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Simetría en Matemáticas


Nuestros lectores pueden reflexionar con nosotros sobre cómo surgen los números naturales {0, 1, 2, 3, ...} en el problema natural de contar, cómo naturalmente podemos proceder a investigar sus propiedades y cómo naturalmente esta investigación nos lleva a nuevos mundos simbólicos. .

Una de las formas de avanzar en la investigación adicional de las propiedades de los números es el camino de las ecuaciones. Preguntamos: ¿qué número agregado a 1 resulta en 3? La respuesta es muy simple:

si x +1 = 3, entonces x = 2.

Pero el escenario cambia mucho cuando preguntamos:

¿Cuál es el número que sumado a 1 resulta en 0?

Ahora tenemos la ecuación:

x + 1 = 0.

El lector se da cuenta de que no es posible encontrar una solución a esta ecuación en el mundo de los números naturales. Aquí viene la simetría: por qué no habría solución para esta ecuación, por qué el privilegio de ciertos números no al hacer la ecuación

x + 1 = n

tiene solución?

La ecuación anterior sería asimétrica con respecto a ciertos valores de nosi no se pudo resolver. Así es como surgen los enteros negativos. Son la simetría oculta de la ecuación anterior. Además, también resuelven el problema de falta de simetría que notamos en el mundo de los números naturales cuando vemos que este mundo tiene un principio (0) y un final, es decir, no hay un número natural más grande. Ahora con números negativos, el mundo de los números se convierte en un mundo simétrico porque este nuevo mundo tampoco tiene principio:

{… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… }

Todas las ecuaciones de tipo x + m = n Ahora tengo una solución. No más el privilegio de ciertos números sobre otros que la ecuación anterior tiene una solución para ellos y no para otros.

El lector tiene una pregunta inevitable: pero en el mundo de la vida práctica, ¿cómo puede ser útil esta simetría de enteros positivos y negativos?

Bueno, el lector debe preguntarse si en la vida práctica hay fenómenos o situaciones importantes que involucran objetos opuestos que pueden considerarse positivos y negativos. Si es así, es necesario preguntar si la suma y multiplicación de enteros relativos también tiene sentido para tales objetos.

Sería una buena idea que el lector consulte a un físico, químico o biólogo sobre la cuestión de si existen, en las áreas, situaciones u objetos de estos investigadores susceptibles de una descripción cuantitativa dentro de un mundo de cantidades positivas, negativas o nulas. Las enciclopedias también pueden ser útiles para presentar el conocimiento obtenido al aplicar el concepto de cantidades negativas y positivas al mundo real.

Hemos visto que los enteros negativos {..., -3, -2, -1} resuelven el problema de la asimetría de los números naturales {0, 1, 2, 3, ...} que tienen un principio y un fin. Al sumar los enteros negativos, el nuevo sistema numérico se vuelve simétrico con respecto a cero.

¿Cómo podemos representar números negativos? Es decir, ¿podemos imaginar una figura que nos dé una buena idea del sistema entero?

Una de estas formas es representar números enteros como puntos en una línea. Escogemos un punto y lo asociamos con el número 0. Luego marcamos 1 a la derecha de 0, manteniendo una cierta distancia. A esta misma distancia, establecemos -1 a la izquierda de 0. Luego 2 a la derecha de 1, -2 a la izquierda de -1, y así sucesivamente. El punto -no es, por lo tanto, el punto a la izquierda de 0 a una distancia que es no multiplicado por la distancia de 0 a 1.

El lector no puede evitar la siguiente pregunta: ¿Qué pensar sobre los puntos que se encuentran entre los puntos utilizados para representar los enteros? Por ejemplo, ¿podría el punto exactamente entre 0 y 1 coincidir con un nuevo tipo de número? El lector dirá inmediatamente: Bueno, ¿no sería la fracción 1/2 el nuevo número que ocupa la posición promedio entre 0 y 1? Así es, las fracciones desempeñarán el papel de llenar el "vacío" entre todos los puntos marcados en una línea.

Nuevamente encontramos la situación científica de la necesidad de llenar un espacio o ampliar una idea que parece indicar una simetría oculta o un privilegio inexplicable. Aquí podríamos decir que el privilegio de que solo los números enteros se puedan representar como puntos en una línea es extraño e inexplicable.

La simetría oculta aquí es la idea de que todos los puntos, por igual, deben representar números, no solo los puntos utilizados para marcar enteros.

El lector nuevamente se pregunta si la naturaleza tiene procesos que pueden describirse en cantidades no enteras. Matemáticamente es natural imaginar el sistema numérico a partir de una línea, eligiendo cualquier punto para representar cero. Bueno, al menos para nosotros, trescientos años después de René Descartes, el filósofo y matemático francés que introdujo la idea de la representación numérica en una línea, creando Geometría Analítica, eso suena natural.

Cada nueva idea que presentamos para resolver un problema de simetría oculta o algún otro problema matemático nos lleva naturalmente a otras ideas inesperadas que tienen sentido y cuyo desarrollo finalmente revela nuevas verdades matemáticas.

Las nuevas verdades matemáticas, a su vez, nos revelan descripciones de procesos de la Naturaleza previamente inexplicados, o incluso desconocidos.

Cuando marcamos las fracciones en una línea, tenemos la impresión de que todos los puntos de la línea podrían estar ocupados. Pero Pitágoras ya se había dado cuenta de que la raíz cuadrada de 2 no es un número fraccionario. Por lo tanto, también deberíamos poder encontrar un punto en la línea para la raíz cuadrada de 2. A fines del siglo XIX, los matemáticos ya sabían que el número pi, que aparece en la fórmula de longitud de circunferencia 2 pi R, tampoco es fraccional. por lo tanto, también debe corresponder a un punto en la línea.

El número pi también aparece en muchas otras situaciones matemáticas. No podemos enumerar todas las ocurrencias del número pi en matemáticas e incluso en modelos matemáticos que buscan representar fenómenos de la naturaleza. Los números como la raíz cuadrada de 2 y el número pi se llaman números irracionales porque no son fraccionarios, es decir, no pueden representarse por razones entre enteros. Entonces surge una pregunta natural: ¿cuántos son estos números irracionales? ¿Hay puntos en la línea disponibles para representar también estos números irracionales?

A finales del siglo XIX y principios del XX, el matemático Georg Cantor descubrió que hay muchos más números irracionales que números fraccionarios. La forma en que Cantor demostró esta verdad fue una gran sorpresa en el mundo matemático. En otra ocasión abordaremos la cuestión de mostrar que hay muchos más números irracionales que números racionales o fraccionarios.

La concepción de la línea geométrica como una línea numérica, es decir, cada punto corresponde a un número fraccional (racional) o un número irracional, fue una gran innovación en matemáticas.

Hace unos 300 años, Renée Descartes probablemente no imaginó que la mayoría de los puntos en la línea geométrica corresponderían a números irracionales. Pero surge otra pregunta de inmediato: ¿se han ido los números reales? ¿O todavía hay algún tipo de número real que también requerirá un punto en la línea para acomodarlo?

Este problema de si el agotamiento racional e irracional de los puntos de la línea geométrica es el problema de la finalización. Los matemáticos saben hoy que la recta numérica está completa. Es decir, no hay espacios entre dos números reales. ¿Pero eso pone fin al problema de saber cuáles son todos los números? ¡Es interesante notar que todavía no! Si, por un lado, ya podemos ver los números reales como un continuo de puntos, es decir, una línea recta sin agujeros, por otro lado, todavía no podemos resolver el problema de encontrar un número cuyo cuadrado más uno sea cero.

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