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11.1: Ecuaciones lineales - Matemáticas


La regresión lineal para dos variables se basa en una ecuación lineal con una variable independiente. La ecuación tiene la forma:

[y = a + b text {x} nonumber ]

donde (a ) y (b ) son números constantes. La variable (x ) es la variable independiente, y (y ) es el variable dependiente. Por lo general, elige un valor para sustituir la variable independiente y luego resuelve para la variable dependiente.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Los siguientes ejemplos son ecuaciones lineales.

[y = 3 + 2 text {x} nonumber ]

[y = -0.01 + 1.2 text {x} nonumber ]

Ejercicio ( PageIndex {1} )

¿Es el siguiente un ejemplo de una ecuación lineal?

[y = -0,125 - 3,5 text {x} nonumber ]

Respuesta

La gráfica de una ecuación lineal de la forma (y = a + b text {x} ) es una línea recta. Esta ecuación puede describir cualquier línea que no sea vertical.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Grafica la ecuación (y = -1 + 2 text {x} ).

Figura ( PageIndex {1} ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

¿Es el siguiente un ejemplo de una ecuación lineal? ¿Por qué o por qué no?

Figura ( PageIndex {2} ).

Respuesta

No, el gráfico no es una línea recta; por lo tanto, no es una ecuación lineal.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

El servicio de procesamiento de textos de Aaron's (AWPS) procesa textos. La tarifa por los servicios es de $ 32 por hora más un cargo único de $ 31.50. El costo total para un cliente depende de la cantidad de horas que lleva completar el trabajo.

Encuentre la ecuación que expresa la coste total en términos de número de horas necesario para completar el trabajo.

Respuesta

Sea (x = ) la cantidad de horas que se necesitan para hacer el trabajo.

Sea (y = ) el costo total para el cliente.

Los $ 31.50 es un costo fijo. Si se necesitan (x ) horas para completar el trabajo, entonces ((32) (x) ) es solo el costo del procesamiento de texto. El costo total es: (y = 31.50 + 32 text {x} )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Emma's Extreme Sports contrata instructores de ala delta y les paga una tarifa de $ 50 por clase y $ 20 por estudiante en la clase. El costo total que paga Emma depende del número de estudiantes en una clase. Encuentre la ecuación que expresa el costo total en términos de la cantidad de estudiantes en una clase.

Respuesta

(y = 50 + 20 text {x} )

Pendiente e intersección con el eje Y de una ecuación lineal

Para la ecuación lineal (y = a + b text {x} ), (b = ) pendiente y (a = y ) - intersección. Del álgebra recuerda que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la intersección en (y ) es la coordenada (y ) del punto ((0, a) ) donde la línea cruza el eje (y ).

Figura ( PageIndex {3} ). Tres posibles gráficas de (y = a + b text {x} ) (a) Si (b> 0 ), la línea se inclina hacia la derecha. (b) Si (b = 0 ), la línea es horizontal. (c) Si (b <0 ), la línea se inclina hacia la derecha.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Tutores de Svetlana para ganar dinero extra para la universidad. Por cada sesión de tutoría, cobra una tarifa única de $ 25 más $ 15 por hora de tutoría. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de dinero que gana Svetlana por cada sesión que imparte es (y = 25 + 15 text {x} ).

¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la intersección en (y ) y cuál es la pendiente? Interpretarlos usando oraciones completas.

Respuesta

La variable independiente ( (x )) es el número de horas de tutores de Svetlana en cada sesión. La variable dependiente ( (y )) es la cantidad, en dólares, que Svetlana gana por cada sesión.

La intersección en (y ) - es 25 ( (a = 25 )). Al comienzo de la sesión de tutoría, Svetlana cobra una tarifa única de $ 25 (esto es cuando (x = 0 )). La pendiente es 15 ( (b = 15 )). Por cada sesión, Svetlana gana $ 15 por cada hora que enseña.

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Ethan repara electrodomésticos como lavavajillas y refrigeradores. Por cada visita, cobra $ 25 más $ 20 por hora de trabajo. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de dinero que Ethan gana por visita es (y = 25 + 20 text {x} ).

¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la intersección en (y ) y cuál es la pendiente? Interpretarlos usando oraciones completas.

Respuesta

La variable independiente ( (x )) es la cantidad de horas que Ethan trabaja en cada visita. La variable dependiente ( (y )) es la cantidad, en dólares, que Ethan gana por cada visita.

La y-intercepto es 25 ( (a = 25 )). Al comienzo de una visita, Ethan cobra una tarifa única de $ 25 (esto es cuando (x = 0 )). La pendiente es 20 ( (b = 20 )). Por cada visita, Ethan gana $ 20 por cada hora que trabaja.

Resumen

El tipo de asociación más básico es una asociación lineal. Este tipo de relación se puede definir algebraicamente mediante las ecuaciones utilizadas, numéricamente con valores de datos reales o pronosticados, o gráficamente a partir de una curva trazada. (Las líneas se clasifican como curvas rectas.) Algebraicamente, una ecuación lineal típicamente toma la forma (y = mx + b ), donde (m ) y (b ) son constantes, (x ) es el variable independiente, (y ) es la variable dependiente. En un contexto estadístico, una ecuación lineal se escribe en la forma (y = a + bx ), donde (a ) y (b ) son las constantes. Este formulario se utiliza para ayudar a los lectores a distinguir el contexto estadístico del contexto algebraico. En la ecuación (y = a + b text {x} ), la constante b que multiplica la variable (x ) ( (b ) se llama coeficiente) se llama como Pendiente. La pendiente describe la tasa de cambio entre las variables independientes y dependientes; en otras palabras, la tasa de cambio describe el cambio que ocurre en la variable dependiente cuando se cambia la variable independiente. En la ecuación (y = a + b text {x} ), la constante a se llama como la intersección en (y ). Gráficamente, la intersección en (y ) - es la coordenada (y ) del punto donde la gráfica de la línea cruza el eje (y ). En este punto (x = 0 ).

La pendiente de una línea es un valor que describe la tasa de cambio entre las variables independientes y dependientes. La Pendiente nos dice cómo cambia la variable dependiente ( (y )) por cada aumento de una unidad en la variable independiente ( (x )), en promedio. Ellos)-interceptar se utiliza para describir la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a cero. Gráficamente, la pendiente está representada por tres tipos de líneas en estadística elemental.

Revisión de fórmulas

(y = a + b text {x} ) donde a es la intersección en (y ) - y (b ) es la pendiente. La variable (x ) es la variable independiente y (y ) es la variable dependiente.


Ver el vídeo: Solving Linear Systems by Graphing - Module Integrated Math 1 (Octubre 2021).