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Dominio e imagen de funciones inversas


La siguiente ecuación:

(f (x)) = x para todos x en el campo de f

f ((x)) = x para todos x en el campo de

implica ciertas relaciones entre los dominios y las imágenes de f y . Por ejemplo, en la primera ecuación la cantidad f (x) es una entrada de, así apunta en las imágenes de f están en el dominio de; y en la segunda ecuación, la cantidad(x) es una entrada de fdonde puntos en la imagen de están en el dominio de f. Todo esto sugiere las siguientes relaciones:

dominio de = imagen de f

foto de = dominio de f

Una vez que f y g satisfacer dos condiciones:

  • g(f(x)) = x para todos x en el campo de f
  • f(g(y)) = y para todos y en el campo de g

Concluimos que son inversas. Así tenemos el siguiente resultado.

Si una ecuación y = f (x) puede resolverse a x en función de yentonces f tiene un inverso y la ecuación resultante es x = (y)

Un método para encontrar inversa

Ejemplo

Encuentra el inverso de f (x) =

Solución. Podemos encontrar una fórmula para (y) resolviendo la ecuación

y =

a x en función de y. Los cálculos son:

de los cuales uno tiene que

Hasta ahora, hemos tenido éxito en obtener una fórmula para ; sin embargo, no estamos realmente completos ya que no hay garantía de que el dominio natural asociado sea el dominio completo para .

Para determinar si esto es lo que sucede, examinaremos la imagen de y = f (x) = . La imagen consta de todos y en el intervalo , por lo que este rango también es el dominio de (y); pronto el inverso de f está dado por la fórmula

NOTA Cuando una fórmula para se obtiene resolviendo la ecuación y = f(x) a x en función de y, la fórmula resultante tiene y como la variable independiente Si es preferible tener x como la variable independiente para así que hay dos formas: puedes resolver y = f(x) a x con una función de yy luego reemplazar y por x en formula fin a o puedes comerciar x e y en la ecuación original y resuelve la ecuación x = f(y) a y en términos de x. En este caso la ecuación final será y = (x).

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