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Máximo divisor común (M.D.C.)


Dos números naturales siempre tienen divisores comunes. Por ejemplo, los divisores comunes 12 y 18 son 1,2,3 y 6. De estos, 6 es el más grande. Entonces llamamos al 6 de divisor común máximo de 12 y 18 e indicamos m.d.c. (12.18) = 6.

El máximo común divisor de dos o más números se llama divisor común máximo de estos números Usamos la abreviatura m.d.c.

Algunos ejemplos:
mdc (6.12) = 6
mdc (12.20) = 4
mdc (20.24) = 4
mdc (12.20.24) = 4
mdc (6.12.15) = 3

Cálculo M.D.C.

Una forma de calcular m.d.c. de dos o más números es usar la descomposición de estos números en factores primos.

1) desglosamos los números en factores primos;
2) el m.d.c. es el producto de factores primos comunes.

Siga el cálculo de m.d.c. entre 36 y 90:
36 = 2x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5

El m.d.c. es el producto de factores primos comunes => m.d.c. (36,90) = 2x3x3
Por lo tanto m.d.c. (36.90) = 18.

Escribiendo la factorización del número en forma de poder que tenemos:
36 = 22 x 32
90 = 2 x 32 x5
Entonces m.d.c. (36.90) = 2 x 32 = 18.

El m.d.c. de dos o más números, cuando factorizado, es el producto de los factores comunes a ellos, cada uno elevado al exponente más bajo.

Cálculo M.D.C. por el proceso de divisiones sucesivas

En este proceso hacemos varias divisiones hasta llegar a una división exacta. El divisor de esta división es m.d.c. Siga el cálculo de m.d.c. (48,30).

Regla práctica:

1º) dividimos el número mayor por el número menor;
48 / 30 = 1 (con resto 18)

2º) dividimos el divisor 30, que es el divisor de la división anterior, por 18, que es el resto de la división anterior, y así sucesivamente;
30 / 18 = 1 (con resto 12)

18 / 12 = 1 (con resto 6)

12 / 6 = 2 (con resto cero - división exacta)

3º) El divisor de división exacta son 6. Entonces m.d.c. (48.30) = 6.

Números primos entre ellos

Dos o más números son primos entre ellos cuando el máximo
divisor común de estos números es 1.

Ejemplos:
Los números 35 y 24. son números primos entre sí, ya que mdc (35,24) = 1.
Los números 35 y 21. no son números primos entre sí, ya que mdc (35,21) = 7.

Propiedad de M.D.C.

Entre los números 6, 18 y 30, el número 6 es un divisor de los otros dos. En este caso, 6 es m.d.c. (6,18,30). Aviso:

6 = 2x3
18 = 2x32
30 = 2x3x5
Entonces m.d.c. (6.18,30) = 6

Dados dos o más números, si uno de ellos es divisor de todos los demásentonces él es m.d.c. de los números dados. Siguiente: Mínimo común múltiplo (M.M.C.)