Informacion

Ecuaciones diofantinas V


El nacimiento de la teoría de números algebraicos

Desde el siglo XVII, grandes matemáticos han intentado reconstruir la maravillosa demostración que Fermat afirmó poseer por el hecho de que no tiene solución para enteros positivos cuando no > 2. Pero tal demostración no se ajustaba a ese margen de su copia de la obra de Bachet: "Arithmetica de Diophantus", una obra que consta de lo que quedaba de la obra de Diophantus. Se informa que en 1742, Euler, el mejor matemático del siglo XVIII, le pidió a su amigo Clerot que buscara en la casa de Fermat algún pedazo de papel con alguna indicación de la demostración del teorema de Fermat, pero no se encontró nada. Sin embargo, Euler dio la primera demostración correcta pero incompleta para el caso del exponente no = 3. En el caso de que no = 4 la demostración se atribuye a Fermat y, como notamos anteriormente, se basa en una forma de inducción inventada por Fermat llamada "Método de Descenso Infinito". En 1825, Legendre y Dirichlet demostraron independientemente el caso. no = 5 usando el "Método de descenso infinito" y en 1838 Gabriel Lamé demostró el caso no = 7, también usando el "Método de descenso infinito".

En el siglo XIX, las matemáticas francesas Sophie Germain asumieron la identidad de un hombre para realizar su investigación matemática. Hizo uno de los mayores avances del siglo para resolver el último teorema de Fermat (UTF), encontrando un resultado general en lugar de demostrar un número entero positivo en particular. no mayor que 2. Ella ha demostrado que si p y 2p +1 son ambos números primos, por ejemplo p = 3 y 2p + 1 = 2.3 + 1 = 7, entonces no hay una solución completa x, y, z con pero bajo el supuesto de que p no dividas xyz. Como caso especial, ella demostró que si, entonces uno de los enteros x, y y z es divisible por 5.

A mediados del siglo XIX, los matemáticos desafiaron otras direcciones para demostrar la UTF. El mayor éxito lo logró Ernest Kummer. En 1843, Kummer presentó una demostración a Dirichlet, basada en una extensión de números enteros, para incluir números algebraicos, es decir, números que satisfacen ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. Sin embargo, Dirichlet se había esforzado por dar una demostración del teorema y por lo tanto detectó una falla en el argumento: Kummer había asumido que los enteros algebraicos permiten la descomposición única en números primos como con los enteros, pero esto no es cierto en general. Kummer no se decepcionó y volvió a su investigación con un esfuerzo redoblado. Para asegurar la factorización única, en el conjunto de enteros algebraicos, inventó el concepto de números ideales. Al incorporar estas nuevas entidades en números algebraicos, Kummer demostró la declaración para una gran clase de números primos llamada primos regulares. Aunque hay infinitos primos que no son regulares, Kummer demostró que el teorema era cierto para muchos valores de no. En particular, demostró que el teorema era verdadero para todos los exponentes primos menores que 100, excepto 37, 59 y 67, ya que estos son primos irregulares. Por otro lado, siempre que se demuestre el teorema de un exponente dado no, se demuestra para todos los exponentes múltiples de no y luego es suficiente demostrarlo a los exponentes primos. Por lo tanto, Kummer demostró el teorema de todos los múltiplos de estos exponentes. La idea básica de los números ideales dio lugar a la teoría de los números algebraicos, uno de los pilares de la teoría de números y una de las ramas más importantes de álgebra abstracta conocida como teoría de los anillos.

Volver a las columnas

<

Video: Ecuaciones Diofánticas, 5x+8y=187 (Agosto 2020).