil encontrar una serie adecuada.
Si (a_n≥b_n ) para todo (n≥N ) y ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) diverge, entonces ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) diverge.

Prueba de comparación de límites

Para ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) con términos positivos, compara con una serie ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) evaluando

(L = Displaystyle lim_ {n → ∞} frac {a_n} {b_n}. )

Si (L ) es un número real y (L ≠ 0 ), entonces ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) y ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ambos convergen o ambos divergen.Normalmente se utiliza para una serie similar a una serie geométrica o (p ). Suele ser más fácil de aplicar que la prueba de comparación.
Si (L = 0 ) y ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) converge, entonces ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) converge.
Si (L = ∞ ) y ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) divergen, entonces ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) diverge.

Prueba integral

Si existe una función positiva, continua y decreciente (f ) tal que (a_n = f (n) ) para todo (n≥N ), evalúa ( displaystyle ∫ ^ ∞_Nf (x) dx . )

(∫ ^ ∞_Nf (x) dx ) y ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) ambos convergen o divergen.Limitado a aquellas series para las que la función correspondiente f puede integrarse fácilmente.

Serie alternante

( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} (- 1) ^ {n + 1} b_n ) o ( Displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} (- 1) ^ nb_n )

Si (b_ {n + 1} ≤b_n ) para todo (n≥1 ) y (b_n → 0 ), entonces la serie converge.Solo se aplica a series alternas.

Prueba de razón

Para cualquier serie ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) con términos distintos de cero, sea ( displaystyle ρ = lim_ {n → ∞} left | frac {a_ {n + 1} } {a_n} right | )

Si (0≤ρ <1 ), la serie converge absolutamente.

A menudo se usa para series que involucran factoriales o exponenciales.

Si (ρ> 1 ) o (ρ = ∞ ), la serie diverge.
Si (ρ = 1 ), la prueba no es concluyente.

Prueba de raíz

Para cualquier serie ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ), sea ( displaystyle ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {| a_n |} ).

Si (0≤ρ <1 ), la serie converge absolutamente.A menudo se usa para series donde (| a_n | = (b_n) ^ n ).
Si (ρ> 1 ) o (ρ = ∞ ), la serie diverge.
Si (ρ = 1 ), la prueba no es concluyente.

Serie convergente a (π ) y (1 / π )

Existen docenas de series que convergen en (π ) o una expresión algebraica que contiene (π ). Aquí miramos varios ejemplos y comparamos sus tasas de convergencia. Por tasa de convergencia, nos referimos al número de términos necesarios para que una suma parcial esté dentro de una cierta cantidad del valor real. Las representaciones en serie de (π ) en los dos primeros ejemplos se pueden explicar utilizando las series de Maclaurin, que se analizan en el capítulo siguiente. El tercer ejemplo se basa en material más allá del alcance de este texto.

1. La serie

[π = 4 sum_ {n = 1} ^ ∞ frac {(- 1) ^ {n + 1}} {2n − 1} = 4− frac {4} {3} + frac {4} {5} - frac {4} {7} + frac {4} {9} - ⋯ ]

fue descubierto por Gregory y Leibniz a finales del (1600 ). Este resultado se deriva de la serie de Maclaurin para (f (x) = tan ^ {- 1} x ). Discutiremos esta serie en el próximo capítulo.

una. Demuestre que esta serie converge.

B. Evalúa las sumas parciales (S_n ) para (n = 10,20,50,100. )

C. Utilice la estimación del resto para series alternas para obtener un límite en el error (R_n ).

D. ¿Cuál es el valor más pequeño de (N ) que garantiza (| R_N | <0.01 )? Evalúe (S_N ).

2. La serie

[π = 6 sum ^ ∞_ {n = 0} frac {(2n)!} {2 ^ {4n + 1} (n!) ^ 2 (2n + 1)} = 6 left ( frac {1} {2} + frac {1} {2⋅3} left ( frac {1} {2} right) ^ 3 + frac {1⋅3} {2⋅4⋅5} ⋅ izquierda ( frac {1} {2} right) ^ 5 + frac {1⋅3⋅5} {2⋅4⋅6⋅7} left ( frac {1} {2} right) ^ 7 + ⋯ derecha) ]

se ha atribuido a Newton a finales del (1600 ). La prueba de este resultado usa la serie de Maclaurin para (f (x) = sin ^ {- 1} x ).

una. Demuestre que la serie converge.

