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De vuelta a lo infinitamente pequeño ...


¿La idea de cantidades cada vez más pequeñas es tan cercana a cero como queremos? Este es el famoso y difícil problema de saber cómo "de la nada viene algo ...".

Quizás la intuición del lector coincide con la nuestra: "Es imposible que algo salga de la nada ...". Si esta intuición es físicamente correcta, entonces no hay simetría en el proceso de fraccionar cualquier cantidad de nada.

Por ejemplo, imagina un momento t Positivo A continuación, imaginemos la secuencia de tiempos. t > t/2 > t/3 > t/4 >… > t/no >…> 0, que representa una fracción de tiempo que tiende a cero. O incluso una cantidad m de materia y la secuencia m > m/2 > m/3 > m/4 >… > m/no >…> 0 representa un fraccionamiento de una cantidad cero de materia. Un ser que vive en tiempo infinito podría lograr la secuencia m/no arriba acercándose infinitamente a cero.

Sin embargo, este mismo ser no pudo realizar el proceso "inverso": sería imposible sacar nada de la nada. Inmediatamente surge una pregunta, desafortunadamente también muy difícil: ¿por qué demonios un proceso no se puede revertir? Es decir, ¿por qué no puede suceder también al revés?

En junio de 2004 Scientific American Brazilian (número 25), el famoso físico Gabriele Veneziano nos enseña un poco sobre la teoría de cuerdas que surgió de un modelo matemático que propuso en 1968 para describir partículas subatómicas. La entidad fundamental del universo ya no sería una partícula que se asemeje a un "punto", sino más bien una "línea", aún muy pequeña, pero "más grande que un punto". ¡Resulta que una cadena cuántica no se puede romper! Según la forma en que vibra, existe una partícula correspondiente a esa vibración. Como una cuerda de guitarra que nos puede dar muchas notas diferentes dependiendo de cómo vibra cuando se aprieta de cierta manera. Un acorde cuántico no pierde peso, por lo que no se puede dividir en pedazos de peso que tienden a cero.

Si uno no puede alcanzar un tamaño menor que el del acorde cuántico, entonces las dimensiones de la realidad no son solo las cuatro propuestas de Albert Einstein: longitud, ancho, altura y tiempo. Según la teoría de cuerdas, hay siete dimensiones espaciales más.

Asombro, un electrón, por ejemplo, es una cadena cuántica cuyos extremos se mueven en las tres dimensiones espaciales que podemos percibir, ¡pero se quedan quietos en las otras siete!

La teoría de cuerdas, por lo tanto, propone al menos once dimensiones para el universo. Y no hay forma de obtener cantidades infinitamente pequeñas. Entonces, la idea de que podríamos retroceder en el tiempo, al menos imaginativamente, al instante del tiempo, ¡es falsa! Es decir, también para la cantidad de "tiempo" no hay forma de salir de cero porque ¡el cero instantáneo no existe!

Debe haber una cantidad mínima de tiempo, así como espacio, materia, etc., de hecho, ya hay modelos matemáticos para este tipo de universo. En matemáticas estamos libres de estas limitaciones. El número cero es un número como cualquier otro, aunque tiene propiedades especiales. En la línea numérica, la simetría entre lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño es, digamos, perfecta, ¡y ambas existen!

La existencia en matemáticas es diferente de la existencia física. Aunque también hay modelos de universos que "llevan a cabo cualquier teoría matemática". En el Scientific American, el lector brasileño puede encontrar artículos sobre el universo cuantificado, es decir, sobre el universo donde el espacio, la materia y el tiempo no existen por debajo de ciertas cantidades, y sobre los modelos de "universos matemáticos".

En matemáticas, la existencia de un objeto se da siempre que pueda definirse o axiomatizarse. Los axiomas prescriben las características de los objetos iniciales que no necesitan definirse. A partir de estos objetos iniciales podemos definir otros. Pero cuando esto sucede, debemos mostrar que la definición tiene sentido, es decir, que el objeto definido "existe".

Pongamos un ejemplo. Axiomáticamente, aceptemos que existen 1 y 0, al igual que la adición de objetos que producen objetos nuevos. Entonces, debe haber objetos 1 + 1, 1 + 1 + 1, ..., etc., y definimos: 2 = 1 + 1! Por lo tanto, definimos el objeto 2 y mostramos que existe porque es 1 + 1.

No podemos definir "nada" en matemáticas y esperar que exista esta "cosa". Por ejemplo, intentemos definir el "círculo cuadrado de tres lados". ¿Cómo demostramos que existe? Si lo intentamos, enfrentaremos problemas de dificultad intratable. No iremos allí.

Tener la intuición del objeto que vale la pena definir (que no sea el tipo de "círculo cuadrado") es el trabajo del matemático. Parte del placer intelectual del matemático proviene de la "visualización intuitiva" de ciertos objetos, incluso si aún no han sido definidos, o ya están definidos, pero su existencia necesita demostración. Más placer intelectual obtiene el matemático cuando "ve" la demostración de la existencia de cierto objeto.

La existencia matemática, por lo tanto, es simplemente una cuestión de coherencia con un sistema de axiomas y un sistema lógico de deducciones compatible. Sin embargo, esto no significa que las matemáticas existan solo como una elubación mental. La Historia de la Ciencia muestra claramente que las ideas matemáticas siempre han tenido una importancia científica fundamental.

Curiosamente, la física ha sido una fuente de ideas matemáticas profundas. Todo indica que seguirá siendo así y cada vez más intensamente. La teoría de cuerdas es un ejemplo de teoría matemática que espera evidencia empírica de su realidad física y, al mismo tiempo, un ejemplo de un conjunto de ideas en física que impulsa la investigación matemática, especialmente en los campos de topología y geometría diferencial.

Parece que para 2010 la teoría de la supersimetría en física puede o no ser corroborada, y esto finalmente traerá pistas sobre la validez de la teoría matemática de los acordes cuánticos para la existencia física.

La existencia matemática de los acordes cuánticos ya es un hecho consolidado. Incluso si tiene que presentarse dentro de unos años. Tiene la misma existencia que la afirmación "la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados". Lo mismo puede decirse de las afirmaciones "la suma es mayor que 180 grados" y "la suma es menor que 180 grados".

¿Podría el lector "visualizar" tres triángulos con estas características? Piense en triángulos dibujados en una hoja de papel, triángulos en la cáscara de una naranja y triángulos en la superficie de un altavoz.

No hay nada malo con la existencia matemática de estas tres geometrías, y tampoco hay nada malo con la existencia matemática de la teoría de cuerdas cuánticas.

Si alguna teoría física es reemplazada por la teoría de cuerdas o no, ambas seguirán teniendo existencia matemática tanto como las tres geometrías anteriores.

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