B. Evalúa las sumas parciales (S_n ) para (n = 5,10,20. )

C. Compara (S_n ) con (π ) para (n = 5,10,20 ) y analiza el número de lugares decimales correctos.

3. La serie

[ frac {1} {π} = frac { sqrt {8}} {9801} sum_ {n = 0} ^ ∞ frac {(4n)! (1103 + 26390n)} {(n!) ^ 4396 ^ {4n}} ]

fue descubierto por Ramanujan a principios de 1900). William Gosper, Jr., usó esta serie para calcular (π ) con una precisión de más de (17 ) millones de dígitos en el (mediados de los 80 ). En ese momento, eso fue un récord mundial. Desde entonces, esta serie y otras de Ramanujan han llevado a los matemáticos a encontrar muchas otras representaciones de series para (π ) y (1 / π ).

una. Evalúe el primer término de esta serie. Compare este número con el valor de (π ) de una utilidad de cálculo. ¿Con cuántos lugares decimales concuerdan estos dos números? ¿Qué pasa si sumamos los dos primeros términos de la serie?

C. Investigue la vida de Srinivasa Ramanujan ((1887-1920) ) y escriba un breve resumen. Ramanujan es una de las historias más fascinantes de la historia de las matemáticas. Básicamente fue autodidacta, sin una formación formal en matemáticas, pero contribuyó de forma muy original a muchas áreas avanzadas de las matemáticas.

Conceptos clave

  • Para la prueba de razón, consideramos

[ρ = lim_ {n → ∞} ∣ frac {a_ {n + 1}} {a_n} ∣. ]

Si (ρ <1 ), la serie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) converge absolutamente. Si (ρ> 1 ), la serie diverge. Esta prueba es útil para series cuyos términos involucran factoriales.

  • Para la prueba de raíz, consideramos

[ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {| a_n |} ].

Si (ρ <1 ), la serie ( displaystyle sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) converge absolutamente. La prueba de la raíz es útil para series cuyos términos involucran potencias.

  • Para una serie que es similar a una serie geométrica o serie p, considere una de las pruebas de comparación.

Glosario

prueba de razón
para una serie ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) con términos distintos de cero, sea ( displaystyle ρ = lim_ {n → ∞} | a_ {n + 1} / a_n | ) ; si (0≤ρ <1 ), la serie converge absolutamente; si (ρ> 1 ), la serie diverge; si (ρ = 1 ), la prueba no es concluyente
prueba de raíz
para una serie ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} a_n, ) deje ( displaystyle ρ = lim_ {n → ∞} sqrt [n] {| a_n |} ); si (0≤ρ <1 ), la serie converge absolutamente; si (ρ> 1 ), la serie diverge; si (ρ = 1 ), la prueba no es concluyente

Las pruebas de relación y raíz



Una serie de lecciones en video de cálculo gratuitas. Usar la prueba de relación o la prueba de raíz para determinar si una serie converge o diverge.

Uso de la prueba de relación para determinar si una serie converge # 1
Uso de la prueba de relación para determinar si una serie converge o diverge: se muestran dos ejemplos.

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11.6 Las pruebas de razón y raíz

Introducción: En esta lección aplicaremos todas las pruebas de convergencia y divergencia que hemos aprendido hasta ahora para probar una variedad de series en cuanto a convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia.

Objetivos: Después de esta lección, debería poder:

  • Explica qué significa que una serie sea absolutamente convergente.
  • Explica qué significa que una serie sea condicionalmente convergente.
  • Utilice la prueba de razón para determinar si una serie converge o diverge.
  • Utilice la prueba de la raíz para determinar si una serie converge o diverge.

Notas de video y amplificador: Complete la hoja de notas para esta lección (11-6-The-Ratio-and-Root-Tests) mientras mira el video. Si lo prefiere, puede leer la Sección 11.6 de su libro de texto y resolver los problemas en las notas por su cuenta como práctica. Recuerde, las notas deben cargarse en Blackboard semanalmente para obtener una calificación. Si por alguna razón el video a continuación no se carga, puede acceder a él en YouTube aquí.

Tarea: Vaya a WebAssign y complete la asignación & # 822011.6 Raíz y prueba de raíz & # 8221. Solo habrá una tarea para ambas partes de esta lección.


5.6: Pruebas de Razones y Raíces - Matemáticas

¿La serie $ ds sum_^ infty $ converger? Es posible, pero un poco desagradable, abordar esto con la prueba integral o la prueba de comparación, pero hay una manera más fácil. Considere lo que sucede cuando pasamos de un término al siguiente en esta serie: $ cdots ++ <(n + 1) ^ 5 sobre 5 ^> + cdots $ El denominador aumenta en un factor de 5, $ ds 5 ^= 5 cdot5 ^ n $, pero el numerador sube mucho menos: $ ds (n + 1) ^ 5 = n ^ 5 + 5n ^ 4 + 10n ^ 3 + 10n ^ 2 + 5n + 1 $, que es mucho menor que $ ds 5n ^ 5 $ cuando $ n $ es grande, porque $ ds 5n ^ 4 $ es mucho menor que $ ds n ^ 5 $. Entonces, podríamos suponer que a largo plazo comienza a parecer que cada término es $ 1/5 $ del término anterior. Hemos visto series que se comportan así: $ sum_^ infty <1 over 5 ^ n> = <5 over4>, $ una serie geométrica. Entonces, podríamos intentar comparar la serie dada con alguna variación de esta serie geométrica. Esto es posible, pero un poco complicado. De hecho, podemos hacer lo mismo, pero evitando la mayor parte del trabajo desagradable.

La clave es notar que $ lim_ <> over a_n> = lim_ <(n + 1) ^ 5 sobre 5 ^> <5 ^ n sobre n ^ 5> = lim_ <(n + 1) ^ 5 over n ^ 5> <1 over 5> = 1 cdot <1 over5> = <1 over 5>. $ Esto es realmente lo que notamos anteriormente, hecho un poco más oficialmente: a largo plazo, cada término es una quinta parte del término anterior. Ahora elija un número entre $ 1/5 $ y $ 1 $, digamos $ 1/2 $. Porque $ lim_ <> over a_n> = <1 over5>, $ luego, cuando $ n $ sea lo suficientemente grande, digamos $ n ge N $ por unos $ N $, $ <> over a_n> Teorema 11.7.1 (La prueba de razón) Suponga que $ ds lim_ | a_/ a_n | = L $. Si $ L 1 $ la serie diverge, y si $ L = 1 $ esta prueba no da información.

Prueba.
El ejemplo anterior esencialmente prueba la primera parte de esto, si simplemente reemplazamos $ 1/5 $ por $ L $ y $ 1/2 $ por $ r $. Suponga que $ L> 1 $, y elija $ r $ de modo que $ 1 r quad hbox quad | a_| > r | a_n |. $ Esto implica que $ ds | a_|> r ^ k | a_N | $, pero como $ r> 1 $ esto significa que $ ds lim_| a_| not = 0 $, lo que también significa que $ ds lim_a_n not = 0 $. Por la prueba de divergencia, la serie diverge.

Para ver que no obtenemos información cuando $ L = 1 $, necesitamos exhibir dos series con $ L = 1 $, una que converge y otra que diverge. Es fácil ver que $ sum 1 / n ^ 2 $ y $ sum 1 / n $ hacen el trabajo.

Ejemplo 11.7.2 La prueba de razón es particularmente útil para series que involucran la función factorial. Considere $ ds sum_^ infty 5 ^ n / n! $. $ lim_ <5^ over (n + 1)!>= lim_ <5^ over 5 ^ n>= lim_ <5> <1 over (n + 1)> = 0. $ Desde el teorema 11.7.3 (La prueba de la raíz) Suponga que $ ds lim_ | a_n | ^ <1 / n> = L $. Si $ L 1 $ la serie diverge, y si $ L = 1 $ esta prueba no da información.

La prueba de la prueba de raíz es en realidad más fácil que la de la prueba de razón y es un buen ejercicio.

Ejemplo 11.7.4 Analizar $ ds sum_^ infty <5 ^ n sobre n ^ n> $.

La prueba de proporción resulta un poco difícil en esta serie (pruébalo). Usando la prueba raíz: $ lim_ left (<5 ^ n over n ^ n> right) ^ <1 / n> = lim_ <(5 ^ n) ^ <1 / n> over (n ^ n) ^ <1 / n >> = lim_ <5 sobre n> = 0. $ Dado que <1 $, la serie converge.

La prueba de la raíz suele ser útil cuando $ n $ aparece como exponente en el término general de la serie.


Cálculo temprano trascendental: cálculo integral y multivariable para ciencias sociales

¿La serie ( ds sum_^ infty ) ¿convergen? Es posible, pero un poco desagradable, abordar esto con la Prueba Integral o la Prueba de Comparación, pero hay una manera más fácil. Considere lo que sucede a medida que pasamos de un término al siguiente en esta serie:

El denominador aumenta en un factor de 5, ( ds 5 ^= 5 cdot5 ^ n text <,> ) pero el numerador sube mucho menos: ( ds (n + 1) ^ 5 = n ^ 5 + 5n ^ 4 + 10n ^ 3 + 10n ^ 2 + 5n + 1 text <,> ) que es mucho menor que ( ds 5n ^ 5 ) cuando (n ) es grande, porque ( ds 5n ^ 4 ) es mucho menor que ( ds n ^ 5 text <.> ) Entonces, podríamos suponer que a largo plazo comienza a parecer que cada término es (1/5 ) del término anterior. Hemos visto series que se comportan así: La serie geométrica.

Entonces, podríamos intentar comparar la serie dada con alguna variación de esta serie geométrica. Esto es posible, pero un poco complicado. De hecho, podemos hacer lo mismo, pero evitando la mayor parte del trabajo desagradable.

La clave es notar que

Esto es realmente lo que notamos anteriormente, hecho un poco más formalmente: a largo plazo, cada término es una quinta parte del término anterior. Ahora elija un número entre (1/5 ) y (1 text <,> ) digamos (1/2 text <.> ) Porque

luego, cuando (n ) sea lo suficientemente grande, diga (n ge N ) para algunos (N text <,> )

Entonces ( ds a_ lt a_N / 2 text <,> ) ( ds a_ lt a_/ 2 lt a_N / 4 text <,> ) ( ds a_ lt a_/ 2 lt a_N / 8 text <,> ) y así sucesivamente. La forma general es ( ds a_ lt a_N / 2 ^ k text <.> ) Entonces, si miramos la serie

sus términos son menores o iguales que los términos de la secuencia

Entonces, según la Prueba de comparación, ( ds sum_^ infty a_) converge, y esto significa que ( ds sum_^ infty a_) converge, ya que acabamos de agregar el número fijo ( ds a_0 + a_1 + cdots + a_ text <.> )

¿En qué circunstancias podríamos hacer esto? La parte crucial fue que el límite de ( ds a_/ a_n text <,> ) digamos que (L text <,> ) era menor que 1 para que pudiéramos elegir un valor (r ) para que (L lt r lt 1 text < .> ) El hecho de que (L lt r ) (en nuestro ejemplo (1/5 lt 1/2 )) significa que podemos comparar la serie ( sum a_n ) con ( sum r ^ n text <,> ) y el hecho de que (r lt 1 ) garantiza que ( sum r ^ n ) converge. Eso es realmente todo lo que se requiere para que el argumento funcione.

Teorema 6.59. Prueba de razón.

Dada una serie ( sum a_n ) con términos positivos y ( lim limits_ frac<>> = L texto <:> )

Si (L lt 1 text <,> ) entonces la serie converge.

Si (L & gt 1 text <,> ) entonces la serie diverge.

Si (L = 1 text <,> ) entonces esta prueba no proporciona información.

Prueba.

El ejemplo anterior esencialmente prueba la primera parte de esto, si simplemente reemplazamos (1/5 ) por (L ) y (1/2 ) por (r text <.> ) Supongamos que (L & gt1 text <,> ) y elija (r ) para que (1 lt r lt L text <.> ) Luego para (n ge N text <,> ) para algunos (N text <,> )

Esto implica que ( ds | a_| & gtr ^ k | a_N | text <,> ) pero como (r & gt1 ) esto significa que ( ds lim_| a_| not = 0 text <,> ) lo que también significa que ( ds lim_a_n not = 0 text <.> ) Según la prueba de divergencia, la serie diverge.

Para ver que no obtenemos información cuando (L = 1 text <,> ) necesitamos exhibir dos series con (L = 1 text <,> ) una que converge y otra que diverge. Las series ( sum 1 / n ^ 2 ) y ( sum 1 / n ) proporcionan un ejemplo sencillo.

La prueba de razón es particularmente útil para series que involucran factoriales y exponenciales.

En general, requerimos que una serie solo tenga términos distintos de cero.

Luego consideramos los valores absolutos de los términos: ( lim limits_ left vert dfrac<>> right vert = L )

Esto significa que estamos probando la convergencia absoluta.

Ejemplo 6.60. Prueba de factoriales y razones.

Dado que (0 lt 1 text <,> ) la serie converge.

Un argumento similar al utilizado para la prueba de razón justifica una prueba relacionada que en ocasiones es más fácil de aplicar, a saber, la llamada.

Teorema 6.61. Prueba de raíz.

Dada una serie ( sum a_n ) con términos positivos y ( lim limits_(a_n) ^ <1 / n> = L text <:> )

Si (L lt 1 text <,> ) entonces la serie converge.

Si (L & gt 1 text <,> ) entonces la serie diverge.

Si (L = 1 text <,> ) entonces esta prueba no proporciona información.

La prueba de la prueba de raíz es en realidad más fácil que la de la prueba de proporción y se deja como un ejercicio.

Ejemplo 6.62. Exponenciales y prueba de raíces.

La prueba de relación resulta un poco difícil en esta serie (pruébalo). Usando la prueba de raíz:

Dado que (0 lt 1 text <,> ) la serie converge.

La prueba de la raíz es frecuentemente útil para series que involucran exponenciales.

En general, requerimos que una serie solo tenga términos distintos de cero.

Luego consideramos los valores absolutos de los términos: ( lim limits_ left ( left vert a_n right vert right) ^ <1 / n> = L )


Si existen ambos límites, deben ser iguales entre sí. De hecho, para una secuencia de términos positivos $ (a_n) $, si $ lim limits_ <> over a_n> $ existe, entonces también $ lim limits_ raíz n de $ y además, en este caso, los dos límites son iguales entre sí. Esto se deriva de un hecho más general contenido en estas notas de Pete L. Clark.

No estoy seguro de si lo siguiente responde a su segunda pregunta, pero:

En general, no existe relación entre el valor del límite $ lim limits_ <> over a_n> $ y el valor de la suma $ sum limits_^ infty a_n $.
De hecho, aquí hay un ejemplo tonto que muestra esto:

Suponga que $ (a_n) $ es una secuencia de términos positivos y que $ lim limits_ <> sobre a_n> = r & lt1 $. Entonces $ sum limits_^ infty a_n $ converge, digamos que $ S ne 0 $. Ahora sea $ a & gt0 $ y considere la secuencia $ (b_n) $ definida por $ b_n = a cdot a_n $. Aquí tenemos $ lim limits_ <> over b_n> = lim limits_ <> sobre a_n> = r $. Pero, $ sum limits_^ infty b_n = aS $.

Entonces, si $ lim limits_ <>over a_n>=r<1$, the corresponding series could possibly converge to any given positive number. The same remark holds for the limit in the Root test.

For a non-negative real series $(a_n)_>$, the tests give two (possibly undefined) numbers: let’s call them $L_ extit := lim_n (a_n)^>$, and $L_ extit := lim_n frac<>>$.

From Lemma 3 of these notes by Pete L. Clark, it follows that if $L_< extit>$ is defined, then $L_ extit$ is also defined, and they are equal.

This is reasonably intuitive, with a bit of thought: suppose that for $n>N$, the ratio of consecutive terms $frac<>>$ is always close to $L$. Then (still for $n>N$), consider $a_n$ as produced by multiplying $a_N$ by all the later consecutive ratios so it’s close to $L^ a_N$, and its $n$th root is close to $(L^ a_N)^> = L (frac)^frac<1>PS The second factor here, being the $n$th root of a constant, goes to $1$ as $n$ grows so for sufficiently large $n$, $(a_n)^frac<1>$ will be close to $L$. (Exercise: make this argument precise — replace each “…close to…” by appropriate specific bounds.)

On the other hand, the converse doesn’t generally hold. $L_ extit$ may be defined even if $L_ extit$ is not. For example, set $a_n = 2^n$ when $n$ is even, $a_n = 2^$ when $n$ is odd. Then the ratio of consecutive terms alternates between 1 and 4, so $L_ extit$ is undefined but the sequence is close enough to $2^n$ that the root converges, with $L_ extit = 2$.

(Thanks to @David Mitra’s comment for the reference to the linked notes.)


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Calculating Square Roots

It is easy to work out the square root of a perfect square, but it is really hard to work out other square roots.

Example: what is √10?

Well, 3 × 3 = 9 and 4 × 4 = 16, so we can guess the answer is between 3 and 4.

  • Let's try 3.5: 3.5 × 3.5 = 12.25
  • Let's try 3.2: 3.2 × 3.2 = 10.24
  • Let's try 3.1: 3.1 × 3.1 = 9.61
  • .

Getting closer to 10, but it will take a long time to get a good answer!

At this point, I get out my calculator and it says:

3.1622776601683793319988935444327

But the digits just go on and on, without any pattern.

So even the calculator's answer is only an approximation !

Note: numbers like that are called Irrational Numbers, if you want to know more.


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